第一章 特殊平行四边形（高效培优单元测试·强化卷）数学北师大版九年级上册

第一章 特殊平行四边形单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法不正确的是（   ） A．菱形的四条边都相等 B．矩形的对角线相等 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．正方形的对角线平分一组对角 2．如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直角三角形中，，，，点D为中点，则的长为（    ） A．10 B． C．4 D．5 4．若菱形的周长是20，对角线，则菱形的面积是（    ）． A．20 B．16 C．25 D．24 5．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点E， D， F分别在边AB， BC， AC上，且， ．下列判断中错误的是（    ）． A．四边形是平行四边形 B．若， 则四边形是矩形 C．若平分， 则四边形是菱形 D．若， 则四边形是正方形 7．红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．贝贝家也有一幅这样的“中国结”挂饰．他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线过点且与垂直，分别与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 9．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B．6 C．4 D． 10．如图，在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知正方形的边长为4，对角线与相交于点，点在边的延长线上．若，则 ， ． 12．如图，在菱形中，交于点，于点，连接．若，则的度数为 ． 13．用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为 ． 14．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 15．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，点P是对角线上的一个动点，点D是线段上的一个动点，最小值为 ． 16．如图，在矩形中，，．为边上一点，，连接．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，当为 时，为直角三角形． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处． (1)求的长； (2)求的面积． 18．如图，矩形的对角线，交于点，延长到，使，延长到，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求和之间的距离． 19．如图，在矩形中，，是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，求证：四边形是菱形． 20．【阅读理解】中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接，过点A作于点F，延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，则易证四边形的面积等于的面积，进一步可证三角形面积公式． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求四边形的面积． 21．舞台升降机是舞台最常用的装置之一，主要功能是用于场面转换时，上下移动布景和演员，一般由底座、交叉撑、轴、液压器和工作台（舞台）组成．如图，是某种舞台升降机的示意图，其工作台（舞台）由四根长度相等的交叉撑支撑，上面两根交叉撑与工作台（工作台与舞台紧密贴合）相连，下面两根交叉撑与底座相连，轴分别位于四根交叉撑的中点部位（点）和连接点（点）．当舞台升降机上升或下降时，交叉撑形成的交叉角的度数会随之变化． (1)四边形的形状为______． (2)当该舞台升降机的交叉撑长为时（交叉撑的宽度忽略不计），若交叉角从减小到，舞台升高了多少米？（结果保留根号） 22．题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接． 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形； 解决问题： （2）求的度数； （3）若，，请直接写出的长． 23．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． 【问题情境】 在矩形中，点为边上一点，点为边上一点，连接，将四边形沿折叠，点，的对应点分别为，． 【特例探究】 （1）如图1，点与点重合，则四边形的形状为___________，请说明理由； （2）如图2，若点为的中点，，延长交于点．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，当点为的三等分点时，直接写出的值． 24．已知，如图1，在矩形中，连接交于点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，点为四边形外一点，连接，点为的中点，连接，若．求证：四边形为菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，连接，以为边作等边，连接交于点，点为中点，若，求的长． 25．综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法不正确的是（   ） A．菱形的四条边都相等 B．矩形的对角线相等 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．正方形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质， 根据菱形、矩形、正方形的性质逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】A、 菱形的四条边都相等，符合菱形定义，正确，因此该选项不符合题意； B、矩形的对角线相等，正确，因此该选项不符合题意； C、菱形的对角线互相平分且垂直，但长度不一定相等，只有当菱形为正方形时对角线才相等，因此该选项符合题意； D、正方形的对角线平分一组对角，正确，因此该选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，在直角三角形中，，，，点D为中点，则的长为（    ） A．10 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， 点为的中点， ， 故选：D． 4．若菱形的周长是20，对角线，则菱形的面积是（    ）． A．20 B．16 C．25 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积． 由菱形的性质可求得和，用勾股定理可得，代入面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点， ∴，，，， ∵菱形的周长是，， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 故选：D． 5．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，点E， D， F分别在边AB， BC， AC上，且， ．下列判断中错误的是（    ）． A．四边形是平行四边形 B．若， 则四边形是矩形 C．若平分， 则四边形是菱形 D．若， 则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，根据相关判定定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ， ∴四边形是平行四边形；故A正确，不合题意； 当时，则：， ∴平行四边形是矩形，故B正确，不合题意； 当平分，则：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；故C正确，不合题意； 当时，则：平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故D错误，符合题意 故选D． 7．红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．贝贝家也有一幅这样的“中国结”挂饰．他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线过点且与垂直，分别与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的对角线相等，且垂直平分．以及菱形的面积等于底乘高，或菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的性质，得出，，，推出是等边三角形，，根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 8．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 9．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等内容，将转化为是解题的关键．先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】如图，连接，作点关于点的对称点，连接 四边形是矩形 ， ∵ ， 的最小值为 故选：D． 10．如图，在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ，故⑤正确； 综上所述，其中正确的有①②④⑤，正确的个数是4． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知正方形的边长为4，对角线与相交于点，点在边的延长线上．若，则 ， ． 【答案】 /30度 【分析】本题考查的是正方形的性质、直角三角形的性质和勾股定理．根据正方形的性质得到，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 12．如图，在菱形中，交于点，于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据菱形可得，，再由直角三角形斜边中线得到，由等边对等角结合互余即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．先求解菱形的边长为，再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图1，如图2，连接， 图1中，∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在图2中，∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为： 14．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短．连接，先根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得当时，有最小值，即有最小值，最后利用等积法进行计算，可求出的长，即可解答．熟练掌握矩形的判定与性质，以及垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 15．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，点P是对角线上的一个动点，点D是线段上的一个动点，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，由菱形的对称性可得，则，故当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，求出，，则，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且为其对角线， ∴点C和点A关于对称， ∴． ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，如图所示， ∵点A坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，．为边上一点，，连接．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，当为 时，为直角三角形． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，先求出，则由勾股定理得，依题意得，则，再由得当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时；②当时，由矩形性质及勾股定理列方程求解即可得的值．熟练运用矩形的性质、勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ， ∵为边上一点，， ， 在中，由勾股定理得， 依题意得， ， ， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时， 过点作于点，如图1所示： ， ∴四边形是矩形， ， ， 在和中，由勾股定理得：， ， 解得：； ②当时，如图2所示： ， ∴四边形是矩形， ， ， 解得：； 综上所述：当为或6时，为直角三角形， 故答案为：或6． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)的长为6； (2) 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得； （2）设，则在中，利用勾股定理可求出x的值，结合图形求面积即可． 【详解】（1）解：∵在长方形中，、， ∴，， 又∵将沿直线折叠， ∴，，， 在中，； （2）由（1）得， 设，则 在中，， ∴， 解得， 即的长为5， ∴， ∴的面积为：． 18．如图，矩形的对角线，交于点，延长到，使，延长到，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求和之间的距离． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理求出，则，设和之间的距离为，然后由菱形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图，四边形是矩形， ，，． ，， ，， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，． 在中，，， ， ． 设和之间的距离为， ， ， ． 19．如图，在矩形中，，是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图步骤画图即可； （2）设与交于点，证明，，再证明，可得 ，可得四边形为平行四边形，进一步可得结论. 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：设与交于点， 为线段的垂直平分线， ，， 四边形为矩形， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形. 【点睛】本题考查的是画线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握以上基础知识是解本题的关键. 20．【阅读理解】中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接，过点A作于点F，延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，则易证四边形的面积等于的面积，进一步可证三角形面积公式． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)24． 【分析】（1）证明出，得到，，推出，，即可得到四边形为矩形； （2）证明出是的中位线，得到，然后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，． 同理可得，． ∴，． ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为矩形． （2）解：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．舞台升降机是舞台最常用的装置之一，主要功能是用于场面转换时，上下移动布景和演员，一般由底座、交叉撑、轴、液压器和工作台（舞台）组成．如图，是某种舞台升降机的示意图，其工作台（舞台）由四根长度相等的交叉撑支撑，上面两根交叉撑与工作台（工作台与舞台紧密贴合）相连，下面两根交叉撑与底座相连，轴分别位于四根交叉撑的中点部位（点）和连接点（点）．当舞台升降机上升或下降时，交叉撑形成的交叉角的度数会随之变化． (1)四边形的形状为______． (2)当该舞台升降机的交叉撑长为时（交叉撑的宽度忽略不计），若交叉角从减小到，舞台升高了多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)菱形 (2) 【分析】（1）根据四条边都相等的四边形是菱形判断即可； （2）连接，作直线分别交于点．证明，得，进一步证明，得出的长度即为舞台升高的高度． 【详解】（1）∵，G是的中点，H是的中点， ∴， ∴四边形的形状为菱形． 故答案为：菱形； （2）如图，连接，作直线分别交于点． 由（1）得四边形是菱形． 平分． ， ． ， ， 同理可得． ． ． ． ，即的长度即为舞台升高的高度． 交叉撑长为为交叉撑的中点， ． ． 在中，根据勾股定理，得． ． 答：舞台升高了． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 22．题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接． 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形； 解决问题： （2）求的度数； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或． 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定． （1）作出辅助线，由，得到，即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）当点在线段上时，由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出，，，,的长，由，得到；当点在线段的延长线上时，同理求解即可． 【详解】解：（1）过作于点，过作于点， 正方形， ，， ，且， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 又， 在和中，， ， ， 矩形为正方形； （2）矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （3）当点在线段上时， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ． 当点在线段的延长线上时， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ． 综上，的长为或． 23．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． 【问题情境】 在矩形中，点为边上一点，点为边上一点，连接，将四边形沿折叠，点，的对应点分别为，． 【特例探究】 （1）如图1，点与点重合，则四边形的形状为___________，请说明理由； （2）如图2，若点为的中点，，延长交于点．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，当点为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）根据四边形是矩形，得出，即可得，由折叠的性质得：，，则，证出，，得四边形是平行四边形，又结合，即可证明平行四边形为菱形． （2）如图，连接，证明，即可解答． （3）根据题意，分两种情况：①若点为的三等分点，且，②若点 E为的三等分点，且，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）四边形为菱形． 理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形． （2）与的数量关系为：． 理由如下： 如图，连接， 为的中点， ， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：， ，， 在和中， ， ． ． （3）解：①若点为的三等分点，且，如图所示： ， ， 过点作于，如图所示， 则四边形为矩形， ， ， ， ∵将矩形沿折叠， ， ， ； ②若点E 为的三等分点，且，如图所示： ， 过点作于， 同理可得， ， 同理，由折叠可得， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的判定与性质，菱形的判定，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 24．已知，如图1，在矩形中，连接交于点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，点为四边形外一点，连接，点为的中点，连接，若．求证：四边形为菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，连接，以为边作等边，连接交于点，点为中点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由矩形的性质证明，再证明四边形为平行四边形，从而可得结论； （2）由（1）得，，证明，结合，证明，结合点为中点，证明，证明四边形为平行四边形，进一步求解即可； （3）证明为等边三角形，为等边三角形，可得，证明，在上取一点，使，连接，可得，证明，可得，求解，作于点，证明，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：四边形为矩形 ∵， 四边形为平行四边形， ， ； （2）证明：由（1）得， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为平行四边形， ， ， 点为中点， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 由（1）得，， 四边形为菱形； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， 点为中点， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，，，，， ， ，，， ， 作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25．综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点．证明为等边三角形．得．，进而证明．得．从而即可得解； （2）过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P；由平行线性质得，从而；由正方形性质证明，则有；再证明，则；由已知易得四边形是平行四边形，则有，从而求得；设，则，在中由勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得． （3）线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则．由问题情境可得，则．，证是等腰直角三角形．进而得从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点． ． ． ∵四边形为菱形， ． ， 为等边三角形． ．， ． ． ∵， ． ． ； （2）解：如图，过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 在中，由勾股定理得； （）解：的最小值为． 如图，线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则． 由问题情境可得， ∴． ， ． 由勾股定理，得 ∵，， 是等腰直角三角形． ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的性质，等边三角形的判定及性质，两点之间线段最短，正方形的判定及性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$