1.1.3直线的方程（第3课时）（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.3直线的方程 第三课时 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 直线方程 几何要素 适用范围 点斜式方程（简称点斜式） 直线上一 斜率 直线存在斜率 斜截式方程（简称斜截式） 斜率 直线在轴上的截距 直线存在斜率 两点式方程（简称两点式） 直线上任意两点 直线存在斜率 且 截距式方程（简称截距式） ， 直线不与坐标轴平行或重合,不过原点 定点和定方向(斜率k)确定直线，两点确定直线 章节导读 1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系 1.3 直线 的方程 1.4两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 直线的倾斜角 斜率 倾斜角与方向向量间的关系 一般式 、点法式 点斜式 、斜截式 、两点式 两条直线平行 两条直线垂直 1.6距离公式 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 学 习 目 标 1 2 3 理解一般式方程的形式特点，用一般式方程判断斜率情况. 正确进行直线方程的一般式与另外四种方程的互化. 理解点法式方程的推导及其适用条件，理解参数含义. 读教材 阅读课本P13-P15，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“直线的一般式、点法式方程”吧！ 1.直线的一般式方程如何表示直线斜率？ 2.直线的一般式方程如何求直线的截距？ 3.直线的法向量与一般式方程有何联系？ 新课引入 方程的形式不同，但这四条直线是重合的， 那么，我们能不能用统一的形式表示直线呢？ 解：(1)点斜式：； (2)截距式1； (3)两点式； (4). 问题1：由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形： (1)斜率是,经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是,; (3)经过两点 (4)在轴上的截距是,倾斜角是. 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的一般式方程 3 题型训练 2 直线的点法式方程 新知探究1 思考：下列四种直线方程有什么区别和联系? 点斜式方程（简称点斜式） 斜截式方程（简称斜截式） 两点式方程（简称两点式） 截距式方程（简称截距式） 区别：应用条件不同；表达形式不同； 联系：都不能表示斜率不存在的直线， 都是关于 都可以用,（，不为）表示 新知探究1 探究1 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于 ，的 二元一次方程表示吗？ 直线 斜率存在 斜率 不存在 0 直线斜率存在时，显然可以；当直线的斜率不存在，直线的方程为， 上述方程可以认为是关于的二元一次方程，因此此时方程中的系数为0。 都可以用（，不同时为）表示 新知探究1 探究1 (2)任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？ （，不同时为） 斜率不存在过点 且垂直于轴的直线 任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？ 新知1 1. 直线的一般式方程： 直线的两点式方程 我们把关于的二元一次方程 (其中，不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式. 应用条件：适用于所有直线 式子结构：按“”排序；A为正整数；A、B、C尽量是整数。 典例分析 解：经过点A(6，－2)，且斜率为－的直线方程的点斜式是： 化成一般式，得： 把常数项移到方程的右边，再把方程的两边同时除以6， 得到截距式： 课本第13页 例1 已知直线经过点A(6，－2)，且斜率为－，求该直线方程的 点斜式、一般式和截距式． 典例分析 例2 已知直线经过点，，求直线的点斜式、斜截式 和一般式方程，并根据方程指出直线在轴、轴上的截距？ 解：∵，所以点斜式方程为， 斜截式方程为，一般式方程为， 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. 典例分析 例3 把直线l 的方程化成斜截式，求出直线l 的斜率和 它在轴与轴上的截距，并画图？ 解：将原方程移项，得，方程的两边同时除以2， 得到斜截式： 因此，直线l的斜率为 ，它在y轴上的截距是3． 令y＝0，可得x=－2，即直线l在x轴上的截距是－2. 课本第14页 O x y –2 –1 –3 1 1 3 –1 A 2 4 B 所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-2,0)，B(0,3).过点A，B作直线，即可得直线l. 典例分析 例4 把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的 斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形？ 解：把直线的一般式方程化为斜截式. 因此，直线的斜率，它在轴上的截距是. 在直线的方程中， 令，得，即直线在轴上的截距是. 由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，， 过，两点作直线，就得直线(如图). 典例分析 例5 已知直线l的方程为mx+(m－1)y+1=0，m∈R. (1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值； (2)若直线l与y轴垂直，求m的值； (3)若直线l的倾斜角为 ，求m的值. 解：(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(－2，0)，所以－2m+(m－1)·0+1=0， 解得m=，故m的值为； (2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0.所以直线l的方程可化为斜截式 (3)由 ＝1，得m=. 由 ，可得m=0. 课本第14页 方法总结 直线的一般式方程： 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 代数 (其中不同时为0) 坐标系中 的任意直线 斜率 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的一般式方程 3 题型训练 2 直线的点法式方程 新知探究2 探究2 结合直线方向向量的概念，直线方向向量与一般式方程有何关系？ 思考：如何表示与直线垂直的向量呢？ 解：直线， 则＝(1，k)＝(1，)＝(B，－A) 也是直线的方向向量； x y O 法向量，用 思考：直线的法向量与直线的方向向量有什么关系？ 互相垂直，＝0，所以 新知探究2 探究2 这种垂直关系能转化为坐标运算吗？已知点以及直线 的一个法向量为，能求出直线的方程吗？ 解：设直线上任一点，则 则，即，即 思考：上述是由哪些条件求出的直线方程？ 由点P坐标和直线的法向量 直线的点法式 新知2 2. 直线的点法式方程： 直线的点法式方程 设直线上的任意一点的坐标为，则.由＝0 ，可得 . 构成元素：直线上一点坐标P，直线的法向量； 使用条件：所有直线；其中A的： 方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)。 典例分析 例1 已知的三个顶点分别为A(1，2)、B(－2，1)、C(0，－1)， 求边上的高所在直线的方程？ 解：由已知，可得. 因为就是边上的高所在直线的法向量， 又所求直线经过点所以由直线方程的点法式可得： 直线的方程为，即 课本第15页 典例分析 例2 已知直线经过点，且与P(－1，0)、Q(3，2)两点的 连线垂直，求直线的方程？ 解：因为，所以为直线的一个法向量.又直线经过点，代入直线的点法式方程，得，即 课本第14页 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的一般式方程 3 题型训练 2 直线的点法式方程 直线一般式方程的应用 题型1 题型探究 例1 设直线的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线在x 轴上的截距为－3，求m 的值? 解：(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1， 直线一般式方程的应用 题型1 题型探究 例1 设直线的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (2)已知直线的斜率为1，求m 的值？ 解： 由直线l化为斜截式方程 得m＝－2或m＝－1(舍去). ∴m＝－2. 直线一般式方程的应用 题型1 题型探究 例2 若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°， 求实数m的值？ 直线一般式方程的应用 题型1 题型探究 例3 垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为_____________________________. 4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0 解：设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)， ∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0. 题型探究 例4 已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l 的方程，求证：不论k取何实数， 直线l 必过定点，并求出这个定点的坐标？ 直线过定点问题 题型2 解：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值， 该式恒成立， 所以直线l经过定点M(1，－1). 题型探究 例5 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，求该直线过的定点？ 直线过定点问题 题型2 解：直线l：kx－y＋1＋2k＝0，即k(x＋2)＝y－1， ∴当x＋2＝0，y－1＝0时过定点， 解得：x＝－2，y＝1，∴该直线过定点(－2,1). 题型探究 例6 直线. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； 直线过定点问题 题型2 解：(1)证明：将直线的方程整理为， ∴直线的斜率为，且过定点， 而点在第一象限内，故不论为何值，恒过第一象限. 题型探究 例6 直线. 直线的定点问题 题型2 (2)为使直线不经过第二象限，求的取值范围. 解：(2)直线的斜率为. 如图所示，要使不经过第二象限， 需斜率，∴， 即的取值范围为. 方法总结 直线过定点问题的总结： 方法一(赋值法)：对方程 方法二(方程法)：将方程化为点斜式，求得定点的坐标； 方法三(分离参数法)：(1)去括号将方程中的将含参数的项移到“等号左边”,并提公因式，其余项移到“等号右边”；(2)令参数的系数=0，不含参的部分必为0，因为此式子对于任意的参数的值都成立，(3)解方程组可得，的值，即为直线过的定点坐标值. 方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用． 课堂小结 1. 直线的一般式方程： 我们把关于的二元一次方程 (其中，不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式. 应用条件：适用于所有直线 式子结构：按“”排序；A为正整数；A、B、C尽量是整数。 课堂小结 2. 直线的点法式方程： 设直线上的任意一点的坐标为，则.由＝0 ，可得 . 构成元素：直线上一点坐标P，直线的法向量； 使用条件：所有直线；其中A的： 方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)。 感谢聆听! 令y＝0，得x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去). ∴m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 得y＝x＋， 则＝1， 解：由已知得∴m＝3. 令y＝0，得x＝－，令x＝0，得y＝－， 则S＝·＝6，得c2＝122，c＝±12， 所以解得 $$