第一章 特殊平行四边形（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

第一章 特殊平行四边形 教学目标 1. 掌握矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 2. 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 3. 掌握三角形中位线定理. 教学重难点 1.重点 特殊平行四边形的性质与判定 2.难点 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 知识点01 菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2. 性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分； (2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； (3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 3. 判定： 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 知识点02矩形 1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法． 2. 性质：矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质． (1) 矩形的四个角都是直角； (2) 矩形的两条对角线相等． 注意：(1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分． (2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)． 对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)． 3. 判定： 矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 知识点03 正方形 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对 角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 【即学即练】 1．如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（    ） A．36 B．48 C．72 D．96 2．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（   ） A． B．5 C． D．10 3．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是 ． 4．如图，在正方形中，，为的中点，、分别为、边上的点，且，连接，过点作交于点，则的长为 ． 5．如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，，连接，，平分，交于点． (1)求证：； (2)求的长． 题型01 菱形相关角度问题 【典例1】如图，在菱形中，，于点，与对角线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在菱形中，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，菱形中，过点C作交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02 矩形相关角度问题 【典例1】如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型03 正方形相关角度问题 【典例1】如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，为正方形对角线上的一点，过点作于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 题型04 菱形相关线段问题 【典例1】如图，菱形的周长为52，过点C作，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【变式1】．如图，在菱形中，，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长是（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】．如图，在菱形中，于点，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式3】．如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 题型05 矩形相关线段问题 【典例1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知矩形，，射线与边交于点，过点，，分别作射线的垂线，垂足分别为、、，设，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【变式2】．如图，矩形的对角线交于点，点分别为的中点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且垂直平分．若，，则线段的长为（   ） A． B．1 C． D． 题型06 正方形相关线段问题 【典例1】如图，已知四边形为正方形，， E为对角线上一点，连结，过点E作，交的延长线于点 F，以为邻边作矩形，连结，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点分别是正方形各边的中点，中间阴影部分面积为1．则大正方形的边长（    ） A． B．5 C． D．2 【变式2】如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【变式3】如图，正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B．3 C． D．4 题型07 菱形相关面积问题 【典例1】如图，为菱形的对角线，，菱形的面积是，过点D作，垂足为点，则的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式1】．如图，在菱形中，E，F分别为边的中点，已知，则菱形的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．54 【变式2】．在菱形中，，，对角线，交于点，则菱形的面积为（   ） A． B． C．9 D．18 【变式3】．如图，菱形的面积为，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 题型08 矩形相关面积问题 【典例1】．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【变式1】．如图，直线过矩形对角线的交点O，分别交于点E、F，且，那么图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【变式2】．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（   ） A．24 B．12 C．10 D．8 【变式3】．如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，分别交边、于点、．已知，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型09 正方形相关面积问题 【典例1】．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A．13 B．28 C．34 D．36 【变式2】．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 【变式3】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型10 折叠问题 【典例1】．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【变式1】．如图，在长方形中，，，将长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则 ． 【变式2】．如图，对折正方形纸片得折痕，将纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得折痕，再次展平，连接交于点，连接．若，则三角形的面积为 ． 【变式3】如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则 ． 题型11 最值问题 【典例1】．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 【变式1】．如图在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 【变式2】．如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为 ． 【变式3】．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是 ； 题型12 直角三角形斜边上的中线 【典例1】．如图，在中，点D，E分别是边的中点，点F是线段上的一动点，连接，，，则的长是 ． 【变式1】．如图，和是一对三角板，点、、共线，点是的中点，点是的中点，连接、、，若，则的度数为 度． 【变式2】．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为36，则 ． 【变式3】．如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、．若，则的值为 ． 题型13 动点问题 【典例1】．在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图，求证：； (2)如图，过点作交于点，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图，连接，当，时，请直接写出的长． 【变式1】．如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线，过点作直线的垂线，垂足为，连接． (1)当与重合时，四边形为_________（填菱形、矩形、正方形）； (2)当四边形为菱形时，求的长； (3)当是轴对称图形时，直接写出到的距离． 【变式2】．已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【变式3】．在正方形中，点P是直线上一个动点，连接，过点C作于点M，过点A作于点N．    (1)如图1，若点P在边上，求证：； (2)如图2，若点P在延长线上，连接，猜想线段和线段的关系，并说明理由； (3)已知，当时，直接写出线段的长． 题型14 一次函数与特殊平时四边形综合 【典例1】．在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B，交于E．    (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，过点M作y轴的平行线l，连接并延长交直线l于点F，P、Q分别是直线和直线上的动点，求出的最小周长； (3)如图3，点G是y轴的一个动点，H是平面内任意一点，以N、E、G、H为顶点的四边形是菱形时，直接写出点H的坐标． 【变式1】．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）．    (1)直接写出直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程． 【变式2】．如图1，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点P在直线上，过点P作轴交于点Q，交x轴于点G，使，求此时P点的坐标； (3)如图3，点P是直线上一动点，点Q是直线上一动点，点E是坐标平面内一点，若以点C、P、Q、E为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点Q的坐标． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． (1)求点A，B的坐标； (2)若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 3．下列判断错误的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线平分内角的平行四边形是菱形 C．四个内角都相等的四边形是矩形 D．两对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 4．如图，已知矩形，，射线与边交于点，过点，，分别作射线的垂线，垂足分别为、、，设，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 5．如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题 6．如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为 ． 7．如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 8．如图，在正方形中，，点O为中点，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为 ． 9．如图，在菱形中，，，点为菱形内的一点，且的面积为12．当时，的长为 ． 10．在菱形中，，边长为8，点E，F分别是的中点；连接，Q，P分别是的中点，则 ． 三、解答题 11．如图，在矩形中，为对角线，延长至点E，使得，过点E作于点F．求证：． 12．如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 13．如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 14．如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线，过点作直线的垂线，垂足为，连接． (1)当与重合时，四边形为_________（填菱形、矩形、正方形）； (2)当四边形为菱形时，求的长； (3)当是轴对称图形时，直接写出到的距离． 15．如图1，矩形的顶点A、C在坐标轴上，已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)直接写出B点坐标； (2)D为线段上一点，将沿直线翻折，使点A恰好落在对角线上的点E处．在图1中用无刻度的直尺和圆规画出点D和E（保留作图痕迹），并求出点E的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点P是平面内任意一点，点Q是y轴上的动点，是否存在点Q，使得O、E、P、Q四点组成的图形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形 教学目标 1. 掌握矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 2. 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 3. 掌握三角形中位线定理. 教学重难点 1.重点 特殊平行四边形的性质与判定 2.难点 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 知识点01 菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2. 性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分； (2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； (3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 3. 判定： 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 知识点02矩形 1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法． 2. 性质：矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质． (1) 矩形的四个角都是直角； (2) 矩形的两条对角线相等． 注意：(1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分． (2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)． 对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)． 3. 判定： 矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 知识点03 正方形 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对 角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 【即学即练】 1．如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（    ） A．36 B．48 C．72 D．96 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的面积计算及平移的意义，难度中等．根据平移的意义知四边形是平行四边形，，故由菱形对角线的长度求其面积即可解决问题． 【详解】解：∵菱形， ，． ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在菱形中， ， ∴四边形的面积等于． 故选：A． 2．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的特征：斜边的中线等于斜边的一半，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ 故选：D 3．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，判断出是等边三角形是解决本题的关键． 由矩形的性质可知矩形对角线相等且互相平分，即，由可知是等边三角形，由此可求解对角线的长． 【详解】解：在矩形中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 则矩形的对角线的长是4． 故答案为：4 ． 4．如图，在正方形中，，为的中点，、分别为、边上的点，且，连接，过点作交于点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，与相交于点，过点作于点，过点作于点，与，分别相交于点，， ， 四边形是正方形， ， ，为的中点， 为的中点， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，，连接，，平分，交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． ． 题型01 菱形相关角度问题 【典例1】如图，在菱形中，，于点，与对角线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了菱形的性质，理解菱形的性质，熟练掌握平行线的判定，直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据菱形性质得，进而得，则，再根据得，然后在中，根据直角三角形性质可得的度数． 【详解】解：∴四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 故选：A． 【变式1】在菱形中，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据菱形的对边平行可得，再由菱形的对角线平分一组对角可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3】如图，菱形中，过点C作交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型02 矩形相关角度问题 【典例1】如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质（矩形的四个角都是直角）以及同角的余角相等这一知识点，通过矩形性质得到直角，再利用角的关系求解．理解矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质得出相关角的度数，再通过角的和差关系求出的度数． 【详解】解： 四边形是矩形， 又四边形是矩形， ， ，由， ． 故选：． 【变式1】如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据矩形的性质得出，即可求出，进而可求出，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O，如图，   四边形矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 【变式2】如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形中求角度，涉及矩形性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ， 故选：B． 【变式3】如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 题型03 正方形相关角度问题 【典例1】如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了外角的性质，三角形内角和定理，正方形的性质和等边三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据正方形的性质和等边三角形的知识，得到， ， ，然后利用三角形内角和定理求得，再根据外角的性质然后即可求解； 【详解】解：∵在正方形的外侧作等边， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C； 【变式1】．如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质和旋转的性质，等边对等角．先根据正方形的性质和旋转的性质得到的度数，，再根据等腰三角形的性质即可求得的度数． 【详解】解：∵正方形绕着点逆时针旋转得到正方形， ∴°，， ∴． 故选：C． 【变式2】．如图，为正方形对角线上的一点，过点作于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 根据正方形的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【详解】如图，延长过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 题型04 菱形相关线段问题 【典例1】如图，菱形的周长为52，过点C作，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【详解】解：∵菱形的周长为52， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：B． 【变式1】．如图，在菱形中，，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，然后在和中，利用勾股定理可得，可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 【变式2】．如图，在菱形中，于点，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的对角线互相垂直且平分 ． ∵菱形的对角线互相垂直 ∴由勾股定理得，菱形的边长为： 菱形的面积S可以表示为对角线乘积的一半： 又∵菱形的面积也可以表示为底乘高即 解得． 故选：D． 【变式3】．如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 于点E， ， ， ， ． 故选：A． 题型05 矩形相关线段问题 【典例1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质、角平分线定义推得，则，再结合勾股定理求出，推出后，结合中位线定理即可得解． 【详解】解：矩形中，，， 又平分，， ，，， ， ， 中，， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， 即． 故选：． 【变式1】．如图，已知矩形，，射线与边交于点，过点，，分别作射线的垂线，垂足分别为、、，设，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：连接，， ， ， ， 由勾股定理得：， 在矩形中 ， ， ， ， 当时，有最小值． 故选：B． 【变式2】．如图，矩形的对角线交于点，点分别为的中点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且垂直平分．若，，则线段的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 根据矩形的性质和线段垂直平分线的性质得，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：在矩形中，， ∵垂直平分， ， ， ， ， 故选：D． 题型06 正方形相关线段问题 【典例1】如图，已知四边形为正方形，， E为对角线上一点，连结，过点E作，交的延长线于点 F，以为邻边作矩形，连结，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作于点K，于点P， 四边形为正方形，为对角线， ， ， ， 在与中， ， ， 矩形是正方形， ， 故选：B． 【变式1】如图，点分别是正方形各边的中点，中间阴影部分面积为1．则大正方形的边长（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】A 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ，四边形为正方形， ，点是的中点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ∴正方形的面积与正方形的面积之比是， 又正方形的面积为1， 正方形的面积是5， 则正方形的边长是． 故选：A． 【变式2】如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】A 【详解】解：过作，交的延长线于， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得：． 故选：A． 【变式3】如图，正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】通过构造辅助线，利用勾股定理逆定理判断直角三角形，结合全等三角形性质推出垂直关系，最后用勾股定理计算长度． 【详解】解：延长交于， 在中，，，． ，， ， 是直角三角形，且． 同理，中，， 是直角三角形，且． 正方形中，，，， ． ∴． ， ∴ ∵ ， ，即． ∵，°，， ∴ ∴，， ，． 在中，， ． 故选：． 题型07 菱形相关面积问题 【典例1】如图，为菱形的对角线，，菱形的面积是，过点D作，垂足为点，则的面积是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积，连接BD，由菱形的性质推出，，判定是等边三角形，推出，的面积菱形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵的面积，菱形的面积， ∴的面积菱形的面积． 【变式1】．如图，在菱形中，E，F分别为边的中点，已知，则菱形的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．54 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 连接，如图所示： ∵在菱形中，、分别是的中点， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C． 【变式2】．在菱形中，，，对角线，交于点，则菱形的面积为（   ） A． B． C．9 D．18 【答案】B 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：B． 【变式3】．如图，菱形的面积为，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 【答案】A 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为3， 故选：A． 题型08 矩形相关面积问题 【典例1】．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与平面，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 先根据矩形以及轴，得到轴，再由，求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴矩形的面积是， 故选：B． 【变式1】．如图，直线过矩形对角线的交点O，分别交于点E、F，且，那么图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 等底同高的三角形面积相等， ， 阴影部分的面积是． 故选A． 【变式2】．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（   ） A．24 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】解：∵矩形，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式3】．如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，分别交边、于点、．已知，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型09 正方形相关面积问题 【典例1】．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形， ∴，，， ，， ∴四边形是菱形，，， ∴ ∴四边形是正方形， ∵，， ∴设，， ∴， 解得， 在中，，， ∴， ∴四边形的面积是 故选：A． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A．13 B．28 C．34 D．36 【答案】C 【详解】解：作轴于． 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 正方形的面积， 故选：C． 【变式2】．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 【答案】B 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为4和正方形的边长为3， ∴正方形的面积为16，正方形的面积为9， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故选B． 【变式3】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵小正方形面积为4， ∴， ∵四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点， ∴， ∴阴影部分面积为， 故选：D． 题型10 折叠问题 【典例1】．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： 当点落在矩形内部时，，如图所示： ∵沿折叠，点落在点处， ∴，，， ∴， ∴， ∴点，，共线， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当点落在边上时，，如图所示： 此时四边形为正方形， ∴， 综上所述，的长为或3， 故答案为：或； 【变式1】．如图，在长方形中，，，将长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则 ． 