2.2 直线的方程（思维导图+8大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2 直线的方程 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：直线的点斜式方程 4 知识点二：直线的斜截式方程 4 知识点三：直线的两点式方程 4 知识点四：直线的截距式方程 5 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 5 知识点六：直线方程的一般式 5 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 6 知识点八：直线方程的综合应用 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：点斜式方程 8 题型二：斜截式方程 8 题型三：两点式方程 9 题型四：截距式方程 9 题型五：一般式方程 10 题型六：中点公式 11 题型七：综合应用问题 11 题型八：动直线所过定点 13 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 13 题型十：实际应用 14 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 知识点八：直线方程的综合应用 1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 题型一：点斜式方程 【例题1】（2025·高二·北京房山·月考）过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·高二·贵州毕节·月考）已知直线经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【变式1】（2025·高二·广东佛山·月考）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·高二·江西南昌·月考）过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·高二·河南驻马店·开学考试）经过点，且倾斜角是的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 题型二：斜截式方程 【例题3】（2025·高二·广东·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的斜截式方程为 ． 【例题4】（2025·高二·云南楚雄·月考）直线过点且与直线垂直，则直线的斜截式方程为 ． 【方法技巧与总结】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． 【变式4】（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知直线经过点，且直线的方向向量，则直线的斜截式方程为 . 【变式5】（2025·高二·北京·期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 . 【变式6】（2025·高二·陕西宝鸡·期中）经过点，且以为一个方向向量的直线的斜截式方程为 ； 题型三：两点式方程 【例题5】（2025·高二·内蒙古呼伦贝尔·月考）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【例题6】（2025·高二·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程 . 【方法技巧与总结】 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式7】过点，直线的两点式方程为 ． 【变式8】经过点､的直线的两点式方程为 . 【变式9】已知点、，则直线AB的两点式方程是 ． 题型四：截距式方程 【例题7】如图，直线l的截距式方程是，则( ) A．      B．      C．      D． 【例题8】（2025·高二·黑龙江牡丹江·月考）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 【变式10】已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11】（2025·高二·湖北十堰·期末）若直线与垂直，则的方程的截距式为（    ） A． B． C． D． 【变式12】（2025·高二·湖南·月考）直线的截距式方程为 . 题型五：一般式方程 【例题9】（2025·高二·江苏徐州·期中）已知直线经过点，则实数a的值为 . 【例题10】（2025·高二·湖北·期中）已知，，则同时经过三个点，，的直线方程为 . 【方法技巧与总结】 让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 【变式13】（2025·高二·四川南充·期中）已知 ，，则过不同的两点的直线方程为 ． 【变式14】（2025·高二·河北石家庄·月考）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 【变式15】（2025·高二·天津西青·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 . 题型六：中点公式 【例题11】（2025·高二·广东深圳·月考）设为不同的两点，直线，记，当 时，直线经过的中点． 【例题12】（2025·高二·安徽·月考）已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示） 【方法技巧与总结】 （1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 【变式16】（2025·高二·天津河东·月考）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为 . 【变式17】（2025·高一·江苏徐州·期中）直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 . 【变式18】（2025·高二·浙江嘉兴·期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 . 题型七：综合应用问题 【例题13】（2025·高二·河南信阳·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 【例题14】（2025·高二·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【方法技巧与总结】 求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式． 【变式19】（2025·高二·四川广安·期中）已知直线l经过点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.（下列结果都写成一般式） (1)若直线l的倾斜角为，求直线l的方程. (2)若直线在y轴上的截距为4，求直线l的方程. (3)若取得最大值时，求直线l的方程. 【变式20】（2025·高二·四川德阳·期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； （注意：最后结果统一用一般式表示） 【变式21】（2025·高二·福建泉州·期中）已知在中，，点，点在直线上． (1)求点的坐标； (2)求斜边中线所在直线的方程． 题型八：动直线所过定点 【例题15】（2025·高二·江苏无锡·期中）直线过定点 ． 【例题16】（2025·高二·天津滨海新·期中）若直线恒过点，则点的坐标为 【方法技巧与总结】 合并参数，另参数的系数为零解方程． 【变式22】（2025·高二·浙江·期中）直线的方程为（a为常数）恒过定点 . 【变式23】（2025·高二·河北衡水·月考）直线恒过定点 ，若该直线不经过第四象限，则实数的取值范围为 . 【变式24】（2025·高二·宁夏石嘴山·月考）直线过定点，则点的坐标为 . 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 【例题17】（2025·高二·浙江绍兴·月考）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【例题18】（2025·高二·天津静海·月考）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【方法技巧与总结】 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式25】（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【变式26】（2025·高一·湖北·期末）已知直线l过点. （1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程； （2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值. 【变式27】（2025·高二·湖南·月考）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 题型十：实际应用 【例题19】（2025·高二·河南郑州·期中）公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题20】（2025·高二·四川眉山·月考）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【方法技巧与总结】 用坐标法解决生活问题． 【变式28】（2025·全国·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为 A． B． C． D． 【变式29】（2025·高二·上海·月考）已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 直线的方程 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：直线的点斜式方程 4 知识点二：直线的斜截式方程 4 知识点三：直线的两点式方程 4 知识点四：直线的截距式方程 5 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 5 知识点六：直线方程的一般式 5 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 6 知识点八：直线方程的综合应用 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：点斜式方程 8 题型二：斜截式方程 9 题型三：两点式方程 10 题型四：截距式方程 12 题型五：一般式方程 13 题型六：中点公式 15 题型七：综合应用问题 17 题型八：动直线所过定点 20 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 22 题型十：实际应用 25 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 知识点八：直线方程的综合应用 1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 题型一：点斜式方程 【例题1】（2025·高二·北京房山·月考）过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为过点且斜率为的直线， 其点斜式方程为：. 故选：A 【例题2】（2025·高二·贵州毕节·月考）已知直线经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】倾斜角为，斜率为，由点斜式得，即. 故选：D. 【方法技巧与总结】 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【变式1】（2025·高二·广东佛山·月考）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为， 又因为直线过点，故该直线的方程为. 故选：B. 【变式2】（2025·高二·江西南昌·月考）过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意直线方程为：， 故选：B 【变式3】（2025·高二·河南驻马店·开学考试）经过点，且倾斜角是的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的倾斜角是，所以斜率， 又经过点，所以直线的方程是. 故选：B. 题型二：斜截式方程 【例题3】（2025·高二·广东·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的斜截式方程为 ． 【答案】或 【解析】若直线在两坐标轴上的截距均为零，则直线过原点，故此时直线的斜率为， 故此时直线的斜截式方程为：； 若直线在两坐标轴上的截距不为零，则设直线方程为：， 代入得即，故所求直线的斜截式方程为， 故答案为：或. 【例题4】（2025·高二·云南楚雄·月考）直线过点且与直线垂直，则直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】直线过点且与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为2，故直线的方程为，即． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． 【变式4】（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知直线经过点，且直线的方向向量，则直线的斜截式方程为 . 【答案】 【解析】由直线的方向向量为，则直线的斜率为， 又直线经过点，故其方程为. 故答案为：. 【变式5】（2025·高二·北京·期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 . 【答案】 【解析】由题意可知：直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率， 且在轴上的截距为4，所以所求直线的斜截式方程是. 故答案为：. 【变式6】（2025·高二·陕西宝鸡·期中）经过点，且以为一个方向向量的直线的斜截式方程为 ； 【答案】 【解析】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜截式方程为. 故答案为： 题型三：两点式方程 【例题5】（2025·高二·内蒙古呼伦贝尔·月考）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 【例题6】（2025·高二·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程 . 【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【解析】经过点和点直线两点式方程是：或. 故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【方法技巧与总结】 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式7】过点，直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】过点，直线的两点式方程为 故答案为： 【变式8】经过点､的直线的两点式方程为 . 【答案】 【解析】因为直线经过点､， 由直线的两点式方程可得，可得，即， 所以直线的两点式方程为. 故答案为：. 【变式9】已知点、，则直线AB的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】直线的两点式方程为： 将点、代入得：. 故答案为：. 题型四：截距式方程 【例题7】如图，直线l的截距式方程是，则( ) A．      B．      C．      D． 【答案】D 【解析】根据直线的截距式以及图象可知：a>0,b<0 故选：D 【例题8】（2025·高二·黑龙江牡丹江·月考）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的截距式方程为. 故选：D. 【方法技巧与总结】 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 【变式10】已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的方程为，则的面积为①． 因为直线过点，所以②． 联立①②，解得，， 故直线的方程为， 故选：A． 【变式11】（2025·高二·湖北十堰·期末）若直线与垂直，则的方程的截距式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由两直线垂直，求出，再将的方程化为截距式即可.因为与垂直，所以， 解得， 则的方程为，即. 故选：C. 【变式12】（2025·高二·湖南·月考）直线的截距式方程为 . 【答案】 【解析】直线的截距式方程为：. 故答案为： 题型五：一般式方程 【例题9】（2025·高二·江苏徐州·期中）已知直线经过点，则实数a的值为 . 【答案】2 【解析】将代入直线得，解得. 故答案为：2. 【例题10】（2025·高二·湖北·期中）已知，，则同时经过三个点，，的直线方程为 . 【答案】或 【解析】根据，成立， 可知点，均在直线上， 且有两个不等实根，则， 又在直线上，则，得， 所以，均满足， 当，时，所求直线方程为，即； 当，时，所求直线方程为，即， 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 【变式13】（2025·高二·四川南充·期中）已知 ，，则过不同的两点的直线方程为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以两点的坐标是方程的解， 因此过点的直线方程为， 故答案为： 【变式14】（2025·高二·河北石家庄·月考）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 【答案】/ 【解析】由可得直线的斜率为，则直线的倾斜角为． 故答案为：． 【变式15】（2025·高二·天津西青·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【解析】若截距均为，设为，则，解得， 所以直线的方程为，即； 若截距均不为，设为，则，解得， 所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或. 故答案为：或 题型六：中点公式 【例题11】（2025·高二·广东深圳·月考）设为不同的两点，直线，记，当 时，直线经过的中点． 【答案】 【解析】线段的中点， 若直线经过的中点，则， 即， 则，故. 故答案为： 【例题12】（2025·高二·安徽·月考）已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为 .（结果用一般式表示） 【答案】 【解析】设，则，得，， 而线段的中点坐标为， 故边上的中线的斜率， 故中线所在的直线的方程为，即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 【变式16】（2025·高二·天津河东·月考）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【解析】设与的交点为，则与的交点为， 所以有，， 联立解得 ， 所以，整理得. 故答案为：. 【变式17】（2025·高一·江苏徐州·期中）直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 . 【答案】. 【解析】设, 因为点P恰为AB的中点，则，， 所以，即A，B两点的坐标分别为, 由截距式得直线l的方程为，即. 故答案为：. 【变式18】（2025·高二·浙江嘉兴·期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】因为直线与直线和的交点分别为， 设， 因为点是线段的中点，由中点公式可得， 解得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 题型七：综合应用问题 【例题13】（2025·高二·河南信阳·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 【解析】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故，又的顶点， 所以所在的直线方程为，即， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得，故点； （2）设点，则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上，所以， 故，解得，即点， 所以，可得， 化简得，故直线的方程为. 【例题14】（2025·高二·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【解析】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. （2） 如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 【方法技巧与总结】 求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式． 【变式19】（2025·高二·四川广安·期中）已知直线l经过点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.（下列结果都写成一般式） (1)若直线l的倾斜角为，求直线l的方程. (2)若直线在y轴上的截距为4，求直线l的方程. (3)若取得最大值时，求直线l的方程. 【解析】（1）直线l的倾斜角为，则斜率， 所以直线， 即直线l的方程为； （2）直线在y轴上的截距为4，即直线过， 直线斜率， 所以直线， 即直线l的方程为； （3）设，直线方程为， 则，， ， ， 当且仅当，即时取等号， ， 则取得最大值时，直线l的方程为，即． 【变式20】（2025·高二·四川德阳·期中）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； （注意：最后结果统一用一般式表示） 【解析】（1）由已知得的中点，即， 边上的中线的两点式方程为，即； 所以，边上的中线所在直线的方程为. （2）因为， 又，则，所以， 所以直线的方程为，即. 所以边上的高所在直线的方程为. 【变式21】（2025·高二·福建泉州·期中）已知在中，，点，点在直线上． (1)求点的坐标； (2)求斜边中线所在直线的方程． 【解析】（1）由点在直线上，设，而点， 则，由，得， 解得，所以点的坐标为. （2）由（1）得斜边的中点，因此斜边中线所在直线的斜率， 所以斜边中线所在直线的方程为，即. 题型八：动直线所过定点 【例题15】（2025·高二·江苏无锡·期中）直线过定点 ． 【答案】 【解析】直线， 将直线方程化为， 当时，，此时与的值无关， 所以直线过定点. 故答案为： 【例题16】（2025·高二·天津滨海新·期中）若直线恒过点，则点的坐标为 【答案】 【解析】由题意知，直线方程为， 即， 则，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 【方法技巧与总结】 合并参数，另参数的系数为零解方程． 【变式22】（2025·高二·浙江·期中）直线的方程为（a为常数）恒过定点 . 【答案】 【解析】由，即， 令，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 【变式23】（2025·高二·河北衡水·月考）直线恒过定点 ，若该直线不经过第四象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 ； . 【解析】根据题意，直线即， 令，解得，所以直线过定点. 由可知，当时，，不符合题意. 当时，方程化为：，由直线不过第四象限知，， 解得，故实数的取值范围是. 故答案为：； 【变式24】（2025·高二·宁夏石嘴山·月考）直线过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】将原式化简为， 可得， 解得. 故直线过定点， 故答案为：. 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 【例题17】（2025·高二·浙江绍兴·月考）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【解析】（1）作，则. 由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 【例题18】（2025·高二·天津静海·月考）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 【方法技巧与总结】 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式25】（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：将直线方程变形为， 由，可得， 因此，直线恒过定点. （2）设点A的坐标为，若，则， 则、，直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 此时直线与轴的交点为，则，，， 此时的周长为. 所以，存在直线满足题意. 【变式26】（2025·高一·湖北·期末）已知直线l过点. （1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程； （2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值. 【解析】（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零， 所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为， 所以直线在坐标轴上截距分别为，， 所以，整理得，解得或 所以直线l方程为或. （2）由（1）知， 因为， 所以面积为， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积最小值 【变式27】（2025·高二·湖南·月考）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 又知，所以时等号成立， 此时l直线的方程为， 即面积最小时直线l的方程为. （2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得， 此时直线的方程为，即. 故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是. 题型十：实际应用 【例题19】（2025·高二·河南郑州·期中）公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，，可得中点的坐标为， 所以的垂直平分线所在直线的斜率， 所以可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得， 即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 【例题20】（2025·高二·四川眉山·月考）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【答案】B 【解析】根据已知条件可知直线方程的斜率及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.由题意知：蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过两点，故其斜率， ∴直线方程为， ∴当蜡烛燃尽时，有，即， 故选：B 【方法技巧与总结】 用坐标法解决生活问题． 【变式28】（2025·全国·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果. 如图所示可知， 所以直线AB，BC，CD的方程分别为： 整理为一般式即： 分别对应题中的ABD选项. 本题选择C选项. 【变式29】（2025·高二·上海·月考）已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）易知，其法向量为，则， 所以，即该直线的斜率为，倾斜角为； （2）设，直线m与l及x轴的交点分别为，l与y轴交于F点， 易知此时，则，， 显然四边形为直角梯形，其面积为， 所以，故时，恒有，即过定点； （3）设，则易知， 因为直线AB与相交，所以， 联立直线方程可知：，， ， ， 若存在满足条件的直线，则有， 则，整理得，即，与前提矛盾， 故不存在直线符合题意. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $