第1章 因式分解（复习课件）数学湘教版2024八年级上册

单元复习课件 第1章 因式分解 湘教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能准确判断多项式是否可分解及选择合适的分解方法，确保对每种方法的适用条件、操作步骤及易错点（如符号处理、公因式提取不彻底等）有清晰认知，做到熟练运用基础方法完成因式分解。 3.能够运用因式分解知识解决数学中的简单实际问题，体会因式分解在简化问题、建立数量关系中的工具性价值，培养用数学知识解决实际问题的意识和能力。 2. 综合运用多种方法分解复杂多项式的能力或根据多项式特点灵活组合不同方法；同时能逆向运用因式分解解决相关问题；提升对因式分解与整式运算联系的理解。 单元学习目标 概念 因式分解的方法 提公因式法 公式法 因式分解 单元知识图谱 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的　 形式，称为把这个多项式_________， 也称为__________； 2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______：前者是把一个多项式化为 几个多项式的______，后者是把几个多项式的______化为一个________. 一、因式分解 因式分解 乘积 分解因式 多项式的乘法 相反 多项式 乘积 乘积 1. 判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解： (1) x2﹣4y2 = (x + 2y)(x﹣2y) (2) 2x(x﹣3y) = 2x2﹣6xy (3) (5a﹣1)2 = 25a2﹣10a + 1 (4) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 (5) 2πR + 2πr = 2π(R + r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 因式分解 把积化为和 把和化为积 整式乘法 因式分解 考点串讲 二、提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的________，简称多项式的________. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的 ； (2)字母：取多项式各项中　 　的字母； (3)各字母的指数：取次数最　 　的． 公因式 公因式 最大公因数 相同 最低 3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把 _______提到括号外边，作为积的一个_____，这 种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 分配 公因式 因式 考点串讲 2. 把多项式因式分解。 提公因式法的步骤： ① 找出公因式 ② 提取公因式 系数：5、-3、1，不看符号， 最大公因数是1 字母：x、y 相同的字母x 指数： 相同字母x的最低次数是1 公因式是x 解： 1 1) 提取公因式后，第三项还剩下数字1. 注意： 当多项式的某一项恰好是公因式时,这一项应看成它与1的乘积,提公因式后剩下的应是1，不能漏掉。 考点串讲 三、公式法 —— 平方差公式 1. 因式分解中的平方差公式 a2 - b2 ＝　 　 ； 2. 多项式的特征：(1) 可化为____个整式； (2) 两项符号______； (3) 每一项都是整式的______. 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式； (2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. ( a + b )( a - b ) 两 相反 平方 考点串讲 3. 把下列多项式因式分解： (1) (2) (3) (4) 解： (1) = = 方法技巧 解题的关键： 找到公式 x2-y2=(x+y)(x-y)中的x与y。所以左边的多项式先写成平方的形式,然后套用因式分解中的平方差公式。 写成平方 套用公式 (2) = = (3)== (4)== 考点串讲 四、公式法 —— 完全平方公式 1.完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2， a2 - 2ab + b2 = ( )2. 2.多项式的特征：(1)三项式； (2)有两项符号_____，能写成两个 整式的_________的形式； (3)另一项是这两整式______的_____倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出_______. a + b a - b 相同 平方和 乘积 2 公因式 考点串讲 4.把下列多项式因式分解。 （1） (2) 因式分解的步骤： 1提取公因式 （一提） 2套用公式 （二套） 3、检查是不是乘积的形式，是不是不能再分解了（三查） 解：(1) = = = 解：(2) 一提 一提 二套 二套 考点串讲 考点1 因式分解的概念 1.［2023山东济宁中考］下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项， ，属于整式的乘法，故不符合题意；B选 项， ，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式 分解,故不符合题意；C选项， ，属于因式分解， 故符合题意；D选项，因为 ，所以因式 分解错误，故不符合题意.故选C. 考点串讲 12 考点2 利用提公因式法进行因式分解 2.［2023四川成都中考］因式分解： __________. 【解析】.故答案为 . 3.［2023黑龙江绥化中考］因式分解： ______________. 【解析】原式 ，故 答案为 . 考点串讲 13 考点3 利用公式法进行因式分解 4.［2023浙江杭州中考］分解因式： ( ) A A. B. C. D. 【解析】 ．故选A. 5.［2024江苏常州中考］分解因式: __________． 【解析】 . 考点串讲 14 考点4 提公因式方法与公式法的综合应用 6.［2024云南中考］分解因式： ( ) A A. B. C. D. 【解析】原式 ，故选A. 7.［2024内蒙古通辽中考］分解因式： ___________． 【解析】原式.故答案为 ． 考点串讲 15 考点5 因式分解的应用 8.［2024广西中考］如果,,那么 的值为( ) D A.0 B.1 C.4 D.9 【解析】因为， ，所以 .故选D. 9.［2023河北中考］若为任意整数，则 的值总能( ) B A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 【解析】.因为 为 任意整数，所以 的值总能被3整除，故选B. 考点串讲 16 题型一、分组分解法 1.【阅读材料】常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式不能 直接用上述两种方法进行分解，比如多项式 .这样我们就需要结合 式子特点，探究新的分解方法.仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为 一组，把它的后两项结合为一组，对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式， 提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解.具体过程如下： 例： . 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫作分组分解法.分组分解法一般 针对四项或四项以上的多项式，关键在于恰当分组，分组要有“预见性”，预见下一步 能继续分解，直到完成分解. 题型剖析 （1）下列关于上述方法中“分组”目的的说法正确的是________;（填序号） ①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间 能继续分解. ①②③ （2）若要将以下多项式因式分解，怎样分组比较合适？ ① ___________________； ② ___________________________; （3）利用分组分解法因式分解： . 解： ． 题型剖析 18 2.一般的分组分解法有“”分法、“”分法、“ ”分法及“ ”分法等.如： （1） ； 解：原式 . （2） ； 原式 . . 根据以上方法，对下列各式进行因式分解： （3） . 解：原式 . 题型剖析 19 3.【学习材料】拆项法.在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项 拆成两项或多项，再分组进行因式分解. 例1：因式分解： . 解：原式 . 题型二、拆项法 例2：因式分解： . 解：原式 . 【知识应用】请根据以上材料中的方法，对下列各式进行因式分解： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 题型剖析 20 4.【阅读材料】根据多项式的乘法法则，可知 .那么，反过来，也有 . 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的因式分解. 题型三、十字相乘法 例如：将 分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项： . ③横向写出两因式： . 注：我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫作十字相乘法. 题型剖析 21 【知识应用】 （1）因式分解： ① ______________；② _________________. （2）因式分解： . 解：原式 . 【拓展提升】 （3）因式分解： . 解：原式 . 【补充设问】 （4）十字相乘法对二次项系数不是1的二次三项式同样适用，请对下式进行因式分解： . 解：原式 . 题型剖析 22 一、选择题 1.［2025衡阳期末］下列式子从左到右的变形是因式分解的是( ) D A. B. C. D. 返回 2.若一个多项式因式分解的结果是 ，则这个多项式为( ) D A. B. C. D. 针对训练 23 3.把多项式因式分解时，提取的公因式是，则 的值可能为( ) A A.7 B.5 C.3 D.2 4.［2025长沙期末］下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ) C A. B. C. D. 5.若是多项式为常数的一个因式，则 的值是( ) C A.2 B.4 C.5 D.6 针对训练 24 6.计算 的结果为( ) B A. B. C. D. 7.下列各数中，可以表示为为整数 的形式的是( ) D A.86 B.230 C.462 D.480 8.小逸是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，5， ，，， 分别对应强、我、祖、爱、国、有.现将 因式分解，则结果呈现的密码信息可能是( ) B A.我爱祖国 B.强国有我 C.我爱国 D.我有祖国 针对训练 25 二、填空题 9.因式分解： _________. 10.已知多项式可分解为，则 的值为____. 11.［2024北京中考］分解因式： _______________. 12.已知，则代数式 的值为___. 6 针对训练 26 三、解答题 13.分解因式： （1） ； 解： . （2） . 解： . 针对训练 27 14.利用因式分解计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 针对训练 28 15.分解因式，并求值，其中 ， . 解： . 当， 时， 原式 . 针对训练 29 16.下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程： 解：设 ， 则原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述因式分解的过程，回答下列问题. （1）该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的正确结果； 解：该同学因式分解的结果不正确.因式分解的正确结果应为 . （2）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解. 解：设，则原式 . 针对训练 30 17.在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图①所示的三种卡片，其中卡片 ①是边长为的正方形，卡片②是长为,宽为 的长方形，卡片③是边长为 的正方形. （1）卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为_____________； （2）小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，并用这些卡片无缝隙无重叠地 拼成如图②所示的大长方形，请根据图②的面积写一个多项式的因式分解； 解：由题图②知，大长方形的长为，宽为 ，所以大长方形的面积可表 示为 ，因为小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，并用这些 卡片无缝隙无重叠地拼成题图②所示的大长方形，所以大长方形的面积也可表示为 ，所以根据题图②的面积可以写的多项式的因式分解为 . 针对训练 31 （3）小刚将自己制作的2张卡片①和1张卡片②送给小明，小明用所有卡片重新无缝 隙无重叠地拼成一个大的正方形，若， ，求正方形 的边长. 解：根据题意，得正方形的面积为 ， 所以正方形的边长为，当， 时， ，所以正方形 的边长为6. 针对训练 32 因式分解 定义 提公因式法 公式法 平方差公式 完全平方公式 课堂总结 感谢聆听! $$