精品解析：广西名校联盟2026届高三上学期8月适应性联合测试数学试卷

邕衡教育·名校联盟 广西2026届新高考秋季学期8月适应性联合测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据的极差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差的公式计算，即减去. 【详解】该组数据的最大数为38，最小数为6，所以极差. 故选：C. 2. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将代入到中，然后对分母进行化简，最后通过复数的运算法则来化简式子即可. 【详解】由题意得，. 故选：A. 3. 已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的元素的个数可得中两个元素的均在中，故可求参数的取值范围. 【详解】由题意得，得，则的取值范围为. 故选：D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的求解方法求解即可. 【详解】不等式可化为，即，等价于， 解得，解集为. 故选：B. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知三边求角，利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理， 又，所以. 故选：B. 6. 设抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出焦点坐标，然后可得抛物线方程，进而可得点和点坐标，然后可解. 【详解】对，令，则，所以，故抛物线， 抛物线的准线方程为，故，则， 代入抛物线得，所以. 故选：B. 7. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 512 B. -512 C. 1024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及等比数列的前项和定义即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，， ∴，∴， ∴. 故选：C. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式、辅助角公式及二倍角公式求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本量法求出公差后可求通项，再利用等差数列的性质判断A，利用通项公式求出判断B，利用前项和公式判断C，利用单调性求出的最小值后判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 又，，，， . A选项，，正确； B选项，，错误； C选项，，，正确； D选项，， 易知在上为单调递增， 所以当时有最小值为4，正确. 故选：ACD. 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 在和上单调递增 C. 当时， D. 有2个极小值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件结合偶函数的性质求当时的函数解析式，由此判断C，求时，函数的导函数，代入可得，判断A，求函数在区间上的导函数，利用导数与单调性的关系求函数在上的单调区间，结合偶函数性质求函数的单调递增区间判断B，根据函数在区间上的极值情况，结合偶函数性质判断D. 【详解】是定义在上的偶函数，所以， 又当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，C错误， 因为当，， 所以当，，故，A错误， 因为当时，， 令可得，或（舍去） 当时，，函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在和上单调递增，B正确， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，是的极小值点，因为是偶函数，所以也是的极小值点，故有2个极小值点，D正确. 故选：BD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且.过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，.则（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 的取值范围为 C. 内切圆圆心始终在直线上运动 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】结合过两点的直线的斜率公式，用表示出，再利用的关系求双曲线的离心率，可判断A的真假；利用基本不等式，可判断B的真假；利用双曲线的概念，结合切线长定理，可确定内切圆圆心的位置，判断C的真假；先利用点到直线的距离公式，结合点在双曲线上，可求为定值，再结合余弦定理和基本不等式，可求的最小值，判断D的真假. 【详解】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为， 由，则， 所以， 即，故A正确； 对于B，显然，且，，故B正确； 对于C，设内切圆的圆心为，内切圆与相切于点，，，如图所示， 则，且，，， 由于，所以. 而，所以，所以. 所以内切圆圆心始终在直线上运动，由，，则，C选项错误； 对于D，由上知，，所以， 故双曲线，其渐近线方程为， 设，，则，，故. 因为点在双曲线上，所以，则. 因为渐近线的倾斜角为，所以或，故， 在中，由余弦定理可得 ， 当且仅当等号成立，此时P与A重合，不合题意， 则，即无最小值.故D不正确. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件根据向量的加法的坐标运算公式，再由条件结合向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，所以， 因为，则，则， 解得. 故答案为：. 13. 若是函数的极值点，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘法的求导法则对原函数求导，根据是函数的极值点，得出，求出的值并验证是否成立. 【详解】已知函数， 求导得： ， 因为是函数的极值点， 所以，得. 验证：当时，， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 所以是函数的极值点，符合题意. 故答案为：. 14. 在正四面体中，取棱上一点，使，，连接，，设三棱锥的内切球的球心为，三棱锥的内切球的球心为，则二面角的正弦值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，根据二面角的定义及已知有在的角平分线上、在的角平分线上且为二面角的平面角，进而可得，再应用余弦定理、二倍角余弦公式求的正弦值. 【详解】取中点，连接，如下图所示， 由，，则， 所以是的平面角，则在的角平分线上， 同理，三棱锥的内切球球心在的角平分线上， 由平面，则平面，平面， 故，同理，于是为二面角的平面角， 由几何关系知，无论取何值都有成立， 不妨设正四面体的棱长为2，则，， 设锐角，则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线是函数的一条对称轴. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据给定的对称轴，结合正弦函数的图象与性质列式求解即得. （2）化简，再利用正弦函数的性质求出最值即可. 【小问1详解】 直线是函数的一条对称轴， 所以， 解得，由可得， 所以. 【小问2详解】 令，由， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 即在上的最大值为，最小值为. 16. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 17. 如图，在四边形中，，，是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，，根据已知得，，再由线面、面面平行的判定定理得平面平面，最后根据面面平行的性质定理证结论； （2）取的中点为，连接，，，根据已知及二面角定义有二面角的平面角为，设，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出二面角中相关面的法向量，再应用向量法求夹角余弦值，进而可得其正弦值. 【小问1详解】 取的中点为，连接，， 因为是的中点，，所以，又， 所以为平行四边形，又、分别是、的中点， 所以，，又平面，平面， 所以平面， 同理得平面， 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 取的中点为，连接，，， 因为，所以为等边三角形， 因为，所以为平行四边形，所以为等边三角形， 所以，，则二面角的平面角为， 以为原点，，为轴，过点作平面的垂线为轴， 设，则，，，，， 设为平面的法向量，则，取，得， 平面的法向量为，设二面角的大小为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时， （i）证明函数有且仅有两个零点，且其中较大的零点； （ii）设函数的极值点为，试比较与的大小. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，先求出导函数，然后求出切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求出切线方程； （2）（i）显然是的零点.对求导得，设，对求导研究的符号，进一步可得在单调递减.结合零点存在性定理可知：存在唯一的使得，根据的符号可得的单调性.分析和的符号，结合零点存在性定理即可证明； （ii）由（i）知，令可得.，则. 法一：由（i）可得时.令，则，进而，由在上的单调性可得.结合在上的单调性即可证明； 法二：，对求三阶导数，研究在上的单调性结合，可得，进而可得，由在上的单调性可得.结合在上的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，∴， ∴，， ∴在处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）显然是的零点. ， 设，则，. ∵，，∴，∴在单调递减. 又，且， 由零点存在性定理可知：存在唯一的使得， 当时，，即；当时，，即， ∴当时，单调递增；时单调递减，∴为函数的最大值. ∵，，∴，且. 令，则， 则，∴在上单调递减. 又，∴，即， 由零点存在定理得，存在使得，这表明. （ii）由（i）知，令，可得. 下面研究， 则. 法一：由（i）知时，即. 令，则，即. ∴， ∴在上单调递减，则有，即. 由（i）知时单调递减且有，所以有. 法二： ， 则， ， . 注意到在上单调递减，且，∴，∴在上单调递减. 又，∴，∴在上单调递减. 又，∴，∴在上单调递减. ∵，∴，即， ∴在上单调递减，∴，即. 由（i）知时，单调递减且有，所以有. 19. 树人高中在科技节期间举办了一项智力闯关活动，参与者每成功通过一关即可获得相应的积分.该活动共设有关，每关的积分各不相同，且最高积分在各关卡中出现的概率均等.参与者闯关成功后，可以选择接受本关的积分从而结束活动，或者放弃本关积分继续挑战后续关卡，以获取更高积分的机会.需要注意的是，活动规则禁止重复闯关，且各关积分不予累计.小南同学凭借其出色的智力水平，能够顺利通过每一关.然而，他的目标在于获取所有关卡中积分最高的那一关的积分.由于无法预知哪一关的积分最高，他采取了以下策略：拒绝前关的积分，将其作为参考数据，从第关开始，如果下面某关积分超过之前任意一关的积分，就选择此关的积分；如果没有更高的积分，则选择最后一关的积分.设小南同学获得最大积分的概率为. （1）若，，求； （2）（i）求证：； （ii）时，记，其中（欧拉常数），若，且，求当取到最大值时的取值（，结果四舍五入取整）. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）37 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用排列、组合计数问题求出古典概率. （2）（i）构造函数，利用导数证明不等式；（ii）利用全概率公式求出获得最大积分的概率，并利用给定条件求得，再构造函数并求出最大值，进而求出值. 【小问1详解】 依题意，5关中积分大小不同，排序共有种情况， 获得最大积分，有以下三类：情况1，最高积分是第3关，其他积分随意排序，有种情况； 情况2，最高积分是第4关，则剩下4关中任取3个，此3关中最高积分出现在前2关中的某关即可，有种情况； 情况3，最高积分出现在第5关，则剩下4关中最高积分出现在前2关中的某关即可，有种情况， 所以所求概率. 【小问2详解】 （i）设，则，函数在上单调递减， 则，即，令，则， 因此； 设，，函数在上单调递增， 则，即，令，则， 因此， 所以. （ii）记事件表示获得最大积分，事件表示最大积分排在第关， 由最大积分在各关上的概率相等，得，以最大积分所在位置作为条件， 当时，最大积分在前关之中，则小南同学不会获得最大积分，此时； 当时，小南同学获得最大积分，当且仅当前关最大积分在前关中，此时， 由全概率公式得：， 由，得， 同理，作差得，因此， 设函数，求导得， 当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，则当时，，即当时，， 所以取最大值时，的取值约为37. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邕衡教育·名校联盟 广西2026届新高考秋季学期8月适应性联合测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据的极差为（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 512 B. -512 C. 1024 D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是4 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 在和上单调递增 C. 当时， D. 有2个极小值点 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且.过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，.则（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 的取值范围为 C. 内切圆圆心始终在直线上运动 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则_________. 13. 若是函数的极值点，则_________. 14. 在正四面体中，取棱上一点，使，，连接，，设三棱锥的内切球的球心为，三棱锥的内切球的球心为，则二面角的正弦值是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线是函数的一条对称轴. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在上的最大值和最小值. 16. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 17. 如图，在四边形中，，，是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时， （i）证明函数有且仅有两个零点，且其中较大的零点； （ii）设函数的极值点为，试比较与的大小. 19. 树人高中在科技节期间举办了一项智力闯关活动，参与者每成功通过一关即可获得相应的积分.该活动共设有关，每关的积分各不相同，且最高积分在各关卡中出现的概率均等.参与者闯关成功后，可以选择接受本关的积分从而结束活动，或者放弃本关积分继续挑战后续关卡，以获取更高积分的机会.需要注意的是，活动规则禁止重复闯关，且各关积分不予累计.小南同学凭借其出色的智力水平，能够顺利通过每一关.然而，他的目标在于获取所有关卡中积分最高的那一关的积分.由于无法预知哪一关的积分最高，他采取了以下策略：拒绝前关的积分，将其作为参考数据，从第关开始，如果下面某关积分超过之前任意一关的积分，就选择此关的积分；如果没有更高的积分，则选择最后一关的积分.设小南同学获得最大积分的概率为. （1）若，，求； （2）（i）求证：； （ii）时，记，其中（欧拉常数），若，且，求当取到最大值时的取值（，结果四舍五入取整）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $