第二章 有理数的运算（高效培优单元测试·强化卷）数学浙教版2024七年级上册

第二章 有理数运算（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2025的倒数是（   ） A． B． C．2025 D．−2025 2．根据温州市统计局发布的《2024年温州市人口主要数据公报》，鹿城区常住人口总量达万人，则万用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 3．数轴上到数所表示的点的距离为5的点所表示的数是（   ） A． B．6或 C．4 D．或4 4．保留一位小数是（   ） A． B． C． 5．分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（   ）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 6．a、b、c三个数对应的点的位置如图所示．下面四个关系式中，可能出现的是（   ） A． B． C． D． 7．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”．如图，是一位猎人在从右到左依次排列的绳子上打结，满八进一，用来记录猎物的只数．由图可知，这位猎人获得的猎物的只数是（    ） A．56 B．22 C．26 D．8 8．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 9．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 10．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算： ． 12．数轴上一点表示的数为，将点先向右移个单位，再向左移个单位，则这个点表示的数是 ． 13．有一只蚂蚁在直线上表示3的数字位置上开始向西爬行（向东为正方向），每秒钟爬行1个单位，那么5秒后这只蚂蚁所在的位置表示的数是 ． 14．如图，在长为、宽为的长方形空地上修建两条宽均为的道路，余下部分种植某种花卉，则种植花卉的面积为 ． 15．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，图1表示的是的计算过程，则图2所表示的等式是 ； 16．读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（8分）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 2.1 0 1 1.2 2 箱数 1 2 4 5 3 4 1 (1)在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？ 19．（8分）底面半径为，高为的圆柱形水桶中装满了水，小明先用桶中的水倒满2个底面半径为，高为的圆柱形杯子．再把剩下的水倒入长、宽、高分别为，和的长方体容器内．长方体容器内的水的高度大约是多少厘米（取3，容器的厚度不计）． 20．（8分）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则乘积的最大值是______． (2)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则商的最小值是______． (3)若从中取出，，，1四张卡片，请写出两个不同的运算式，使它们的计算结果为24． 21．（8分）某仓库在一周内的原料进出记录如下表所示（记运进为正，运出为负，单位：吨）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 进出数量 5 3 2 进出次数 2 1 3 2 1 2 2 (1)该周仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出，费用都是每吨原料6元； 从节约运费的角度考虑，请你通过计算说明选用哪一种方案比较合适？ 22．（10分）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)______． (2)表示数轴上有理数m所对应的点到和106所对应的两点距离相等，那么______． (3)类似地，表示数轴上有理数m所对应的点到和2所对应的两点距离之和，如，那么______． 23．（10分）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，小聪把记作，记作． (1)直接写出计算结果______，______． (2)计算：． 24．（10分）观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数运算（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2025的倒数是（   ） A． B． C．2025 D．−2025 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 直接根据倒数的定义作答即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故选：A． 2．根据温州市统计局发布的《2024年温州市人口主要数据公报》，鹿城区常住人口总量达万人，则万用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， ， 故选：B． 3．数轴上到数所表示的点的距离为5的点所表示的数是（   ） A． B．6或 C．4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的间的距离，解题的关键注意分类讨论． 数轴上到数所表示的点的距离为5的点有两个，故得到或． 【详解】解：由题意得：或， ∴数轴上到数所表示的点的距离为5的点所表示的数是或4， 故选：D． 4．保留一位小数是（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】此题考查了用“四舍五入”法求近似数，熟练求近似数的方法是解题的关键． 保留一位小数时，需观察第二位小数（即百分位），根据四舍五入规则进行取舍． 【详解】解：． 故选：C． 5．分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（   ）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理数除法运算，根据《九章算术》中的“经分术”，分数除法需先将两数通分，再用分子相除，需判断选项中哪一方法符合此步骤 【详解】解：《九章算术》的“经分术”要求将分数除法转化为同分母分数后，直接分子相除， 故选：D． 6．a、b、c三个数对应的点的位置如图所示．下面四个关系式中，可能出现的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴，有理数的加减乘除运算，熟练掌握数轴信息，有理数的加减乘除运算法则，判断代数式的大小，是解本题的关键． 由数轴可得：，根据有理数的加减乘除运算逐一分析即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴A，，∴A正确； B，∴B不正确； C，∴C不正确； D，∴D不正确． 故选：A． 7．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”．如图，是一位猎人在从右到左依次排列的绳子上打结，满八进一，用来记录猎物的只数．由图可知，这位猎人获得的猎物的只数是（    ） A．56 B．22 C．26 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了古代计数的方法，根据题意，满八进一左边的绳结表示一个代表8个，右边的绳结一个代表1，据此计算解答． 【详解】解： ， 因此这位猎人获得猎物的只数是22只． 故选：B． 8．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，涉及相反数、绝对值、乘方等基本运算，需注意运算顺序及符号处理，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，，两者不相等，故不符合题意； B、，，结果不同，故不符合题意； C、，，结果相等，故符合题意； D、，，数值不同，故不符合题意； 故选：C． 9．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把代入计算，若结果不大于1，则把结果作为新数输入计算，如此反复直至计算的结果大于1并输出，据此求解即可． 【详解】解： ， 把1作为新数输入时， ， ∴输出的结果为， 故选；A． 10．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，将70写成，继而即可求得答案，熟练掌握将70写成是解决此题的关键． 