《1.1勾股定理（一）》导学案2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年北师大版八年级数学《1.1勾股定理（一）》导学案 ( 一． 学习 目标 1.理解勾股定理的内容，能说出直角三角形三边之间的数量关系。 2.能够运用勾股定理在已知直角三角形的两边时，求出第三边的长度 。 3.通过观察、猜想、操作、验证等过程，体会数学中的数形结合思想和从特殊到一般的思想方法。 ) ( 二 ．重点难点 1.探索勾股定理的过程，理解勾股定理的基本内容。 2.熟练运用勾股定理解决简单的与直角三角形边长相关的计算问题。 3.从具体的直角三角形实例中，抽象概括出勾股定理。 4.灵活运用勾股定理，将实际问题转化为数学模型并求解 。 ) 三、学习内容 （一）勾股定理的探索 【活动】（1）观察图1正方形A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积。 正方形B的面积是9个单位面积。正方形C的面积是18个单位面积。 （2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ 图1正方形A中含有4个小方格，即A的面积是4个单位面积。正方形B的面积是4个单位面积。正方形C的面积是8个单位面积。 （3）你能发现图1和图2中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积 【做一做】 分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积，填表完成 图形1 图形2 图形3 图形1中S1=4 S2=1 S3=5 图形2中S1=9 S2=4 S3=13 图形3中S1=16 S2=9 S3=25 【归纳并猜想】: 若直角三角形三边长为a,b,c（其中c为斜边）， 如图：三边a,b,c之间的关系是a2+b2=c2 （二）勾股定理的内容 【文字表述】：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 。 【符号语言】：在直角三角形中，如果两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾股定理是人类文明的成果，在国外，一般称为是毕达哥拉斯定理.几乎所有拥有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所研究. （三）勾股定理的简单应用 1.已知两边求第三边：给出直角三角形的任意两条边长，利用勾股定理求出第三边。 2.解决简单实际问题：如梯子靠墙问题，已知梯子长度（斜边）和梯子底部离墙的距离（直角边），求梯子顶端离地面的高度（另一直角边）；再如求直角三角形形状的田地的边长等实际场景中的应用。 例1．求图中字母所代表的正方形的面积． 解：A的边长为直角三角形的斜边，则A的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：225和400，A的面积＝225+400＝625， 同理B的边长为直角三角形的直角边，则存在B的边长的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方，斜边的平方为225，直角边的平方为81B的面积为225﹣81＝144． 例2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=20,BC=15,CD⊥AB于点D.求: (1)CD的长; (2)BD的长. 解：(1)在△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=202+152=625, ∴AB=25.∵S△ABC=AC·BC=AB·CD,∴AC·BC=AB·CD.∵AC=20,BC=15,AB=25, ∴20×15=25CD,∴CD=12,即CD的长是12. (2)∵CD⊥AB于点D,∴∠CDB=90°,在Rt△BCD中,∠CDB=90°,BC=15,CD=12,由勾股定理,得BD2=BC2-CD2=152-122=81,∴BD=9,即BD的长为9. 例3．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将此图形折叠得图②，折痕为AF，且点C恰好落在边AB上点C′处，求C′F的长． 解：由折叠得：AC'=AC=6，C'F⊥AB，CF=C'F，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6， ∴AB=10，∴BC'=10﹣6=4，在Rt△BC'F中，设C'F=x，则BF=8﹣x，∴x2+42=(8﹣x)2，解方程得：x=3．即C'F=3． 例4．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积． 解：连接BD，AB⊥AD，，在中，在中，，是直角三角形， 例5.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E. (1)求△ABC的面积; (2)求DE的值. 解：(1)如图,连接AD,∵在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,∴AD⊥BC,BD=BC=5,∴AD2=AB2-BD2=132-52=144,∴AD=12,∴S△ABC=BC·AD=×10×12=60. (2)∵DE⊥AB,∴S△ABD=BD·AD=AB·ED,∴ED===. 例6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=20 cm,AC=16 cm,点P从点A出发,以每秒1 cm的速度向点C运动,连接PB,设运动时间为t秒(t>0). (1)当△PBC的面积为△ABC面积的一半时,求t的值;(2)当t为何值时,AP=PB? 解(1)由题意得AP=t cm,当BP是△ABC的中线时,△PBC的面积为△ABC面积的一半,∴t=AC=8.答:当△PBC的面积为△ABC面积的一半时,t=8. （2）易知AP=t cm,PC=(16-t)cm,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=20 cm,AC=16 cm, ∴BC2=AB2-AC2=202-162=144,∴BC=12 cm,在Rt△PBC中,PB2=PC2+BC2=(16-t)2+122, 当AP=PB时,t2=(16-t)2+122,解得t=,∴当t=时,AP=PB. 四、易错点分析 1.忽视直角三角形条件：勾股定理只适用于直角三角形，在使用时一定要先判断三角形是否为直角三角形，不能盲目应用。例如，随意给出一个三角形三边，在未确定是直角三角形前，不能用勾股定理计算。 2.混淆直角边和斜边：要明确在直角三角形中，斜边是最长边。在运用勾股定理a2 + b2 = c2时，c一定是斜边，若分不清直角边和斜边，就会导致计算错误 。比如，已知直角三角形两边为3和4，若错误地将4当作直角边去计算，就会得到错误结果。 3.计算错误：在计算平方和开方运算时容易出错，要仔细运算。如计算52时错算成10等 。计算时要按照运算规则，逐步计算，多检查几遍。 《强化训练》 一．选择题 1.在Rt△ABC中,若斜边AB上的中线CD的长为2.5,则AC2+BC2= (　　) A.5　　　　B.10　　　　C.20　　　　D.25 【答案】D　 【解析】在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∴AB=2CD=5,∴AC2+BC2=AB2=25,故选D. 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 【答案】A　 【解析】∵△DAB的面积=DA·BC,∴×10·BC=40,解得BC=8,在Rt△DBC中,∠C=90°, DB=10,CB=8,∴CD2=BD2-BC2=102-82=36,∴CD=6,故选A. 3．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 【答案】B 【解析】设正方形D的面积为x，∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，∴根据图形得：2+4＝x﹣3，解得：x＝9，故选：B． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，∵BC＝4，AC＝3，∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，∴△ACD的周长为：4+3＝7．故选：A． 5．已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，下列说法错误的是（　　） A．∠C＝90°，则a2+b2＝c2 B．∠B＝90°，则a2+c2＝b2 C．∠A＝90°，则b2+c2＝a2 D．总有a2+b2＝c2 【答案】D 【解析】选项A：∠C＝90°，则c为△ABC中斜边，a，b为直角边，由勾股定理可得： a2+b2＝c2，故A正确，不符合题意；同理可得，选项B和选项C正确，故选项B和选项C不符合题意；选项D：只有直角三角形，且∠C为直角时，a2+b2＝c2，故D错误，符合题意．故选：D． 6.如图,以Rt△ABC(AC⊥BC)的三边为边,分别向外作正方形,它们的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=12,则S1的值是(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 【答案】C　 【解析】由勾股定理得AC2+BC2=AB2,∴S3+S2=S1.∵S1+S2+S3=12,∴2S1=12,∴S1=6,故选C. 7.如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于(　　) A.2π　　　　B.4π　　　　C.8π　　　　D.16π 【答案】A　 【解析】在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=42=16,S1=π=·AC2,S2=π=·BC2, ∴S1+S2=(AC2+BC2)=×16=2π.故选A. 8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 【答案】A　 【解析】∵△DAB的面积=DA·BC,∴×10BC=40,解得BC=8,Rt△DBC中,∠C=90°,DB=10,CB=8,∴CD2=BD2-BC2=102-82=36,∴CD=6,故选A. 9.如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度是h cm,则h的取值范围是(　　) A.5≤h≤12　 　B.12≤h≤19 C.11≤h≤12　　　 D.12≤h≤13 【答案】C　 【解析】如图1,此时筷子露在杯子外面的长度最大,为24-12=12 cm.如图2,此时筷子露在杯子外面的长度最短,AB2=BC2+AC2=52+122=169,∴AB=13 cm,此时h=24-13=11.故h的取 值范围是11≤h≤12.故选C. 10.如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m,则BB'的长为(　　) A.1 m　　　　B.2 m　　　　C.3 m　　　　D.4 m 【答案】B　 【解析】在Rt△ABC中,AC=10 m,BC=6 m,∴AB2=AC2-BC2=100-36=64,∴AB=8 m,在Rt△AC'B'中,AC'=10 m,B'C'=8 m,∴AB'2=AC'2-B'C'2=36,∴AB'=6 m,∴BB'=AB-AB'=8-6=2(m).故选B. 二．填空题 11．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为_______. 【答案】65 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，∴AB2＝92-42＝65，正方形ABDE的面积为65. 12．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　　． 【答案】10 【解答】易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10． 13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则正方形ABDE的面积是　　　　.  【答案】169 【解析】　Rt△ABC中,∠C=90°,∴AB2=AC2+BC2=52+122=169,∴正方形ABDE的面积=AB2=169. 14如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为　　　　.  【答案】100 【解析】　由题意可知,直角三角形中,一条直角边的平方=36,另一条直角边的平方=64, 则斜边的平方=36+64=100.故答案为100. 15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2=　　　　.  【答案】20 【解析】　∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,∴AB2+CD2=AD2+BC2.∵AD=2,BC=4, ∴AB2+CD2=22+42=20.故答案为20. 16.如图,在△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,点N在AC上,MN⊥AB,若AC=8,BC=4,则NC的长为_________. 【答案】3 【解析】如图所示,连接BN,∵M为AB的中点,MN⊥AB,∴AN=BN,设NC=x,则AN=BN= AC-NC=8-x,∵∠C=90°,∴CN2+BC2=BN2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴NC=3, 三．解答题 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4． （1）求AB的长； （2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△ACP为等腰三角形． 解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理可得AB＝5； （2）依题意得AP＝t，当AP＝AC时，t＝3，当AP＝PC时，∠A＝∠ACP， ∴∠PCB＝∠B，t＝5﹣t，∴t＝2.5； 当AC＝PC＝3时，过点C作CD⊥AB，垂直为D， 在△ABC中，×3×4＝×5CD，∴CD＝2.4，在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AD＝，∴t＝3.6，当t＝3或t＝2.5或t＝3.6时，△ACP为等腰三角形． 18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD． （2）计算（1）中线段CD的长． 解：（1）画角平分线正确，保留画图痕迹（2）设CD＝x，作DE⊥AB于E， 则DE＝CD＝x，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．∴AB＝10，∴EB＝10﹣6＝4．∵DE2+BE2＝DB2，∴x2+42＝（8﹣x）2，x＝3，即CD长为3． 19．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ 解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2， 设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收购站E应建在离A点10km处． 20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）； （2）由题意知BP＝tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝； （3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版八年级数学《1.1勾股定理（一）》导学案 ( 一． 学习 目标 1.理解勾股定理的内容，能说出直角三角形三边之间的数量关系。 2.能够运用勾股定理在已知直角三角形的两边时，求出第三边的长度 。 3.通过观察、猜想、操作、验证等过程，体会数学中的数形结合思想和从特殊到一般的思想方法。 ) ( 二 ．重点难点 1.探索勾股定理的过程，理解勾股定理的基本内容。 2.熟练运用勾股定理解决简单的与直角三角形边长相关的计算问题。 3.从具体的直角三角形实例中，抽象概括出勾股定理。 4.灵活运用勾股定理，将实际问题转化为数学模型并求解 。 ) 三、学习内容 （一）勾股定理的探索 【活动】（1）观察图1正方形A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积。 正方形B的面积是9个单位面积。正方形C的面积是18个单位面积。 （2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ （3）你能发现图1和图2中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ 【做一做】 分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积，填表完成 图形1 图形2 图形3 图形1中S1=______ S2=______ S3=______ 图形2中S1=______ S2=______ S3=______ 图形3中S1=______ S2=______ S3=______ 【归纳并猜想】: 若直角三角形三边长为a,b,c（其中c为斜边）， 如图：三边a,b,c之间的关系是a2+b2=c2 （二）勾股定理的内容 【文字表述】：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 。 【符号语言】：在直角三角形中，如果两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾股定理是人类文明的成果，在国外，一般称为是毕达哥拉斯定理.几乎所有拥有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所研究. （三）勾股定理的简单应用 1.已知两边求第三边：给出直角三角形的任意两条边长，利用勾股定理求出第三边。 2.解决简单实际问题：如梯子靠墙问题，已知梯子长度（斜边）和梯子底部离墙的距离（直角边），求梯子顶端离地面的高度（另一直角边）；再如求直角三角形形状的田地的边长等实际场景中的应用。 例1．求图中字母所代表的正方形的面积． 例2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=20,BC=15,CD⊥AB于点D.求: (1)CD的长; (2)BD的长. 例3．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将此图形折叠得图②，折痕为AF，且点C恰好落在边AB上点C′处，求C′F的长． 例4．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积． 例5.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E. (1)求△ABC的面积; (2)求DE的值. 例6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=20 cm,AC=16 cm,点P从点A出发,以每秒1 cm的速度向点C运动,连接PB,设运动时间为t秒(t>0). (1)当△PBC的面积为△ABC面积的一半时,求t的值;(2)当t为何值时,AP=PB? 四、易错点分析 1.忽视直角三角形条件：勾股定理只适用于直角三角形，在使用时一定要先判断三角形是否为直角三角形，不能盲目应用。例如，随意给出一个三角形三边，在未确定是直角三角形前，不能用勾股定理计算。 2.混淆直角边和斜边：要明确在直角三角形中，斜边是最长边。在运用勾股定理a2 + b2 = c2时，c一定是斜边，若分不清直角边和斜边，就会导致计算错误 。比如，已知直角三角形两边为3和4，若错误地将4当作直角边去计算，就会得到错误结果。 3.计算错误：在计算平方和开方运算时容易出错，要仔细运算。如计算52时错算成10等 。计算时要按照运算规则，逐步计算，多检查几遍。 《强化训练》 一．选择题 1.在Rt△ABC中,若斜边AB上的中线CD的长为2.5,则AC2+BC2= (　　) A.5　　　　B.10　　　　C.20　　　　D.25 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 3．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，下列说法错误的是（　　） A．∠C＝90°，则a2+b2＝c2 B．∠B＝90°，则a2+c2＝b2 C．∠A＝90°，则b2+c2＝a2 D．总有a2+b2＝c2 6.如图,以Rt△ABC(AC⊥BC)的三边为边,分别向外作正方形,它们的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=12,则S1的值是(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 7.如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于(　　) A.2π　　　　B.4π　　　　C.8π　　　　D.16π 8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=10,如果△DAB的面积为40,那么DC的长为(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 9.如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度是h cm,则h的取值范围是(　　) A.5≤h≤12　 　B.12≤h≤19 C.11≤h≤12　　　 D.12≤h≤13 10.如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m,则BB'的长为(　　) A.1 m　　　　B.2 m　　　　C.3 m　　　　D.4 m 二．填空题 11．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为_______. 12．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　　． 13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则正方形ABDE的面积是　　　　.  14如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为　　　　.  15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2=　　　　.  16.如图,在△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,点N在AC上,MN⊥AB,若AC=8,BC=4,则NC的长为_________. 三．解答题 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4． （1）求AB的长； （2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△ACP为等腰三角形． 18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD． （2）计算（1）中线段CD的长． 19．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ 20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$