1.1.3～1.1.4直线方程的一般式和点法式课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

§1 直线与直线方程 第一章 第一章：直线与圆 §1.1.3.3 直线方程的一般式 §1.1.3.4 直线方程的点法式 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 直线方程的四种形式： 一点P(x0,y0)和斜率k y – y0 = k (x – x0) 不垂直于x轴的直线 斜率k，纵截距b y = kx +b 不垂直于x轴的直线 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 不垂直于x轴、y轴的直线 横截距a和纵截距b 不垂直于x轴、y轴， 不过原点的直线 复习回顾 过点P(x0,y0)的两种特殊的直线：垂直于x轴（平行y轴）的直线x=x0 垂直于y轴（平行x轴）的直线y=y0 复习回顾 2.已知直线l的倾斜角为60∘ ，在y轴上的截距为−4，则直线l的点斜式方程为_________________，截距式方程为_ ___________，斜截式方程为_____________。 在平面直角坐标系中，直线可以分为以下两类： 一类是与x轴不垂直的直线.经过点P(x0，y0)，且与x轴不垂直的直线方程都可写成点斜式y-y0=k(x-x0)，它可化为kx-y-kx0+y0=0的形式，此方程是关于x，y的二元一次方程. 另一类是与x轴垂直的直线.经过点P(x0，y0)，且与x轴垂直的直线方程为x=x0，它可化为x+0・y-x0=0，此方程也是关于x，y的二元一次方程. 探索新知 由此可知，平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)来表示. 思考1：这几种方程可以化为同一种形式吗？如果可以，这种形式是什么？ 思考2：每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都能表示一条直线吗?为什么? 所以任何关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线. 当B≠0时， ，它表示平面直角坐标系中一条与x轴不垂直的直线（其中 是直线的斜率）； 当B=0，且A≠0时， ，它表示平面直角坐标系中一条与x轴垂直的直线. 探索新知 关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式. 3 特殊的一般式方程：当直线l过点P0(x0,y0)且斜率不存在，即倾斜角α=90°时，直线l的方程为x− x0=0，此时直线方程可以看成关于 x，y 的二元一次方程，x − x0 = 0 可化为 x + 0·y − x0 = 0. 探索新知 5.直线方程的一般式 注：1 适用范围:平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. 思考3：当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0什么性质？ ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合. 探索新知 例1:已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0，m∈R. (1)若直线l在x轴上的截距为-2，求m的值； (2)若直线l与y轴垂直，求m的值； (3)若直线l的倾斜角为 ，求m的值. 解：(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(-2，0)， 所以-2m+(m-1)·0+1=0,解得 故m的值为 典例讲解 (2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0. 所以直线l的方程可化为斜截式 由 ，可得m=0. (3)由(2)可知直线l的斜率为 又倾斜角为 所以由斜率与倾斜角的关系可得 解得 练习1:已知直线经过点A(6，-2)，且斜率为 ，求该直线方程的点斜式、一般式和截距式. 解：经过点A(6，-2)，且斜率为 的直线方程的点斜式是 化成一般式，得 2x+3y-6=0. 把常数项移到方程的右边，再把方程的两边同时除以6，得到截距式 典例讲解 练习2:把直线l的方程3x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图. 解：将原方程移项，得 2y=3x+6. 方程的两边同时除以2，得到斜截式 因此，直线l的斜率k= ，它在y轴上的截距是3. 令y=0，可得x=-2，即直线l在x轴上的截距是-2. O x y –2 –1 –3 1 1 3 –1 A 2 4 B 所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-2,0)，B(0,3).过点A，B作直线，即可得直线l. 典例讲解 典例讲解 典例讲解 典例讲解 与直线方向向量垂直的向量称为直线的法向量，直线的法向量与方向向量都反映了直线的方向. 探索新知 6.直线方程的点法式 （1）直线的法向量 A(x-x0)+B(y-y0)=0 称这个方程为直线的点法式方程。 （2）直线方程的点法式 例3：已知△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(-2,1)，C(0,-1)，求BC边上的高所在直线的方程. 解：由已知，可得 就是BC边上的高所在直线的法向量，又所求直线经过点A(1,2)， ∴由直线方程的点法式可得所求直线的方程为 -2(x-1)+2(y-2)=0， 即 x-y+1=0. 典例讲解 例4：已知直线l经过点A(3,1)，且与P(-1,0)，Q(3,2)两点的连线垂直，求直线l的方程. 为直线l的一个法向量. 又直线l经过点A(3,1)，代入直线的点法式方程，得 4(x-3)+2(y-1)=0 即 2x+y-7=0. 典例讲解 解： 典例讲解 典例讲解 课堂检测 $$