专题2.1直线的倾斜角与斜率重难点题型讲义（3个知识点+12大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选修第一册）

专题2.1直线的倾斜角与斜率重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的倾斜角 题型二 直线斜率的定义 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 题型四 已知两点求斜率 题型五 已知斜率求参数 题型六 斜率公式的应用 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型八 由斜率判断两条直线平行 题型九 由斜率判断两条直线垂直 题型十 已知直线平行求参数 题型十一 已知直线垂直求参数 经典例题十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 拓展训练一 由直线的几何关系求参数 知识点一：直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【即时训练】 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期末）斜率为的直线的倾斜角为 ． 知识点二：两条直线平行的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 【即时训练】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．（2025高三·全国·专题练习）已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是 ． 知识点三：两条直线垂直的判定 1．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【即时训练】 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2.（22-23高二上·河南商丘·期中）若，，，则的外接圆面积为 ． 【经典例题一 直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知点Q(－2，0)，A(1，)，B(1，－)，P为动点．当点P在线段AB上运动时，求直线PQ的倾斜角的取值范围． 、 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的倾斜角是 ． 4.（23-24高二上·天津西青·阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，，求第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角？    【经典例题二 直线斜率的定义】 【例1】（23-24高一下·四川攀枝花·期末）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，求直线l1，l2的斜率． 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 2．（24-25高二上·河南郑州·期中）下列直线中倾斜角为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率. 【经典例题三 斜率与倾斜角的变化关系】 【例1】（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与向上的方向所成的角为，若的倾斜角为，求直线的斜率. 1．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线的倾斜角的大小为 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系中，过一点可以作出多少条直线？这些直线区别在哪里呢？ 如何表示这些直线的方向呢？    【经典例题四 已知两点求斜率】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A．－5 B．5 C．3 D．－17 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率. (1)，； (2)，； (3)，. 1．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为 ． 4．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）经过下列各组中两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)，； (2)，． 【经典例题五 已知斜率求参数】 【例1】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）已知斜率为3的直线过点（1，1）和（x，-2），求实数x的值. 1．（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 3．（2024高三·全国·专题练习）经过两点，的直线的斜率等于2，则 . 4．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【经典例题六 斜率公式的应用】 【例1】（22-23高二上·山西临汾·期末）若三点在同一直线上，则实数等于（    ） A． B． C．6 D．12 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求证：顺次连接，，，四点所得的四边形是梯形． 1．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）直线在坐标系中的位置可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 3．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知三点，，，求证：A，B，C三点共线. 【经典例题七 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例1】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【例2】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线过点，且与以，为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围. 【经典例题八 由斜率判断两条直线平行】 【例1】（22-23高一上·甘肃武威·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 1．（22-23高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 2．（22-23高二上·江西上饶·期末）下列与直线平行的直线的方程是（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【经典例题九 由斜率判断两条直线垂直】 【例1】（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    1．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二·全国·课后作业）已知两条直线的斜率是方程的两个根，则与的位置关系是 4．（23-24高二上·全国·阶段联系）已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【经典例题十 已知直线平行求参数】 【例1】（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）设为实数，直线，．若，求的值． 1．（24-25高二上·河北承德·期末）若直线与互相平行，则（   ） A． B．3 C．或3 D． 2．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知直线与平行，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一下·重庆·期末）直线与直线平行，则实数 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）设直线l的方程为，若直线l与y轴平行，求m的值． 【经典例题十一 已知直线垂直求参数】 【例1】（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与垂直，求实数的值. 1．（24-25高二下·山西·期中）若直线与直线垂直，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 4．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长，宽，其中一条小路为，另一条小路过点.请建立合适的平面直角坐标系，在上找到一点，使得两条小路与互相垂直，并求. 【经典例题十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 1．（23-24高二·全国·课后作业）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 2．（2023高二·全国·专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·浙江·阶段练习）已知正数满足，则 . 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【拓展训练一 由直线的几何关系求参数】 【例1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【例2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 1．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（多选题）（22-23高二上·福建莆田·期中）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 4．（19-20高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 1．（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D．不存在 2．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东潍坊·期中）直线过点，，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知、两点所在直线的倾斜角为，则实数的值（   ） A． B． C． D．2 5．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知直线，则直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D．不存在 6．（多选题）（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）在下列四个命题中，正确的有（   ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 7．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 9．（多选题）（24-25高二上·河南南阳·期中）以下四个命题为真命题的是（   ） A．若、、三点共线，则m的值为2 B．直线的倾斜角的范围是 C．已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是 D．直线与直线平行，则 10．（多选题）（23-24高二上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 11．（2025高二·全国·专题练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 . 12．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与垂直，则实数 . 14．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则 . 15．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知直线，若，则实数 16．（2025高三·全国·专题练习）若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 17．（23-24高二下·全国·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 18． （23-24高二下·全国·课堂例题）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 19．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 20．（2024高二·全国·专题练习）的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1直线的倾斜角与斜率重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的倾斜角 题型二 直线斜率的定义 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 题型四 已知两点求斜率 题型五 已知斜率求参数 题型六 斜率公式的应用 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型八 由斜率判断两条直线平行 题型九 由斜率判断两条直线垂直 题型十 已知直线平行求参数 题型十一 已知直线垂直求参数 经典例题十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 拓展训练一 由直线的几何关系求参数 知识点一：直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【即时训练】 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2．（24-25高二下·上海·期末）斜率为的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系直接可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 则斜率， 解得， 故答案为：. 知识点二：两条直线平行的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 【即时训练】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    2．（2025高三·全国·专题练习）已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是 ． 【答案】平行 【分析】由题意有可得，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】由题意可得， 则方程， 即， 它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等， 故表示与平行的直线， 故答案为：平行 ． 知识点三：两条直线垂直的判定 1．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【即时训练】 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 2.（22-23高二上·河南商丘·期中）若，，，则的外接圆面积为 ． 【答案】 【分析】由斜率得，从而可得是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径，求得长后得圆半径，从而得圆面积． 【详解】，，，∴，是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径， ，外接圆半径为， 圆表面积为． 故答案为：． 【经典例题一 直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知点Q(－2，0)，A(1，)，B(1，－)，P为动点．当点P在线段AB上运动时，求直线PQ的倾斜角的取值范围． 【答案】0°≤α≤30°或150°≤α＜180°. 【分析】设直线PQ的倾斜角为α，线段AB与x轴的交点为M，然后结合图象和倾斜角的定义可得答案. 【详解】 设直线PQ的倾斜角为α，线段AB与x轴的交点为M. 当点P在线段AM(含端点)上时，因为，所以0°≤α≤30°； 当点P在线段BM(含端点B但不含端点M)上时，因为，所以150°≤α＜180°. 所以α的取值范围为0°≤α≤30°或150°≤α＜180°. 、 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 2．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案. 【详解】直线的倾斜角为. 故选：B. 3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的倾斜角是 ． 【答案】/ 【分析】根据直线倾斜角定义可得结果. 【详解】易知直线是垂直于轴的竖线，因此倾斜角是. 故答案为： 4.（23-24高二上·天津西青·阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，，求第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角？    【答案】 【分析】根据5颗星的位置情况知，过作轴的平行线并确定的大小，即可知所在直线的倾斜角. 【详解】都为五角星的中心点， 平分第三颗小星的一个角， 又五角星的内角为知：， 过作轴的平行线，如下图，则，    直线的倾斜角为. 【经典例题二 直线斜率的定义】 【例1】（23-24高一下·四川攀枝花·期末）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可得出结果. 【详解】直线的斜率，解得. 故选：D. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，求直线l1，l2的斜率． 【答案】直线l1，l2的斜率分别为， 【分析】由倾斜角得出直线l1的斜率，先由l1⊥l2得出直线l2的倾斜角，再由斜率公式，得出l2的斜率. 【详解】l1的斜率 的倾斜角α2=90°+30°=120° 的斜率 【点睛】本题主要考查了求直线的斜率，属于基础题. 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D 2．（24-25高二上·河南郑州·期中）下列直线中倾斜角为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知倾斜角为，等价于斜率为1，结合选项分析判断即可. 【详解】若直线的倾斜角为，等价于斜率为1， 对于A：斜率为，不合题意； 对于B：斜率为1，符合题意； 对于C：斜率不存在，不合题意； 对于D：斜率为0，不合题意； 故选：B. 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课后作业）如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率. 【答案】见解析 【详解】试题分析：利用菱形的基本性质，即对边平行且相等，对角线平分每一组内对角，两条对角线互相垂直，先求倾斜角，再求斜率． 试题解析： 因为OD∥BC，∠BOD=60°， 所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan60°=； 又因为DC∥OB， 所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0； 由菱形的性质可得∠COB=30°，∠OBD=60°， 所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC=tan30°=， 直线BD的倾斜角为∠DBx=180°-60°=120°，斜率． 【经典例题三 斜率与倾斜角的变化关系】 【例1】（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与向上的方向所成的角为，若的倾斜角为，求直线的斜率. 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，斜率为，确定，计算斜率即可. 【详解】如图，设直线的倾斜角为，斜率为，则， 故. 故直线的斜率为. 1．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角关系求解即可. 【详解】直线的斜率不存在，因此倾斜角为. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的斜率求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为. 故选：C 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线的倾斜角的大小为 【答案】 【分析】根据直线倾斜角和斜率关系即可得到答案. 【详解】根据其斜率为，设其倾斜角大小为，则， 因为，则. 故答案为：. 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系中，过一点可以作出多少条直线？这些直线区别在哪里呢？ 如何表示这些直线的方向呢？    【答案】答案见解析 【详解】无数条，区别是它们的方向不同．这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同．因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向． 【经典例题四 已知两点求斜率】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A．－5 B．5 C．3 D．－17 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式及方向向量的意义求解. 【详解】依题意，直线的斜率，解得． 故选：A 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率. (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1)存在，斜率 (2)存在，斜率 (3)答案见解析 【分析】根据两点斜率公式即可求解. 【详解】（1）存在，直线AB的斜率， （2）存在，直线CD的斜率， （3）当时，斜率不存在；当时，直线的斜率. 1．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率公式求解. 【详解】解：直线的斜率． 故选：C 2．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】由于直线经过点，，故斜率为， 故选：D 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 4．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）经过下列各组中两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)，； (2)，． 【答案】(1)存在， (2)存在， 【分析】根据点的坐标判断直线的斜率是否存在，再根据斜率公式求出直线的斜率即可． 【详解】（1）因为，两点的横坐标不相等， 所以斜率存在，； （2）因为，两点的横坐标不相等， 所以斜率存在，. 【经典例题五 已知斜率求参数】 【例1】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点求概率即可求参； 【详解】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）已知斜率为3的直线过点（1，1）和（x，-2），求实数x的值. 【答案】0 【分析】由斜率计算公式可得答案. 【详解】由斜率公式，. 故实数. 1．（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式列式求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 3．（2024高三·全国·专题练习）经过两点，的直线的斜率等于2，则 . 【答案】0 【分析】由过两点的直线斜率公式求解即可. 【详解】因为经过两点，的直线的斜率等于2， 所以，解得. 故答案为：0. 4．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【答案】或 【分析】由点在坐标轴上，分轴两类情况设点的坐标，由斜率建立等式求解方程可得. 【详解】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得， . 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或. 【经典例题六 斜率公式的应用】 【例1】（22-23高二上·山西临汾·期末）若三点在同一直线上，则实数等于（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】C 【分析】由题意得，列式求解即可. 【详解】因为，又， 所以，即. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求证：顺次连接，，，四点所得的四边形是梯形． 【答案】证明见解析 【分析】利用斜率与直线的位置关系证明. 【详解】由题可得， 所以， 又因为 所以四边形有且仅有一组对边平行，即为梯形. 1．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）直线在坐标系中的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，判断出，对照四个选项即可得到答案. 【详解】直线的斜率    . 因为，所以. 对照四个选项，只有选项C符合. 故选：C 2．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】根据直线方程得到，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角即可. 【详解】直线方程可整理为，即，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，因为，所以. 故选：D. 3．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知三点，，，求证：A，B，C三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】根据斜率相等证明三点共线. 【详解】证明：∵，， ∴， ∴A，B，C三点共线. 【经典例题七 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例1】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 【例2】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 【答案】最大值为3，最小值为 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】由于点满足关系式，且， 可知点在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为，. 令，易得的几何意义是直线PQ的斜率，且，， 如图： 所以的最大值为3，最小值为. 1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点式斜率公式求出直线和直线的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解. 【详解】由题得，， 因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，. 故选：B    2．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式，即可结合图形，结合斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由于, 结合图形关系可知：要使直线过点且与线段相交， 则直线的斜率或， 故选：B    3．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线过点，且与以，为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合图象，即可求解. 【详解】解：由斜率公式，可得， 要使得直线过点，且与以，为端点的线段相交， 如图所示，则满足，即直线斜率的取值范围是.    【经典例题八 由斜率判断两条直线平行】 【例1】（22-23高一上·甘肃武威·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【答案】A 【分析】由两直线的位置关系进行判断． 【详解】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5， 故两直线平行， 故选：A 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 1．（22-23高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【答案】B 【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可. 【详解】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行. 故选：B 2．（22-23高二上·江西上饶·期末）下列与直线平行的直线的方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案. 【详解】直线斜率为，纵截距为， A选项：直线斜率为，纵截距为，符合； B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或重合 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 【经典例题九 由斜率判断两条直线垂直】 【例1】（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    【答案】证明见解析 【分析】根据直线和直线的斜率以及两直线的位置关系等知识证得结论成立. 【详解】证明：由条件可知，，． 因为，所以，即是直角三角形． 1．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【详解】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标求得斜率，从而确定正确答案. 【详解】， ， 直线的斜率不存在，所以只有，所以． B选项正确，其它选项错误. 故选：B 3.（23-24高二·全国·课后作业）已知两条直线的斜率是方程的两个根，则与的位置关系是 【答案】垂直 【分析】根据二次方程的根与韦达定理，并结合斜率关系判断即可. 【详解】解析由方程，知恒成立. 故方程有两相异实根，即与的斜率均存在. 设两根为，则 ，所以 故答案为：垂直 4．（23-24高二上·全国·阶段联系）已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【答案】. 【分析】通过计算得到，由此作出判断. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. 【经典例题十 已知直线平行求参数】 【例1】（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求解即得. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 故选：D 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）设为实数，直线，．若，求的值． 【答案】． 【分析】平行的两条直线的斜率相等.故只需验证其斜率存在的情况下分别求得两条直线的斜率，令它们相等，解方程即可解决. 【详解】由直线的方程可知，它的斜率． 因为，所以直线的斜率存在，设为，且． 又由直线的方程可知，它的斜率， 所以，解得． 将代入直线得即，所以当时两直线平行且不重合. 1．（24-25高二上·河北承德·期末）若直线与互相平行，则（   ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】A 【分析】利用两直线平行列式求出值. 【详解】由直线与平行，得， 所以. 故选：A 2．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知直线与平行，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于直线与平行， 故，解得， 故选：D. 3．（24-25高一下·重庆·期末）直线与直线平行，则实数 ． 【答案】或 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 4．（23-24高二上·全国·课后作业）设直线l的方程为，若直线l与y轴平行，求m的值． 【答案】 【分析】利用直线和y轴平行，列出限制条件，可求答案. 【详解】因为直线l与y轴平行， 所以 解得. 【经典例题十一 已知直线垂直求参数】 【例1】（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与垂直，求实数的值. 【答案】 【分析】根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 故， 即， 解得. 1．（24-25高二下·山西·期中）若直线与直线垂直，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用两条直线互相垂直列式求解. 【详解】由直线与直线垂直，得，所以. 故选：C 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据两向量垂直的充要条件列式求解. 【详解】根据题意，可得，解得. 故选：C. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解. 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 4．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长，宽，其中一条小路为，另一条小路过点.请建立合适的平面直角坐标系，在上找到一点，使得两条小路与互相垂直，并求. 【答案】建系见解析， 【分析】建立平面直角坐标系，利用求得. 【详解】以为原点建立如图所示平面直角坐标系， 则，设， 依题意可知：直线和直线的斜率都存在， 由于与互相垂直， 所以，即， 所以. 【经典例题十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 1．（23-24高二·全国·课后作业）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论. 【详解】，，则， 所以,与不平行， 因此 故构成的图形为直角梯形. 故选：B. 2．（2023高二·全国·专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项. 【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选：D. 3．（22-23高二上·浙江·阶段练习）已知正数满足，则 . 【答案】/. 【分析】 如图建立平面直角坐标系，设，由已知条件可得，，可得四边形为正方形，设，从而可求出，进而可求得答案. 【详解】设， 则四边形为矩形， 因为， 所以， 而，即，即， 所以，又是等边三角形，所以过的中点， 所以矩形为正方形，由整个图形的对称性可知. 设，得， ， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量共线定理证明，再证明其长度不等即可. 【详解】， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 【拓展训练一 由直线的几何关系求参数】 【例1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B 【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 【例2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）由两直线平行的性质计算即可得，并排除重合的情况； （2）由两直线垂直的性质计算即可得. 【详解】（1）两直线平行，则，即，故或， 当时，两直线分别为与，符合要求， 当时，两直线分别为与，符合要求， 故或； （2）两直线垂直，则， 即，故或. 1．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直线和直线平行，则；若两直线垂直，则.根据这些结论分别判断每个论述的正确性即可. 【详解】对于直线和直线， 若两直线相交，则. 由可得. 解得且，所以（1）错误.   若，则. 由可得，即，解得或. 当时，即，，两直线重合. 同理，当，，,，满足题意，所以（2）错误.   由前面分析可知，当时，两直线平行，所以（3）正确.   若，则. 展开式子得，即，解得，所以（4）正确. 故正确的有（3）（4）. 故选：B. 2．（多选题）（22-23高二上·福建莆田·期中）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】应用直线平行、垂直的判定列方程求参数，注意验证即可得答案. 【详解】已知直线， 若，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 4．（19-20高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 1．（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据直线的方程可得出该直线的倾斜角. 【详解】直线垂直于轴，该直线的倾斜角为. 故选：B. 2．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为， 故选：B 3．（24-25高二上·山东潍坊·期中）直线过点，，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算直线的斜率，再求出直线的倾斜角. 【详解】由于的斜率为，故倾斜角满足， 又，从而. 故选：D. 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知、两点所在直线的倾斜角为，则实数的值（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由直线上两点坐标求得斜率，再由直线斜率的定义建立方程，解之即得. 【详解】由题意，，化简得：，解得. 故选：A. 5．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知直线，则直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据倾斜角的定义判断即可. 【详解】因为直线，所以直线的倾斜角为. 故选：B. 6．（多选题）（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）在下列四个命题中，正确的有（   ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】BC 【分析】由直线倾斜角与斜率的关系逐项判断即可； 【详解】对于A，与轴平行的直线没有斜率，故A错误； 对于B，由直线倾斜角的取值范围可知直线的倾斜角的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为，故C正确； 对于D，若直线的倾斜角为，则直线无斜率，故D错误； 故选：BC. 7．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 8．（多选题）（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【答案】ACD 【分析】利用来判断否垂直来研究A，C选项；利用来判断平行问题，来研究B，D． 【详解】A．直线，直线， 又，，故恒成立，选项正确，符合题意； B．，， 又，故不成立，选项错误，不符合题意； C．，， 又当时，，故成立，选项正确，符合题意； D．，， 又当时，， 且，使得成立，选项正确，符合题意； 故选：ACD． 9．（多选题）（24-25高二上·河南南阳·期中）以下四个命题为真命题的是（   ） A．若、、三点共线，则m的值为2 B．直线的倾斜角的范围是 C．已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是 D．直线与直线平行，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由点的坐标写出向量，根据题意可得向量共线，建立方程，可得答案；对于B，由直线方程可得直线斜率，根据余弦函数的值域，利用正切函数的性质，可得答案；对于C，由题意作图，利用两点斜率公式求得边界直线斜率，可得答案；对于D，由直线平行建立方程，验根，可得答案. 【详解】对于A，取，，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，由直线方程，则斜率， 由，则，设直线的倾斜角为，则， 由，解得，故B正确； 对于C，设，由题意可作图如下： 直线的斜率，直线的斜率， 由图可知直线绕点按逆时针旋转到直线，则，解得，故C正确； 对于D，由题意可得，则，，解得或， 当时，，不合题意；当时，，符合题意，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（23-24高二上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】AD 【分析】由斜率与倾斜角的关系可得A正确；由两直线斜率关系可得B错误；由斜率的定义和两直线垂直斜率关系可得C错误；由斜率与倾斜角关系可得D正确； 【详解】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线与斜率相等时，或与重合，故B错误； 对于C，的斜率为，由，所以不成立，故C错误； 对于D，过点且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.     故选：AD. 11．（2025高二·全国·专题练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况，若，则根据即可求出. 【详解】①当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； ②当时，直线的斜率， 因，则，则， 因，所以倾斜角， 综上，直线的倾斜角的范围是. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据题意求出直线的倾斜角，由此可得出实数的值. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与垂直，则实数 . 【答案】或 【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或， 故答案为：或. 14．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则 . 【答案】或4 【分析】利用两条直线平行列式求解. 【详解】由直线与直线平行， 若，则直线的方程为，的方程可化为，两直线不平行， 故，所以，解得或. 故答案为：或4 15．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知直线，若，则实数 【答案】 【分析】运用一般式下的平行判定计算即可. 【详解】将直线化成一般式，， 根据一般式下直线的平行判定，知道，且，解得. 故答案为：. 16．（2025高三·全国·专题练习）若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】首先考虑直线过两个端点的情况，再计算直线过线段中间点的情况，利用定比分点的向量公式进行求解即可. 【详解】当直线过点时，，直线过点时，， 当直线与线段的交点在之间时， 设这个交点分的比为， 由定比分点向量公式有， 点的坐标为， 又直线过点，， ，又点在线段上，， ，解得或， 实数的取值范围是. 17．（23-24高二下·全国·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意线段∥，∥，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 18．（23-24高二下·全国·课堂例题）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 【答案】 【分析】利用直线的倾斜角的范围是，分类讨论即可得出. 【详解】若，则的倾斜角范围，倾斜角为； 若，则的倾斜角范围，倾斜角为. ∴的倾斜角为. 19．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【详解】（1）因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 20．（2024高二·全国·专题练习）的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，求的值． 【答案】 【分析】用两直线垂直的定义计算即可. 【详解】由为直角顶点可得为直角，则， 所以， 即，解得. 故值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$