精品解析：2025年宁夏吴忠市第三中学中考二模数学试题

吴忠市第三中学2025年中考二模试卷 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列判断正确的是（    ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6属于必然事件 B. “平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题 C. 检测某城市的空气质量应采用全面调查方式 D. 甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为，，则甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐 5. 如图为某品牌折叠椅子的侧面示意图，，与地面平行，，则（ ） A. 78° B. 73° C. 69° D. 61° 6. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，∠AOC＝80°，则∠C的度数为(　　) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（ ） A. 由图象可知； B. 方程组的解为； C. 方程的解为； D. 当时． 8. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 有一种记分方法：以80分为准，88分记为+8分，某同学得分为78分，则应记为_____分． 11. 在，，，四个数中，随机取一个数分别作为函数中的值，使该二次函数图象开口向上的概率为__________． 12. 如图是的两条切线，切点分别为A，B，，，图中阴影部分的周长为_____（结果保留π）． 13. 定义一种法则“”如下：，例如：，，若，则m的取值范围是__________ 14. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 15. 如图，点，在反比例函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是9，则______． 16. 如图，兴康社区附近有、、三个快递中转站：站在站南偏西方向上，站在站的东北方向上，站在站的北偏东方向上且距离站处，则站到站的距离为______（精确到）.（、、、在同一平面内，参考数据：，，，，，） 三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 19. 如图，在中，点在边上，点为内部一点． 请在图中用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在边上画点，使直线平分的面积； ②若，画出的角平分线交于点． 20. 寒假期间，数学实践活动小组对九年级班全体同学进行了主题为“你最喜欢的电影”的线上调查，每位同学在《哪吒》《唐探》《熊出没》《封神》《美国队长》这5部电影中选择部，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 电影 人数 百分数 （哪吒） 《唐探》 《熊出没》 《封神》 《美国队长》 （1）九年级班共有学生________名：________； （2）若该年级有学生名，请估计最喜欢的电影为《哪吒》的学生人数； （3）已知在选择最喜欢电影《封神》的人中有名男生，名女生，现随机抽取人赠送电影票，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 22. 小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求图中t的值； （2）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 23. 某抖音主播以每罐20元的价格新进一批菊花茶，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐．后来经过市场调查发现，每罐菊花茶的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种菊花茶的售价为元．（抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过．） （1）若该抖音主播销售该种菊花茶要想平均每天获利1700元，求该种菊花茶每罐的售价． （2）该博主要想每天获利最大，则菊花茶每罐的售价应为多少元？最大利润是多少？ 24. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 25. 已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是． （1）求抛物线的解析式． （2）当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标． （3）是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P． （1）【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 （2）【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，…… （3）【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市第三中学2025年中考二模试卷 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴．结合数轴的特点，运用数轴的平移变化规律即可计算求解． 【详解】解：将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度， 即． 故选：B． 2. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可． 【详解】解：A、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了有理数的减法、二次根式的减法、合并同类项、积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据有理数的减法、二次根式的减法、合并同类项、积的乘方进行计算即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列判断正确的是（    ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6属于必然事件 B. “平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题 C. 检测某城市的空气质量应采用全面调查方式 D. 甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为，，则甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差、全面调查、命题、必然事件等内容，方差越小的波动程度越小，正确的命题是真命题，据此相关内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】A、掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件，故该选项不符合题意； B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、检测某城市的空气质量应采用抽样调查方式，故该选项不符合题意； D、，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐，故该选项符合题意． 故选：D． 5. 如图为某品牌折叠椅子的侧面示意图，，与地面平行，，则（ ） A. 78° B. 73° C. 69° D. 61° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键．根据平行得到，再利用外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， 故选B． 6. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，∠AOC＝80°，则∠C的度数为(　　) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理直接求∠B的度数，进而解答即可． 【详解】解：∵∠AOC＝80°， ∴∠B＝40°， ∵OC＝OB， ∴∠C＝∠B＝40°， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（ ） A. 由图象可知； B. 方程组的解为； C. 方程的解为； D. 当时． 【答案】D 【解析】 【分析】先观察直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解；然后根据直线与x轴交点的坐标可判断C；最后根据直线在直线的上方，确定自变量的取值范围解答D即可． 【详解】解：因为直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，所以； 则A正确； 因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程的解是， 则B正确； 因为直线与x轴交点的坐标是， 所以方程的解是， 则C正确； 因为从交点向左时直线在直线的上方， 所以当时，， 则D不正确． 故选：D． 8. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 有一种记分方法：以80分为准，88分记为+8分，某同学得分为78分，则应记为_____分． 【答案】 【解析】 【分析】根据正负数的意义进行求解即可． 【详解】解：∵以80分为准，88分记为分， ∴某同学得78分，则应记为分， 故答案为：分． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义，正确理解题意是解题的关键． 11. 在，，，四个数中，随机取一个数分别作为函数中的值，使该二次函数图象开口向上的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．二次函数图象开口向上得出，从所列4个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：从，，，四个数中随机选取一个数，共有4种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有、这2种结果， 该二次函数图象开口向上的概率是， 故答案为：． 12. 如图是的两条切线，切点分别为A，B，，，图中阴影部分的周长为_____（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】可得，，，，则，继而可利用弧长公式求解． 【详解】解：连接， ∵，是的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴阴影部分周长为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理，解直角三角形，弧长公式，切线的性质，熟练掌握切线长定理和切线的性质是解题的关键． 13. 定义一种法则“”如下：，例如：，，若，则m的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据新定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式因式分解，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，点，在反比例函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是9，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及相关面积的计算，得到是解题的关键； 如图，作轴于点E，轴于点D，根据反比例函数系数k的几何意义可得，然后根据面积间的关系可得，再代入数据构建方程求解即可. 【详解】解：如图，作轴于点E，轴于点D， 则（）， ∵，的纵坐标分别是3和6， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：； 故答案为：12. 16. 如图，兴康社区附近有、、三个快递中转站：站在站南偏西方向上，站在站的东北方向上，站在站的北偏东方向上且距离站处，则站到站的距离为______（精确到）.（、、、在同一平面内，参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点C作于点F，作于点E，，证明四边形是矩形，则，，求出，米，设，根据，列式计算即可求解即可． 【详解】解：过点C作于点F，作于点E，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， 即站到站的距离为． 三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ， 18. 解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误； 任务二： ， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：略 19. 如图，在中，点在边上，点为内部一点． 请在图中用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在边上画点，使直线平分的面积； ②若，画出的角平分线交于点． 【答案】 ①如图，直线即为所求； ②如图，点M即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，①连接，交于点O，作直线交于点，直线即为所求；②连接并延长交于点，连接，点M即为所求，证明，可得，结合题意可得，从而推出，即可得解；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分， 故点即为所求． 20. 寒假期间，数学实践活动小组对九年级班全体同学进行了主题为“你最喜欢的电影”的线上调查，每位同学在《哪吒》《唐探》《熊出没》《封神》《美国队长》这5部电影中选择部，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 电影 人数 百分数 （哪吒） 《唐探》 《熊出没》 《封神》 《美国队长》 （1）九年级班共有学生________名：________； （2）若该年级有学生名，请估计最喜欢的电影为《哪吒》的学生人数； （3）已知在选择最喜欢电影《封神》的人中有名男生，名女生，现随机抽取人赠送电影票，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1），； （2）名； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、统计表、用样本估计总体、画树状图求概率． 根据喜欢《熊出没》的人数占全班总人数的，人数是名，可以求出九年级班共有学生名；根据喜欢《美国队长》的有名，求出的值即可； 根据九年级班喜欢《哪吒》的人数占全班人数的，用样本估计总体求出该年级喜欢《哪吒》的人数； 画树状图可知共有种等可能的情况，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有种，利用概率公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：由统计表可知：喜欢《熊出没》的人数占全班总人数的， 由条形统计图可知：喜欢《熊出没》的人数是名， 九年级班共有学生(名)， 由统计表可知：喜欢《美国队长》的有名， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由统计表可知：九年级班喜欢《唐探》的有名，喜欢《熊出没》的有名，喜欢《封神》的有名，喜欢《美国队长》的有名， 喜欢《哪吒》的人数是名， 喜欢《哪吒》的人数占全班人数的， 用样本估计总体， 可知该年级有学生名，估计最喜欢的电影为《哪吒》的学生人数为名； 【小问3详解】 解：画树状图如下， 从图中可知共有种等可能的情况，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有种， 恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 21. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴，即． ∴四边形是平行四边形． （2）． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，关键是掌握平行四边形的判定，应用勾股定理解三角形． （1）利用矩形性质可得，，进而可得，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （2）过点E作于点H，构造，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图，过点作于点，则． ∵四边形是矩形， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∵在中，， ∴ 22. 小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求图中t的值； （2）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】（1） （2）小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 23. 某抖音主播以每罐20元的价格新进一批菊花茶，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐．后来经过市场调查发现，每罐菊花茶的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种菊花茶的售价为元．（抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过．） （1）若该抖音主播销售该种菊花茶要想平均每天获利1700元，求该种菊花茶每罐的售价． （2）该博主要想每天获利最大，则菊花茶每罐的售价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1）该抖音主播销售该种菊花茶要想平均每天获利1700元，该种菊花茶每罐的售价为元 （2）菊花茶每罐的售价应为元，最大利润是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出一元二次方程和二次函数解析式是解此题的关键． （1）设该种菊花茶的售价为元．则每天的销售量为罐，根据题意列出一元二次方程，解方程并结合在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过判断即可得解； （2）设该抖音博主想要每天获得利润元，由题意可得，再结合二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设该种菊花茶的售价为元．则每天的销售量为罐， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，， ∵在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， ∴该抖音主播销售该种菊花茶要想平均每天获利1700元，该种菊花茶每罐的售价为元； 【小问2详解】 解：设该博主想要每天获得利润元， 由题意可得：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故菊花茶每罐的售价应为元，最大利润是． 24. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1） 证明：为的切线， ． ． 为的直径， ． ． ， ． ． 又， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的定义，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形的相关计算，等角对等边等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由切线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于得出，由等边对等角得出，等量代换得出，由对顶角相等得出， 进而可得出 ，由等角对等边得出． （2）连接，先证明，设，则，解直角三角形得出，再证明，得出，进一步得出，即，解出x即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． 为的切线， ． ，． ， ． ． ． 设，则． 在中， ，， ． 为直径， ． ，， ． ． 在中， ， ． ， ． 解得． ． 半径的长为． 25. 已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是． （1）求抛物线的解析式． （2）当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标． （3）是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）A的坐标为 （3）存在，（2，4）或 【解析】 【分析】（1）先求出点O，E，P的坐标，利用待定系数法求解即可． （2）设当A的坐标为时，矩形ABCD是正方形，利用正方形的边长相等求解． （3）分两种情况：①当∠BAO=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；②当∠AOB=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；利用比例式求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线OPE与x轴的交点为点O、点E，且OE=4， ∴O（0，0），E（4，0）， ∵AB⊥x轴于点B，线段AB的最大值是PM=4． ∴P（2，4）， ∵抛物线OPE过原点，设它的解析式为， 把E（4，0），P（2，4），代入，得 ， 解得：， ∴抛物线OPE的解析式为； 【小问2详解】 设当A的坐标为时，矩形ABCD是正方形， ∵OM=2， ∴, BC=2BM=, ∵AB=, ∴, 解得（舍去）． ∴ ∴A的坐标为 【小问3详解】 存在． 设点A的坐标为时，△ABO与△PMO相似， ①当∠BAO=∠MPO时， ∵ ∴ 解得x=2或x=0（舍去）， 点A的坐标为（2，4）时，即与点P重合， ②当∠AOB=∠MPO时， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴A的坐标为， 综上所述，当A的坐标为（2，4）或时，△ABO与△PMO相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及三角形相似，二次函数解析式及正方形性质，解题的关键是利用三角形相似列出方程． 26. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P． （1）【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 （2）【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，…… （3）【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 【答案】（1） （2） 解：猜想． 证明：思路一：如图，在上取一点M，使，则， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 思路二：如图，在延长线上取点N，使，则， 根据菱形的性质，， ∴， 又∵，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等得．再由证明即可得到； （2）两种方法：通过辅助线构造证得，或通过辅助线构造证得，再由即可证明结论． （3）通过延长，使，构造，进而得到，结合求出答案． 【小问1详解】 解：当四边形是正方形，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长，使， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，等边三角形和等腰三角形的性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $