专题02 因式分解相关压轴题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期湘教版2024

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02因式分解相关压轴题分类训练 (6种类型48道) 考点归纳 考点01利用因式分解求参数 考点02错解还原 考点03实数范围内因式分解 考点04添项法和拆项法 考点05配方法因式分解 考点06因式分解与图形面积 考点专练 考点01利用因式分解求参数 1.已知整式x2-x+k可以因式分解为(x+m)(x-5),则m的值为 2.如果x-3是ax2-bx+6的一个因式，则3a-b的值为一 3.若多项式x2-ax+12可分解为x-3(x+b,则a+b的值为. 4.若x2-ax-10可分解为x+2)(x+b),则b-a的值为」 5.若x2+mx+12可分解为x+3)(x+n,则n= 6.若多项式3x2+bx+c可分解为3(x-2(x+刂则b=一，C=一 7.己知二次三项式x2+px+g因式分解的结果是(x-2)x-3),则p+9= 8.己知x2-5x+m=(x-2)(x-n),则n=,N= 考点02错解还原 9.甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x+8)x-6),乙看错了b的值， 分解的结果为(x-6)(x-2),那么x2+ax+b分解因式正确的结果为一· 10.观察对话并填空. 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (a+2b)2-(2a+b)2 [(a+2b)+(2a+b)][(a+2b)-(2a+b)] (3a+3b)b-a) 小明 你的结果不对，3a+3b还可以继续分解. 小红 上述对话告诉我们：在因式分解时， 正确的结果应是 11.在对整式x2+x+q进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误.甲同学看错了一次项系数，得到的 分解结果为x+2)(x-9),乙同学看错了常数项，得到的结果为(x+2)(x-5),那么整式x2+px+g正确的 因式分解结果是」 12.两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为(x+2)(x+3): 另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为(x-6)x+),那么这个二次三项式正确的因式分解结果 是 13.在对整式x2+ax+b进行因式分解时，甲同学看错了常数项b,因式分解的结果为x+2)(x+4);乙同 学看错了一次项系数α，因式分解的结果为x-1)(x-9).根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结 果为x2+ax+b= 14.甲同学分解因式x2+ax+9时看错了9，分解结果为x+2(x+4),则多项式x2+ax+9分解因式的正确 结果为 15.对于某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了常数项将其分解为2(x-3)(x-9),而乙同学因看 错了一次项将其分解为2(x-2)(x-18). (1)请求出正确的一次项系数和常数项； (2)写出原多项式，并将此二次三项式进行正确的因式分解. 16.在将x2+ax+b因式分解时，小明看错了a的值，分解得x+8)(x+2)；小红看错了b的值，分解得 (x-9)(x+1).请你把x2+ax+b进行正确的因式分解. 考点03实数范围内因式分解 17.在实数范围内分解因式：x2-6x+7= 18.在实数范围内分解因式：2x2-3y-y2= 19.在实数范围内因式分解：9x2-12y+y2= 20.在实数范围内因式分解：3x2+12xy+11y2= 21.在实数范围内分解因式：2x2-4x+1= 2/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.在实数范围内分解因式：4a-20a2+25= 23.在实数范围内分解因式： (1)x2+4x+1; (2)x2-4x-2. 24.在实数范围内分解因式： (1)x4-x2-6; (2)3x-4x2+1. 考点04添项法和拆项法 25.请利用拆项法分解因式完成下列题目： (1)a2-b2+2a+6b-8: (2)x4-23x2+1. 26.综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行 因式分解的方法.这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项 和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式： 例如，分解因式x2+4x-5,可将4x拆分成5x,-x,两项，原多项式变为x2+5x-x-5.然后恰当分组 (x2+5x)-(x+5),对每组分别提取公因式后原式变形为 再提取公因式(x+5),最终分解为 (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把x2+5x+6因式分解. (3)问题拓展 若多项式ax2+bx+c通过拆项分组法分解为(mx+p)(x+q)(m、n、p、q为常数). 因为(mx+p)(nx+q)=mnx2+mqx+pnxr+pq=mnx2+(mq+pn)x+pq,与ax2+bx+c对应. 所以，b=mg+pn,c=p9,在拆项分组过程中，要将bx拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步 分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解， 试一试，把3x2-11x+6因式分解， 27.【阅读材料】因式分解方法除了有提公因式法和公式法外，还有分组分解法和添项法.“分组分解法”是将 多项式适当分组，使每组能分解，再用提公因式法或公式法因式分解. 例如：am+an+bm+bn=(am+an+(bm+bn=am+n+bm+n)=(a+b)(m+n “添项法”是添加并减去一个合适的项，创造分组或用公式的条件 例如：x+4=x+4x2+4-4x2=x2+2)-(2x)2=x2+2+2xx2+2-2x 3/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)因式分解：x2-4y2-2x+4y: (2)因式分解：x2-6x+5; (3)因式分解：x2-y2+2x+4y-3 28.对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： x2-2ax-3a2=x2-2ar+a2-a2-3a2=(x-a2-4a2=x-a2-(2a2 =x-a+2a(x-a-2a=x+a(x-3a,像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法.请用以上方法分解因 式： (1)x2+2ax-15a2; (2)x4+x2+1. 29.阅读并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a的形式.但 对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加 上一项2，使它与x2+2x的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2)-a2-3a2=（x+a'-2a'=(x+3ax-a 像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方 法”，请用“配方法”解决以下问题、 (1)利用“配方法”"分解因式：a2-4a-12: (2)若m2-4mn+5n2-8n+16=0,求m和的值： (3)19世纪的法国数学家苏菲热尔曼解决了“把x4+4分解因式”这个问题：小明同学仿照上面的方法对 x4+64y4进行因式分解，过程如下，请你帮助小明补全横线上的内容，并完成后续的因式分解过程. x+64y=(x2++(8y2 =(x2+8y22-( )2 = 30.对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a的形式.但对于二次三项式 x2+2xa-3a2,就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式x2+2xa-3a2中先加上一项2，使它 与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去2，整个式子的值不变，于是有： x2+2xa-3a2=x2+2xa+a2）-a2-3a2=(x+a2-4a2=(x+a2-(2a2=(x+3ajx-a 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”， 利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：a2-6a+8: (2)若x2-2xy+2y2-2y+1=0,求x的值. 4/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 31.阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为(x+a的形式，但对于二次三项式 x2+2ax-8a2,就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax-8a2中先加上一项a2,使其成为完 全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变.于是有： x2+2ax-8a2=x2+2ax-8a2+a2-a2 =(x2+2ax+a2）-8a2-a2 =(x+a2-9a2 =(x+a+3a(x+a-3a =(x+4a)(x-2a) 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法。 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式x2+2x-3m2分解因式： (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式x2-6x-16因式分解，并直接写出使等式x2-6x-16=0成立的x的 值. 32.阅读与思考： “配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式. 巧妙地运用配方法能对一些多项式进行因式分解， 例如：x2+4x-5=x2+4x+22-22-5=(x+2)2-9=(x+2)2-32 =(x+2+3)(x+2-3 =x+5)(x-1). (1)运用配方法将多项式进行因式分解：x2-8x-9; (2)试说明多项式x2-6x+10的值总是一个正数： 考点05配方法因式分解 33.对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a的形式，这样的二次三项式 称为“完全平方式”.但对于二次三项式x2+2xa-3a,就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项 式x2+2xa-3a2中先加上一项，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去2，整个式子的值不变， 于是有：x2+2xa-3a2=x2+2xa+a2-a2-3a2=(x+a)-4a2=(x+a)-(2a=(x+3a(x-a 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配 方法”.请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：a2-6a+8; (2)若2x2+4xy+3y2-6y+9=0,求x的值. 34.阅读与思考 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几 个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在 因式分解、最值问题中有着广泛的应用， 例如：①用配方法因式分解： x2+2x-3=(x2+2x+1-1-3=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2=x+3)(x-1): ②求代数式x2-6x+11的最小值： x2-6x+11=x2-6x+9-9+11=（x-3+2, :(x-3)是非负数，即(x-3)≥0， (x-3)+2≥2，则代数式.x2-6x+11的最小值是2. 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：x2+4x-12: (2)求x2+8x+12的最小值： 35.阅读材料： 用配方法因式分解：a2+6a+8. 解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4). 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：a2+4a+ (2)用配方法因式分解：a2-24a+143。 36.阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道："我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字 母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式， 再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法. 例如：分解因式x2+2x-3. 解：原式=x2+2x+1-1-3=(x+1)2-4=x+12-22 =(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) 【材料2】因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1 解：将x+y看成一个整体，设x+y=m, 则原式=m2+2m+1=(m+12,再将m=x+y代入，得：原式=(x+y+2. 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2-6x+8; (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：(a+b)(a+b-4)+4: 6/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 37.阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质 增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用. 例1：因式分解：a2+6a+8 解：原式=a2+6a+9-1=(a+3-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4) 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2利用配方法求M的最小值。 解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1+1 (a-b)20,(b-1≥0 当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：x2-16x+60: (2)求代数式-x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 38.阅读：分解因式x2+2x-3 解：原式=x2+2x+1-1-3 =x2+2x+1-4 =(x+1)2-4 =(x+1+2(x+1-2) =(x+3)(x-1) 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”， 此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)4a2+4a-15; (2）m+m2n2+n4 39.【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法 叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8.②求x2+6x+11的最小值， 解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1(a+3+1)=(a+2)(a+4) 解：原式=x2+6x+9+2=(x+3)2+2,(x+3≥0，.(x+3)+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2. 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12ab+32b2 (2)用配方法求x2+8x+15的最小值。 40.【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8.②求x2+6x+11的最小值。 解：原式=a2+6a+9-1=(a+32-1=(a+3-1(a+3+1)=a+2)(a+4) 解：原式=x2+6x+9+2=(x+32+2,(x+3)2≥0，.(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2. 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：a2-12a+32, (2)用配方法求x2+8x+17的最小值. (3)用配方法求代数式4x2+4x+5的最小值. 考点06因式分解与图形面积 41.如图①是一个长为4b、宽为☑的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长 方形拼成一个“回字形”正方形（如图②）. b bb ① ② ③ (1)图②中的阴影部分的面积为_：（用含a,b的代数式表示） (2)观察图②请你写出(a+b)2、(a-b)、ab之间的等量关系是： 3)若x+y=7,y= 4 4,求xy的值； (4)实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解.如图③，因式分解：a2+4ab+3b2= 42.在六年级下册学习了“完全平方公式”和八年级上册又学习了用“完全平方公式”因式分解后，小明进一步 深入研究了问题：已知a+b=4,ab=3,在不求a,b的值的情况下，求出a2+b2的值.小明的具体做法如 下： a2+b2=a2+2ab+b2-2ab =(a+b2-2ab =42-2×3 =10 请参照上述小明的方法解决下列问题： (1)若a+b=5,ab=2,则a2+b2=_ ；(直接填写最后的结果) (2)若x满足(x-1)(7-x=4,请求出(x-1)+(7-x)的值： (3)现有ABCD,EFGH两个正方形纸片，如图1，使正方形纸片ABCD的顶点B与正方形纸片EFGH的顶 点E重合，且使A,B(E),F在同一条直线上，点H在正方形纸片ABCD的BC边上，取AF的中点P,连接 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DP,GP;如图2，使正方形纸片ABCD的顶点B与正方形纸片EFGH的顶点F重合，顶点E在边AB上， EH,GH的延长线分别与正方形纸片ABCD的边CD,AD相交于点M,N.己知这两个正方形纸片的边 长之和为6，图1中阴影部分PGHCD的面积为17，请求出图2中阴影部分HMDN的面积 图1 图2 43.图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： m m n 图① 图② (1)用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为_ (2)如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为mcm的大正方形，2块是边长为ncm 的小正方形，5块是长为mcm、宽为ncm的全等的小长方形 ①观察图形，代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为- ②若阴影部分图形的面积为58cm?,大长方形纸的周长为42cm,求图②中空白部分图形的面积， 44.如图1，正方形ABCD是由两个长为Q、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的， E H AD M D M b F P G N C 图1 图2 (1)利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出(a+b)、a+bB、ab之间的关系式，这个关系式是 (2)若将正方形EFGH的边FG、GH分别与图1中的PG、MG重叠，如图2所示，已知PF=8,NH=32, 长方形PBNG的面积等于8O,且PG>GN,求正方形APGM与正方形GNCQ的面积之差， 45.综合与实践 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般 好，隔裂分家万事非.”深刻阐释了代数与几何的辩证关系.请你利用数形结合的思想解决以下数学问题。 b b Q 图1 图2 (1)根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式：-。 (2)将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为α厘米的大正方形，2块是边长 为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的完全相同的小长方形，且a>b. ①观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为- ②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积. 46.通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式， b a a 高 长 宽 ① ② ③ (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若(a+b)2=9,a-b=1,求ab的值： (2)正方形ABCD、正方形AEFG如图②所示方式摆放，边长分别为x、y.若x2+y2=74,BE=2,求图中 阴影部分的面积： (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式.图③是由2个正方体和6 个长方体拼成的一个大正方体，请直接写出一个恒等式：-；注：长方体体积=长×宽×高 4已知a+b=4,6=3,利用(3)中的恒等式求口+b的值。 2 47.【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长 方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用含α，b 的等式表示)： 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (1)已知4m2=12+n2,2m+n=4,则2m-n的值为 (2)计算：20242-2025×2023； 【拓展】计算：1002-992+982-972+…+42-32+22-12. 10/11 专题02 因式分解相关压轴题分类训练 （6种类型48道） 考点01 利用因式分解求参数 考点02 错解还原 考点03 实数范围内因式分解 考点04 添项法和拆项法 考点05 配方法因式分解 考点06 因式分解与图形面积 考点01 利用因式分解求参数 1．已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 2．如果是的一个因式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，代入求解即可． 【详解】解：若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，即： ， ， ， ， 故答案为：． 3．若多项式可分解为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；通过整式的乘法展开，并比较系数，求出a和b的值，再求和即可． 【详解】解：由得，与多项式比较系数，得： ， 解得：， ∴； 故答案为3． 4．若可分解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，通过将因式分解形式展开，比较多项式对应项的系数，建立方程求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴，； 解得，； ∴； 故答案为： 5．若可分解为，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查因式分解求参数，将展开，根据对应项相同，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：7． 6．若多项式可分解为则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 7．已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用多项式乘多项式运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故，， 则． 故答案为：1． 8．已知，则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，多项式相等的条件，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键． 已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件即可求出m与n的值． 【详解】， 又， ， 解得． 故答案为：6；3． 考点02 错解还原 9．甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 分解因式时指将一个多项式在实数范围内分解成几个因式的积的形式，该题运用十字相乘的方法，甲看错了的值，这意味着等于甲分解的两个因式乘积的常数项，而乙看错了的值，这意味着等于乙分解的两个因式乘积的一次项系数，据此得到正确的分解因式的结果． 【详解】解：甲乙完成因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， 那么， 而乙看错了的值，分解的结果为， 那么， 因此原来的二次三项式为， 因式分解为． 故答案为：． 10．观察对话并填空． 上述对话告诉我们：在因式分解时， ．正确的结果应是 ． 【答案】 必须进行到每一个因式都不能分解为止 【分析】本题考查因式分解，掌握用平方差公式分解因式是解题的关键，注意分解因式必须进行到每一个因式都不能分解为止． 先用平方差公式分解得到，再用提公因式法分解即可求解． 【详解】解： ， ∴上述对话告诉我们：在因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止， 正确的结果应是 故答案为：必须进行到每一个因式都不能分解为止；． 11．在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 12．两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是 ． 【答案】 【分析】该题考查了整式乘法和因式分解，根据第一个学生的分解结果，常数项正确，得出，根据第二个学生的分解结果，一次项系数正确，得出，从而得到正确的二次三项式，再因式分解． 【详解】解：设正确的二次三项式为． 由第一个学生因式分解的结果，由于看错了一次项系数，但常数项正确，故，． 由第二个学生因式分解的结果 ，由于看错了常数项，但一次项系数正确，故，． 因此正确的二次三项式为， 故． 故答案为：． 13．在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的概念及完全平方公式．甲同学看错常数项但一次项系数正确，乙同学看错一次项系数但常数项正确，分别从两者的因式分解结果中求出正确的a和b，再对正确多项式进行因式分解． 【详解】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 14．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．先根据分解因式时，甲看错了9，分解结果为，求出，再分解因式即可． 【详解】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为， ∴在中，是正确的， ∴． 故答案为：． 15．对于某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了常数项将其分解为，而乙同学因看错了一次项将其分解为． (1)请求出正确的一次项系数和常数项； (2)写出原多项式，并将此二次三项式进行正确的因式分解． 【答案】(1)一次项系数为，常数项为 (2)原多项式为，因式分解结果为 【分析】本题考查了因式分解以及多项式的乘法． （1）甲同学看错常数项，因此其分解中的一次项系数正确；乙同学看错一次项，因此其分解中的常数项正确，通过展开两人的分解式，分别得到正确的一次项系数和常数项，从而确定原多项式； （2）根据提公因式与完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：甲同学的分解：， ∵甲看错常数项， ∴一次项系数正确， 乙同学的分解：， ∵乙看错一次项， ∴常数项正确． （2）由（1）可得原多项式为， 因式分解：． 16．在将因式分解时，小明看错了的值，分解得；小红看错了的值，分解得．请你把进行正确的因式分解． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，掌握公式法、能根据乘法与因式分解的关系确定a、b的值是解决本题的关键．利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小明、小红没有看错的值确定a、b，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解：， ∵小明看错了的值， ∴； 而， ∵小红看错了的值， ∴． ∴ ． 考点03 实数范围内因式分解 17．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，通过令二次表达式等于零，解关于x的二次方程，利用求根公式得到根，然后写出因式分解形式． 【详解】解：令， ∴， 则， 当时，， 当时，， 所以根为，， 因此，． 故答案为：． 19．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式进行因式分解，解题的关键是利用求根公式求出二次三项式对应的方程的根，再根据因式分解的方法进行分解． 先将二次三项式视为关于的一元二次方程，求出其根，再根据“若的根为，则”进行因式分解． 【详解】解：对于，将其看作关于的方程， 由求根公式得： ． 则 ． 故答案为：． 20．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 21．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 利用配方法将二次三项式配方，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 22．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内分解因式．根据因式分解的意义，在实数范围内进行因式分解，其结果必须是几个整式的积．在实数范围内不能再分解． 用完全平方公式分解后，继续在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 23．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，则原式变为， 所以． 再把代回，得到． 再将分解，得． （2）解：设，则原式变为． 所以． 再把代回，得到． 进一步分解，，， 所以． 考点04 添项法和拆项法 25．请利用拆项法分解因式完成下列题目： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键． （1）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式． 例如，分解因式，可将拆分成，，两项，原多项式变为．然后恰当分组，对每组分别提取公因式后原式变形为___________，再提取公因式，最终分解为___________． (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把因式分解． (3)问题拓展 若多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数）． 因为，与对应． 所以，，，在拆项分组过程中，要将拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解． 试一试，把因式分解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解. （1）根据题干过程作答即可； （2）仿照（1）作答即可； （3）仿照题干所给示例得到，，，合理拆项计算即可 【详解】（1）解： ∴对每组分别提取公因式后原式变形为，再提取公因式，最终分解为 故答案为：， （2） （3）将多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数） 因为，与对应， 所以，，， 所以， 即或或或 因为 所以 则可分为， 即. 27．【阅读材料】因式分解方法除了有提公因式法和公式法外，还有分组分解法和添项法．“分组分解法”是将多项式适当分组，使每组能分解，再用提公因式法或公式法因式分解． 例如： “添项法”是添加并减去一个合适的项，创造分组或用公式的条件． 例如： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分解因式，根据分组分解法和添项法进行计算即可求解． （1）先根据“添项法”原式添加，再分组利用完全平方公式因式分解，即可求解； （2）将化为，进而根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． （3）先分组，再根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 28．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 29．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． (1)利用“配方法”分解因式：； (2)若，求和的值； (3)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：小明同学仿照上面的方法对进行因式分解，过程如下，请你帮助小明补全横线上的内容，并完成后续的因式分解过程． ______________________ （__________） ___________ 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）利用配方法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性进行求解即可； （3）利用配方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴， ∴； （3）解： ． 30．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了配方法因式分解： （1）加1减1即可配方进行因式分解； （2）将分为，再分组因式分解，根据完全平方式的非负性求出x和y的值，从而求得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 31．阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． （1）根据示例，先利用添项法把配成完全平方式，再分解因式即可， （2）根据示例，可得，再根据积等于0，则必有因式等于即可得出的值． 【详解】（1）解： ． ． （2） ． 所以，使等式，则或， 故或． 32．阅读与思考： “配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用‘配方法’能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； 【答案】(1) (2) 见解析 【分析】本题考查了因式分解、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）结合乘法公式解题即可； （2）对式子配方即可证明． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴多项式的值总是一个正数． 考点05 配方法因式分解 33．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简、因式分解、“配方法”的应用，熟练掌握利用“配方法”得到完全平方式是解题的关键． （1）通过“配方法”得到完全平方式，进行因式分解即可； （2）通过将分成与的和，得到两个完全平方式，根据完全平方式的值大于等于0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于， 则， 解得， 因此的值为． 34．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解： (2)求 的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法的应用． （1）通过配方法将二次三项式化为完全平方式与常数差的形式，再利用平方差公式因式分解； （2）通过配方法将代数式化为完全平方式与常数的和，利用平方非负性求最小值． 【详解】（1）解： （2）解： ∵ ∴ ∴ 代数式的最小值为 35．阅读材料： 用配方法因式分解：． 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：________． (2)用配方法因式分解：． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了完全平方式，配方法，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，即添上一个常数项为； （2）理解题意，模仿做题过程，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故是完全平方式， 即添上一个常数项为； （2）解：依题意， ． 36．阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 解：原式 【材料2】因式分解： 解：将看成一个整体，设， 则原式，再将代入，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握公式法和整体思想． （1）配方为完全平方式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用整体思想和完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：设， 则原式 将代入得， 原式． 37．阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 【答案】(1) (2)时，代数式有最大值 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． （1）原式化为，利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可； （2）先添括号与负号，将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最大值即可． 【详解】（1）原式 ； （2） ， ， ，即， 时，有最大值． 38．阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 39．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式，平方差公式，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 即的最小值为． 40．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：． (2)用配方法求的最小值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)1 (3)4 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； （3）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ，即的最小值为． （3）解： ， ， ，即的最小值为4． 考点06 因式分解与图形面积 41．如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图）． (1)图②中的阴影部分的面积为_____；（用含的代数式表示） (2)观察图②请你写出、、之间的等量关系是_____； (3)若，，求的值； (4)实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图③，因式分解：______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据阴影部分是一个边长为的正方形即可求解； （）根据阴影部分的面积又可以看作大正方形的面积减去四个长方形的面积，再结合（）的结果即可求解； （）利用（）的等量关系解答即可； （）根据图形解答即可求解； 本题考查了完全平方公式及因式分解，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图②可知，阴影部分是一个边长为的正方形， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：； （2）解：由图②可知，阴影部分的面积又可以看作大正方形的面积减去四个长方形的面积， 即阴影部分的面积为， 由（1）知：阴影部分的面积为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； （4）解：由图可得，， 故答案为：． 42．在六年级下册学习了“完全平方公式”和八年级上册又学习了用“完全平方公式”因式分解后，小明进一步深入研究了问题：已知，在不求的值的情况下，求出的值．小明的具体做法如下： 请参照上述小明的方法解决下列问题： (1)若，，则_________；（直接填写最后的结果） (2)若满足，请求出的值； (3)现有，两个正方形纸片，如图1，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，且使在同一条直线上，点在正方形纸片的边上，取的中点，连接；如图2，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，顶点在边上，，的延长线分别与正方形纸片的边，相交于点，．已知这两个正方形纸片的边长之和为6，图1中阴影部分的面积为17，请求出图2中阴影部分的面积． 【答案】(1)21 (2)28 (3)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据，进行求值即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 根据，图1中阴影部分的面积为17，求出，，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解： ； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则， ， 即， 为的中点， ， 图1中阴影部分的面积为17， ， ， ， ， 图2中阴影部分的面积为： ． 43．图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： (1)用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． (2)如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 【答案】(1) (2)①；②图②中空白部分图形的面积为 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是求出的长． （1）观察图形将图①中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图①中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ②根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． 【详解】（1）解：由题意知，将图①中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图①大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：①由图②可知，， 故答案为：． ②由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图②中空白部分图形的面积为． 44．如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)384 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解正方形的面积，设，则，而，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设正方形的边长为， 则 ， 设，则：正方形的边长为， ∵， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 45．综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． (1)根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式： ． (2)将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)①；②60平方厘米 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）大正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，据此用两种方法表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）①大长方形面积等于其长乘以其宽，大正方形面积等于四个正方形面积加上五个长方形面积，据此用两种方法表示出大长方形的面积即可得到答案；②根据阴影部分的面积可以推出，根据大长方形的周长可推出，再由完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：图1中大正方形的边长为，则其面积为， 图1中大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，则其面积为， ∴； （2）解：①图2的最大的长方形面积为，其面积又为， ∴； ②∵阴影部分的面积为80平方厘米， ∴， ∴， ∵大长方形纸板的周长为48厘米， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为60平方厘米． 46．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为、．若，，求图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请直接写出一个恒等式： ；注：长方体体积长宽高 (4)已知，，利用（3）中的恒等式求的值． 【答案】(1)2 (2)12 (3) (4)14 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，利用数形结合的思想求解是解题的关键； （1）用两种方式表示出大正方形面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，可得，，则，再根据结合（1）所求求出，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方体体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）解：由图①可知，大正方形面积为或， ， ∵，， ∴， ∴ （2）解：∵四边形和都是正方形， ，， ∵ ， ， 又∵， ， ∴， ， ∴ ， 即阴影部分的面积为； （3）解：由图③得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4）解：由（3）可得， ， ∵，， ∴， ∴． 47．【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）3；（2）1；【拓展】5050 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 【探究】根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； 【应用】（1）根据平方差公式进行计算即可求解．（2）根据平方差公式进行计算即可求解； 【拓展】根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1）∵， ∴． ，且， ． 故答案为：3 （2） ． 【拓展】原式 ． 48．材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到． 材料二：已知，求的值． 解：． 请你根据上述信息解答下面问题： (1)写出图2中所表示的数学等式____________． (2)根据图4，分解因式：____________． (3)已知，求的值． (4)如图，在长方形中，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】解题思路是通过“几何面积的两种表示方法”推导代数公式，结合“换元法”和“完全平方公式变形”求解代数式或图形面积，核心是利用“几何与代数的对应关系”和“公式变形技巧”． 【详解】（1）图2是边长为的正方形，面积为；同时可拆分为个小图形的面积和（、、各个，、、各个），即．因此等式为： （2）图4是长为、宽为的长方形，面积为； 同时该长方形面积可拆分为（1个、3个、2个）． 因此：． （3）设，，则，． 根据完全平方公式变形：． （4）由题意：，， 设，，则，且长方形的面积． 阴影部分是两个正方形的面积和（）， 根据完全平方公式：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $