13.1 三角形的概念（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.1 三角形的概念（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 三角形 1.三角形及其有关概念 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。 三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。 2.三角形的表示方法 一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为，读作“三角形ABC”。 要点诠释： 构成三角形的三个基本条件：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次相接. 例1．如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 解题通法： ①找出构成这个角的两边 ②找出第三边所对应的两个顶点，即可确定三角形 【变式1-1】．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 5．如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 知识点2 三角形的分类 1.按角分类： 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 例2-1．三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 解题通法： 按三角形分类标准判断即可。三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类。 例2-2．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 解题通法： 按三角形分类标准填写即可。三角形按边分两类：三边都不相等的三角形，等腰三角形，其中等腰三角形包括三边相等的三角形及等边三角形。 【变式2-1】．一个三角形，三个角的度数都不相等，最小的角是，那么这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【变式2-2】．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式2-3】．有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 【变式2-4】．利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 【变式2-5】．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 一.辨易错 1.重复计数或漏算  从单一顶点出发时，需确保每个三角形只被计算一次 例3．如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 【变式3-1】．图中共有多少个三角形？把它们表示出来． 2.未区分最小三角形 必须先识别并单独计数图形中最小的三角形（即无其他线条的三角形），再逐步扩展到包含更多线条的复合三角形。 例4．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 【变式4-1】．（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 3.顶点选择错误 选择错误的顶点作为计数起点会导致结果偏差。应选择包含最多可能三角形的顶点进行标记和累加。 例5．如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-1】．如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（    ）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4.忽略组合特性 若图形由多个独立三角形组合而成，需分别计算后再求和，避免将不同部分的三角形混为一谈。 例6．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-1】．数一数图中共有（   ）个三角形． 二、综合问题 例7．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（只保留作图痕迹） (1)在图1中作锐角，使点在格点上； (2)在图2中的线段上作点，使最短； (3)在图3中的线段上画出点，使的值最小． 【变式7-1】．如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【变式7-2】．【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             例8．一个圆周上有个点：，，，，，以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问：有多少种连法？ 【变式8-1】．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．试用学过的知识判断，下列说法正确的是（   ） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个等边三角形一定是等腰三角形 D．一个等腰三角形一定不是钝角三角形 5．如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（    ） A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 6．亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”下面图形可以说明亮亮的说法是错误的是（   ） A． B． C． D． 7．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 8．如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是三角形具有 ． 10．如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 个． 11．图中有 个三角形． 12．若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 13．写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例： ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 15．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 16．如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 17．许多概念之间都是有关系的．三角形、等腰三角形、等边三角形之间有什么关系？画出表示它们之间关系的示意图． 18．下面是小明给一些概念下的“定义”，你觉得这些“定义”合适吗？说说你的理由． (1)像火车铁轨那样的两条线叫作平行线； (2)三条边都相等的三角形叫作等边三角形； (3)四条边都相等的四边形叫作正方形； (4)有一个角是锐角的三角形叫作锐角三角形． 19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，三角形的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)画出将三角形向左平移6个单位，再向下平移4个单位后得到的三角形； (2)连接、，画出三角形； (3)直接写出三角形的面积． 20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）在图中描出点，，； （2）连接，，，并直接写出的形状； （3）求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.1 三角形的概念（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 三角形 1.三角形及其有关概念 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。 三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角。 2.三角形的表示方法 一个三角形是由三条边和三个内角组成的，三角形的三个顶点分别为A、B、C，那么三角形可表示为，读作“三角形ABC”。 要点诠释： 构成三角形的三个基本条件：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次相接. 例1．如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 解题通法： ①找出构成这个角的两边 ②找出第三边所对应的两个顶点，即可确定三角形 【答案】，；，， 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键．根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案． 【详解】解：以为角的三角形有，， 以为边的三角形有，，． 【变式1-1】．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-2】．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 3．如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 【答案】 3 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查了与三角形有关的概念，理解这些概念是关键；由三角形相关概念即可完成． 【详解】解：图中共有3个三角形：； 在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有； 故答案为：3；；；． 5．如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为 (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【知识点】三角形的分类、三角形的识别与有关概念、等腰三角形的定义 【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格结构作出图形并回答问题； （2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答． 【详解】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示， 即为所求； （2）解：是等腰三角形，是钝角三角形． 知识点2 三角形的分类 1.按角分类： 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 例2-1．三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 解题通法： 按三角形分类标准判断即可。三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类。 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类情况可得答案． 此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握三角形的分类一种是按边分类，另一种按角分类． 【详解】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 例2-2．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 解题通法： 按三角形分类标准填写即可。三角形按边分两类：三边都不相等的三角形，等腰三角形，其中等腰三角形包括三边相等的三角形及等边三角形。 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 【变式2-1】．一个三角形，三个角的度数都不相等，最小的角是，那么这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，牢记“三角形的三个角之和是和三角形按角分类的方法”是解题的关键．由最小的角及三角形的三个角之和是，可求出最大的角小于，进而可得出这个三角形是一个锐角三角形． 【详解】解：最小的角是，， 最大的角小于， 这个三角形是一个锐角三角形． 故选：A． 【变式2-2】．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角单脚的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D 【变式2-3】．有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（　　） A．个 B．个 C．个或个 D．个 【答案】B 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角的概念求出三角形的总数，再根据直角三角形和钝角三角形的个数，即可求解． 【详解】解：∵这些三角形的所有内角中，有个直角，个钝角，个锐角， ∴共有个三角形，且有个直角三角形，个钝角三角形， ∴有个锐角三角形， 故选：B． 【变式2-4】．利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查的是画三角形，三角形的分类； （1）根据锐角三角形的定义画锐角三角形的即可； （2）根据直角三角形的定义画直角三角形的即可； （3）根据钝角三角形的定义画钝角三角形的即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 【变式2-5】．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 一.辨易错 1.重复计数或漏算  从单一顶点出发时，需确保每个三角形只被计算一次 例3．如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 【答案】 3 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查了与三角形有关的概念，理解这些概念是关键；由三角形相关概念即可完成． 【详解】解：图中共有3个三角形：； 在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有； 故答案为：3；；；． 【变式3-1】．图中共有多少个三角形？把它们表示出来． 【答案】8个；见解析 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的概念及计数能力，解题的关键是按照一定的顺序（如从最小的三角形开始，逐步到较大的三角形）不重复、不遗漏地列举出所有三角形． 【详解】解：图中共有8个三角形，它们分别是： 2.未区分最小三角形 必须先识别并单独计数图形中最小的三角形（即无其他线条的三角形），再逐步扩展到包含更多线条的复合三角形。 例4．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 【答案】图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的定义，即可解答． 【详解】解：由图，可知 图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 【变式4-1】．（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 3.顶点选择错误 选择错误的顶点作为计数起点会导致结果偏差。应选择包含最多可能三角形的顶点进行标记和累加。 例5．如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：A 【变式5-1】．如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（    ）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【知识点】三角形的个数问题 【分析】根据三角形的定义得出答案即可． 【详解】解：以点为顶点的三角形有6个，它们分别是，，，，，． 故选A． 【点睛】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相连围成的图形得出三角形个数． 4.忽略组合特性 若图形由多个独立三角形组合而成，需分别计算后再求和，避免将不同部分的三角形混为一谈。 例6．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 【变式6-1】．数一数图中共有（   ）个三角形． 【答案】44 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可． 【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 二、综合问题 例7．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（只保留作图痕迹） (1)在图1中作锐角，使点在格点上； (2)在图2中的线段上作点，使最短； (3)在图3中的线段上画出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据锐角三角形的定义画出图形（答案不唯一）； （2）取格点，连接，延长交一点，线段即为所求； （3）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）， （2）解∶ 如图2中，线段即为所求， （3）解：如图3中，点即为所求， 【变式7-1】．如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键． 【变式7-2】．【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             【答案】（1）条；（2）个；（3）个；（4）个；（5）个 【分析】（1）数出线段的条数即可； （2）数出角的个数即可； （3）数出三角形的个数即可； （4）根据角的定义，得到每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个，再进行相加即可； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个；再进行相加即可． 【详解】解：（1）图中的线段有条：． 答：图中共有条线段． （2）图中共有个大于且小于的角： 答：图中共有个大于且小于的角． （3）由一个三角形组成的三角形个数有8个，由两个三角形组成的三角形个数有4个，由四个三角形组成的三角形个数有4个，所以共有：（个）． 答：图3中含有个三角形． （4）若从一个角的顶点出发，在角的内部引出条射线，则大于且小于的角中，每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔98条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个， ∴大于且小于的角共有：（个）； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个； ∴共有（个）． 【点睛】本题考查了线段、角、三角形、长方形的个数，注意在数个数时要不重不漏． 例8．一个圆周上有个点：，，，，，以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问：有多少种连法？ 【答案】55 【分析】利用递推的方法，根据三角形的定义，结合图表依次推出圆上有3个点，6个点，9个点和12个点连成三角形的种数，进而得出结论． 【详解】 解：（1）如果圆上只有3个点，那么只有一种连法； （2）如果圆上有6个点，除所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法有3种． （3）如果圆上有9个点，考虑所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在： ①A1所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上； 在表2中用“”号表示它们分布在不同的边所对的弧；如果是情形①，则由（2）， 这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法；共有12种连法． （4）最后考虑圆周上有12个点．同样考虑所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能： ①9个点都在同一段弧上； ②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上； ③每三个点在所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3； 共有种． 所以共有55种不同的连法． 【点睛】本题主要考查了计数方法，利用递推的方法，依次推出圆上有3个点，6个点，9个点和12个点连成三角形的种数，即采用了化难为易的方法解答，要注意各个三角形的边都不相交这个要求． 【变式8-1】．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答案】（1）10；24；（2）个 【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可； （2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数． 【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10； 根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24； （2）增加1条线，三角形个数为：； 增加2条线，三角形个数为：； 增加3条线，三角形个数为：； 则增加条线，三角形个数为：， 所以增加10条线，三角形个数为个； 【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接得到的封闭图形是三角形解题即可． 【详解】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项， 故选：B． 2．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 3．将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形，根据三角形的概念即可求解． 【详解】解：以为边的三角形有， 所以有3个， 故选：C． 4．试用学过的知识判断，下列说法正确的是（   ） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个等边三角形一定是等腰三角形 D．一个等腰三角形一定不是钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的分类，根据直角三角形、等腰三角形、等边三角形、钝角三角形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、直角三角形不一定是等腰三角形，等腰直角三角形一定是等腰三角形，故不符合题意； 、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，也可能是钝角三角形，故不符合题意； 、一个等边三角形一定是等腰三角形，故符合题意； 、一个等腰三角形一定不是钝角三角形，也可能是锐角三角形，故不符合题意； 故选C． 5．如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（    ） A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，理解并掌握三角形的分类是解题的关键． 三角形根据角度分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是钝角， ∴与可能是两个锐角， 故选：D ． 6．亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”下面图形可以说明亮亮的说法是错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三个内角，亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”要想说明亮亮的说法错误，需要用锐角三角形说明． 【详解】解：A选项：直角三角形有一个直角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故A选项不符合题意； B选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故B选项不符合题意； C选项：锐角三角形的三个角都是锐角，能说明亮亮的说法错误，故C选项符合题意； D选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故D选项不符合题意； 故选：C． 7．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 8．如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，正确理解三角形的稳定性是解题的关键．根据图示，有三角形构成，结合三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：根据图示，运用的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定性 ． 10．如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 个． 【答案】4 【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍，从而得解．本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试． 【详解】如图，满足条件的点C共有4个． 故答案为：4． 11．图中有 个三角形． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形．分层计算即可求解． 【详解】解：单独的小三角形有8个， 两层小三角形有4个， 三层小三角形有2个， 共有个， 故答案为：14． 12．若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．先根据角的个数判断三角形的个数，再根据三角形内角和定理，由于有4个直角，2个钝角，则有4个直角三角形和2个钝角三角形，则余下的三角形为锐角三角形． 【详解】解：共有个角，则共有（个）三角形， 而有4个直角，2个钝角， 所以有4个直角三角形和2个钝角三角形， 所以锐角三角形的个数． 故答案为：3． 13．写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，”是假命题的反例： ． 【答案】中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了举例说明命题为假命题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形形状． 【详解】解：若中，，，则中有两个锐角，但是钝角三角形． 故答案为：中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一） 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边． 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解． 【详解】解：除外，还有、、、， ∴除外，图中还有4个三角形 其中，是和的边． 15．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 【答案】(1)7个，见解析 (2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，， (3)，， (4)，， 【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，． （2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，． （3）以为内角的三角形有，，． （4）以AB为边的三角形有，，． 16．如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形 【分析】本题考查了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义； 根据是直角，，可得，，是锐角，是锐角，是钝角，然后进行分类即可． 【详解】解：∵是直角， ∴，，是锐角， ∵，点E在线段上， ∴是锐角，是钝角， ∴是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形． 17．许多概念之间都是有关系的．三角形、等腰三角形、等边三角形之间有什么关系？画出表示它们之间关系的示意图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的分类，解题的关键是掌握三角形之间的关系，会利用韦恩图来表示之间的关系． 【详解】解：如图． 18．下面是小明给一些概念下的“定义”，你觉得这些“定义”合适吗？说说你的理由． (1)像火车铁轨那样的两条线叫作平行线； (2)三条边都相等的三角形叫作等边三角形； (3)四条边都相等的四边形叫作正方形； (4)有一个角是锐角的三角形叫作锐角三角形． 【答案】(1)不合适，理由见解析 (2)合适，理由见解析 (3)不合适，理由见解析 (4)不合适，理由见解析 【分析】本题考查了平行线，等边三角形、正方形、锐角三角形的概念，解题的关键是掌握相应的概念； （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线； （2）三条边都相等的三角形叫作等边三角形； （3）四边相等，四个角也相等的四边形是正方形； （4）三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形． 【详解】（1）解：不合适，理由：根据这个定义没法判断一个对象是否属于这个概念，在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线； （2）解：合适，理由：根据这个定义可以判断一个对象是否属于这个概念； （3）解：不合适，理由：根据这个定义没法判断一个对象是否属于这个概念，需要加上四个角也相等才能确定正方形的定义； （4）解：不合适，理由：根据这个定义没法判断一个对象是否属于这个概念，如直角三角形中也有两个锐角，但不是锐角三角形． 19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，三角形的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)画出将三角形向左平移6个单位，再向下平移4个单位后得到的三角形； (2)连接、，画出三角形； (3)直接写出三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)14 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点、、，依次连接即可； （2）连接、，即可得出； （3）利用网格求三角形的面积，先把三角形放到正方形中，再减去周围三个三角形的面积，即可得出的面积． 【详解】（1）解：如图： ∴为所求三角形． （2）解：如图： ∴为所求三角形． （3）解：∵ ∴． 【点睛】本题考查了作图-平移变换及利用网格求三角形的面积，熟练掌握平移变换的性质得出、、的位置是解答本题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）在图中描出点，，； （2）连接，，，并直接写出的形状； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；（3） 【分析】（1）根据点的坐标描点出各个点即可； （2）根据三角形的分类即可判断； （3）根据三角形的面积公式计算即可； 【详解】解：（1）点A、点、点如图所示； （2）是直角三角形； （3）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，三角形的面积公式、三角形的分类等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$