精品解析：2025年湖南省长沙市明德雨花实验中学中考模拟数学试卷

明德雨花实验中学九年级中考模拟考试数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2. 美在数学中有着它的独特之处，在丰富多彩的数学美之中，对称美、旋转美深深的震撼着我们．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3. 2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法逐项计算即可． 【详解】A． ，故原说法不正确； B． ，故原说法不正确； C． ，故原说法不正确； D． ，故正确； 故选：D． 5. 如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一组数据的众数和中位数，熟记众数和中位数的定义是解题的关键．根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的数是48，因此众数是48； 将这组数据从小到大排序为：47，47，48，48，48，49，49，50， 第4，5位是48，48，因此中位数是， 故答案为：C． 7. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. y的值随着x增大而减小 B. 当时， C. 函数图象与y轴的交点坐标为 D. 函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、∵，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； B、∵时，，又∵y的值随着x增大而减小， ∴当时，，原说法错误，符合题意； C、∵当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为，正确，不符合题意； D、∵，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意． 故选B． 8. 如图，是外接圆，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆，同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角等知识，掌握以上知识是关键． 根据直径所对圆周角为直角得到，根据同弧所对圆周角相等得到，结合直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，如图，过点作于点，由作图过程可知平分，根据角平分线的性质得，再根据确定的长，即可得出结论．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图过程可知：平分， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离等于． 故选：C． 10. 张、王、李、赵四位同学有一人在校外做好事受到表扬，经询问，张说：“是李做的”，王说：“是张做的”，李说：“王说的不对”，赵说：“不是我做的”．经调查，其中只有一个人说的话正确，那么受表扬的同学是（ ） A. 张 B. 王 C. 李 D. 赵 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解 我们用枚举法逐一排除，直接找出受表扬者． 用张、王、李、赵表示四人分别说了真话，表示四人分别说了谎． （1）如果张受到了表扬，那么、王、、赵，这与已知条件只有一人讲真话矛盾． （2）如果王受到了表扬，那么、、李、赵，同得到矛盾． （3）如果李得到了表扬，那么张、、李、赵，同样得到矛盾． （4）如果赵得到表扬，那么、、李、，这时只有李一人说的正确，满足题目要求． 所以受表扬的同学是赵． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用提公因式法提出公因式xy，再利用平方差公式法进行变形即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查． 12. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义：被开方数为非负数，据此即可列式计算作答． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 即， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 14. 如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么_____ ． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次方程求解，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 根据题意列出，解一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 15. 如图，已知函数（k为常数，）的图象经过点A，作轴于点B，连接，若的面积为，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：设， ∵函数（k为常数，）的图象经过点A，轴于点B， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 根据勾股定理求得的长，结合平行四边形的性质求得的长，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴在中， ∴在中， 在中， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再根据零指数幂、二次根式、绝对值的性质化简，再加减即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用乘法公式，整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. “科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，） 【答案】该建筑物的高度约为米 【解析】 【分析】由题意可知，，，，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到米，再利用锐角三角函数，求出米，即可得到该建筑物的高度． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， 米， 在中，米， 米， 答：该建筑物BC的高度约为米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键． 20. 坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下： （1）班级总人数为_______________人，__________________°； （2）补全条形统计图； （3）若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？ （4）坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【答案】（1）50，144 （2） 补全条形统计图如下： （3）128人 （4），理由： 列表如下： 小山 小坪 五 六 日 五 （五，五） （五，六） （五，日） 六 （六，五） （六，六） （六，日） 日 （日，五） （日，六） （日，日） 共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五，五），（六，六），（日，日）共3种，（没有列出情况不得分） 两人同一日期看音乐剧的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）利用喜欢戏曲的人数除以喜欢戏曲的人所占的比，可以求出总人数，再用乘以喜欢音乐剧的学生所占的比，可以求出圆心角度数； （2）用总人数减去喜欢戏曲、音乐剧、舞蹈的人数可以求出喜欢话剧的人数，补全条形统计图即可； （3）用800乘以喜欢舞剧的学生所占的比即可； （4）画树状图或者列表可得出所有等可能的结果数以及小坪和小山选择同一日期的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：班级总人数为（人）， 喜欢音乐剧的人数所对应的圆心角的度数为， 故答案为：50，144； 【小问2详解】 解：喜欢话剧的人数为（人）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该年级喜欢舞剧的人数为128人． 【小问4详解】 略 21. 如图：已知点C是线段的中点，于A，于B，过点C的直线与分别交于E， （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：点C是线段的中点， ， 在和中， ， ； （2）1 【解析】 【分析】由“”证明； 由全等三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 22. 第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． （1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ （2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 【答案】（1）每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元 （2）最多购进A种奖品40个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列二元一次方程组，列一元一次不等式，是解题的关键． （1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，根据购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，根据总费用不超过3120元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元； 【小问2详解】 解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得： ， 解得：， 答：最多购进A种奖品40个． 23. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长及的值． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∵平分， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，锐角三角函数等知识． （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，然后根据菱形的面积 求出，再结合锐角三角函数的定义即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“中考必胜函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“必胜点”． （1）判断以下函数上是否是“中考必胜函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”； ①________②________③________ （2）关于x的函数（a为常数）是“中考必胜函数”吗？如果是，指出有多少个“必胜点”，如果不是，请说明理由； （3）若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接，交于N点，连接，，记，，若满足：①抛物线顶点P为“必胜点”；②；③是等边三角形；若，的最大值为，求m的值． 【答案】（1）√，×，√ （2）关于x的函数（a为常数）是“中考必胜函数”， 当或时，有一个“必胜点”；当且时，有两个“必胜点”； （3） 【解析】 【分析】（1）设“必胜点”坐标为，把分别代入、和并求解，结合新定义即可获得答案； （2）设“必胜点”坐标为，分和两种情况，分别求解即可获得答案； （3）首先根据题意可知该抛物线的对称轴为，结合顶点P为“必胜点”即可确定其坐标，结合是等边三角形可确定该二次函数解析式以及点坐标；利用待定系数法求得直线的解析式；过点M作轴，交于点D，过点B作轴，交于点E，证明，结合的最大值，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：设“必胜点”坐标为， ①把代入得，解得，此时该点坐标为，符合新定义； ②把代入得，无解，不符合新定义； ③把代入得，解得或，符合题意． 故答案为：√，×，√； 【小问2详解】 设“必胜点”坐标为， 当时，得， 代入解析式，得， 解得，此时可有， 此时是“中考必胜函数”，有一个“必胜点”； 当时，把代入解析式， 得，此时， 当时，方程有两个不相等的实数根，即m有两个值，符合可知题意， 故当且时，函数是“中考必胜函数”，此时有两个“必胜点”； 当时，方程有两个相等实数根，即m有一个值，符合题意， 故当时，函数是“中考必胜函数”，此时有1个“必胜点”； 综上所述，关于x的函数（a为常数）是“中考必胜函数”， 当或时，有一个“必胜点”；当且时，有两个“必胜点”； 【小问3详解】 ∵抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中，与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，， ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线顶点P为“必胜点”， ∴， ， 是等边三角形，， ， ∵对称轴为 ， ， 解得， ∴， ∴， ∵点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点M作轴，交于点D，过点B作轴，交于点E， 故， ，， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴是t的二次函数，且抛物线开口向下， ∴对称轴， ∵， ∴， ， ∴随t的增大而减小， 故当时，取得最大值， ， 解得（舍去）， 故． 【点睛】本题考查了新定义、待定系数法、三角形相似的判定和性质、根的判别式、二次函数的最值及其增减性等知识，熟练掌握待定系数法、三角形相似的判定和性质、根的判别式、二次函数的最值及其增减性是解题的关键． 25. 如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下即，求的最大值． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵是直径， ∴， ∵弦于点， ∴，即， ，即； （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的内接四边形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理以及等量代换即可解答； （2）通过证明，进而得到，再根据等高三角形得到，最后代入计算即可； （3）分别证明和得到、，然后代入，最后根据完全平方公式的非负性求解最值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是圆的内接四边形， ， ∵， ∴， ∴， ∴相似比为， ，即， 和是等高三角形， ，即， ， 与之间的函数关系式； 【小问3详解】 解：在中，， ∵， ，即：，解得：， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， ， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， ，即最小值为， ∴， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德雨花实验中学九年级中考模拟考试数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 美在数学中有着它的独特之处，在丰富多彩的数学美之中，对称美、旋转美深深的震撼着我们．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 7. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. y的值随着x增大而减小 B. 当时， C. 函数图象与y轴的交点坐标为 D. 函数图象经过第一、二、四象限 8. 如图，是外接圆，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　） A. B. C. D. 10. 张、王、李、赵四位同学有一人在校外做好事受到表扬，经询问，张说：“是李做的”，王说：“是张做的”，李说：“王说的不对”，赵说：“不是我做的”．经调查，其中只有一个人说的话正确，那么受表扬的同学是（ ） A. 张 B. 王 C. 李 D. 赵 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是________． 13. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 14. 如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么_____ ． 15. 如图，已知函数（k为常数，）的图象经过点A，作轴于点B，连接，若的面积为，则k的值为______． 16. 如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. “科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，） 20. 坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下： （1）班级总人数为_______________人，__________________°； （2）补全条形统计图； （3）若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？ （4）坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 21. 如图：已知点C是线段的中点，于A，于B，过点C的直线与分别交于E， （1）求证：； （2）若，，求的面积． 22. 第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． （1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ （2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 23. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长及的值． 24. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“中考必胜函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“必胜点”． （1）判断以下函数上是否是“中考必胜函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”； ①________②________③________ （2）关于x的函数（a为常数）是“中考必胜函数”吗？如果是，指出有多少个“必胜点”，如果不是，请说明理由； （3）若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接，交于N点，连接，，记，，若满足：①抛物线顶点P为“必胜点”；②；③是等边三角形；若，的最大值为，求m的值． 25. 如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下即，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $