7.3.1 三角函数的周期性（题型专练）数学苏教版必修第一册

7.3.1 三角函数的周期性 题型一 求正弦（型）函数的最小正周期 1．（19-20高一下·广东东莞·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．6 D． 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移（单位：厘米）和时间（单位：秒）的函数关系是，则摆球往复摆动一次所需的时间是 秒． 3．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期是 ． 4．（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数的最小正周期是 . 题型二 求含sinx的函数的最小正周期 1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数，则为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 2．（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期是 ． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的周期为 ． 4．（24-25高一下·辽宁·期中）在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波函数为，则的最小正周期为 . 题型三 由正弦（型）函数的周期性求值 1．．（22-23高一下·江苏扬州·开学考试）已知函数满足：①，；②的值域为，则 ．（写出满足要求的一个函数即可） 2．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则 3．（24-25高一下·山西运城·阶段练习）若函数的最小正周期为，则 ． 题型四 求余弦（型）函数的最小正周期 1．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的最小正周期为（    ） A．4 B． C． D．1 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 ． 题型五 求含cosx的函数的最小正周期 1．（24-25高一下·上海长宁·期中）三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 2．（2024·上海宝山·一模）函数的最小正周期为 . 题型六 由余弦（型）函数的周期性求值 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 2．（21-22高二下·甘肃临夏·期末）函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知函数的周期不大于2，则正整数k的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4.（24-25高一上·全国·课后作业）设，则等于（   ） A． B． C．0 D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则的值等于（　　） A． B． C． D． 题型一 正弦、余弦（型）函数周期性 1．（2025高一·全国·专题练习）函数的最小正周期（    ）． A．与有关，与无关 B．与有关，与有关 C．与无关，与无关 D．与无关，与有关 2．（19-20高一下·福建福州·阶段练习）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（20-21高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列函数，最小正周期为的有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）下列函数中，以为周期的函数有（    ） A． B． C． D． 题型二 已知三角函数值求角 1．（22-23高一下·辽宁鞍山·阶段练习）若，，则x的值为（    ） A．或 B． C． D． 2．（20-21高三下·江苏常州·开学考试）函数的最小正周期T= . 3．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）已知 (1)求函数的最小正周期； (2)求，且，求角的取值组成的集合. 题型三 分段函数的周期性问题 1．（21-22高一上·全国·课后作业）设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（20-21高一·全国·课后作业）设函数是以为最小正周期的周期函数，且当，时，；当，时，，则（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高一下·上海嘉定·期中）已知函数的最小正周期不小于2，则正整数的取值是 . 2．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是 ， ．（只需写出一组） 3．（21-22高三上·贵州贵阳·阶段练习）高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号表示不超过x的最大整数，如：．若函，则的值域为 ． 4．（20-21高一下·上海·课后作业）设函数的周期在区间内，则可能的值为 . 5．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数（k为常数）的最小正周期为，求实数k的值． 6．（2023高一上·江苏·专题练习）求下列函数的周期： (1)，； (2)，； (3)，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3.1 三角函数的周期性 题型一 求正弦（型）函数的最小正周期 1．（19-20高一下·广东东莞·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数最小正周期公式求解即可. 【详解】函数的最小正周期为. 故选:D 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移（单位：厘米）和时间（单位：秒）的函数关系是，则摆球往复摆动一次所需的时间是 秒． 【答案】 【分析】由周期的概念求解即可. 【详解】摆球往复摆动一次所需要的时间即为函数的最小正周期， 根据正弦型函数的性质得出． 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数周期公式，直接求出最小正周期. 【详解】由公式得， 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数的最小正周期是 . 【答案】2. 【分析】根据正弦型函数的周期公式即得. 【详解】由知其最小正周期为. 故答案为：2. 题型二 求含sinx的函数的最小正周期 1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数，则为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 【答案】C 【分析】根据周期函数的定义判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确D错误. 故选：C 2．（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的周期为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质及函数图象的变换判断即可. 【详解】因为正弦函数的最小正周期为， 的图象是由的图象关于轴翻折，再向上平移一个单位得到， 翻折和平移时周期不变，所以的周期为． 故答案为： 4．（24-25高一下·辽宁·期中）在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波函数为，则的最小正周期为 . 【答案】 【分析】利用三角函数的周期性质，来求周期即可. 【详解】设函数，，， 其最小正周期分别，，，最小公倍数是， 所以的最小正周期为. 故答案为： 题型三 由正弦（型）函数的周期性求值 1．．（22-23高一下·江苏扬州·开学考试）已知函数满足：①，；②的值域为，则 ．（写出满足要求的一个函数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可知的周期为2，值域为，从而可得函数的解析式 【详解】因为，， 所以的周期为2， 因为的值域为， 所以函数（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 2．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则 【答案】 【分析】利用函数的周期为求解. 【详解】因为函数的周期为，且， 所以， . 故答案为： 3．（24-25高一下·山西运城·阶段练习）若函数的最小正周期为，则 ． 【答案】 【分析】根据周期性求出，即可求出解析式，代入求值即可. 【详解】因的最小正周期为，则，结合可得， 则，得. 故答案为： 题型四 求余弦（型）函数的最小正周期 1．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：B. 2．（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦型函数的周期公式计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故选：B 3．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的最小正周期为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据余弦函数的周期进行求解即可. 【详解】的最小正周期． 故选：A. 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 题型五 求含cosx的函数的最小正周期 1．（24-25高一下·上海长宁·期中）三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】利用函数周期的定义判断①②即可. 【详解】对于①，设，该函数的定义域为， 因为， 故函数是周期函数，①对； 对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 若函数是周期函数，设为该函数的一个周期， 则存在非零整数、，使得，，可得，所以，， 因为为无理数，而为有理数，故等式不成立， 所以函数不是周期函数，②错. 故选：C. 2．（2024·上海宝山·一模）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】应用余弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数，所以, 即函数的最小正周期为. 故答案为：. 题型六 由余弦（型）函数的周期性求值 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用余弦型函数的周期公式计算即得. 【详解】依题意，，因，则得. 故选：B. 2．（21-22高二下·甘肃临夏·期末）函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由周期求出，从而可求出，进而可求出. 【详解】因为函数的最小正周期为，，所以， 得， 所以． 故选：A 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知函数的周期不大于2，则正整数k的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据周期的公式求解分析即可. 【详解】由题设，, 又，正整数k的最小值为13. 故选：D 4.（24-25高一上·全国·课后作业）设，则等于（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】求出函数的周期，然后求出，利用周期性即可求和. 【详解】因为的最小正周期， 且，， ，． 所以， 所以. 故选：B． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的周期性，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由题意可得. ∵，，，， ，， ∴ ， ∴ . 故选：A. 题型一 正弦、余弦（型）函数周期性 1．（2025高一·全国·专题练习）函数的最小正周期（    ）． A．与有关，与无关 B．与有关，与有关 C．与无关，与无关 D．与无关，与有关 【答案】A 【分析】利用周期的定义求解，对于，可取特殊值检验． 【详解】当时，的最小正周期为； 当时，的最小正周期为，故的最小正周期与有关． 根据函数周期的定义或函数图像平移的知识，可知的最小正周期与无关． 故选：A． 2．（19-20高一下·福建福州·阶段练习）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接利用函数的周期性质的应用求出结果． 【详解】解：函数的最小正周期相当于函数的最小正周期与函数的最小正周期的最小公倍数． 故答案为． 故选：． 3.（多选）（20-21高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列函数，最小正周期为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合周期性的定义，对每个选项判断是否成立，从而可选出正确答案. 【详解】解:A：当时，，最小正周期为，所以A不正确; B：，因为，B正确； C：，因为，C不正确； D：，， 所以D正确. 故选:BD. 4．（多选）（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）下列函数中，以为周期的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用周期函数的定义，结合选项中的函数组成化简，即可逐一判断. 【详解】对于A，因，而，而，故A错误； 对于B，因，则函数的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为偶函数，则，其最小正周期为，故D错误． 故选：BC． 题型二 已知三角函数值求角 1．（22-23高一下·辽宁鞍山·阶段练习）若，，则x的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简即可结合余弦函数的性质求解. 【详解】由得， 所以 ,由于，故， 故选：C 2．（20-21高三下·江苏常州·开学考试）函数的最小正周期T= . 【答案】 【分析】由题可得，可判断是以为周期的函数，再讨论在和的单调性可得出结论. 【详解】 ， 是以为周期的函数， 当时，，函数单调递减， 当，，函数单调递增， 在内不存在小于的周期，是的最小正周期. 故答案为：. 3．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）已知 (1)求函数的最小正周期； (2)求，且，求角的取值组成的集合. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由的周期公式即可求解； （2）由，解方程即可求解即可. 【详解】（1）函数的最小正周期. （2），解得， 或，， 解得或，， ， 角的取值组成的集合为. 题型三 分段函数的周期性问题 1．（21-22高一上·全国·课后作业）设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】利用给定函数的性质，结合分段函数解析式代入计算作答. 【详解】因为是定义域为R且最小正周期为的函数，且， 所以. 故选：A 2．（20-21高一·全国·课后作业）设函数是以为最小正周期的周期函数，且当，时，；当，时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期为，转化，带入对应范围的解析式，即可得解. 【详解】，且当，时，， . 故选：A. 1．（20-21高一下·上海嘉定·期中）已知函数的最小正周期不小于2，则正整数的取值是 . 【答案】1 【分析】利用余弦函数的周期公式求解即可 【详解】解：因为函数的最小正周期不小于2， 所以（），得， 所以正整数的取值为1， 故答案为：1 2．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是 ， ．（只需写出一组） 【答案】 【分析】根据余弦函数的周期性当时，满足题意. 【详解】若，则， 当时，，， 故可取， 故答案为：，答案不唯一 3．（21-22高三上·贵州贵阳·阶段练习）高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号表示不超过x的最大整数，如：．若函，则的值域为 ． 【答案】 【分析】先求出的值，再根据高斯函数的定义即可求出答案. 【详解】当或时， ； 当时，； 故的值域为． 故答案为：. 4．（20-21高一下·上海·课后作业）设函数的周期在区间内，则可能的值为 . 【答案】26，27，28. 【分析】求出函数的周期，利用已知建立不等关系，即可得到结果. 【详解】由可知， 函数的周期为 ∴， ∴，又， ∴26，27，28. 故答案为：26，27，28. 5．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数（k为常数）的最小正周期为，求实数k的值． 【答案】 【分析】利用正弦型函数的周期公式列出方程，计算即得. 【详解】因为函数（k为常数）的最小正周期为， 所以，解得. 故实数的值为 6．（2023高一上·江苏·专题练习）求下列函数的周期： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），（2）中利用三角函数周期可求解，（3）根据周期函数定义结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意知：，所以：的周期为：， 故所求周期为：. （2）由题意知：，所以：的周期为：， 故所求周期为：. （3）由题意可得：， 根据函数周期的定义可得：的周期为. 又的图象可以看成将在轴下方的图象翻折到轴上方得到的， 故其最小正周期为，故所求周期为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$