【答案】 【分析】该题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，在解决本题的过程中要注意折叠时出现的相等的线段，把求线段长的问题转化为解方程的问题． 根据已知条件可以知道，，若设，则，在 中可以利用勾股定理，列方程求出的长． 【详解】解：设，则， 又 ∵在中， 即， 解得． 故答案为：． 【变式2】．如图，对折正方形纸片得折痕，将纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得折痕，再次展平，连接交于点，连接．若，则三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，过点作于点，连接，得出是等边三角形，则，根据折叠的性质以及已知条件得出，进而证明是等腰三角形，，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵对折正方形纸片得折痕， ∴，，， ∴是等边三角形，则 ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， 三角形的面积 故答案为：． 【变式3】如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，过点C作交于点G， ∵四边形是菱形，且菱形的边长为，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴，， ∵边的中点是， ∴， ∴， 设， 则 ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 题型11 最值问题 【典例1】．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 【变式1】．如图在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】3 【分析】以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点Q在射线上运动，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴点Q在点H处时，最小， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为3． 故答案为：3． 【变式2】．如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】3 【分析】以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点Q在射线上运动，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴点Q在点H处时，最小， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴最小值为3． 故答案为：3． 【变式3】．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是 ； 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当、、三点共线时取“”，此时有最小值，最小值为，∵，正方形的边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 题型12 直角三角形斜边上的中线 【典例1】．如图，在中，点D，E分别是边的中点，点F是线段上的一动点，连接，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的中位线定理，斜边上的中线，根据三角形的中位线定理，求出的长，进而求出的长，根据斜边上的中线，求出的长即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 【变式1】．如图，和是一对三角板，点、、共线，点是的中点，点是的中点，连接、、，若，则的度数为 度． 【答案】 【详解】解：∵如图，和是一对三角板， ∴，，，，，， 连接， ∵，，点是的中点， ∴，， ∵，点是的中点， ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为36，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形斜边中线的性质； 先根据菱形的面积求出，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，O是中点， ∴ 故答案为：2． 【变式3】．如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、．若，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵，、分别是、的中点，， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：3． 题型13 动点问题 【典例1】．在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图，求证：； (2)如图，过点作交于点，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图，连接，当，时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：作于点，于点，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线，过点作直线的垂线，垂足为，连接． (1)当与重合时，四边形为_________（填菱形、矩形、正方形）； (2)当四边形为菱形时，求的长； (3)当是轴对称图形时，直接写出到的距离． 【答案】(1)矩形 (2) (3)或 【详解】（1）解：如图， 当与重合时，即点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， 故答案为：矩形； （2）解：如图，当四边形为菱形时，则, 设，则， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即； （3）解：①当点在矩形外部时，如图： 设，则， ∵四边形是矩形， ， 过点作于点，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵是轴对称图形，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：，即， 又是等腰直角三角形， 所以，到的距离为； 当点在矩形内部时，如图： 设，则， 过点作,垂足为点，则， 同理可得四边形， ∴；， ∴； ∵是轴对称图形，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， 即， 又是等腰直角三角形， 所以，到的距离为； 综上，到的距离为或． 【变式2】．已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图： 同理可得，， ， ， 延长交于， ， △为等边三角形， ， ， ， 在线段上， ， △不存在， 故不符合题意； ③当时，连接延长交于，如图： 设， ， ， ， 在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ； 综上所述，或． 【变式3】．在正方形中，点P是直线上一个动点，连接，过点C作于点M，过点A作于点N．    (1)如图1，若点P在边上，求证：； (2)如图2，若点P在延长线上，连接，猜想线段和线段的关系，并说明理由； (3)已知，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5或 【详解】（1）解：在正方形 中， ∵过点C作于点M，过点A作于点N． ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）成立；理由如下；   ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴，即 ∴且 （3）设 ，则 ∵ ， ∴ ∴（负值舍去） ∴ ∴ ∴或者 情况 1：当时， 情况 2：当时， ∴或 题型14 一次函数与特殊平时四边形综合 【典例1】．