4.1.1 数列的概念与简单表示 课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.1.1 数列的概念与简单表示 01 数列的概念与分类 情境导入 每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列 章节预览 像以上这些按照确定的顺序排列的一列数称为数列.  本章知识框架 数列的概念与表示方法 等差数列 等必数列 数学归纳法 函数 证明与正整数有关的 数学命题的特殊方法 新知初探 新知初探 数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 序号 1 2 3 … … 项 … … 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数_____的数列 无穷数列 项数_____的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的 前一项 有限 数列的分类 无限 【例1】 (1) 判断下列选项的正误 数列可表示为.( ) 数列1，1，1，…是无穷数列.( ) 所有的自然数构成的数列均为递增数列.( ) 有些数列没有通项公式.( ) 答案：×，√，×，√. 【例1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？ 哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ ① 1，0.84，0.842，0.843，…； ② 2，4，6，8，10，…； ③ 7，7，7，7，…； ④ ，，，，…； ⑤ 10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； ⑥ 0，－1，2，－3，4，－5，…. ⑤是有穷数列； ①②③④⑥是无穷数列； ②是递增数列； ①④⑤是递减数列； ③是常数列； ⑥是摆动数列. 解析： 02 数列的通项公式 (课本例4) 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1) ，－，，－； 题型一 由数列的前几项求通项公式 (课本例4) 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (2) 0，2，0，2. 【例2】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－1，2，-3，4； 课本P138 练习5 这个数列的前6项的绝对值都是序号的值，并且奇数项为负， 偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. 【解析】 【例2】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (2) 这个数列的前4项可写为：， 所以它的一个通项公式为：an＝ 【解析】 【例2】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (3) 这个数列的前4项可写为：， 所以它的一个通项公式为：an＝ 【解析】 【例2】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (4) 这个数列的前4项可写为：， 所以它的一个通项公式为：an＝ 【解析】 【延伸探究1】试写出前4项为9，99，999，9999的一个通项公式. 解：各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，100 000，1 000 000， 此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*. 【延伸探究2】试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式. 解：由本例的第(4)题每一项除以9即可得到该数列，则它的一个通项公式为 an＝(10n－1)，n∈N*. 【延伸探究3】试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式. 解：由本例的第(4)题的每一项乘以即可得到该数列，则它的一个通项公式为 an＝(10n－1)，n∈N*. 练习：P139 习题3 通性通法 掌握以下数列的通项公式： 数列 通项公式 1，2，3，4，… 1，3，5，7，… 2，4，6，8，… 1，4，9，16，… 1，2，4，8，… -1,1,-1,1,… 9,99,999,9999,… 1，，，，… 想一想 03 数列通项公式的简单应用 题型二 数列通项公式的简单应用 【例3】已知数列{an}的通项公式是 an＝2n2－n，n∈N*. (1) 写出数列的前3项； 解析：在通项公式中依次取n＝1，2，3，可得{an}的前3项分别为1，6，15. 【例3】(2) 判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项. 解析：令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)， 故45是数列{an}中的第5项. 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝， 故3不是数列{an}中的项. 通性通法 练习：P139 习题7 课后练习：P138 练习2，3，4 THANKS 毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①.他把这些数叫作三角形数； 当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②. 他把这些数叫作正方形数，等等． 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题． 他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数． 每个数 有限 无限 首项 eq \a\vs4\al(n) 知识点一　数列的概念 1．定义：按照一定______排列的一列数称为数列，数列中的________都叫作这个数列的项． 2．分类：项数______的数列叫作有穷数列；项数______的数列叫作无穷数列． 3．记法：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．其中a1称为数列{an}的第1项或______，a2称为第2项……an称为第__项． 次序 1．2，3，4，5和5，4，3，2是相同的数列吗？ 提示：不是． 2．{an}与an是两个相同的概念吗？ 提示：不是．{an}表示数列a1，a2，…，an，而an只是数列{an}中的第n项． 一个公式 公式 公式 递推 知识点二　数列通项公式与递推公式 1．通项公式 如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用__________来表示，那么这个______叫作这个数列的通项公式． 2．递推公式 如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个______来表示，那么这个公式就叫作这个数列的______公式． 序号n 由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； (2)若n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控； (3)熟悉一些常见数列的通项公式； (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳． 2．是否所有的数列都有通项公式？若有是否唯一？ 提示：不是．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．若有通项公式也不一定唯一． 3．所有的数列都有递推公式吗？ 提示：不是所有的数列都有递推公式．例如eq \r(2)精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式． 1．数列{an}与函数有什么关系？ 提示：数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}． 判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数， 则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项． $$