【详解】 ， ∴十进制数字70写为二进制数字1000110， ∴十进制数字70是二进制下的7位数， 故选：B． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算： ． 【答案】4 【分析】此题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】． 故答案为：4． 12．数轴上一点表示的数为，将点先向右移个单位，再向左移个单位，则这个点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据“左减右加”列式计算即可求解，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：这个点表示的数是， 故答案为：． 13．有一只蚂蚁在直线上表示3的数字位置上开始向西爬行（向东为正方向），每秒钟爬行1个单位，那么5秒后这只蚂蚁所在的位置表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，数轴上点的移动规律是“左减右加”，所以此蚂蚁所在的位置表示的数是． 【详解】解：蚂蚁所在的位置为：． 故答案为：． 14．如图，在长为、宽为的长方形空地上修建两条宽均为的道路，余下部分种植某种花卉，则种植花卉的面积为 ． 【答案】551 【分析】本题主要考查了有理数混合运算在图形面积中的应用，根据种植花卉的面积等于长乘以宽求解即可． 【详解】解：根据题意种植花卉的面积为： ， 故答案为：551． 15．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，图1表示的是的计算过程，则图2所表示的等式是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义并熟练应用是解题的关键． 依据题意写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图表示的计算过程是：， 故答案为：． 16．读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，由新定义得，进行裂项运算，即可求解；理解新定义，会用裂项法进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的乘除法则计算即可； （3）先算乘方，再算括号里面的，然后算乘法，最后算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 18．（8分）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 2.1 0 1 1.2 2 箱数 1 2 4 5 3 4 1 (1)在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1)千克； (2)超过千克． 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的四则混合运算的实际应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）用最大的2.1减去最小的即可求解； （2）将表格中的20个数据相加，和为正，表示总计超过标准质量，和为负，则表示总计不足标准质量． 【详解】（1）解：根据表格数据，（千克）， 最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：由表格数据，得 （千克）， ∴与标准质量比较，20箱苹果总计超过千克． 19．（8分）底面半径为，高为的圆柱形水桶中装满了水，小明先用桶中的水倒满2个底面半径为，高为的圆柱形杯子．再把剩下的水倒入长、宽、高分别为，和的长方体容器内．长方体容器内的水的高度大约是多少厘米（取3，容器的厚度不计）． 【答案】长方体容器内水的高度 【分析】先求出圆柱形水桶中的水的容积和2个杯子的容积，用水桶的容积减去2个水杯的容积除以长方体容器的底面积就可以求出结论， 【详解】解：水的体积为， 2个杯子的容积， 剩下的水的体积为， 长方体的底面积为：， ∴长方体容器内水的高度， 【点睛】本题主要考查了认识立体图形，长方体的体积和圆柱体的体积，有理数的乘方运算、乘除运算和加减运算的运用等知识点，熟练掌握有理数的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 20．（8分）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则乘积的最大值是______． (2)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则商的最小值是______． (3)若从中取出，，，1四张卡片，请写出两个不同的运算式，使它们的计算结果为24． 【答案】(1)35 (2) (3)，（算式不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的最值和写出所求的式子． （1）根据题意和题目中的数字，可以得到2张卡片上数字的乘积最大值； （2）根据题意和题目中的数字，可以得到2张卡片上数字相除的商的最小值； （3）本题方法不限，算对即可，注意必须是相同四个数字的不同算式得到结果是24． 【详解】（1）解：若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大， 则乘积的最大值是：． 故答案为：35； （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小， 则商的最小值是：． 故答案为：； （3）解：由题意可得：或． 21．（8分）某仓库在一周内的原料进出记录如下表所示（记运进为正，运出为负，单位：吨）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 进出数量 5 3 2 进出次数 2 1 3 2 1 2 2 (1)该周仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出，费用都是每吨原料6元； 从节约运费的角度考虑，请你通过计算说明选用哪一种方案比较合适？ 【答案】(1)该周仓库的原料比原来增加了吨 (2)方案二所需运费少，更合适 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）求出进出数量乘以进出次数之和，进行判断即可； （2）求出两种方案所需的总运费，进行比较即可． 【详解】（1）解：（吨）； 答：该周仓库的原料比原来增加了吨； （2）方案一：（元）； 方案二：（元）； ∵， 故方案二所需运费少，更合适． 22．（10分）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)______． (2)表示数轴上有理数m所对应的点到和106所对应的两点距离相等，那么______． (3)类似地，表示数轴上有理数m所对应的点到和2所对应的两点距离之和，如，那么______． 【答案】(1)7； (2)； (3)或3 【分析】本题考查数轴，有理数，绝对值，解答本题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）画出数轴，结合数轴根据绝对值的几何意义即可解答． 【详解】（1）解：∵数轴上表示5的点与表示的点的距离是7个单位长度， ∴， 故答案为：7； （2）解：根据题意得：有理数m所对应的点到和106所对应的两点距离相等，则该点为和106连成线段的中点， ∴， 故答案为：； （3）解：∵理解为在数轴上，某点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为9， 如图，点A表示，点B表示2，点C表示，点D表示3， 由数轴可知，，， 即点C到点A与点B的距离之和为9，点D到点A与点B的距离之和为9， ∴满足的m为或3． 23．（10分）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，小聪把记作，记作． (1)直接写出计算结果______，______． (2)计算：． 【答案】(1)4，； (2)． 【分析】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则，理解新定义运算的规定是解决本题的关键． （1）按小聪的“除方”规定计算即可； （2）按有理数的运算顺序，先计算“除方”，再算乘法，最后算加减． 【详解】（1）， ， 故答案为：4，； （2）∵， ， ， ， ∴ ． ． 24．（10分）观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【答案】(1) (2)①，② (3)①② 【分析】此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为． （2）①， ② 故答案为，． （3）① ② 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$