第2章 2.5.1 圆的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“圆的标准方程”核心知识点，从圆的定义出发推导标准方程，衔接点与圆的位置关系判断，再通过直接法、待定系数法、几何法构建求圆方程的完整学习支架，形成定义、方程、应用的递进脉络。 该资料以李白《古朗月行》创设情境，引导学生用数学眼光观察现实中的圆，推导过程注重逻辑推理培养数学思维，提供多种解题方法结合练习，助力学生用数学语言表达问题，课中辅助分层教学，课后帮助巩固查漏。

2.5.1　圆的标准方程 学习目标　1.掌握圆的定义及标准方程.2.会用待定系数法、几何法求圆的标准方程，并能准确判断点与圆的位置关系. 导语 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘. 又疑瑶台镜，飞在青云端. 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的直角坐标方程如何表示？ 一、圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示　平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的要素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题2　已知圆心为C(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示　设圆上任意一点P(x，y)，则|PC|=r，由两点间的距离公式，得=r， 两边平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2. 知识梳理 1.圆的定义 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合. 2.圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 注意点： (1)当圆心在原点O(0，0)，半径长r=1时，圆的方程为x2+y2=1，称为单位圆. (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. (3)圆上的点的坐标都满足圆的标准方程，满足圆的标准方程的点都在圆上. 例1　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为 B.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为b C.圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为 D.圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(2，2)，半径为 答案　AC 解析　圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为，A正确； 圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为|b|，B错误；圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为，C正确； 圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(-2，-2)，半径为，D错误. (2)方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圆(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x-y=0对称 D.关于直线x+y=0对称 答案　D 解析　易得圆心C(-a，a)，即圆心在直线y=-x上，所以该圆关于直线x+y=0对称. 反思感悟　通过圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)确定其圆心为(a，b)，半径为r. 跟踪训练1　圆C：(x-1)2+y2=1的圆心到直线x-y+a=0的距离为，则a的值为(　　) A.-1或-3 B.-1或3 C.1或-3 D.1或3 答案　C 解析　圆心的坐标为(1，0)， 由圆心到直线x-y+a=0的距离为， 得=， 即|1+a|=2，解得a=1或a=-3. 二、点与圆的位置关系 问题3　点M0(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件又是什么？ 提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径. 知识梳理　点与圆的位置关系及判断方法 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d=|PC|=. 位置关系 几何法(利用距离判断) 代数法(利用方程判断) 点在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆内 d<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 例2　(1)已知a，b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2+y2=8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 答案　A 解析　由题意，得a+b=1，ab=-， ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8， ∴点P在圆C内. (2)已知点P(2，1)和圆C：+(y-1)2=1，若点P在圆C上，则实数a=　　　　.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　-2或-6　a<-6或a>-2 解析　当点P在圆C上时， +(1-1)2=1， 解得a=-2或a=-6. 当点P在圆C外时，+(1-1)2>1， 解得a<-6或a>-2. 反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 跟踪训练2　若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则a的取值范围为　　　　　　　　.  答案　a>或a<- 解析　∵P在圆外，∴(5a+1-1)2+(12a)2>1， 解得a>或a<-. 三、求圆的标准方程 角度1　直接法求圆的标准方程 例3　(课本例1) 　求以C(3，5)为圆心且经过原点O的圆的方程. 解　圆的半径r=|CO|==， 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=34. 例3　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(-5，-3)的圆的标准方程为　　　　　　　　.  答案　(x+5)2+(y+3)2=25 解析　∵圆心坐标为(-5，-3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25. (2)以两点A(-3，-1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　　.  答案　(x-1)2+(y-2)2=25 解析　∵AB为直径， ∴AB的中点(1，2)为圆心， |AB|==5为半径， ∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 反思感悟　直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离及点到直线的距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 角度2　待定系数法求圆的标准方程 例4　已知圆P过点A(1，0)，B(4，0)，C(6，-2)，求圆P的标准方程. 解　设圆P的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2， 则解得 故圆P的标准方程为 +=. 反思感悟　待定系数法求圆的标准方程的策略 设出圆的标准方程的解析式，根据条件列关于a，b，r的方程组解出系数得到圆的方程. 角度3　几何法求圆的标准方程 例5　求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程. 解　方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则有解得 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 方法二　(几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，-3)， 半径为r==5. 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 反思感悟　几何法求圆的标准方程的策略 利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程. 跟踪训练3　过点A(1，-1)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是(　　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 答案　C 解析　方法一　设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则有 解得 即圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 方法二　因为kAB==-1，线段AB的中点坐标为(0，0). 所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x. 由解得 所以圆心坐标为(1，1)，半径为2， 所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)点与圆的位置关系的判断. 2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法. 3.常见误区：几何法求圆的标准方程出现漏解情况. 1.以(2，-1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　　) A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y+1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=16 D.(x+2)2+(y-1)2=16 答案　C 2.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 答案　A 解析　方法一　(直接法) 设圆的圆心为C(0，b)，则=1， ∴b=2，∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1. 方法二　(数形结合法) 作图(如图)，根据点(1，2)到圆心的距离为1， 易知圆心为(0，2)， 故圆的标准方程是 x2+(y-2)2=1. 3.已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围为　　　　　　.  答案　[0，1) 解析　由题意知 即解得0≤a<1. 4.若方程(x-m)2+(y-2)2=m2-m-2表示圆的标准方程，则m的取值范围是 　. 答案　(-∞，-1)∪(2，+∞) 解析　由m2-m-2>0， 得m<-1或m>2. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.圆(x-1)2+(y+)2=1的圆心坐标是(　　) A.(1，) B.(-1，) C.(1，-) D.(-1，-) 答案　C 解析　由圆的标准方程(x-1)2+(y+)2=1，得圆心坐标为(1，-). 2.圆心为(1，2)，且过点(0，0)的圆的标准方程为(　　) A.(x+1)2+(y+2)2= B.x2+y2=5 C.(x-1)2+(y-2)2=5 D.x2+y2= 答案　C 解析　因为圆的圆心为(1，2)，且过点(0，0)，则圆的半径r==，故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5. 3.若直线2x-5y+a=0平分圆(x-2)2+(y+1)2=9的周长，则a等于(　　) A.9 B.-9 C.1 D.-1 答案　B 解析　因为直线2x-5y+a=0平分圆(x-2)2+(y+1)2=9的周长，所以直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2，-1)，即2×2-5×(-1)+a=0，解得a=-9. 4.已知圆(x-a)2+(y-1)2=2a(0<a<1)，则原点O在(　　) A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 答案　B 解析　由圆的标准方程(x-a)2+(y-1)2=2a，知圆心为(a，1)， 则原点与圆心的距离为. ∵0<a<1，∴>=r，即原点在圆外. 5.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限，则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　圆的圆心为(-a，-b)，∵直线经过第一、二、四象限，∴a<0，b>0，即-a>0，-b<0，∴圆心在第四象限. 6.(多选)已知圆M：(x-4)2+(y+3)2=25，则下列说法正确的是(　　) A.圆M的圆心为(4，-3) B.圆M的圆心为(-4，3) C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的线段长为6 答案　ACD 解析　由圆M：(x-4)2+(y+3)2=52， 得圆心为(4，-3)，半径为5，则A，C正确，B错误； 令x=0，得y=0或y=-6，线段长为6，故D正确. 7.(5分)与圆C：(x-1)2+y2=36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为　　　　　　.  答案　(x-1)2+y2=18 解析　圆C的半径R=6，设所求圆的半径为r， 则=，所以r2=18， 又圆心为(1，0)，则所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=18. 8.(5分)已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的标准方程为　　　　　.  答案　(x-2)2+(y+2)2=1 解析　两圆关于直线x-y-1=0对称，则两圆半径相等且圆心关于直线对称，圆C1的圆心为(-1，1)，设圆C2的圆心为(x，y)， 则解得 则圆C2的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=1. 9.(10分)已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；(5分) (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.(5分) 解　(1)∵点M(6，9)在圆N上， ∴(6-5)2+(9-6)2=a2，∴a2=10. 又a>0，∴a=. (2)由已知，得圆心N(5，6). ∵|PN|==， |QN|==3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴3<a<，即a的取值范围为(3，). 10.(10分)已知点A(1，-2)，B(-1，4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(5分) (2)过点A，B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.(5分) 解　(1)当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小. 即AB的中点(0，1)为圆心，半径r=|AB|=， 则圆的标准方程为x2+(y-1)2=10. (2)方法一　AB的斜率为k=-3，则AB的垂直平分线的方程是y-1=x，即x-3y+3=0， 又圆心在直线2x-y-4=0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3，2)， r=|AC|==2， 故所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 方法二　设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则解得 故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20. 11.(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是(　　) A.x2+= B.x2+= C.x2+= D.x2+= 答案　CD 解析　由题可知，圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心为(0，b)，半径为r，则rsin=1，rcos=|b|，解得r=，|b|=，即b=±.故圆的方程为x2+=. 12.(多选)设有一组圆Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 答案　ABD 解析　圆心坐标为(k，k)，即圆心C始终在直线y=x上，A正确； 令(3-k)2+(0-k)2=4， 化简得2k2-6k+5=0， ∵Δ=36-40=-4<0，∴方程2k2-6k+5=0无实数根，B正确； 由(2-k)2+(2-k)2=4， 化简得k2-4k+2=0， ∵Δ=16-8=8>0，∴方程k2-4k+2=0有两个不相等的实数根， ∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确. 13.(5分)若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径为　　　　　　.  答案　1或5 解析　根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y=x或y=-x上， 当圆心C在y=x上时，设圆心C的坐标为(a，a)， 此时圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2， 将(1，2)代入可得(1-a)2+(2-a)2=a2，即a2-6a+5=0，解得a=1或a=5， 此时圆的半径为1或5； 当圆心C在y=-x上时， 设圆心C的坐标为(a，-a)， 此时圆的标准方程为(x-a)2+(y+a)2=a2， 将(1，2)代入可得(1-a)2+(2+a)2=a2，即a2+2a+5=0，方程无解， 综上所述，圆的半径为1或5. 14.(5分)在2 000多年前，墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆上的各点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|=2，其中O为坐标原点，若M，则|PM|的最小值为　　　　.  答案　1 解析　动点P的轨迹是以O为圆心， 2为半径的圆，即x2+y2=4， 而|OM|==1<2， 故点M在圆内， 所以当O，M，P三点共线时，|PM|最小， 即|PM|min=2-|OM|=2-1=1. 15.(5分)曲线y=-(x≤0)的长度为　　　　.  答案　π 解析　由y=-得x2+y2=4(x≤0，y≤0)， 所以曲线y=-(x≤0)是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧长， 所以曲线y=-(x≤0)的长度是×4π=π. 16.(12分)已知某400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧.(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m) (1)求每条直道的长度；(4分) (2)建立平面直角坐标系xOy，写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式.(8分) 解　(1)依题意知，一个半圆弧的长为36π m， 所以每条直道的长度为 (400-2×36π)÷2=(200-36π)m. (2)如图，设两个半圆的圆心分别为A，B，AB的中点为O， 以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(18π-100，0)，B(100-18π，0)， 所以圆A的方程为(x-18π+100)2+y2=1 296， 圆B的方程为(x+18π-100)2+y2=1 296， 所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为 y= 学科网（北京）股份有限公司 $