在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B，交于E．    (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，过点M作y轴的平行线l，连接并延长交直线l于点F，P、Q分别是直线和直线上的动点，求出的最小周长； (3)如图3，点G是y轴的一个动点，H是平面内任意一点，以N、E、G、H为顶点的四边形是菱形时，直接写出点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， 设为，把的坐标代入得： ， 解得， ， 的垂直平分， 的中点的坐标为，， 过点作，则， ， ， ；    （2）解：过点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交直线和直线于， ， ， 此时，的周长最小， 设直线的解析式为：， 将，代入， ， 解得， 直线的解析式为：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设点， ， ， 解得或， ， 同理得， ， 的最小周长为；    （3）解：设点， ①当是菱形的边时，时， ， ， 解得或， ， 以N、E、G、H为顶点的四边形是菱形， 的坐标为， 当是菱形的边时，时，，；    ②当是菱形的对角线时， 点是轴一个动点，以N、E、G、H为顶点的四边形是菱形， ， ， 解得或， ， 或．    综上：点的坐标为或或或． 【变式1】．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）．    (1)直接写出直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程． 【答案】(1)直线的函数解析式为； (2)； (3)点的坐标为或或，过程见解析． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∵绕点顺时针旋转得， ∴，， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． （2）解：∵，， ∴， ∵点在线段上， ∴设， ∵轴，轴， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 把代入得：； 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：． ∴． （3）①当为矩形的边时， 过点作，交直线于点，过点作，交直线于点，过点作交于点，过点作交于点， 根据作图可得：四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为线段的中点，， ∴，，即点为中点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式为： ，解得：， ∴，    ②当为矩形的对角线时， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴轴， ∵轴，过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点和点重合， ∴，    综上：点的坐标为或或． 【变式2】．如图1，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点P在直线上，过点P作轴交于点Q，交x轴于点G，使，求此时P点的坐标； (3)如图3，点P是直线上一动点，点Q是直线上一动点，点E是坐标平面内一点，若以点C、P、Q、E为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入， 得： ，解得：， 直线的解析式为． （2）解：设，则 ， ， ，， ， ，解得：或， 点的坐标为或． （3）解：设，， 当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点， 则，，，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得： 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于， 则，，，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． (1)求点A，B的坐标； (2)若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为；点B的坐标为； (2)直线的表达式为 (3)存在，当点E的坐标为或时，四边开形为正方形 【详解】（1）解：将代入，得，          ∴点B的坐标为 将代入，得，解得， ∴点A的坐标为． （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴点P的坐标为． 如图，过点P作轴于点H． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． ∴ 设直线的表达式为． 将，代入， 得解得 直线的表达式为． （3）解：存在，E的坐标为或，理由如下： ∵轴，轴 ∴ ∵轴 ∴四边开形为矩形 如图2，设点E的坐标为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标也为． 把代入，得，解得． ∴点Q的坐标为 ∴，． ∵当时，矩形为正方形， ∴，解得或． 当时，；当时，， ∴当点E的坐标为或时，四边开形为正方形． 一、单选题 1．如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质、角平分线定义推得，则，再结合勾股定理求出，推出后，结合中位线定理即可得解． 【详解】解：矩形中，，， 又平分，， ，，， ， ， 中，， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， 即． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理解直角三角形、中位线定理，解题关键是熟练掌握中位线定理． 3．下列判断错误的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线平分内角的平行四边形是菱形 C．四个内角都相等的四边形是矩形 D．两对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； B、一条对角线平分内角的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； C、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，不符合题意； D、两对角线互相垂直且平分的四边形不一定是矩形，错误，符合题意． 故选：D． 4．如图，已知矩形，，射线与边交于点，过点，，分别作射线的垂线，垂足分别为、、，设，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形和矩形面积公式等知识点，运用等面积法建立等量关系是解题的关键．先根据矩形性质和勾股定理求出相关线段长度，再利用三角形面积与矩形面积关系得到（）与的关系，最后根据的取值范围求出的最小值． 【详解】解：连接，， ， ， ， 由勾股定理得：， 在矩形中 ， ， ， ， 当时，有最小值． 故选：B． 5．如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】B 【分析】延长交于点N，延长交于点M，只需要证明得到，即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据，当最小时，有最小值，即可判断⑤． 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴，， 故①④正确； 在与中，，， ∴， ∴， 故②正确； ∵P是上任意一点，因而是等腰三角形不一定成立， 故③错误； ∵， ∴当时，有最小值即有最小值， ∵，， ∴此时P为的中点， 又∵， ∴，即的最小值为， 故⑤正确， 故正确的是：①②④⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明，以及理解P的任意性是解决本题的关键． 二、填空题 6．如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质是解题的关键．先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 7．如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判断与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 8．如图，在正方形中，，点O为中点，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据正方形的性质和勾股定理得到，则有，根据等边三角形的性质得到，，得到，再利用直角三角形的性质得出，进而求出的长，最后在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵正方形，点O为中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵，即 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点，结合图形构造直角三角形是解题关键． 9．如图，在菱形中，，，点为菱形内的一点，且的面积为12．当时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，由直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求，可得点P在上，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点P作于E，于H， ∵， ∴， ∵的面积为12，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在上， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 10．在菱形中，，边长为8，点E，F分别是的中点；连接，Q，P分别是的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角、含30度直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图，连接并延长交于H，连接，过点D作于N，由菱形的性质利用“”可证可得，由三角形中位线定理可得，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求的长即可解答． 【详解】解：如图，连接并延长交于H，连接，过点D作于N， ∵四边形是菱形，，边长为8， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点P是的中点， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在矩形中，为对角线，延长至点E，使得，过点E作于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合矩形的性质得，，整理得，，再证明，即可作答． 【详解】证明：四边形为矩形， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 12．如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质等知识．先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用三线合一证明，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：是AC中点， ， 又， 四边形是平行四边形； ，是中点， ， ， 四边形是矩形． 13．如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明全等、利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）由矩形的性质及已知，得；由平行线的性质得，结合，利用即可证明全等； （2）设，则；由（1）知，从而可得．在中，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又∵， ∴． （2）解：设，则， 由（1）知：， ∴． 在中， ， ∴， 解得：， ∴． 即的长是． 14．如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线，过点作直线的垂线，垂足为，连接． (1)当与重合时，四边形为_________（填菱形、矩形、正方形）； (2)当四边形为菱形时，求的长； (3)当是轴对称图形时，直接写出到的距离． 【答案】(1)矩形 (2) (3)或 【分析】本题主要考查矩形的判定，菱形的性质和轴对称的性质，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）先判断，再运用矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形进行判断即可； （2）根据菱形的性质设，则在中由勾股定理列方程求解即可； （3）分点在矩形内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当与重合时，即点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， 故答案为：矩形； （2）解：如图，当四边形为菱形时，则, 设，则， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即； （3）解：①当点在矩形外部时，如图： 设，则， ∵四边形是矩形， ， 过点作于点，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵是轴对称图形，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：，即， 又是等腰直角三角形， 所以，到的距离为； 当点在矩形内部时，如图： 设，则， 过点作,垂足为点，则， 同理可得四边形， ∴；， ∴； ∵是轴对称图形，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， 即， 又是等腰直角三角形， 所以，到的距离为； 综上，到的距离为或． 15．如图1，矩形的顶点A、C在坐标轴上，已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)直接写出B点坐标； (2)D为线段上一点，将沿直线翻折，使点A恰好落在对角线上的点E处．在图1中用无刻度的直尺和圆规画出点D和E（保留作图痕迹），并求出点E的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点P是平面内任意一点，点Q是y轴上的动点，是否存在点Q，使得O、E、P、Q四点组成的图形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)画图见解析， (3)或或或 【分析】（1）由矩形的性质结合点A的坐标为，点C的坐标为，可得答案； （2）先作的角平分线交于，再过作于，可得即为所求；证明，可得，，进一步利用勾股定理与等面积法可得的坐标； （3）由O、E、P、Q四点组成的图形是菱形，分三种情况讨论：当时，当，四边形为菱形，可得关于轴对称；当时，设，由勾股定理可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A、C在坐标轴上，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，，， ∴. （2）解：如图，即为所求； 由作图可得：平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴即为所求；，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 过作于， ∴， ∴， ∴. （3）解：∵O、E、P、Q四点组成的图形是菱形， 当时，如图， ∴或，即或； 如图，当，四边形为菱形， ∴关于轴对称； ∴， 如图，当时，设， ∴， 解得：， ∴即； 综上：或或或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$