第3讲　等式性质与不等式性质讲义-2026届高三数学一轮复习

第3讲　等式性质与不等式性质 　一、知识梳理 1、两个实数比较大小的方法 (1)作差法： (2)作商法： (3)利用中间量或放缩法 (4)利用函数的单调性（构造函数） 2、不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a； (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c； (3)可加性:a>b⇔a+c>b+c； (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;  a>b,c<0⇒ac<bc.  (5)同加性)a>b,c>d⇒a+c>b+d (6)同乘性a>b>0,c>d>0⇒ac>bd (7)乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)； (8)开方法则:a>b>0⇒>bn(n∈N,n≥2)； 二、三大核心原则 ‌有序性原则‌：实数具有可比性，任意两个实数必满足且仅满足、、之一 ‌传递性原则‌：若且，则（不等关系具有传递性） ‌保号性原则‌：不等式两边同乘同号数保持不等号方向，同乘负号数反向不等号 三、五大常见题型分类与解题策略 1. 实数比较大小 ‌核心考查点‌：比较两个实数或代数式的大小关系 【例1】若，则与的大小关系是 ．（用“>”连接） 【详解】法一（作商法）：因为， 所以， 所以． 法二（作差法）：，即． 故答案为： 【例2】若a=0.311.5,b=log312,c=log26,d=,则有(　 ) A.a>b>c B.b>a>d C.c>a>b D.b>c>a 【详解】因为0<0.311.5<0.310=1,所以0<a<1,因为b=log312=1+log34>2, c=log26=1+log23>2,且=<=<1,所以b<c,又d=<0,所以d<a<b<c.故选B. 【‌解题策略‌】‌解题方法‌： （1）‌作差法‌：计算的符号（基本方法） （2）‌作商法‌：比较与1的关系（注意分母符号） （3）‌中间量法‌：寻找适当中间量进行传递比较 （4）‌函数单调性法‌：构造适当函数利用单调性比较 2. 不等式性质判断 ‌特征‌：判断不等式变形或命题的真假 【例3】（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】对于A选项，因为，则，故，A错； 对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，则， 所以，D对.故选：BCD. 【‌解题策略‌】‌解题步骤‌： （1）明确考查的不等式性质 （2）验证变形是否满足性质条件 （3）特别注意乘除法中的符号变化 3. 不等式证明题型 ‌子类题型‌：简单不等式证明；条件不等式证明；绝对值不等式处理 【例3】已知，，求证． 【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以，又因为，所以， 所以，所以，所以，所以． 【‌解题策略‌】 （1）‌分析法‌：从结论倒推条件 （2）‌综合法‌：从已知条件正向推导 （3）‌放缩法‌：适当放大或缩小表达式 4. 代数式取值范围题型 ‌核心规则‌：通过不等式性质确定代数式的可能范围 【例4】已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 【详解】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即． 【‌解题策略‌】‌解题要点‌： （1）建立变量间的不等式关系 （2）运用同向可加性等性质 （3）注意等号成立条件的一致性 ‌易错警示‌：多次运用不等式性质时，等号成立条件可能不同，导致范围扩大 5. 不等式综合应用 ‌特征‌：与函数、方程等知识综合考查 【例4】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，.故选：A 【‌解题策略‌】‌解题方法‌： （1）‌条件转化法‌：将复杂条件转化为不等式组 （2）‌极端值分析法‌：考虑边界情况 （3）‌数形结合法‌：借助图形辅助求解 四、典例欣赏 【例4】已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是 . 【详解】因为，所以， 则不等式等价于， 等价于，令，则， 从而，令，由对勾函数的性质知， 因为，即，所以， 令，则，解得， 所以，当且仅当即时取等号，故的最大值是6. 注：解题的关键是对不等式等价变形，利用换元法结合对勾函数性质求解函数范围，最后利用不等式性质求解即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$