精品解析：贵州省遵义市新蒲新区新蒲中学2024-2025学年九年级下学期第六次模拟数学试题

2025年初中学业水平第六次适应性考试 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 亚洲、欧洲、非洲和北美洲的最低海拔的数值如表：其中最低海拔的数值最大的大洲是（ ） 大洲 亚洲 欧洲 非洲 北美洲 最低海拔/ A. 亚洲 B. 欧洲 C. 非洲 D. 北美洲 2. 国风榫卯结构积木近来深受年轻人喜爱，其中一款陀螺积木由三块部件组成（如图）为保证陀螺旋转更加平稳且时间更长，应使陀螺最终结构呈中心对称图形，并且不为轴对称图形，则下列拼接方式合理的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统中有颗中高轨道卫星高度大约是21 500 000米．将数21 500 000用科学记数法表示为（　　）． A. B. C. D. 4. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料，采用一种真空烧结的方式，对模拟月壤进行烧结成型，由我国科学家自主研制．它采用的是榫卯结构的连接方式．如图所示是其中一种“月壤砖”，该“月壤砖”卯结构的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. 3x-4=0 B. x2-3x=0 C. x+3y=2 D. =3 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，若点E坐标为，则对应的点可能是（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 10. 如图，数轴上的点A与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 12. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.答题请用黑色笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上） 13. 二次根式有意义的条件是_______． 14. 割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补” ．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相 补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”， 也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的． 如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是 _______ 15. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了（n为非负整数）展开式各项的系数规律，称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图，两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数1记为，第2个数2记为，第3个数6记为，……，则______． 16. 在矩形中，点分别在边上，且．，则_______________． 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简． 解：原式．．．．．．第一步 ．．．．．．第二步 ．．．．．．第三步 ①小涵同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点． 若顶点在反比例函数的图象上，求的值； 连接，过点作交轴于点，求直线的函数解析式． 19. 美育，又称美感教育，可以培养和提高人感受美、鉴赏美、表现美和创造美的能力，深入地影响人的情感、想象、思想、意志和性格，对于塑造美好心灵具有重要作用．实验中学为践行美育培养，组织学生开展中国名画鉴赏活动．通过投票，学校最终确定鉴赏下面四幅画：A．《清明上河图》，B．《千里江山图》，C．《百骏图》，D．《富春山居图》．活动开始时，老师将这四幅画的名称分别写在四张相同的卡片上，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． （1）小北从中随机抽取一张，他抽到的卡片是B．《千里江山图》的概率为______； （2）小乐从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的名称后放回洗匀．小凯再从中随机抽取一张卡片，记录下卡片，上的名称请用画树状图或列表的方法，求小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率． 20. 如图，在菱形中，对角线，交延长线于E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求线段的长． 21. “路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 23. 如图，是的直径，是的弦，平分交于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 24. “樱花红陌上，邂逅在贵州”，为迎接贵州樱花文化旅游节，网络销售樱花节纪念品，该纪念品的进价是每个12元，经过一段时间的销售发现，该纪念品每天的销售量（个）与每个的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数关系式； （2）若要每天获得的销售利润最大，求该纪念品每个的售价是多少？最大利润是多少？ （3）根据物价部门规定，这种纪念品的售价每个不能高于38元．该商场决定每销售一个这种纪念品就捐款元（），捐款后发现，该商场每天销售这种纪念品所获利润随售价的增大而增大，求a的取值范围． 25. 在中，，，点是线段上的一个动点（不与点重合），连接，过点作的垂线，过点作交于点，连接． 探索发现： （1）如图1，当时，请你解答如下问题： ①线段的长为__________； ②判断线段和的数量关系，并说明理由； （2）设时，用表示出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平第六次适应性考试 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 亚洲、欧洲、非洲和北美洲的最低海拔的数值如表：其中最低海拔的数值最大的大洲是（ ） 大洲 亚洲 欧洲 非洲 北美洲 最低海拔/ A. 亚洲 B. 欧洲 C. 非洲 D. 北美洲 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较的实际应用，根据两个负数，绝对值大的反而小比较出四个负数的大小，即可判断求解，掌握有理数大小的比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴最低海拔的数值最大的大洲是欧洲， 故选：． 2. 国风榫卯结构积木近来深受年轻人喜爱，其中一款陀螺积木由三块部件组成（如图）为保证陀螺旋转更加平稳且时间更长，应使陀螺最终结构呈中心对称图形，并且不为轴对称图形，则下列拼接方式合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合． 【详解】解：A：既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意； B：不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C：是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D：既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别．掌握相关定义即可． 3. 我国的北斗卫星导航系统中有颗中高轨道卫星高度大约是21 500 000米．将数21 500 000用科学记数法表示为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握好科学记数法的使用方法和注意事项是关键． 用科学记数法表示数的形式为，其中，n为整数，逐一判断即可． 【详解】解：，只有选项C符合． 故选：C． 4. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料，采用一种真空烧结的方式，对模拟月壤进行烧结成型，由我国科学家自主研制．它采用的是榫卯结构的连接方式．如图所示是其中一种“月壤砖”，该“月壤砖”卯结构的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：某种型号的“月壤砖”的示意图，则其左视图是： 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方运算以及完全平方公式．根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方运算法则和完全平方公式一一计算判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、与，不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. 3x-4=0 B. x2-3x=0 C. x+3y=2 D. =3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程，故本选项符合题意； C．是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 8. 小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．用绿灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案． 【详解】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， 遇到绿灯的概率是， 故选：C． 9. 如图所示，若点E坐标为，则对应的点可能是（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点坐标的平移特征进行分析求解即可． 【详解】解：∵点E坐标为， ∴对应的点，可表示为将点E向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴对应的点可能是C点， 故选：C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点坐标的平移，理解平面直角坐标系的基本定义，熟悉在坐标系内平移变化的性质是解题关键． 10. 如图，数轴上的点A与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可得答案. 【详解】解：如图所示，， A、两边乘，不等号的方向改变，故A错误； B、两边都加3，不等号的方向不变，故B错误； C、两边都乘，不等号的方向不变，故C错误； D、两边都减，不等号的方向不变，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键. 11. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹是解答关键． 由作图可知直线为边的垂直平分线，则、、,然后运用勾股定理求得即可． 【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，即、, ∵， ∴， ∴． 故选：D． 12. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质．直接利用二次函数图象得出a、b、c的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，，对称轴， ∴， 对于一次函数，，， ∴一次函数的图象大致是 ， 故选：D． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.答题请用黑色笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上） 13. 二次根式有意义的条件是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义则被开方数必须大于等于零． 根据题意得出，得到． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为： ． 14. 割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补” ．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相 补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”， 也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的． 如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是 _______ 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查割补法求面积，理解题目意思是解题的关键．连接，由“出入相补”原理得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，由“出入相补”原理得到，， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 故答案为：5． 15. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了（n为非负整数）展开式各项的系数规律，称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图，两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数1记为，第2个数2记为，第3个数6记为，……，则______． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题干叙述的构造法则再多写出几行即可求解． 【详解】解：根据题意，如图， ∴， 故答案为：28． 16. 在矩形中，点分别在边上，且．，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于N，并反向延长交于M．根据矩形的性质，对顶角的性质并结合已知可得出，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出，同理求出，根据三角形的内角和定理可求出，根据等角对等边得出，将绕A点顺时针旋转，连接，则和重合，F和G重合，，，，，进而求出，根据勾股定理求出，证明，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长交于N，并反向延长交于M． ∵矩形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴， ∴， 将绕A点顺时针旋转，连接 则和重合，F和G重合，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，旋转的性质，三角形的内角和定理等知识，明确题意，添加合适辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简． 解：原式．．．．．．第一步 ．．．．．．第二步 ．．．．．．第三步 ①小涵同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值． 【答案】（1）；（2）①二；②，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简求值等知识，解题的关键是： （1）根据零指数幂的意义，绝对值的意义，负整数指数幂的意义，二次根式的性质等计算即可； （2）①根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； ②先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）①解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小涵同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； ②解：原式 ， ∵， ∴，， ∴取，则原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点． 若顶点在反比例函数的图象上，求的值； 连接，过点作交轴于点，求直线的函数解析式． 【答案】-27； 【解析】 【分析】（1）由C的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）利用等腰三角形和直角三角的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可． 【详解】解：如图延长交轴于点 又 设直线解析式为过 ， 解得 直线解析式为： 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，等腰三角形和直角三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19. 美育，又称美感教育，可以培养和提高人感受美、鉴赏美、表现美和创造美的能力，深入地影响人的情感、想象、思想、意志和性格，对于塑造美好心灵具有重要作用．实验中学为践行美育培养，组织学生开展中国名画鉴赏活动．通过投票，学校最终确定鉴赏下面四幅画：A．《清明上河图》，B．《千里江山图》，C．《百骏图》，D．《富春山居图》．活动开始时，老师将这四幅画的名称分别写在四张相同的卡片上，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． （1）小北从中随机抽取一张，他抽到的卡片是B．《千里江山图》的概率为______； （2）小乐从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的名称后放回洗匀．小凯再从中随机抽取一张卡片，记录下卡片，上的名称请用画树状图或列表的方法，求小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他抽到的卡片是．《千里江山图》的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小乐和小凯鉴赏同一幅画的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中他抽到的卡片是．《千里江山图》的结果有1种， 他抽到的卡片是．《千里江山图》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小乐和小凯鉴赏同一幅画的结果有4种， 小乐和小凯鉴赏同一幅画的概率为． 20. 如图，在菱形中，对角线，交延长线于E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵又， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理． （1）根据是菱形可得边长平行，再根据已知判定为平行四边形，再根据垂直即可判定为矩形； （2）根据菱形的性质以及勾股定理求出与，结合矩形的性质即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 又∵， ∴平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 解：∵四边形为菱形， ∴，， 又，， ，． 在中， ． ∴． 21. “路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天修，乙工程队每天修 （2）天 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排甲工程队施工天，则乙施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； 【小问2详解】 解：设安排甲工程队施工天，则乙施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排甲工程队施工天． 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】（1）的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）过点作于点，利用余弦求，即可得的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先求出和，再求出，利用得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为． 【小问2详解】 解∶如图，过点作于点，于点，过点作于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 23. 如图，是的直径，是的弦，平分交于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． 平分， ， ， ； ， ． 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由，即可求解； （2）由，可得，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ，， ． ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. “樱花红陌上，邂逅在贵州”，为迎接贵州樱花文化旅游节，网络销售樱花节纪念品，该纪念品的进价是每个12元，经过一段时间的销售发现，该纪念品每天的销售量（个）与每个的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数关系式； （2）若要每天获得的销售利润最大，求该纪念品每个的售价是多少？最大利润是多少？ （3）根据物价部门规定，这种纪念品的售价每个不能高于38元．该商场决定每销售一个这种纪念品就捐款元（），捐款后发现，该商场每天销售这种纪念品所获利润随售价的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）该纪念品每个的售价是36元时，利润最大为2880元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，二次函数的图形与性质，一元一次不等式的应用，熟练掌握并能灵活运用所学知识是关键． （1）依据题意，设，又过，，进而列方程组计算可得解析式； （2）设每天的销售利润为W元，从而可得，最后结合二次函数的性质进行判断可以得解； （3）依据题意，设捐款后每天所获得的利润为Q元，从而可得，结合二次函数的性质得当时，Q随x的增大而增大，再有物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于38元，最后计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意设， 又过，， ，解得：， ； 【小问2详解】 设每天的销售利润为W元， 则， 当时，值最大，最大值为2880， 答：该纪念品每个的售价是36元时，利润最大为2880元； 【小问3详解】 设捐款后每天所获得的利润为Q（元），根据题意得： ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，Q随x的增大而增大． 物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于38元， ． 解得． 又， ． 25. 在中，，，点是线段上的一个动点（不与点重合），连接，过点作的垂线，过点作交于点，连接． 探索发现： （1）如图1，当时，请你解答如下问题： ①线段的长为__________； ②判断线段和的数量关系，并说明理由； （2）设时，用表示出． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①在中，根据正切定义求出，根据勾股定理求出，过B作于E， Q作于F，过点D作于H，证明，根据相似三角形的性质求出，，根据正切定义求出，，结合可求出，，根据勾股定理求出，即可求解； ②设与交于O，先求出，解直角三角形，求出，，则，解直角三角形，求出，则，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质求出，，然后分；，然后根据证明，证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解∶ 在中，，， ∴， ∴， ∴， ①过B作于E， Q作于F，过点D作于H， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②设与交于O， 由①知：， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当D在E的右侧，即时，如上图， 过Q作于F，则，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； 当D在E的左侧即时，如图过Q作于F，则，， 同理可求出， 同理可证， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； 综上， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $