2026届四川省达州市高三“零诊”模拟考试数学试题

达州市普通高中2023级“零诊”模拟考试 数学试题 (考诚时间：75分钟满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用婚笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答囊标号。回答非进择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无戴 3.考波结来后，将表试卷和答题卡一并交国。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)】 1.已知集合A=|x11<x2<91,B=1-2,-1,0,1,21,则AnB= A10.1,2 B.11,21 C.1-2,2 D.1-2,-1,1,2 2已知复数：满足：=3二则复数：的虚部为 1-i A.21 B.i C2 D.1 3.已知向量a,b的夹角为120°，la=2,|b|=1,则|a+2b|= A.3 B.2 C.23 D.45 4.三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A,的横、纵坐标分 别为第i名工人上午的工作时间和种植的果树数，点B,的横、纵坐标分别为第：名工人下 午的工作时间和种植的果树数，=1,2,3.记P,为第i名工人 零件数（件）】 在这一天中平均每小时种植的果树数，则 ( A B AP1P2P3中最大的是P BP1P2P3中最大的是P A 工作时间（小时） CP:P2P,中最大的是P (第4题图) D.P1,P,P,中最小的是P2 5.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 A号 R号 c号 6已知双曲线C片-卡-1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F,人，过，的直战1与右 支交于P,Q两点，若|PF,|=2PF,|,QF,|=3PF:1,则C的离心率为 () A.2 B.2 C22 D.4 7.已知函数)=2sm(or-夏)(w>0)在(0，号)上存在最值，且在（号，m)上单调，则 的取值范围是 (). 4(0 R c[1, n 8关于x的不等式号+h(x-lh(2c)]+>。3+h(20)(其中，e为自然对数的底数)的 解集是 () A(1+n2,+) B.(2+1n2,+∞) C.(3+h2,+0) D.(e+In 2,+) 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则 (). A共有A,种不同的排法 B.若女生互不相邻，共有1440种不同的排法 C若男生站一起.女生站一起，共有144种不同的排法 D.若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法 10.已知曲线C:3x2+2y+3y2=1,则下列结论正确的是 A曲线C关于原点对称 B.直线x=1与曲线C有公共点 C曲线C上任一点的纵坐标的取值范圆是[-厚， D.曲线C上任一点与原点距离的取值范围是分，) 11.设(5+2)如+的整数部分为4。，小数部分为6，则下列结论正确的是 A.数列|a,+b.I为等比数列 B.数列{a,}为递增数列 C.b,(a.+b.)=1 D.整数a.的个位数字可以是8 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离 为9，则C的焦点坐标为一 13.设非零常数d是等差数列x1,2,,…,,的公差，随机变量等可能地取x1,2,x3, ,xg,则方差D(）)= 14.若函数f代x)(xeR)满足f八x)=f(2-x),且函数y=x2-2x-3引的图象与函数八x)的 图象的交点分别为(x1y),(x2y),…,(,）,则∑x(= 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演绎步骤） 15.(本题满分13分) 为了让学生感受文学名著的语言魅力，品味文学名著的博大精深，某中学规定了包含中 国四大名著在内的20本中外名著作为该校学生的必读书目.为了了解活动进行的情 况，学校在高三年级男生、女生中按分层抽样的方式随机抽取了100名学生进行阅读书 目数的调查.根据调查结果将阅读书目数分组为[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16)， [16,20],得到这100名学生读书目数的频率分布直方图（左图）和其中男生阅读书目数 的频数分布表（右表）.已知该校高三年级男生、女生人数比例为3：2， 分组 频数 组距 0.085 [0.4) 0.07 0.0575 [4,8) [8,12) 18 0.0225 [12,16) 18 0.015 048121620阅读书目数 [16,20] 2 (1)求右表中α的值并估计出该校高三年级女生的阅读书目数的众数 (2)学校规定阅读书目数不低于12的同学获优秀奖，完成下列2×2列联表，并判断是否有 95%的把握认为该中学高三年级学生获优秀奖与性别有关， 获优秀奖 未获优秀奖 男生 女生 附： n(ad-be)2 (a+b)(e+d)(a+c)(6+d,其中n=a+6+c+d P(K2≥ka) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 ko 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 16.(本题满分15分) 在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足e-b=2 bcos A. (1)设A与B存在函数关系，并记A=八B),求函数八B): (2)求BnA的最小值 17.(本题满分15分) 在平面中，我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图 形，称为完全四边形.如图，在完全四边形ABCDEF中，△ABE≌△AFC,∠CDB= ∠CAE=6O°.将△BCD和△DEF分别沿BD,DF翻折至△BMD和△DNF,使得MB∥NF. (1)证明：MB⊥平面ABCDEF; (2)求二面角D-AN-M的正弦值 (第17题图) 18.(本题满分17分)】 已知在△ABC中：B(-1,0),C(1,0):G,H,W分别为△ABC的重心、垂心与外心，且存 在AeR使C=ABC (1)求点A的轨迹C的方程 (2)(i)求△ABC的外心W的纵坐标m的取值范围. (ⅱ)设直线AW与C的另一个交点为M,记△AWG与△MGH的面积分别为S,S2, 否存在实数入使，=Z若存在，请求出入的值：若不存在，请说明理由 19.(本题满分17分)已知函数f(x)=e'sinz,. (1)求函数f八x)在(0,2π)上的单调递减区间； (2)当x∈(0，r)时，f(x)≥(ax+b)sinx,求a+b的最大值； (3)证明：方程f代x)=sinx+x2在x∈(0，m)上有唯一实数解.达州市普通高中2023级“零诊”模拟考试 数学参考答案 -、1.C.2.D.3C. 4.B.分别作B,B,B关于原点的对称点民，，财，比较直钱4武，A民，A码斜串，可 得AB的斜率最大 5D.如图，其中BC=名AB=AC=3,且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为 0. 由于AMF-下=25，故8ax-分×2x25=25 设内切圆半径为r,则SAANC=SBAOB+Saoe+8△Aoe =×ABxr+xBCxr+-宁×ACxT =×3+3+2到xr=25, 解得r一号，其体积=巨 2 3 6.B.易得，PF=4a,PF2=2a,l2R卡6a,|05上8a,因为∠P℉R+∠QFF=180°， 由余弦定理得4c+0-16@,4c+36c-64=0,解得8=三=2. 2×2e×2a 2×2c×6a 1品由超得-片做受-名要-m-名 由在@的上存在最值，则号-吾受0>2 因为函数因在宁网上单调所似吗名s身=低- 即a-受雪-管m-管a+号 当k=0时，0505得：当k=1时，15o≤写当k-2时，多和≤号 图为>2，所以好5≤号 8 8.C.c2+ln(x-h2-2)+x-lh2>d3+3. 令f(x)=e+n(x-2)+x,则f(x)在定义域上单调通增，且原不等式等价于 f(x-lh2)>f③). 所以，x-n2>3 二、9.ABD.对于A,7个人全排列，共有A号种不同的排法，A正确：对于B,先排男 生，再把女生插入空隙，有号=1440种，B正确：对于C,分别把男生、女生视为 个整体排列，共有兮兮=288种，C错误：对于D,7个人全排列，而男生的排列方法 只占元，共精号-210#，D正E A 10.ACD,取曲线C上一点(a,b),其关于直线y=x对称点为（亿，a).因为 362+2ba+3a2=3a2+2ab+3b2=1, 所以(a,b)满足曲线C方程，所以A正确. 将x=1代入曲线C的方程，得3)y2+2y+2=0,该方程无解，故B错误， 由3x2+2gy+3y2=1得3x2+2yx+3y2-1=0, 由△=4y2-123y2-020,解得-y6g 6 4sys. 故C正确 4 设曲线C上任一点坐标为(x,y),则一方面， 1=3x2+2y+3y2≤3x2+x2+y2+3y2=4x2+y2) 即+少之行当且仅省一y=±怎时取将母 4 另-方面，1=3x2-2x(-y)+3y2232-x2-y2+3y2=2x2+y2). 即+少≤分，当组仅当不=y=号时取等号。所以D正确 11.ABC.由(W5+2y2=C(W52+C(5,2++Ca2m (W5-2y=C(W52-C(W52+-C22, 两式相减可得， (5+2y2-(W5-2y2=2[C(N52+C(N522.2'++C22 =2[Ct3°2+C52'…+C22m] 由于C5”,2+C35,2.+Ca2为整数，且0<(5-2)<1， 所以(65+22的整数部分即为(W5+2)2-(W5-2),小数部分即为(5-2)产。 所以a,=(5+2-(W5-2)2,b=(N5-2: a,+五=(W5+2)是以(W5+2为首项，(W5+2)?为公比的等比数列， 由(W5+2)>1,(5+2>1,故A、B正确： 6,(a,+b,)=(N5-2)2(5+2)2=1,故C正确： 4.的个位数与222的个位数相同，只能是4或6。故D错误。 三、12.(3,0) 13.294.因为等差数列马西的公为d,所以5杨场+…托 3 9 所x+…=9%+2=9%+36. 则E5=3+4d,所以x。-E5=+(n-0d-(6+4d=(n-5)d. 所以方差为D5--4d+…+(-+0+P+…+(4门=20。 3 14.7,函数y=()、yx2-2x-3引的图象都关于直线x=1对称，故它们图象的交点也 关于直线x=1对称。 221e7 2 四、15.(1)抽取的100名学生中，男生由60人.所以5+a+18+18+2=60.解得a=17, 抽取的100名学生的阅读书目数的频数分布表为： 区间 顿数 [0,4) 9 [4,8) 23 [8.12) 28 [12,16 34 16.20 6 其中女生的阅读书目数的颗数分布表为： 区间 频数 [0,4) 4 [4,8) 6 [8,12) 10 [12,16) 16 [16,20] 4 所以女生的阅读书目数的众数估计值为14， (2)列联表为： 获优秀奖 未获优秀奖 男生 20 40 女生 20 20 所以，K2=100×(20×20-20×40225 2.778<3.841 40×60×40×60 9 故没有95%的把握认为该中学学生获优秀奖与性别有关。 16.(1)由正弦定理得，sinC-inB=2 sinBcosA.所以sin(A+)-2cos4sinB=sinB,即 s血(A-B■血B,解得A-B=B或A-B+B=元（舍），所以A=2B. 042< 因为△ABC为锐角三角形，所以A=2B,C=x-3B. 0<-3B< 得8e(停孕 2 故函数)=2B,B管孕 tanB tan 3 sinAsinB 3 +sin≥2 sin.4 3 3 当且仅当1」 血A即血425(25. 2,))时取等号。 sinA 3 3 故14 n6m+3血4的最小值为45 3 17.(1)因为△MBE≌△MFC,所以∠ABE=AFC 因∠CDB=∠CAE,所以∠BAF+∠BDF=18O°， 从而∠ABE=AFC=90° 即MB⊥BE,NF⊥FC,因为MB∥NF, 所以MB⊥FC. 故MB⊥平面ABCDEF. (2)如图建立空间直角坐标系.设BD=a,因为∠CDB=∠CAE=60°，则 aa4 o.Wi.o.vooVov要： 所以Da=(-a,√3a,0), m空 所以平面DAW的一个法向最可取为 n=(5,l,-) 又因MA=(0,3a,-√5a) 所以平面MMW的一个法向量 为m=1,5,-5). V105 所以cos0= 酮 35· 从而二面角D-W-M的正弦值为4W7四 35 1专40=0.则△MBC的霞6G写为 因为存在元∈R使G丽=元BC, 所以台，C丽=x-l宁， 由BA=(x+l,y),并由垂心定义得，C万，BA=0. 即-1：号-0，所似点4的选C的方程为+号-1（学0 3 2(i)迪外心的定义知，点甲经在y精上，从盾那0网，B的中点N号分 丽=受.从，丽顾=号6+1列=0， 1--2,代入c的方程得，兮=少2-2网 因为y0,所烈m-图为ye反0UQ同.所me-5Uo马， 3 (拉)由对称性，不妨设点A在第一象限。令A(:,y,M(3,为)，设直线AM的方 程为x=(心一m).由 +号-1第0r+y2-6m+3mn7-3=0. x=0y-m), 3 6mt2 △=1232-m2+0>0,y+4=3y2+ 因南a一子所议为~÷自国)知rQ学.所烈G从用三直 共线且平行于x输，GH号，G写知1GH21WG 所以感」 WG 32+17 21GH1(写-⅓) 1 2030+22五 似，=1.即一)所以4=3·代入C的方程得名=到 因为1GH上24,1BC2.所以=点= 36 所以当点A在第一、四象限时入=。，当点A在第二、三象限时元= 1 6 6 1S7 ±6使322 故存在实数入=士二使 19.（a)因为f)=e'simx,所以f)=反sin(x+e. 当0<x<时，了>0，心单调递增：当受<<子时，了e国<0，f网 7 7 单调递减：当二π<x<2π时，f'(x)>0,f(x)单调递增。 4 37 故所求减区间为（仁元，一） 44 (2)因为xe(0,),所以sinx>0,故e≥ar+b 设g(x)=c-ar-b,则g(x)=c-a. ①当a≤0时，则g'(x)>0,所以g(x)在x∈(0，)上单调递增 从而g(0)=1-b20,解得b≤1.此时，a+b≤1. ②当0<a<e时，则0<x<lna时，g(x)<0,g(x)单调递减：血a<x<π时， g(x)>0,g(x)单调递增.所以，g(na)=a-alna-b之0，变形可得b≤a-a血a.此 时，a+b≤2a-alna, 设h(a=2a-ana,ae(0,e),则h(a)=l-ha. 当0<a<e时，h(a)为增函数：当e<a<e时，h(a)为减函数 所以[h(a)=h(e)=e,即a+bse,当且仅当a=e,b=0时取等号， ③当a≥e*时，g(x)在(0，π)上单调递减.从而，g(r)=e-am-b20, 解得b≤e-an 此时，a+b≤e+1-x)a≤e+0-r)e=(2-π)e"<0. 综上，a+b的最大值为e, (3)证明：设p(x)=e'sinx-sinx-x2,则 '(x)=(sinx+cosx)e'-cosx-2x,o"(x)=2e'cosx+sinx-2 o"(x)=2e"(cosx-sinx)+cosx,[o"(x)]=-4e"sinx-sinx<0 所以p(x)在(0，)上单调递减.因为p(0)=0.9(m)=-2c-1<0, 所以存在唯一方∈(0)、使得(x)=0. 当x∈(0，x)时，p(x)单调递增，当x∈(：，)时，(x)单调递减。 又因为p'(0)=0.p'(n)=-2c*-2<0. 所以存在唯一太∈(0九)，使得p(x)=0 当xE(0,)时，'(x)单调递增，当x∈(x,)时，()单调递减， 又因为p'(0)=0,p'()=-e+1-2n<0. 所以存在唯一马∈(0，)，使得p(x）=0 当x∈(0，x)时，x)单调递增，当x∈（名，）时，(x)单调递减， 又因为(0)=0，()=-π2<0， 所以存在唯一x∈(0，元)，使得(x)=0,