第1章 因式分解（知识清单）数学湘教版2024八年级上册

第1章 因式分解 知识点01：因式分解 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的 形式，称为把这个多项式 ，也称为 ； 2. 因式分解的过程和 的过程正好 ；前者是把一个多项式化为几个多项式的 ，后者是把几个多项式的 化为一个 . 知识点02：提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的 ，简称多项式的 。 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的 ； (2)字母：取多项式各项中 的字母； (3)各字母的指数：取次数 ． 3. 定义：逆用乘法对加法的 律，可以把 提到括号外边，作为积的一个 ，这种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 知识点03：平方差公式法 1. 因式分解中的平方差公式 a²- b² ＝( a + b )( a - b ) 2. 多项式的特征：(1) 可化为 个整式； (2) 两项符号 ；(3) 每一项都是整式的 . 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. 知识点04： 完全平方公式法 1.完全平方公式：a²+ 2ab + b² = ( )²，a² - 2ab + b² = ( )². 2.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号 ，能写成两个整式的 的形式； (3)另一项是这两整式 的 倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出 . 知识点05：十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 知识点06：分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 易错点01：混淆因式分解与整式乘法 因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，而整式乘法是几个整式相乘得到多项式，二者是互逆的过程。 【典例1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　）． ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）下列各式从左到右不是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 易错点02：公因式提取不当 1.公因式提取不彻底：提取公因式时，要把各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂都提取出来。 2.忽略首项系数为负的情况：当多项式的首项系数为负数时，通常要提出一个带负号的公因式，使括号里首项不含负号。 3.提公因式后漏项：多项式中某一项全提公因式后，括号里这一项应该为1，但学生容易漏掉。 【典例2】把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【变式2-1】用提公因式法分解因式： (1)； (2)． 【变式2-2】用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 易错点03：公式运用错误 平方差公式：运用时要注意多项式必须是两项式，且两项都要是平方的形式，并且符号相反。 完全平方公式：需要满足是三项式，其中两项是平方项且同号，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍。 【典例3-1】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【典例3-2】分解因式： (1)； (2)． 【变式3-1】分解因式： (1)； (2)． 【变式3-2】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【变式3-3】因式分解： (1)； (2)； (3)． 易错点04：分解不彻底 【典例4】分解因式： (1)； (2)． 【变式4-1】分解因式： (1)； (2)． 【变式4-2】分解因式： (1)； (2)． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C．0 D． 4．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）若长为，宽为的长方形周长为10，面积为6，则的值是（       ） A．60 B．16 C．30 D．1 6．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东江门·期中）分解因式： ． 8．（24-25八年级上·天津·阶段练习）若，则括号内应填入的代数式为 ． 9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）若，．则 ． 10．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·辽宁营口·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； 14．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）数学来于生活，同样数学也服务于生活，请同学们认真阅读下面材料，并完成相应任务． 现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、 生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如 多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码 2504 或 0425；如多项式，因式分解的结果为， 当 时， ， ，，此时可以得到数字密码 091112 ． 任务一：根据上述方法，当，时，将多项式分解因式后可以形成的数字密码有： （写出三个）； 任务二：一个直角三角形的两直角边分别为 x和 y，且它的周长为 12，面积为 6，斜边长为 5 ，将一个由多项式分解因式后可得到数字密码： (写一个即可)； 任务三：若多项式因式分解后，利用本题的方法，当 时可以得到一个密码 2821 ，求 m 、n 的值． 16．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 17．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 18．（24-25八年级上·江苏南通·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 19．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式： ； (2)若可配方成（，为常数），则 ； (3)求代数式的最小值，并求出，的值； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 因式分解 知识点01：因式分解 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式； 2. 因式分解的过程和多项式的乘法的过程正好相反：前者是把一个多项式化为几个多项式的乘积，后者是把几个多项式的乘积化为一个多项式. 知识点02：提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的最大公因数； (2)字母：取多项式各项中相同的字母； (3)各字母的指数：取次数最低的． 3. 定义：逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边，作为积的一个因式，这 种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 知识点03：平方差公式法 1. 因式分解中的平方差公式 a²- b² ＝( a + b )( a - b ) 2. 多项式的特征：(1) 可化为两个整式； (2) 两项符号相反；(3) 每一项都是整式的平方. 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. 知识点04： 完全平方公式法 1.完全平方公式：a²+ 2ab + b² = ( a + b )²，a² - 2ab + b² = ( a - b )². 2.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号相同，能写成两个整式的平方和的形式； (3)另一项是这两整式乘积的2倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出公因式. 知识点05：十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 知识点06：分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 易错点01：混淆因式分解与整式乘法 因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，而整式乘法是几个整式相乘得到多项式，二者是互逆的过程。 【典例1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不属于因式分解，不符合题意； B、左边合并同类项应为，右边，左右不相等，变形错误，不属于因式分解，不符合题意； C、等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　）． ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：①是乘法运算，则①不是因式分解； ②符合因式分解的定义，则②是因式分解； ③是乘法运算，则③不是因式分解． 综上，是因式分解的有1个． 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）下列各式从左到右不是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是因式分解，A选项不符合题意． 是因式分解，B选项不符合题意． 是因式分解，C选项不符合题意． 不是因式分解，D选项符合题意． 故选： ． 【变式1-3】下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式 (2)是因式分解；是两个整式乘积的形式 (3)不是因式分解；不是整式乘积的形式 【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 易错点02：公因式提取不当 1.公因式提取不彻底：提取公因式时，要把各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂都提取出来。 2.忽略首项系数为负的情况：当多项式的首项系数为负数时，通常要提出一个带负号的公因式，使括号里首项不含负号。 3.提公因式后漏项：多项式中某一项全提公因式后，括号里这一项应该为1，但学生容易漏掉。 【典例2】把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式2-1】用提公因式法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． （2） ． 【变式2-2】用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） ． 易错点03：公式运用错误 平方差公式：运用时要注意多项式必须是两项式，且两项都要是平方的形式，并且符号相反。 完全平方公式：需要满足是三项式，其中两项是平方项且同号，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍。 【典例3-1】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【典例3-2】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-1】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-2】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． （3）原式 ． 【变式3-3】因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 易错点04：分解不彻底 【典例4】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式4-1】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．，是整式乘法不是因式分解，故该选项不符合题意； ．，是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 多项式各项的公因式是． 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 故选：A． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）若长为，宽为的长方形周长为10，面积为6，则的值是（       ） A．60 B．16 C．30 D．1 【答案】C 【详解】解：由长方形的周长为10，得：， 即． 由长方形的面积为6，得：． ∴． 故选C． 6．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的代数式分解因式得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·广东江门·期中）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·天津·阶段练习）若，则括号内应填入的代数式为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴括号内填写的代数式为， 故答案为： ． 9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）若，．则 ． 【答案】0 【详解】∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：0． 10．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 【答案】 【详解】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为， ∴在中，是正确的， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·辽宁营口·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 14．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 15．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）数学来于生活，同样数学也服务于生活，请同学们认真阅读下面材料，并完成相应任务． 现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、 生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如 多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码 2504 或 0425；如多项式，因式分解的结果为， 当 时， ， ，，此时可以得到数字密码 091112 ． 任务一：根据上述方法，当，时，将多项式分解因式后可以形成的数字密码有： （写出三个）； 任务二：一个直角三角形的两直角边分别为 x和 y，且它的周长为 12，面积为 6，斜边长为 5 ，将一个由多项式分解因式后可得到数字密码： (写一个即可)； 任务三：若多项式因式分解后，利用本题的方法，当 时可以得到一个密码 2821 ，求 m 、n 的值． 【答案】任务一：120717；121707，171207；任务二：1225或；任务三： 【详解】解：任务一：， 当，时，，， 可得数字密码是120717；也可以是121707，171207． 任务二：由题意得：， 解得：， ∴， 而， ∴可得数字密码为1225或． 任务三：∵密码为2821， ∴当时， 而，， ∴， 即：， ∴， 解得． 16．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 18．（24-25八年级上·江苏南通·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值是 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ，都是正整数 ，且、都是整数， 或 或 或 解得或其他两种不符合，为正整数，舍去 故：或； （3）由得代入 ， ∵， ∴， ∴的最小值是． 19．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式： ； (2)若可配方成（，为常数），则 ； (3)求代数式的最小值，并求出，的值； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值是，， (4) 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ； ∵，， 当，时，代数式的最小值为 （4）解：， ， ， ∵x，y是整数， ∴也是整数， ∵S为“完美数”， ∴的值可以为0， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$