专题05 重要的几何模型之中点模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级上册

专题05 重要的几何模型之中点模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 8 模型1.直角三角形斜边中线模型 8 模型2.中位线模型 12 模型3.中点四边形模型 16 22 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025·广东·中考真题）如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题：命题1：若连接交于点，则． 命题2：若连接，则．命题3：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】命题1是真命题，证明见解析；命题2是真命题，证明见解析；命题3是真命题，证明见解析 【详解】解：命题1：若连接交于点，则． 命题1是真命题，证明如下：连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线，， ，，四边形是平行四边形， ，四边形是菱形，，且，， 为的中点，是的中位线，则， ，则； 命题2：若连接，则． 命题2是真命题，证明如下：连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线，， ，，四边形是平行四边形， ，四边形是菱形，； 命题3：若连接，则． 命题3是真命题，证明如下：连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线，， ，，四边形是平行四边形，，， ，四边形是平行四边形，． （2024·青海·中考真题）综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线，∴，（____①____） ∴．同理可得：．∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 【答案】（1）①中位线定理（2）证明见解析（3）②矩形（4）证明见解析 （5）补图见解析；③且；④正方形 【详解】（1）①证明依据是：中位线定理； （2）证明：∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴，∴．同理可得：． ∵∴∴中点四边形是菱形． （3）②矩形；故答案为：矩形 （4）证明∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线，∴，，∴．同理可得：． ∵；∴，    ∴；∴中点四边形是矩形． （5）证明：如图4，∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线，∴， ∴．同理可得：．∵；∴；∴中点四边形是菱形． ∵；由（4）可知；∴菱形是正方形． 故答案为：③且；④正方形 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图1，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 图1 图2 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图3，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图3，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图3 图4 4）梯形的中位线模型： 条件：如图4，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∵， E是斜边的中点，∴， ∴，∴，故选：A． 例2（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，四边形中，，，过点D作于点E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， 在中，， ∵，∴在中，．故答案为：． 例3（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，菱形的对角线相交于点，过点作，垂足为，连接，若，则 ． 【答案】 【详解】解：在菱形中，，且，， 在中，，则由勾股定理可得， ，则，， 在中，是斜边上的中线，则，故答案为：． 例4（2024·浙江嘉兴·统考二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图，作于，取中点，连接，，    ，，，，， 是中点，，，是中点，，， 是的中点，，，， ，， ，，的最小值是，故答案为： 例5（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 【答案】A 【详解】解：，， M为斜边的中点，，，， ，，，， ， ， 故甲正确，乙丙都不正确，故选A． 例6（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，、分别是边、上的高线． (1)如果，那么是等腰三角形，请说明理由； (2)取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点，求证：； (3)在（2）的条件下，如果，求的长度． 【答案】(1)理由见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：在中，、分别是边、上的高线，∴， 在和中，，∴， ∴，∴；∴是等腰三角形． （2）在中，、分别是边、上的高线，∴， ∵是的中点，∴，∴为等腰三角形， ∵G是中点，∴； （3）解：∵∴， ∵，∴， ∴’ ∴，∴是等边三角形； ∴， ∵，∴，∴． 例7（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，点E、F分别是和的中点，连接．(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析(2) 【详解】（1）解：，理由如下：∵，点E是的中点， ∴，∴，∵点F是的中点，∴； （2）解：∵，点E是的中点，∴，∴， ∵点F是的中点，∴，， 在中，由勾股定理得，∴． 模型2.中位线模型 例1（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵点，，分别是各边上的中点，∴，是的中位线 ∴，∴ ∵∴．故选：C． 例2（24-25八年级下·北京·期中）如图，中D、E分别是、的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（ ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】C 【详解】解：，E分别是，的中点，是的中位线，， ，，在中，E是AC的中点，，故选：C． 例3（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据中点四边形的性质可知，、是菱形，、是矩形，四边形的面积， 四边形的面积四边形的面积， 四边形的面积，，四边形的面积， 四边形的面积为：．故选：C． 例4（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，∴， ∵点是的中点，∴，又∵， ∴， ∴，，∵，，∴， ∵，∴，∵，点是的中点， ∴是中位线，∴， 故选：A． 例5（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，连接，    ∵M，N分别是的中点，∴是的中位线，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵点E是上的动点，∴当点E和点C重合时，最大，即的长度， ∴此时，∴，∴的最大值为．故答案为：． 例6（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 例1（2025·成都·模拟预测）顺次联结一个四边形各边中点，所得的四边形是矩形，那么这个四边形是（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】D 【详解】解：如图，、、、分别为各边中点 ，，，， 四边形是平行四边形，平行四边形是矩形，，，故选：D． 例2（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ，四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形，＝， ＝，＝，＝，四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形，，∵，， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形，＝，， ＝，＝，＝，四边形是菱形； ，，，， 四边形是正方形．（④正确）正确的是①④．故选：B． 例3（24-25八年级下·甘肃武威·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 【答案】见解析 【详解】解：选择图2；提出猜想：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是菱形； 证明∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，， ∴，，∵， ∴，∴四边形为菱形； 选择图3；提出猜想：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是矩形； ∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，， ，，∴，，∴四边形为平行四边形， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴四边形为矩形； 选择图4；提出猜想：对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， ，求证：四边形是正方形； ∵E，F，G，H是四边的中点，∴，，，， ，，∴，， ∵，∴，∴四边形为菱形； ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴四边形为正方形． 例4（24-25上·广东佛山·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】：（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由．（5）若，求的最小值．    【答案】（1）D；（2），；（3）证明见解析；（4），理由见解析；（5）的最小值为 ． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下：∵四边形是“中方四边形”，∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L，          ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； （5）如图， 连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究（1）知：， 又∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 由拓展应用（4）知：； 又∵， ∴， ∴的最小值为． 1．（2024·广东揭阳·统考一模）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵点是的中点，∴，∴，∴．故选：B． 2．（2024·福建莆田·校考模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，连接，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，∴， ∵D是的中点，∴是斜边上的中线， ∴，∴ 又∵，，∴是等边三角形，∴， ∵将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，∴，， ∴， ∵，，，∴， ∴，∴，故选：C． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∵E是的中点，，∴。故选：A． 4．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】A 【详解】解：在平行四边形中，，∴， ∵M，N分别为，的中点，∴是的中位线，∴．故选：A 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，平分交边于点E，点F是的中点，连接，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形为矩形，对角线与交于点， ∴，∴，， 又∵平分，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴， 又∵，为的中点，∴在中，为中位线，∴故选：D． 6．（2024·河南信阳·模拟预测）顺次连接四边形各边的中点得到四边形，要使四边形是菱形，可以添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】添加．如图，，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的位线， ，， 当时，成立，则四边形是菱形．故选：C． 7．（2024·江苏南通·统考二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（    ） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC 【答案】D 【详解】解：∵E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点， ∴GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，∴四边形EGFH为平行四边形，∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC， 若四边形EGFH为矩形，则有∠GFH=90°， ∴∠GFB+∠HFC=90°，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴AB⊥DC；故选D． 8．（24-25上·山东青岛·八年级统考期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且． 理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形， ∴，，，，，，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴，∴平行四边形是菱形， ∵，∴，∵，， ∵，∴，∴菱形是正方形．故选：D． 9．（24-25下·河北廊坊·八年级统考期中）如图，任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(        ) A．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形 B．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形 C．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形 D．当，，，不是各边中点时，四边形可能为平行四边形 【答案】C 【详解】解：∵E，F，G，H是四边形ABCD各边中点， ∴EFAC，EF＝AC，GHAC，GH＝AC，∴EFGH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形． A．∵AC⊥BD，EFAC，EHBD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°， ∴四边形EFGH为矩形， 故选项正确，不符合题意； B．∵EF＝AC，EH＝BD，AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH是菱形．故正确，不符合题意； C．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点， 故选项错误，符合题意； D．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点， 故选项正确，不符合题意．故选：C． 10．（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（　　） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【答案】C 【详解】解：A．如图，连接，， 在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，但无法证明它是矩形，故A选项错误； B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误； C．点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确； D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误．故选：C． 11．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，的对角线相交于点O，以D为圆心，任意长为半径画弧交，于点M，N两点，再以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，取中点，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解∶∵四边形是平行四边形，， ∴，，，∴， 由作图知∶平分,∴，∴， ∴，∴，∵，E为中点，∴，故选∶A． 12．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，四边形中，，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵，∴，∴， ∴，， ∵，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴；故答案为：． 13．（2025·江苏镇江·统考二模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    【答案】/ 【详解】解：连接、，    ，是的中点，， ， 是等腰直角三角形，，是的中点，， 故答案为：． 14．（2023·江苏盐城·统考中考真题）在中，，分别为边，的中点，，则的长为 cm. 【答案】 【详解】如图所示，、分别为、边上的中点，是的中位线，；    又∵，∴；故答案为：． 15．（2024·北京西城·校考一模）如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵D，E分别为的中点，∴， ∵，D为的中点，∴，∴，故答案为：． 16．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 ． 【答案】10 【详解】解：∵E、F分别为BC、AC的中点，∴AB＝2EF＝20， ∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴，故答案为：10． 17．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 【答案】见解析；（1）①四边形的周长为；（2） 【详解】证明：如图①，、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线，，， ，，． （1）如图②，、、、分别是、、、的中点，，，   ，，四边形的周长为16； （2）：如图③，、、、分别是、、、的中点， ，，，，，，  ，，四边形是菱形， ，，，菱形是正方形，． 18．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，是中线，若，，于点，则的值是 ．    【答案】 【详解】取的中点，连接，，  ， ∵是中线，是的中点，∴是的中位线，∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：，， 在和中，点、分别是、的中点，，， ，，是的中位线，，， 的周长为，故答案为：． 20．（24-25八年级下·山西运城·期末）如何将任意一个大三角形分成四个全等的小三角形，如何通过剪拼的方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形． 如图1，在中，点D，E，F分别是边的中点，连接，，，这样就得到了四个全等的小三角形．这是利用三角形中位线定理以及判定三角形全等的基本事实就可以比较容易地证明四个小三角形全等． 如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点①______按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形，请在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：______． (1)把①，②处的内容写出来； (2)把小明和小甜分别证明图2中的四边形是平行四边形的过程补充完整． 小明的证明过程如下：∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置， ∴，∴，，∴， ∵点D是边的中点，∴，∴________，， ∴四边形是平行四边形（______）； 小甜的证明过程如下：∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置， ∴，∴，， ∵点D，E分别是边的中点，∴，是三角形的______， ∴，∴______，，∴四边形是平行四边形（______）． 【答案】(1)①E，②， (2)；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；中位线；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【详解】（1）解：如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形， 在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：，． 故答案为：①E，②，； （2）解：小明的证明过程如下：∵绕点E按顺时针方向旋转到的位置， ∴，∴，，∴， ∵点D是边的中点，∴，∴，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 小甜的证明过程如下：∵绕点E按顺时针方向旋转到的位置， ∴，∴，， ∵点D，E分别是边的中点，∴，是三角形的中位线， ∴，∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；中位线；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 21．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，、分别是边、上的高线，取为中点，连接点，，得到，是中点． (1)求证：；(2)如果，，求． 【答案】(1)证明见解析(2)48 【详解】（1）证明：在中，、分别是边、上的高线，， 是的中点，，是等腰三角形，是的中点，； （2）解：、分别是边、上的高线．， 是的中点，，，，， ，，， ，是等边三角形，是的中点， ，． 22．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【教材呈现】下图是人教版八年级下册数学教材53页部分内容． 思考：如图，矩形的对角线、相交于点O，我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？ 【过程再现】相信你和你的伙伴们根据矩形的性质得到结论：，这一结论用文字语言阐述为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)证明这一结论：如图，在中，，是斜边边上的中线．求证：． (2)【定理应用】如图，在中，于点E，于点F，点D是边上的中点，连结，和．①求证：．②若，，求的度数． ③若，，则E到的距离是___________（直接写答案）． 【答案】(1)详见解析(2)①详见解析；②；③ 【详解】（1）证明：延长至，使得，连接，如下图， ∵为的中点，∴，∴四边形为平行四边形， 又∵，∴四边形为矩形，∴，即； （2）∵在中，于点E，于点F，点D是边上的中点， ∴，∴； ②解：∵，∴，∴， ，点D是的中点; 由（2）得：， ∴，， ∴，， ∴， ③解：过D作于G，如图②所示： ∵，，∴， ∵D为边的中点，，∴，，∴， ∵，∴，，∴， 设到的距离是，∴的面积，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 重要的几何模型之中点模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 8 模型1.直角三角形斜边中线模型 8 模型2.中位线模型 12 模型3.中点四边形模型 16 22 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025·广东·中考真题）如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题：命题1：若连接交于点，则． 命题2：若连接，则．命题3：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． （2024·青海·中考真题）综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线，∴，（____①____） ∴．同理可得：．∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图1，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 图1 图2 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型：条件：如图3，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图3，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图3 图4 4）梯形的中位线模型：条件：如图4，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，四边形中，，，过点D作于点E，连接，若，则的长为 ． 例3（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，菱形的对角线相交于点，过点作，垂足为，连接，若，则 ． 例4（2024·浙江嘉兴·统考二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    例5（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 例6（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，、分别是边、上的高线． (1)如果，那么是等腰三角形，请说明理由； (2)取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点，求证：； (3)在（2）的条件下，如果，求的长度． 例7（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，点E、F分别是和的中点，连接．(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长． 模型2.中位线模型 例1（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级下·北京·期中）如图，中D、E分别是、的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（ ） A．14 B．13 C．12 D．11 例3（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 例4（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 例5（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．    例6（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 例1（2025·成都·模拟预测）顺次联结一个四边形各边中点，所得的四边形是矩形，那么这个四边形是（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 例2（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 例3（24-25八年级下·甘肃武威·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 例4（24-25上·广东佛山·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】：（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由．（5）若，求的最小值．    1．（2024·广东揭阳·统考一模）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024·福建莆田·校考模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，连接，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 4．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．不确定 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，平分交边于点E，点F是的中点，连接，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河南信阳·模拟预测）顺次连接四边形各边的中点得到四边形，要使四边形是菱形，可以添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏南通·统考二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（    ） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC 8．（24-25上·山东青岛·八年级统考期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 9．（24-25下·河北廊坊·八年级统考期中）如图，任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(        ) A．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形 B．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形 C．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形 D．当，，，不是各边中点时，四边形可能为平行四边形 10．（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（　　） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 11．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，的对角线相交于点O，以D为圆心，任意长为半径画弧交，于点M，N两点，再以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，取中点，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，四边形中，，，若，则 ． 13．（2025·江苏镇江·统考二模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    14．（2023·江苏盐城·统考中考真题）在中，，分别为边，的中点，，则的长为 cm. 15．（2024·北京西城·校考一模）如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 ． 16．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 ． 17．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 18．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，是中线，若，，于点，则的值是 ．    19．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为 ． 20．（24-25八年级下·山西运城·期末）如何将任意一个大三角形分成四个全等的小三角形，如何通过剪拼的方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形． 如图1，在中，点D，E，F分别是边的中点，连接，，，这样就得到了四个全等的小三角形．这是利用三角形中位线定理以及判定三角形全等的基本事实就可以比较容易地证明四个小三角形全等． 如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点①______按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形，请在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：______． (1)把①，②处的内容写出来； (2)把小明和小甜分别证明图2中的四边形是平行四边形的过程补充完整． 小明的证明过程如下：∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置， ∴，∴，，∴， ∵点D是边的中点，∴，∴________，， ∴四边形是平行四边形（______）； 小甜的证明过程如下：∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置， ∴，∴，， ∵点D，E分别是边的中点，∴，是三角形的______， ∴，∴______，，∴四边形是平行四边形（______）． 21．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，、分别是边、上的高线，取为中点，连接点，，得到，是中点． (1)求证：；(2)如果，，求． 22．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【教材呈现】下图是人教版八年级下册数学教材53页部分内容． 思考：如图，矩形的对角线、相交于点O，我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？ 【过程再现】相信你和你的伙伴们根据矩形的性质得到结论：，这一结论用文字语言阐述为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)证明这一结论：如图，在中，，是斜边边上的中线．求证：． (2)【定理应用】如图，在中，于点E，于点F，点D是边上的中点，连结，和．①求证：．②若，，求的度数． ③若，，则E到的距离是___________（直接写答案）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$