四川省泸州七中2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年四川省泸州七中九年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是(    ) A. B. C. D. 2.化简的结果是(    ) A. B. C. D. 3.下列图形中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.截止月底我国最新智能软件的下载量已经超过亿次，亿用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 5.下列四个几何体中，俯视图是长方形的是(    ) A.   长方体 B.    圆柱 C.      球 D.     三棱柱 6.为了解某班学生每天使用零花钱的情况，随机调查了名同学，结果如表： 每天零花钱元 人数 下列说法正确的是(    ) A. 众数是元 B. 平均数是元 C. 极差是元 D. 中位数是元 7.将一把直尺与一块三角板如图放置，若，则为(    ) A. B. C. D. 8.如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 9.若一元二次方程有实数解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.如图，，，，为上的点，于点，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 11.如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为(    ) A. B. C. D. 12.如图，抛物线过点和点，且顶点在第三象限，设，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.分解因式：          ． 14.方程的解是______． 15.若，是方程的两个实数根，则的值是______． 16.如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接若，则 ______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 如图，已知 和，是 上一点，，，求证：． 19.本小题分 计算：． 20.本小题分 为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型科普、文学、体育、其他数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示． 请你根据以上信息，解答下列问题． 随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______度； 补全条形统计图； 抽样中选择文学类书籍的学生有名男生和名女生，校团委计划从中随机抽取名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率． 21.本小题分 某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共万件，准备销往东南亚国家和地区已知件甲种电子产品与件乙种电子产品的销售额相同；件甲种电子产品比件乙种电子产品的销售额多元． 求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？ 若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？ 22.本小题分 某维护人员为测量我校号教学楼高度，用无人机在“正行楼”前测量如图，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点楼顶处的俯角为又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，求教学楼的高度结果保留整数参考数据：，， 23.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． 求，的值，并求点的坐标； 根据图象可得，不等式的解集为______． 24.本小题分 如图，是的直径，弦于点，点在上，与交于点，点在的延长线上，且，延长交的延长线于点． 求证：是的切线； 若，，求的长． 25.本小题分 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点，点在点的左侧，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为． 求抛物线和一次函数的解析式； 抛物线上的动点在一次函数图象的下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； 若点为轴上任意一点，在的结论下，求的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：的绝对值是， 即． 故选：． 根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 本题考查了绝对值的性质． 2.【答案】  【解析】【分析】本题考查了整式的加减．先按照去括号法则去掉整式中的小括号，再合并整式中的同类项即可． 【解答】 解：． 故选D． 3.【答案】  【解析】解：、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，符合题意． 故选：． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是关键． 4.【答案】  【解析】解：亿． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 5.【答案】  【解析】解：、长方体的俯视图是长方形，故此选项正确； B、圆柱的俯视图是圆形，故此选项错误； C、球的俯视图是圆形，故此选项错误； D、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项错误； 故选：． 分别找出立体图形从上面看所得到的图形即可． 此题主要考查了立体图形的三视图，关键是掌握俯视图是从上面看所得到的图形． 6.【答案】  【解析】解：每天使用元零花钱的有人， 众数为元； ， 最多的为元，最少的为元， 极差为：； 一共有人， 中位数为第人所花钱数， 中位数为元． 故选：． 分别计算该组数据的众数、平均数、极差及中位数后找到正确答案即可． 本题考查了极差、加权平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数． 7.【答案】  【解析】【分析】 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据两直线平行，同位角相等，可得。本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟记性质是解题的关键。 【解答】 解：如图，由三角形的外角性质得 直尺的两边互相平行 故选C。 8.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长． 故选：． 由平行四边形的性质得出，，，即可求出的周长． 本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分． 9.【答案】  【解析】解：因为关于的一元二次方程有实根， 所以， 解得：． 故选：． 若一元二次方程有实数解，则根的判别式，据此可以列出关于的不等式，通过解不等式即可求得的取值范围． 本题考查了一元二次方程为常数根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 10.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 在中，， ． 故选B． 由垂径定理知，欲求，需求出的长；在中，已知的长，缺少的是的度数；已知了同弧所对的的度数，由圆周角定理即可求出的度数，由此得解． 此题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形的应用，熟记垂径定理是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：如图， ≌，≌， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ≌， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 本题主要考查了考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 12.【答案】  【解析】【分析】 先利用待定系数法求出经过点和的直线解析式为，则当时，，再利用抛物线的顶点在第三象限，从而得到所以，根据顶点的纵坐标和与轴的交点坐标即可得出答案． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点 【解答】 解：经过点和的直线解析式为， 当时，， 而时，， ，即， 故选：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】 解： ． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：方程的两边同乘，得 ， 解得． 检验：当时，． 原方程的解为：． 故答案为：． 观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 解分式方程一定注意要验根． 15.【答案】  【解析】解：由题知， 因为，是方程的两个实数根， 所以，， 则， 所以． 故答案为：． 利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接，延长交的延长线于， 矩形中，，，为边的中点， ，， 将沿翻折，点的对应点为， ，，， 则≌，， ， ， ， 为直角三角形， 设，则，， ，， ， 为等腰三角形， ， ， ， 故答案为：． 连接，延长交的延长线于，根据折叠的性质及矩形的性质，证明≌，进而得到为直角三角形，设，则，，证明为等腰三角形，求出，即可解答． 本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 17.【答案】．  【解析】解：原式 ． 利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根的定义计算后再算乘法，最后算加减即可． 本题考查实数的运算，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】证明：， ． 在和中， ， ≌， ．  【解析】根据平行线的性质找出，借助全等三角形的判定定理证出≌，由此即可得出． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 19.【答案】解： ．  【解析】首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可． 此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键． 20.【答案】解：，； 类的人数有：人， 类的人数有：人， 补全统计图如下： 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为， 所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率．  【解析】解：随机抽样调查的样本容量是：， 所占的百分比是：， 扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为：； 故答案为：，； 类的人数有：人， 类的人数有：人， 补全统计图如下： 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为， 所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率． 根据的人数和所占的百分比，求出随机抽样调查的样本容量，再用乘以“”所占的百分比，求出扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数； 用总人数乘以所占的百分比，求出类的人数，再用总人数减去其他类型的人数，求出类的人数，从而补全统计图； 画树状图得出所有等可能结果数，找出恰好抽出一男一女的情况数，再利用概率公式计算可得． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21.【答案】解：设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的销售单价是元； 设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：至少销售甲种电子产品万件．  【解析】设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的销售单价是元，根据“件甲种电子产品与件乙种电子产品的销售额相同；件甲种电子产品比件乙种电子产品的销售额多元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件，利用销售总额销售单价销售数量，结合销售总额不低于万元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22.【答案】教学楼高约米．  【解析】解：过点作于点，过点作于点． 由题意得，米，米，，． 在中，， ， 米， 米， 米， 四边形是矩形， 米． 在中，， ． 米， 米． 答：教学楼高约米． 作于点，作于点，由，求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得米． 此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键． 23.【答案】，，；  或．  【解析】点在一次函数的图象上， 将，代入中，则， ． 点在反比例函数的图象上， 将，代入， ， ． 联立， 或． 点的坐标为． 由图象得：当一次函数的图象位于反比例函数图象下方，即时，或， 故答案为：或． 将点代入一次函数即可得出，再将点代入反比例函数即可确定函数解析式，进而即可得出交点； 结合图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方的取值范围即可． 本题主要考查了一次函数与反比例函数综合问题，根据交点确定不等式的解集，理解题意，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键． 24.【答案】证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线；   ．  【解析】证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； 解：连接， 由得，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 连接，根据，可得，再由，可得，然后根据等腰三角形的性质及切线的判定定理可得结论； 连接，先证得∽，再根据可得，，从而得的长，然后由勾股定理可得答案． 此题主要考查了圆的综合题目，熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解锐角三角函数是解题的关键． 25.【答案】解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为， ， 点的坐标为，代入抛物线的解析式得，， ， 抛物线的解析式为，即． 令，即，解得，， ， ， 的面积为， ， ，代入抛物线解析式得，， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得，，解得： 直线的解析式为； 过点作轴交于点，如图所示： 设，则， ， ， ，当时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，如图所示： ，， ，， ， ， ， ， ，关于轴对称， ， ，此时最小， ，， ， ． 的最小值是．  【解析】【分析】 先写出平移后的抛物线解析式，由抛物线经过点，可求得的值，由的面积为可求出点的纵坐标，将其代入抛物线解析式求出点的横坐标，由点，的坐标可求出一次函数的解析式； 过点作轴交于点，利用三角形面积公式，由构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，则，，利用锐角三角函数的定义和对称的性质可得出，此时最小，求出最小值即可． 【解答】 解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为， ， 点的坐标为，代入抛物线的解析式得，， ， 抛物线的解析式为，即． 令，即，解得，， ， ， 的面积为， ， ，代入抛物线解析式得，， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得，，解得： 直线的解析式为； 过点作轴交于点，如图所示： 设，则， ， ， ，当时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，如图所示： ，， ，， ， ， ， ， ，关于轴对称， ， ，此时最小， ，， ， ． 的最小值是． 【点评】 本题主要考查了二次函数解析式的求法和二次函数与几何图形的结合．要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$