第7章 一元一次不等式 全章重难点9大题型（举一反三） 期末能力提升 2024-2025学年华东师大版（2024）七年级数学下册

第7章 一元一次不等式 重难点9大题型 （举一反三） 答案 例1、 （1）1、2、3 （2）-1 例2、 A 例3、 C 例4、 例5、2 例5、 解:任务一:①不等式的基本性质2 ②三 -20x 移项没有改变符号 任务二:去分母,得10-2(2x-2)<5(3-4x). 去括号,得10-4x+4<15-20x. 移项,得-4x+20x<15-10-4. 合并同类项,得 16x<1. 两边都除以 16,得x< 任务三:注意不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数时,不等号的方向要改变.(答案不唯一) 例7、解:去分母,得3(x+1)>2(2x+2)-6. 去括号,得3x+3>4x+4-6. 移项,得3x-4x>4-6-3. 合并同类项,得-x>-5. 两边都除以-1,得x<5. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 所以不等式的正整数解有1、2、3、4. 例8、解:根据题意,得2x >-2. 去分母,得5(x+2)-8x>-8. 去括号,得5x+10-8x>-8. 移项,得5x-8x>-8-10. 合并同类项,得-3x>-18. 两边都除以-3,得x<6. 所以,当x取小于6的任何数时,代数式2x的值大于-2. 例9、 解:解不等式①,得x<3. 解不等式②,得x≥-1. 所以不等式组的解集为-1≤x<3. 所以这个不等式组的整数解为-1、0、1、2，它们的和为-1+0+1+2=2. 例10、 解法一(转化法): 把不等式组转化为 解不等式①,得x≥-4. 解不等式②,得x<11. 把不等式①②的解集在数轴上表示出来,如图所示. 由图可知,这个不等式组的解集为-4≤x<11. 所以这个不等式组的整数解为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10. 解法二(性质法): 三边乘以 3,得-9≤2x-1<21. 三边加上1,得-8≤2x<22. 三边除以 2,得-4≤x<11. 所以这个不等式组的解集为-4≤x<11. 所以这个不等式组的整数解为-4、-3、-2、 -1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10. 例10、 解:(1)由有理数的乘法法则“两数相乘,异号得负”有①或② 解不等式组①,得x>3. 解不等式组②,得x<-4. 所以不等式(2x+8)(3-x)<0的解集是x>3或x<-4. (2)由有理数的除法法则“两数相除,同号得 正"有①或② 解不等式组①,得-3<x<2. 解不等式组②,无解. 所以不等式>0 的解集是-3<x<2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 一元一次不等式 重难点9大题型 （举一反三） 题型一：不等式的特殊解 解题策略：先在数轴上表示出不等式的解集,再结合数轴在该解集中找出符合条件的特殊解。 例1、(数形结合思想)(1)写出不等式x<4的所有正整数解: ; (2)写出不等式x>-2的最小整数解 【1-1】写出不等式x≤2.5的所有非负整数解:_____ 【1-2】(开放性问题)试写出一个不等式,使它的解集满足条件: 不等式的正整数解只有1、2、3、4、5. 则这个不等式可以是 题型二：不等式的基本性质与数轴的综合应用 解题策略:根据数轴确定字母的大小关系和取值范围,再利用不等式的基本性质进行变形,体现了数形结合思想. 例2、若有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示,则下列不等式正确的是( ) A. a+c<b+c B.a-c>b-c C.ac>bc D.ac2≤bc2 【2-1】有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示,则下列不等式中不正确的是( ) A. c<b<a B.c+b<c+a C. D.ac>ab 【2-2】(数形结合思想)有理数a、b、c满足a>b 且ac<bc,它们在数轴上对应的点的位置可能是( ) 题型三：利用不等式的基本性质解决天平问题 知识点睛：天平的倾斜表示左、右两边托盘中物体质量的不等关系,下落的一边质量大,翘起的一边质量小;天平平衡表示左、右两边托盘中物体的质量相等. 例3、设“ ▲”“● ”“█ ”分别表示三种 不同的物体,现用天平称两次,情况如图所示,那么“▲”“ ●”“█ ”这三种物体按质量从大到小排列应为( ) A. █、●、▲ B.▲、█、● B. █、▲、●、 D.●、▲、█ 【3-1】设a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量,同类水果的质量相等,现用天平称两次,情况如图所示,则下列关系正确的是( ) A. a>c>b B.b>a>c C.a>b>c D.c>a>b 【3-2】P、Q、R.S四个小朋友玩跷跷板,结果如图所示,则他们的体重大小关系为( ) A. R<Q<P<S B.Q<R<P<S C.Q<R<S<P D.Q<P<R<S 题型四:利用不等式的基本性质进行推理 例4、[阅读理解)【问题背景】思考:“如何利用不等式的基本性质1,2说明不等式的基本性质3呢?”小明首先把问题转化为以下的形式: ①已知:a>b,c<0.试说明:ac<bc. ②已知:a>b,c<0.试说明: 【问题探究】针对①,小明给出如下推理过程. 因为c<0,即c是一个负数， 所以c的相反数是正数,即-c>0. 因为a>b， 所以a.(-c)>b.(-c)， 即-ac>-bc. 所以-ac+(ac+bc)>-bc+(ac+bc)， 得 bc>ac,即ac<bc. 【问题解决】参考上面的方法,完成②的推理. 【4-1】利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性: （1）一个数减去一个负数比这个数大; (2)一个负数乘以一个比1小的正数比这个数大. 【4-2】阅读感悟】代数推理题是数学中常见的一种题型,它要求运用逻辑推理和代数知识来说明某个数学命题的正确性. 已知x>y>0,说明:x2>y2. 解:因为x>y 且x、y均为正数， 所以x2>xy,xy>y2. 所以x2>y2(不等式的传递性). 【解决问题】说明下面结论的正确性: （1）如果a>b,c>d,那么a-d>b-c; (2)如果a<b<c<0,那么ab>ac>bc. 题型五:利用一元一次不等式的概念求值 解题策略:解决含有字母的一元一次不等式问题时，既要考虑含未知数的项的次数都是1,也要保证未知数的系数不等于0. 例5、 已知(m+2)x|m|-1+3>0是关于x的一元一次不等式,则m = . 【5-1】已知(m-4)x|m-3|+2>6是关于x的一元一次不等式,则m的值为 【5-2】若(m+1)xm2-3>0 是关于x的一元一次不等式,则m的值为 题型六、解一元一次不等式 1. 一元一次不等式的过程纠错题 知识点睛：解一元一次不等式的常见错误:①去分母时,漏乘不含分母的项;②括号前是负数,去括号后有的项没有变号;③移项时,移动的项没有变号;④不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数时，不等号的方向没有改变等。 例6、下面是小林同学解一元一次不等式1- 的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解:去分母,得10-2(2x-2)<5(3-4x).... 第一步 去括号,得10-4x+4<15-20x............第二步 移项,得-4x-20x<15-10-4.…………第三步 合并同类项,得-24x<1..........第四步 两边都除以-24,得x>- ………第五步 任务一:①以上解题过程中,第一步的依据是 ②第_ 步开始出现错误,这一步具体的错误是 任务二:请你写出正确的解题过程; 任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习方法和经验,就解不等式的过程写出一条注意事项. 【6-1】对不等式 ,给出了以下解答: ①去分母,得4(x-1)-(x+3)>8. ②去括号,得4x-4-x+3>8. ③移项、合并同类项,得 3x>9. ④两边都除以 3,得x>3. 其中开始出现错误的一步是( ) A. ① B.② C.③ D.④ 【6-2】下面是小明同学解不等式的过程,请认真阅 读并回答下列问题: 解:去分母,得2(2x-1)>3(3x-2)-6..…① 去括号,得4x-2>9x-6-6.......... ② 移项,得4x-9x>-6-6+2........... ③ 合并同类项,得-5x>-10............④ 两边都除以-5,得x>2.............⑤ (1)第①步的依据是____; (2)第 ____ 步开始出现错误,错误的原因是_____________; (3)直接写出该不等式的正确解集,并在数轴上表示出来. 2.一元一次不等式的特殊解 解题策略:求不等式的特殊解时,应先求出不等式的解集,然后可以在数轴上表示出解集,利用数形结合思想确定符合要求的特殊解. 例7、解不等式,并写出它的正整数解. 【7-1】不等式2x-10>-5的最小整数解为( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 【7-2】不等式2x-7≤8-3x的正整数解的和为_____ 【7-3】求不等式 的负整数解. 题型七、构造一元一次不等式求值(取值范围） 解题策略：根据题目中的关键词“大于"“小于”"不小于”等建立不等式模型,转化为求不等式解集的问题。 例8、 当x取何值时,代数式2x的值大于-2? 【8-1】当x 取何值时,代数式的差不大于4? 题型八、 解一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的特殊解 解题策略：解答有关不等式组的整数解问题时,先求出不等式组的解集,再确定整数解,可借助数轴找出符合条件的整数解.取整数解时,要注意看端点值能不能取. 例9、 解不等式组 , 并求出它的所有整数解的和. 【9-1】不等式组 , 的最大整数解为_______。 【9-2】解不等式组 把解集在数轴上表示出来,并写出它的所有正整数解. 2.解连写形式的不等式组 思路分析 解法一 改写为一般形式的不等式组.......分开解，集中判 解法二 直接运用不等式的基本性质求解.....化为a≤x<b的形式 例10、 解不等式组-3≤,并写出它的所有整数解. 【10-1】求不等式组-3<4x-7≤9的整数解. 【10-2】解下列不等式组: (1)-3≤1-<5; (2)- 题型九、解特殊不等式 例11、 理解以下例题,再解答问题. 例题:解不等式(3x-6)(2x+4)>0. 解:由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”有 ①或②. 解不等式组①,得x>2. 解不等式组②,得x<-2. 所以不等式(3x-6)(2x+4)>0的解集是x>2或x<-2 (1)求不等式(2x+8)(3-x)<0的解集; (2)求不等式>0 的解集. 【11-1】在数学学习过程中,自学是一种非常重要的学习方式,通过自学不仅可以获得新知,而且可以培养和锻炼我们的思维品质.请你通过自学解答下面的问题: 解决含有绝对值符号的问题,通常根据绝对值符号里所含式子的正负性,去掉绝对值符号,转化为不含绝对值符号的问题再解答. 例:解不等式|x-3|>2. 解:①当 x-3≥0,即x≥3 时， 原不等式化为x-3>2,解得x>5. 此时,不等式|x-3|>2 的解集是x>5. ②当x-3<0,即x<3 时， 原不等式化为3-x>2,解得x<1. 此时,不等式|x-3|>2的解集是x<1. 综上可知,原不等式的解集是x>5或x<1. 问题:用以上方法解不等式|4m-1|-9≤0 学科网（北京）股份有限公司 $$