【圆的综合问题】【五大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

圆的综合问题 题型归纳 【题型1. 圆的综合——圆内知识综合】……………………………………………… 1 【题型2. 圆的综合——圆与三角形的综合】………………………………………… 6 【题型3. 圆的综合——圆与四边形的综合】………………………………………… 14 【题型4. 圆的综合——圆与函数的综合】…………………………………………… 25 【题型5. 圆的综合——其他问题】…………………………………………………… 34 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 40 题型专练 题型1. 圆的综合——圆内知识综合 【例1】（2023·海南海口·一模）如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 【分析】连接交于点F，证明四边形是矩形，点O圆心且，可得是的中位线，可得F为的中点，由勾股定理的，即可求出的长． 【详解】解：连接交于点F点， 为直径， ， ∴， 又为切线， ， ∴， 四边形是矩形， ，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查圆知识的综合应用，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、矩形的判定、垂径定理． 【变式1】（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【分析】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解； （2）利用②的方法来求解． 【详解】（1）解：①连接，，如下图 为边上一点，点与点关于直线对称， ，，， ． 在中，， ，， ． ， ， ， ． ② 证明：过点作交于, ∴. ∵ ∴, ． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴， ， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴， ， ， ， ， ． （2）DE=2EH－CE 证明：同②的方法． 【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 【变式2】（22-23九年级上·天津北辰·期末）已知为的直径，，为上一点，连接，． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，进而求出，根据勾股定理求出； （2）根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据垂径定理解答即可． 【详解】（1）解：为的直径， ， 为的中点， ， ， ； （2）是的切线， ， ，， 四边形为矩形， ， 在中，，，， 则， ， ， ． 【点睛】本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 题型2. 圆的综合——圆与三角形的综合 【例1】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（   ） A． B． C． D． 【分析】运用勾股定可得，根据切线的性质可得，四边形是正方形，设，可得，则有，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，连接， ∵是的内切圆，分别与，，相切于点，，， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 设， ∴，，， ∴， 解得，，即， ∴， 在中，， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形与圆的综合，切线的性质，切线长的运用，勾股定理的知识，掌握切线的性质，切线长的运用是解题的关键． 【例2】（2025·广西来宾·模拟预测）如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【分析】（1）连接．根据切线的判定定理，证明即可； （2）利用三角形相似，勾股定理，解方程计算解答即可． 【详解】（1）证明：证明：如答图，连接． ∵平分， . ， ， ， . ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：是的直径， . ， . ， ， . ， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去）， ， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆的性质，切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练掌握切线的判定，勾股定理是解题的关键． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【分析】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【详解】解：如图所示，为的外接圆， 延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上， ∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ． 故选择：C． 【变式2】（2025九年级下·浙江·学业考试）如图，A，B是直线l上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与l相切于点A，B，点C是这两个圆的公共点，则圆弧与线段所围成图形的面积S的最大值是 ． 【分析】本题主要考查两圆的位置关系和扇形面积计算公式的应用．扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，圆心角为，半径为r的扇形面积为．如果其顶角采用弧度单位，则可简化为乘以半径乘以弧长．例如本题就是首先判断出当这两个动圆外切时，面积S取得最大值，然后结合扇形面积进行解答的． 【详解】解析：如图，当时，两圆相切，此时面积S最大， ． 故答案为： 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，点、在上，，过点作的切线交的延长线于点，连接、、、． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 【分析】延长交于点，则，所以，由，推导出，则，所以，即可证明； 连接，作于点，由切线的性质得，因为的半径，，所以，，由，求得，则，所以，根据垂径定理得垂直平分，则． 此题重点考查圆周角定理、平行线的判定、切线的性质、勾股定理、垂径定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：延长交于点，则， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：连接，作于点，则， 过点作的切线交的延长线于点， ， ， 的半径，， ，， ， ， ， ， ∵， 垂直平分， ， 的长是． 【变式4】（2025·江苏苏州·一模）如图，为线段上两点，且，，，过点作的垂线，与以为直径的交于点，作射线． (1)求证：为的切线； (2)为上一点，弦与直径交于点，当为中点时，求的长． 【分析】本题考查圆的切线判定、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定与性质．解题关键是利用勾股定理及逆定理证明切线，通过证明三角形相似并结合线段关系求解线段长度． （1）连接，先根据已知线段长度求出及圆半径$OE$等相关线段长，再在和中用勾股定理求出、，最后依据勾股定理逆定理证明，从而证得为的切线． （2）连接，利用是中点得出，结合及对顶角相等，证明，根据相似比设未知数表示与，由长度求出未知数，进而求得的长． 【详解】（1）连接， ∵，，， ∴， ∴半径， ， ． ∵， ∴ 在中， ． 在中， ． ∵， ∴，，． ∵， ∴在中，，即． ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：连接， ∵为中点，为直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵． ∴． ∴． 设，则． ∵，即， ． ， 将代入可得： ． 题型3. 圆的综合——圆与四边形的综合 【例1】（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】证明，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，即可证明③正确；作，交延长线于M，证明，利用勾股定理以及三角形面积公式，可得四边形的面积，可得④错误，即可． 【详解】解：∵等腰内接于圆O，且为直径， ∴， ∴，即平分；故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵为直径， ∴， ∵， ∵， ∴要使四边形的周长最大，要最大， ∴当时，四边形的周长最大， 此时，，故③正确； 作，交延长线于M， ∵， ∴， ∵A、C、B、D四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵直径，，， ∴，， ∴， 四边形的面积为 ，故④错误； 综上，①②③正确； 故选：C 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大． 【例2】（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，已知正方形是半径为2的内接四边形，求四边形的面积． 【分析】根据圆内接正方形得到，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题考查了圆内接正方形的性质，勾股定理，正确理解圆内接正多边形的性质是解题的关键． 【变式1】（2025·云南曲靖·二模）如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，． (1)若，求（用含的式子表示）； (2)求证：是的切线； (3)过点C作交于点H，作交于点F，若，求的长． 【分析】（1）根据题意可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解； （2）连接，根据，可得，再由以及，可得，从而得到，即可求证； （3）先证明四边形是矩形，可得，在中，根据勾股定理可得 ，设，则，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即． 【点睛】本题主要查了圆的综合题，涉及了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【分析】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图1，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②直接写出线段，，之间的数量关系为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离为 ． 【分析】此题是四边形的综合题，本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力．通过添加适当的辅助线证明，并能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． （1）①由条件易证，从而得到．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； ②利用，得出，利用为等边三角形，得出，即可解答； （2）仿照（1）中的解法可求出的度数，证出；由为等腰直角三角形及为等腰中边上的高可得，从而证到． （3）由可得：点在以点为圆心，1为半径的圆上；由可得：点在以为直径的圆上．显然，点是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题． 【详解】解：（1）①如图1， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：； ②，理由如下： ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：； （2），． 理由：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ，． 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． ，， ． ， ． ． （3）点到的距离为或．理由如下： ， 点在以点为圆心，1为半径的圆上． ， 点在以为直径的圆上． 点是这两圆的交点． ①当点在如图3①所示位置时， 连接、、， 过点作，垂足为，作，交于点， 如图3①．四边形是正方形， ，，． ． ， ． ， 、、、在以为直径的圆上， ． 是等腰直角三角形． 又是等腰直角三角形，点、、共线，， 由（2）中的结论可得：． ． ； ②当点在如图3②所示位置时， 连接、、，过点作，垂足为，作，交的延长线于点，如图3②． 同理可得：． ． ． 综上所述：点到的距离为或． 题型4. 圆的综合——圆与函数的综合 【例1】（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)若，求三点的坐标； (2)如图1，若，求的值； (3)如图2，过点C作交抛物线于另一点E，以CE为直径作，求证：直线与相切． 【分析】（1）将，代入解析式，分别令，解方程即可求解； （2）设，，则是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而根据，过点作，分别求得的长，根据建立方程解方程即可求解． （3）连接，，根据二次函数的性质，得出点的坐标，进而求得点的坐标以及顶点的坐标，勾股定理以及勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得证． 【详解】（1）解：当，抛物线解析式为， 令，解得， ∴， 令，则， 解得：， ∵在的左侧， ∴，； （2）解：∵， 令，解得， ∴， 设，， ∴是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 过点作， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 即， ， 解得：， ∵， ∴， （3）如图，连接，， ∵， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得：， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴的半径为， ∴， ∴是的半径， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴ ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，切线的判定，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．    (1)如图，点，点． ①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：　　 ； ②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围； (2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围． 【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出点，点对称点的坐标，结合图形即可求解； ②分当时和两种情况，结合图形即可求解； （2）根据题意，只要找到r的最小值即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示：    ∵点，点，关于的对称图形为，半径为， ∴根据轴对称性得：，即点在y的正半轴上， ∴在的内部， ∴为线段关于直线的“弱相关图形”． 故答案为：； ②如图所示，是线段关于直线l：的“弱相关图形”， ∵与平行， ∴与坐标轴的夹角为，由点O关于对称， 则，则在直线上， 当时，点O离对称轴直线l：较远，如图，当在上时，    设l与x轴交于点D， 依题意，，是等腰直角三角形， ∴， ∴D的坐标为，代入 解得：， 当时，点A离对称轴直线较远，如图：当在上时，    同理可得， 连接，在中，设，则， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 代入， 解得：， 综上所述：． （2）解：∵， ∴， 即C在直线上， 如图所示：过点O作于点S， 由，令， 令， ∴， 依题意，点C在直线上运动，过点C的直线为对称轴，将与对称， ∴， ∴当P，C，Q共线时，最大， 当直线时，最大值最小， 此时，， ∴当C点在S时，最大值最小， ∵当与两坐标轴都相切时，最小，此时点， ∴当P为，C与S重合时r最小， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； (3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理、正方形、三角形面积的计算等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键； （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）连接、，过点P作，交BC于点D，求直线的解析式，设点P坐标为，则，得出，根据，运用三角函数的性质可得结论； （3）设点P坐标为，则 设的半径为r．根据切线的性质得，然后根据的长为边长的正方形的面积与的面积相等，列式计算即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴； （2）连接、，过点P作，交于点D． 由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则 ∴， ∴ 设点P坐标为，则， 则 当时，的最大值为8． ∴， ∴， ∴最大． （3）设点P坐标为，则 设的半径为r． ∵与相切，切点为T． ∴ ∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴的半径是常量． 题型5. 圆的综合——其他问题 【例1】（2023·天津河东·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及线段DE上的点D，E均在格点上， （1）线段DE的长等于 ； （2）圆上有一个动点F，若点M为线段DF的中点，在线段DE上有一点K.当MK取得最大值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点K，并简要说明点K的位置是如何找到的（不要求证明） .    【分析】（1）根据勾股定理计算即可求得； （2）根据点的轨迹为圆，则点的运动轨迹也为圆，确定点的运动的圆心，即可推得． 【详解】（1）在方格中找到以为斜边的直角三角形 用勾股定理求解为： （2）如图：点即为所求    原理：首先找圆心：连接，交网格线于点；连接，找到的中点，在圆上找任意一点，连接，确定中点，连接，则在中，点,均为边，的中点，故，根据点的轨迹为圆，则点的运动轨迹也为以点为圆心，为半径的圆，点K在线段上，当取得最大值时，即连接，并延长与圆交于一点，该点即为取得最大值时点的位置，此时点K在点上，故点即为所求．    【点睛】本题考查了勾股定理，圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质． 【变式1】（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【详解】（1）解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； （2）设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； （3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． 【变式2】（2025·陕西咸阳·一模）（1）如图1，是的外接圆，点D是外的一点，连接，．求证：； （2）如图2，在一块的规划地上，设计者想让规划面积增大一倍：作法如下：在边上找一个点F，点F正好在点E的正下方（），分别作点F关于、的对称点G、H，连接、、，，．则五边形就是增大一倍的图形．设计者想在G，H之间修一条笔直的小路方便游客赏花．已知米，平方米．请问小路长度的最大值是多少？ 【分析】本题考查了三角形外角性质，勾股定理，圆周角的定理以及对称性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是利用相关性质进行角度转化和线段关系推导． （1）连接，利用三角形外角性质和同弧所对圆周角相等来证明角度大小关系； （2）先根据三角形面积公式求出的长度，再利用米，根据当最大时，最大，通过计算求得小路长度的最大值． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平方米，且米， ∴米， 由对称性可知是等腰三角形，米， 当最大时，最大， 此时，， ∴点E轨迹在平行于的直线l上，距距离米， ∴最大时是与直线l相切，以为弦的圆的弦切角， ∴当为等腰三角形时，最大， 此时米，米， ∴，∴，∴， ∴， 过点E作于点K， ∴，米，∴米， ∴最大为30米． 巩固练习 一、单选题 1．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握三角形的外接圆，内切圆的综合运用是解题的关键． 根据外接圆，是直径可得，根据内切圆，可得是角平分线，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：是外接圆，是直径， ∴， ∴在中，， ∵是内切圆， ∴是的角平分线， ∴， ∴在中，， 故选：B． 2．（2023·山东青岛·一模）如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【分析】是等边的外接圆，如图所示，连接，过点作于，证明是含特殊角的直接三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 如图所示，连接，过点作于， ∵是等边的外接圆，， ∴，平分，是弦的垂直平分线， ∴， ∴在中，， 设，则， ∴，即，解得，（舍去），， ∴ ∴的半径是， 故选：． 【点睛】本题主要考查等边三角形，圆，含特殊角的直角三角形的综合，掌握等边三角形的性质，外接圆的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键． 3．（22-23九年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中一定正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】连接，借助直径所对的圆周角为，得出为等腰三角形的结论，再根据等腰三角形等角及圆的性质作答． 【详解】解：如图所示，连接， 直径所对的圆周角为， 又为的中点 为等腰三角形 ，②正确； ，③正确； ，①正确； ，④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了圆、圆周角的性质，等腰三角形的性质及判定，解题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的性质． 4．（22-23九年级上·北京西城·期中）如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为A，连接，，则的最小值为（    ）． A． B．1 C． D． 【分析】根据题意设，则，根据的半径是1得，根据是的切线得，即可得是直角三角形，在中，根据勾股定理得，即可得，根据二次函数的性质得当时，有最小值，即可得． 【详解】解：∵点是直线上 ∴设， ∴， ∵的半径是1， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴是直角三角形， 在中，根据勾股定理得， 当时，有最小值， 即， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形是半圆的内接四边形，点在上，连接的内心是的中点．若是直线上的动点，则I，E两点间的距离最小值是（  ） A． B． C．1 D． 【分析】此题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短等知识，连接，过点作于点，根据三角形内心的定义得是的平分线，是的平分线，则，进而得，根据圆周角定理得，由此得，则，继而得，再根据“垂线段最短”得，因此当点与点重合时，两点间的距离为最小，最小值是线段的长，在中求出，则，在中，根据，得，由此即可得出两点间的距离的最小值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于点，如图： ∵的内心是的中点， ∴是的平分线，是的平分线， ∴， ， ∴， 根据圆周角定理得：， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵的内心是的中点， ∴， ∴， ∵点是直线上的动点， 根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，两点间的距离为最小，最小值是线段的长， ∵是半圆的直径， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，， ， ∴两点间的距离的最小值为， 故选：D． 6．（2025·山东威海·二模）如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理以及点与圆的位置关系，在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，则点运动时，点在上运动，作的的高，延长交于点，当点与点重合时面积最大，根据勾股定理求出，可得，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在上方作等边三角形，以点为圆心，2为半径作，如图， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点运动时，点在上运动， 作的的高，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时面积最大，即面积的最大值为， 故选：D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，几何图形面积最值的计算，掌握圆内接四边形的性质，得到当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为是解题的关键． 如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，由内接四边形可得，由圆周角定理可得，则，，所以有，由题意可得当的值最大时，四边形面积有最大值，即与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点， ∵的半径是5， ∴，， ∵点都在圆上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴当的值最大时，四边形面积有最大值， ∴当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为， ∴四边形面积的最大值是， 故选：D ． 8．（24-25九年级上·北京密云·期末）如图，A，B是平面内两定点，C，D是平面内两动点，且满足，．下列说法中，①A，B，C，D四点一定在同一个圆上；②若，则A，B，C，D四点一定在同一个圆上；③若，则四边形的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形既有外接圆，又有内切圆．所有正确说法的序号是（   ）    A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】由，证明四边形是平行四边形，可知四点不一定在同一个圆上，可判断①错误；由四边形是平行四边形，，证明四边形是矩形，则四点都在为直径的同一个圆上，可判断②正确；由四边形是平行四边形，，证明四边形是菱形，设交于点，过点分别作各边的垂线，垂足分别为点，可证明，则，同理，可知以点为圆心，以长为半径的圆与菱形的各边都相切，可判断③正确；当四边形是正方形时，该四边形既有外接圆，又有内切圆，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形的对角不一定互补， ∴四点不一定在同一个圆上，故①错误； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴四点都在为直径的同一个圆上，故②正确； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 如图，设交于点，过点分别作各边的垂线，垂足分别为点，     ， ， ， 同理， ， ∴以点为圆心，以长为半径的圆与菱形的各边都相切， ∴四边形的各边一定都与某一个圆相切，故③正确； ∵是平面内两定点，是平面内两动点，且四边形是平行四边形， ∴四边形可能是正方形， ∵正方形既有外接圆，又有内切圆， ∴存在四边形既有外接圆，又有内切圆，故④正确， 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定与性质，与圆有关的位置关系等知识，正确理解平行四边形与特殊平行四边形的区别与联系是解题的关键． 二、填空题 9．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，且，则的半径为 ． 【分析】运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，结合内接圆可得四边形是正方形，设的半径，则，所以，则，由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，， ∵的内切圆与分别相切于点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，正方形的判定和性质，三角形内接圆，切线长定理的综合，掌握切线长定理是解题的关键． 10．（2024·山东潍坊·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且，与x轴分别交于A，B两点．若点A，点B关于原点O对称，则当取最小值时，的面积为 ． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取最小值时点P的位置． 连接，先得出要使取最小值，则需取得最小值，再连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，过点M作轴于点Q，过点作于点H，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】连接， ， ， 点A，点B关于原点O对称， ， ， 要使取最小值，则需取得最小值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，过点作于点H，如图所示， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，A，B，C，D四点都在上，则图中一定和相等的角是 ．    【分析】可求，，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 四边形是内接四边形， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，掌握性质是解题的关键． 12．（2025·浙江杭州·二模）点A，B在半径为2的上，，，垂足为C．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线上方），连接． （1）如图1，当时， ； （2）如图2，当时， ． 【分析】（1）利用含度角的直角三角形的性质求出长，然后根据垂径定理，利用证明，得到解题即可； （2）连接，，过作交延长线于，过作于，则，先根据已知求得，分别证明、是等腰直角三角形，得到 ，利用勾股定理分别求解得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在图1中，∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴在中， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，过作交延长线于，过作于，则， ∵，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， 设， 在中，，， 由勾股定理得 解得(负值舍去) ， 则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， 设， 在中，，，由勾股定理得， 解得(负值舍去)， 则， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的基本性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造等腰直角三角形求解是解答的关键． 13．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，为的直径，的半径为，点在上，分别与、直线、相切，点在左侧，交于，则的长为 ．（结果用含的式子表示） 【分析】本题考查了三角形内角和是，等腰三角形，圆内接四边形，圆周角和切线长定理相关知识，掌握以上知识是解题的关键. 连接，，，设，得到，，可得出，然后证明出是等腰直角三角形，得到，然后求得，最后得出. 【详解】解：连接，，，如图： 设， ∵点A、、、内接于， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵分别于、直线、相切， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ． 【分析】本题考查勾股定理，以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D的坐标是，P的坐标是，由勾股定理得到，，因此，由勾股定理求出，得到，即可求出的最小值． 【详解】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N， 设D的坐标是，P的坐标是， ∵， ∴由圆的对称性得到C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值6， 故答案为：6． 15．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为 ． 【分析】本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．：作关于的对称点，连接，，，交于点．则的最小值就是的长度，在中根据边角关系即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，，，交于点． 则， 当共线时，时，的最小值， 又点在上，，为弧的中点，即， ． ． ． 则是等腰直角三角形． ， ． 故答案为：． 16．（2024·河南周口·三模）已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为 ． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键； 根据勾股定理求出，设与其垂直平分线的交点为E，分和两种情况讨论，根据直角三角形的勾股定理分别求解即可． 【详解】以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点 D 在AB 的垂直平分线上． ∵ ，， ， 如图，    设与其垂直平分线的交点为E， 则 ， 当的长为2时，如图， 即 ， ①在中， ， ②在中， ， 综上， 的长为或． 故答案为：或 17．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为 ． 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 三、解答题 18．（2025九年级上·陕西·专题练习）如图，内接于为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，即得，由平行线的性质可得，由等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而得到，即得到，即可求证； （2）延长，交于点，可得四边形是矩形，即得，进而由等腰三角形的性质得，利用勾股定理得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 19．（2025·贵州·模拟预测）如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． (1)与的数量关系是________； (2)在（1）的条件下，求证：； 【分析】（1）由旋转及等腰三角形可得答案； （2）由旋转得，再由（1）得出的，即可证明； （3）由三线合一证明出，再由全等得出，即，再按弧长公式计算即可． 本题考查了圆的相关知识点的应用，三角形全等及等腰三角形的应用是解题关键． 【详解】（1）∵， ∴， 由旋转，得， ∴， 故答案为：=； （2）证明：由旋转可知， ∴， 又∵，， ∴； 20．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，以为直径的与相切于点，连接并延长交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，求的直径． 【分析】（1）如图所示，连接，根据切线的性质，可证，，结合圆的基本性质得到，，由此即可求解； （2）根据正切值的计算得到，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵以为直径的与相切于点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵根据（1）可知，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵是直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 结合（1）可得， ∴， ∴的直径为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的性质，等角对等边，正切值的计算方法，直径所对圆周角为直角等知识，合理作出辅助线是关键． 21．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 22．（2025·上海青浦·二模）已知：为的直径，，点C在上．联结OC、，过点O作，交于点D． (1)如图，联结，当时，求证：四边形是菱形； (2)作，垂足为E． ①如图，联结、，交半径于点F，当时，求线段的长； ②如图，联结、、，设的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长． 【分析】（1）利用同圆的半径相等的性质，平行线的性质和等边三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可； （2）①利用平行线的性质，圆周角定理和垂径定理得到，则，，即可得出结论； ②过点O作于点H，得，则，利用全等三角形的面积相等和同高的三角形的面积比等于底的比的性质得到，从而求得；利用全等三角形的性质得到，最后根据解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 同理，是等边三角形，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． （2）解：①∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． ②过点O作于点H，得， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 23．（2023九年级下·全国·专题练习）对于平面直角坐标系中的点P和，给出如下定义：若上存在点A，使得，则称P为的半角关联点．当的半径为1时 (1)在点中，的半角关联点是 ； (2)直线l：交x轴于点M，交y轴于点N，若直线l上的点是⊙O的半角关联点，求m的取值范围． 【分析】（1）直接根据半角关联点的定义解答即可； （2）先根据直线解析式可得，再以O为圆心，长为半径画圆，交直线于点G，可得，设小圆与y轴负半轴的交点为H，连接；再说明是等边三角形，进而确定点G的纵坐标为，然后代入，可得其横坐标为，即． 【详解】（1）解：由题意可知在圆上存在点A使和， ∴D，E是的半角关联点． 故答案为D，E． （2）解：由直线解析式可得：， 以O为圆心，长为半径画圆，交直线于点G，可得， 设小圆与y轴负半轴的交点为H， 连接 ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴轴， ∴点G的纵坐标为，代入，可得其横坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了半圆关联点、圆的性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，理解半圆关联点的定义是解答本题的关键． 24．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 【分析】（1）根据点点、可得该函数的解析式为，展开括号即可进行解答； （2）根据点Q为的中点，且，可得点D在上，进而得出点D的坐标，即可求解； （3）根据题意得，则点Q在以为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的坐标，进而得出轴，，则点Q在以中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于点、， ∴该函数的解析式为， ∴． （2）解：连接， ∵P是半圆上一点，点Q为的中点，且， ∴点D在上， ∴， ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （3）解：∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， ∵、，， ∴当点P与点B重合时，，即， 当点P与点A重合时，，即， ∴轴，， ∴点Q在以中点为圆心的半圆上运动， 点Q的路径长为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与圆的综合，解题的关键是掌握垂径定理，用待定系数法求解二次函数表达式的方法，点的运动轨迹，点与圆的位置关系． 25．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 【分析】（1）连接，可得，，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可求证； （2）在同一个圆中，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，由此可得，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意可得，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握圆与几何图形的综合运用是解题的关键． 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定理的运用，三线合一，矩形的判定和性质，即可． （1）连接，根据角平分线的性质，则，根据等边对等角，等量代换，则，根据平行线的性质，直角三角形的性质，则，即可； （2）连接，根据题意，则，，设的半径为，得到，，根据勾股定理，则，求出，即可； （3）过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，，根据等腰三角形三线合一，勾股定理求出，即可； （4）由（3）得，四边形是矩形，，，根据圆的性质，则为的直径，，等量代换，则，根据，即可． 【详解】（1）证明如下： 连接， ∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线． （2）解：连接， ∵点、的坐标分别为，， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． （3）解：过点作交于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （4），证明如下： 由（3）得，四边形是矩形，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质： [感知] 过点C作的垂线交延长线于点F，连接，证明，，即可求解； [探究] 过点C作的垂线交延长线于点G，连接，证明，，即可求解； [应用] 过点C作的垂线交延长线于点H，可证明四边形是矩形，再由四边形是的内接四边形，可证明，可证得，从而得到，，可证明四边形是正方形，从而得到，即可求解． 【详解】解：[感知]过点C作的垂线交延长线于点F，连接， ∵为等边的外接圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： [探究] 上述结论成立，证明如下： 如图，过点C作的垂线交延长线于点G，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； [应用]如图，过点C作的垂线交延长线于点H， ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E为的三等分点，点D与点C位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆的综合问题 题型归纳 【题型1. 圆的综合——圆内知识综合】……………………………………………… 1 【题型2. 圆的综合——圆与三角形的综合】………………………………………… 3 【题型3. 圆的综合——圆与四边形的综合】………………………………………… 5 【题型4. 圆的综合——圆与函数的综合】…………………………………………… 8 【题型5. 圆的综合——其他问题】…………………………………………………… 10 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 13 题型专练 题型1. 圆的综合——圆内知识综合 【例1】（2023·海南海口·一模）如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 【变式1】（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【变式2】（22-23九年级上·天津北辰·期末）已知为的直径，，为上一点，连接，． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 题型2. 圆的综合——圆与三角形的综合 【例1】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广西来宾·模拟预测）如图，内接于是的直径，过点作于点，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【变式2】（2025九年级下·浙江·学业考试）如图，A，B是直线l上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与l相切于点A，B，点C是这两个圆的公共点，则圆弧与线段所围成图形的面积S的最大值是 ． 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，点、在上，，过点作的切线交的延长线于点，连接、、、． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 【变式4】（2025·江苏苏州·一模）如图，为线段上两点，且，，，过点作的垂线，与以为直径的交于点，作射线． (1)求证：为的切线； (2)为上一点，弦与直径交于点，当为中点时，求的长． 题型3. 圆的综合——圆与四边形的综合 【例1】（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，已知正方形是半径为2的内接四边形，求四边形的面积． 【变式1】（2025·云南曲靖·二模）如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，． (1)若，求（用含的式子表示）； (2)求证：是的切线； (3)过点C作交于点H，作交于点F，若，求的长． 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图1，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②直接写出线段，，之间的数量关系为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离为 ． 题型4. 圆的综合——圆与函数的综合 【例1】（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)若，求三点的坐标； (2)如图1，若，求的值； (3)如图2，过点C作交抛物线于另一点E，以CE为直径作，求证：直线与相切． 【变式1】（22-23九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．    (1)如图，点，点． ①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：　　 ； ②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围； (2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； (3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 题型5. 圆的综合——其他问题 【例1】（2023·天津河东·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及线段DE上的点D，E均在格点上， （1）线段DE的长等于 ； （2）圆上有一个动点F，若点M为线段DF的中点，在线段DE上有一点K.当MK取得最大值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点K，并简要说明点K的位置是如何找到的（不要求证明） .    【变式1】（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【变式2】（2025·陕西咸阳·一模）（1）如图1，是的外接圆，点D是外的一点，连接，．求证：； （2）如图2，在一块的规划地上，设计者想让规划面积增大一倍：作法如下：在边上找一个点F，点F正好在点E的正下方（），分别作点F关于、的对称点G、H，连接、、，，．则五边形就是增大一倍的图形．设计者想在G，H之间修一条笔直的小路方便游客赏花．已知米，平方米．请问小路长度的最大值是多少？ 巩固练习 一、单选题 1．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·山东青岛·一模）如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中一定正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（22-23九年级上·北京西城·期中）如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为A，连接，，则的最小值为（    ）． A． B．1 C． D． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形是半圆的内接四边形，点在上，连接的内心是的中点．若是直线上的动点，则I，E两点间的距离最小值是（  ） A． B． C．1 D． 6．（2025·山东威海·二模）如图，的半径为2，点A是上一动点，点C是外一点，，是等边三角形，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 8．（24-25九年级上·北京密云·期末）如图，A，B是平面内两定点，C，D是平面内两动点，且满足，．下列说法中，①A，B，C，D四点一定在同一个圆上；②若，则A，B，C，D四点一定在同一个圆上；③若，则四边形的各边一定都与某一个圆相切；④存在四边形既有外接圆，又有内切圆．所有正确说法的序号是（   ）    A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 9．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，且，则的半径为 ． 10．（2024·山东潍坊·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且，与x轴分别交于A，B两点．若点A，点B关于原点O对称，则当取最小值时，的面积为 ． 11．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，A，B，C，D四点都在上，则图中一定和相等的角是 ．    12．（2025·浙江杭州·二模）点A，B在半径为2的上，，，垂足为C．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线上方），连接． （1）如图1，当时， ； （2）如图2，当时， ． 13．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，为的直径，的半径为，点在上，分别与、直线、相切，点在左侧，交于，则的长为 ．（结果用含的式子表示） 14．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ． 15．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为 ． 16．（2024·河南周口·三模）已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为 ． 17．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为 ． 三、解答题 18．（2025九年级上·陕西·专题练习）如图，内接于为的直径，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 19．（2025·贵州·模拟预测）如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． (1)与的数量关系是________； (2)在（1）的条件下，求证：； 20．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，以为直径的与相切于点，连接并延长交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，求的直径． 21．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 22．（2025·上海青浦·二模）已知：为的直径，，点C在上．联结OC、，过点O作，交于点D． (1)如图，联结，当时，求证：四边形是菱形； (2)作，垂足为E． ①如图，联结、，交半径于点F，当时，求线段的长； ②如图，联结、、，设的面积为，四边形的面积为，如果，求线段的长． 23．（2023九年级下·全国·专题练习）对于平面直角坐标系中的点P和，给出如下定义：若上存在点A，使得，则称P为的半角关联点．当的半径为1时 (1)在点中，的半角关联点是 ； (2)直线l：交x轴于点M，交y轴于点N，若直线l上的点是⊙O的半角关联点，求m的取值范围． 24．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 25．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 27．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$