第26讲：平面向量的概念及其线性运算【知识梳理+题型总结】讲义——2026届高三数学一轮复习

2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第26讲：平面向量的概念及其线性运算】 【新高考课程标准要求】 1.理解向量的概念与表示：了解平面向量的实际背景，如力、速度、位移等，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，明确向量的大小和方向是其基本要素。同时，要理解向量的几何表示，即可以用有向线段来表示向量，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量等概念。 2.掌握向量的线性运算：掌握向量的加、减运算，需熟练运用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法和减法运算，并理解其几何意义。例如，通过三角形法则可以直观地看出向量相加时“首尾相连，首指向尾”的特点。掌握向量的数乘运算，理解实数与向量数乘的运算规则，即，以及数乘运算的几何意义，如当时，与方向相同等。同时，要理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理，即向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得。 3.了解线性运算性质：了解向量的线性运算性质及其几何意义，如向量加法的交换律和结合律，数乘运算的分配律等，能够运用这些性质进行相关的推理和计算，体会向量运算与实数运算的联系与区别，感受向量运算的独特性。 【知识梳理】 平面向量的概念 1. 向量：既有大小又有方向的量，用有向线段表示，有向线段的长度就是向量的模，如向量的模记作。 2. 零向量：长度为0的向量，记作，其方向是任意的。 3. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量。对于非零向量，其单位向量为。 4. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作。规定与任一向量平行。 5. 相等向量：长度相等且方向相同的向量，若与相等，记作。 6. 相反向量：长度相等且方向相反的向量，向量的相反向量记作。 平面向量的线性运算 1. 向量的加法 定义：求两个向量和的运算。规定。 三角形法则：已知非零向量，，在平面内任取一点，作，，则，即“首尾相接，首尾连”。 平行四边形法则：已知两个不共线向量，，作，，以，为邻边作平行四边形，则以为起点的对角线向量就是。 运算律：交换律；结合律。 2. 向量的减法 定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即。 三角形法则：已知向量，，在平面内任取一点，作，，则，即“共起点，连终点，指向被减向量”。 3. 向量的数乘 定义：实数与向量的积是一个向量，记作。其长度；当时，与方向相同，当时，与方向相反，当时，。 运算律：；；。 4. 共线向量定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。 常用结论 1. 中点公式的向量形式：若为线段的中点，为平面内任一点，则。 2. 三点共线等价形式：若（，为实数），且，，三点共线，则。反之，若，则，，三点共线。 3. 向量三角不等式：已知非零向量，，则，当且仅当与同向或反向共线时，部分等号成立。 【课前自测】 1．（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 2．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 4．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 5．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·模拟预测）已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 7．（2025·湖南·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，分别与交于R、T两点，，（   ） A． B． C． D． 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：平面向量的基本概念】 【例题】1．（2025高三·天津·专题练习）下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【针对训练】3．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.同 D．若，则不是共线向量 多选题5．（24-25高一下·江苏盐城·期末）下列选项中，正确的是（   ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 【解题策略】 1. 紧扣核心定义，双向验证“大小”与“方向” 向量的本质是“既有大小又有方向的量”，解题时需同时验证这两个要素，避免单一维度判断： 判断相等向量：需同时满足“长度相等”和“方向相同”，二者缺一不可。 判断平行（共线）向量：需满足“方向相同或相反”，且明确“非零向量”前提（零向量与任一向量平行，但非零向量平行需方向关系）。 判断单位向量/零向量：单位向量仅要求“长度为1”，方向不唯一；零向量仅要求“长度为0”，方向任意，需特别注意其特殊性。 2. 利用几何意义，简化抽象关系 向量可通过有向线段直观表示，其线性运算的几何法则是解题关键： 加法：遵循“三角形法则”（首尾相连，和向量起点接首、终点接尾）或“平行四边形法则”（共起点，和向量为对角线）。 减法：遵循“三角形法则”（共起点，差向量从减数终点指向被减数终点）。 通过几何意义可快速分析向量间的位置、长度关系，避免纯代数运算的繁琐。 3. 抓住特殊向量（零向量），规避易错点 零向量是概念题的高频易错点，需牢记其特性： 零向量方向任意，故“零向量与任意向量平行”，但不满足平行关系的传递性（如且，无法推出）。 涉及“向量共线”“向量垂直”等命题时，需先考虑是否为零向量，排除特殊情况后再判断一般情况。 4. 借助共线向量定理，解决共线问题 共线向量定理是判断向量共线、三点共线的核心工具： 若，则的充要条件是存在唯一实数，使得。 三点共线的充要条件：存在实数，满足且，可通过设参数、列等式求解。 5. 明确向量与数量的本质区别 避免混淆向量与数量的性质： 数量仅含大小，可比较大小；向量含大小和方向，不能直接比较大小，仅能比较其模（与）的大小。 向量的运算（如加法、数乘）需遵循向量法则，而非单纯的数值运算。 【考点二：平面向量的线性运算】 【例题】1．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）在中，点为边的中点，点为的中点.记，，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】3．（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·模拟预测）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（2024·四川·一模）如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知，且，则 ． 【解题策略】 1. 熟练运用线性运算的核心法则 解题前需牢记运算的基本规则，避免基础错误： 加法法则： 三角形法则：首尾相连，和向量 = 首向量起点 → 尾向量终点（）。 平行四边形法则：共起点，和向量 = 以两向量为邻边的平行四边形对角线（，为平行四边形）。 减法法则：共起点，差向量 = 被减向量终点 → 减向量终点（）。 数乘法则： 长度：； 方向：时与同向，时与反向，时为零向量。 2. 优先“基底化”：用已知向量表示未知向量 根据平面向量基本定理（同一平面内不共线的两向量可作为基底，表示任意向量），解题时优先选择“已知条件多、位置特殊”的向量作为基底（如三角形的邻边、平行四边形的边），将未知向量转化为基底的线性组合： 步骤：① 确定基底（如、）；② 将目标向量（如）拆分为与基底相关的向量；③ 利用运算法则合并，整理成的形式。 关键：拆分时紧扣图形中的线段关系（如中点、三等分点、平行关系），通过“加/减”衔接向量。 3. 善用几何意义：简化抽象运算 线性运算的几何意义是“将代数运算转化为直观图形关系”，尤其适用于含几何图形（三角形、平行四边形、多边形）的题目： 遇“中点”“中线”：利用“中点向量公式”（如为中点，则），快速建立向量关系。 遇“平行”“共线”：结合数乘的方向性质（如且，则）。 遇“多边形”：利用“向量多边形法则”（如四边形中，），简化多向量求和。 4. 巧用“共线向量定理”：解决参数与共线问题 共线向量定理是线性运算中“关联向量与参数”的核心工具，适用于求参数、判断三点共线： 定理应用：若，则 ⇨ 存在唯一，使。 三点共线：若共线，且，则（反之亦成立）。解题时可设参数，通过向量相等列方程求解。 5. 注重“运算律”：简化复杂表达式 向量线性运算满足交换律、结合律、分配律，合理运用可简化计算： 交换律：； 结合律：； 分配律：，。 示例：计算，可先展开分配律，再合并同类向量（结果为）。 6. 警惕“零向量”与“方向”陷阱 零向量：数乘中若，需考虑或两种情况；共线问题中，零向量与任一向量共线，需先排除零向量再判断非零向量的共线关系。 方向：数乘的方向是易错点，需明确的正负对向量方向的影响，避免因方向判断错误导致结果符号出错。 【考点三：共线定理及其应用】 【例题】1．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 2．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】4．（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）已知平面上点，，满足，且，点满足，动点满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．1或 【解题策略】 一、明确共线定理的核心内容 解题前需精准掌握定理的“充要条件”，避免条件遗漏： 定理表述：若向量，则向量与共线（平行）的充要条件是：存在唯一实数，使得。 关键条件： 1. 必须强调（若，则需为，且不唯一，定理不成立）； 2. 的唯一性：若且，则，可用于列方程求参数。 二、核心应用场景与解题策略 1. 判定三点共线（最高频应用） 转化逻辑：三点共线 ⇨ 向量与共线（或与共线）。 解题步骤： 1. 选取三点中的两个向量（如和），确保其中一个非零； 2. 根据共线定理设关系：（为实数）； 3. 若向量用坐标表示，可列横、纵坐标相等的方程，求解；若用基底表示，可通过基底系数相等列方程。 重要推论：若为平面内任意一点，共线 ⇨ 存在实数，使得，且（反之亦成立）。解题时可直接利用“”快速建立参数关系，简化计算。 2. 求参数值（含坐标与基底两种情况） 情况1：向量用坐标表示 策略：设（），，则 ⇨ （此为坐标形式的共线条件，由推导得出：，，消去即得）。直接代入坐标列方程，求解参数（如向量坐标中的未知量）。 情况2：向量用基底表示 策略：设基底为（不共线），若，，则 ⇨ 存在，使得且（基底系数成比例）。通过系数比例关系列方程，求解参数（如中的未知量）。 3. 证明线线平行（几何证明题） 转化逻辑：要证两条直线平行（不重合），可证直线上的“方向向量”共线。 解题步骤： 1. 分别在两条直线上取非零方向向量（如直线的方向向量，直线的方向向量）； 2. 证明存在实数，使得（即与共线）； 3. 补充说明两条直线不重合（可通过直线上一点不在另一条直线上证明），即可得。 三、避坑关键：警惕易出错点 1. 忽略“非零向量”条件：应用定理时，必须先明确所设的“基准向量”（如）非零，否则可能出现不唯一或逻辑矛盾（例如，若，，则不存在使）。 2. 混淆“共线”与“重合”：向量共线仅表示方向相同或相反，对应直线可能平行或重合。若题目要求“直线平行”，需额外证明两直线不重合；若仅需“三点共线”，则无需排除重合（三点共线本身包含重合情况）。 3. 误用“”的前提：推论“且”的前提是“为任意点，共线”，若与共线，该推论仍成立，但需确保向量表达式正确，避免因点的位置错误导致系数计算偏差。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知是空间中任意五点，则 B．若向量，满足，则 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．若，则四点共面 2．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）下列命题中，正确的是（     ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，则 C．“”是，共线”的充要条件 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 3．（2025·云南·模拟预测）在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 5．（2025·湖北宜昌·二模）已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图，已知，用，表示，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 9．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 11．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 12．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为 . 13．（21-22高三上·江苏镇江·期中）已知非零向量，不共线，若，，，且A，C，D三点共线，则 ． 14．（2023·陕西咸阳·模拟预测）在中，点是的中点，点在上，且，，则 . 三、解答题 15．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知点是所在平面内一点，满足，求与的面积之比． 16．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第26讲：平面向量的概念及其线性运算】 【新高考课程标准要求】 1.理解向量的概念与表示：了解平面向量的实际背景，如力、速度、位移等，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，明确向量的大小和方向是其基本要素。同时，要理解向量的几何表示，即可以用有向线段来表示向量，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量等概念。 2.掌握向量的线性运算：掌握向量的加、减运算，需熟练运用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法和减法运算，并理解其几何意义。例如，通过三角形法则可以直观地看出向量相加时“首尾相连，首指向尾”的特点。掌握向量的数乘运算，理解实数与向量数乘的运算规则，即，以及数乘运算的几何意义，如当时，与方向相同等。同时，要理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理，即向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得。 3.了解线性运算性质：了解向量的线性运算性质及其几何意义，如向量加法的交换律和结合律，数乘运算的分配律等，能够运用这些性质进行相关的推理和计算，体会向量运算与实数运算的联系与区别，感受向量运算的独特性。 【知识梳理】 平面向量的概念 1. 向量：既有大小又有方向的量，用有向线段表示，有向线段的长度就是向量的模，如向量的模记作。 2. 零向量：长度为0的向量，记作，其方向是任意的。 3. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量。对于非零向量，其单位向量为。 4. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作。规定与任一向量平行。 5. 相等向量：长度相等且方向相同的向量，若与相等，记作。 6. 相反向量：长度相等且方向相反的向量，向量的相反向量记作。 平面向量的线性运算 1. 向量的加法 定义：求两个向量和的运算。规定。 三角形法则：已知非零向量，，在平面内任取一点，作，，则，即“首尾相接，首尾连”。 平行四边形法则：已知两个不共线向量，，作，，以，为邻边作平行四边形，则以为起点的对角线向量就是。 运算律：交换律；结合律。 2. 向量的减法 定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即。 三角形法则：已知向量，，在平面内任取一点，作，，则，即“共起点，连终点，指向被减向量”。 3. 向量的数乘 定义：实数与向量的积是一个向量，记作。其长度；当时，与方向相同，当时，与方向相反，当时，。 运算律：；；。 4. 共线向量定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。 常用结论 1. 中点公式的向量形式：若为线段的中点，为平面内任一点，则。 2. 三点共线等价形式：若（，为实数），且，，三点共线，则。反之，若，则，，三点共线。 3. 向量三角不等式：已知非零向量，，则，当且仅当与同向或反向共线时，部分等号成立。 【课前自测】 1．（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【答案】C 【分析】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可. 【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km. 故选：C 2．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】对于非零向量， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件， 故选：C. 3．（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】由已知得，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断. 【详解】由题设， ，，，与有公共端点，所以三点共线，A对； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，B错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，C错； ，，不存在，使， 所以与不共线，即三点不共线，D错； 故选：A 4．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【分析】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 5．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 6．（2025·河南·模拟预测）已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量关系得到几何中的垂直关系，再把向量问题转化为将军饮马问题即可求解. 【详解】如图， 设，则恒成立，等价于恒成立， 从而有， 故． 设，，则． 作点E关于直线的对称点F，连接由题可知，，, 则， 当且仅当三点共线时取等号． 故选：D. 7．（2025·湖南·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的线性运算得，结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以． 故选：D． 8．（2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，分别与交于R、T两点，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：设，得到，根据B，T，F三点共线，得到方程，可得答案； 方法二：根据，可得. 【详解】方法一：设， 且B，T，F三点共线， ，解得； 方法二：， 所以， 同理，， 故， 所以. 故选：B. 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：平面向量的基本概念】 【例题】1．（2025高三·天津·专题练习）下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C 【分析】由向量的模、单位向量、相等向量等概念对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，有方向不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量长度相等，方向相同，故D正确. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 【针对训练】3．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共线向量的模的特点得到答案. 【详解】使得成立的充分条件是和反向且， 对于A，和是同向，所以A错误， 对于B，和可能同向，可能反向，所以B错误， 对于C，由，得，则和反向且，所以C正确， 对于D，由可得和的方向不能确定，所以D错误. 故选：C． 4．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.同 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 多选题5．（24-25高一下·江苏盐城·期末）下列选项中，正确的是（   ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 【答案】BD 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；若向量，则根据向量的运算法则可得，即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据共线向量的定义即可判断选项D. 【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A错误； 若向量，则，所以，故选项B正确； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故选项C错误； 若非零向量与共线，则，，三点共线，故选项D正确. 故选：BD. 【解题策略】 1. 紧扣核心定义，双向验证“大小”与“方向” 向量的本质是“既有大小又有方向的量”，解题时需同时验证这两个要素，避免单一维度判断： 判断相等向量：需同时满足“长度相等”和“方向相同”，二者缺一不可。 判断平行（共线）向量：需满足“方向相同或相反”，且明确“非零向量”前提（零向量与任一向量平行，但非零向量平行需方向关系）。 判断单位向量/零向量：单位向量仅要求“长度为1”，方向不唯一；零向量仅要求“长度为0”，方向任意，需特别注意其特殊性。 2. 利用几何意义，简化抽象关系 向量可通过有向线段直观表示，其线性运算的几何法则是解题关键： 加法：遵循“三角形法则”（首尾相连，和向量起点接首、终点接尾）或“平行四边形法则”（共起点，和向量为对角线）。 减法：遵循“三角形法则”（共起点，差向量从减数终点指向被减数终点）。 通过几何意义可快速分析向量间的位置、长度关系，避免纯代数运算的繁琐。 3. 抓住特殊向量（零向量），规避易错点 零向量是概念题的高频易错点，需牢记其特性： 零向量方向任意，故“零向量与任意向量平行”，但不满足平行关系的传递性（如且，无法推出）。 涉及“向量共线”“向量垂直”等命题时，需先考虑是否为零向量，排除特殊情况后再判断一般情况。 4. 借助共线向量定理，解决共线问题 共线向量定理是判断向量共线、三点共线的核心工具： 若，则的充要条件是存在唯一实数，使得。 三点共线的充要条件：存在实数，满足且，可通过设参数、列等式求解。 5. 明确向量与数量的本质区别 避免混淆向量与数量的性质： 数量仅含大小，可比较大小；向量含大小和方向，不能直接比较大小，仅能比较其模（与）的大小。 向量的运算（如加法、数乘）需遵循向量法则，而非单纯的数值运算。 【考点二：平面向量的线性运算】 【例题】1．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一，在中分别利用向量加法的三角形法则表示，，再根据平面向量共线定理及向量相等转化即可表示出； 法二，在中利用向量加法的三角形法则表示，再根据平面向量共线定理及向量相等转化即可表示出. 【详解】在平行四边形中，有. 已知，， 法一： . 法二：. 故选：D 2．（2025·全国·模拟预测）在中，点为边的中点，点为的中点.记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：由平面向量的线性运算结合三角形法则求解即可；法二，特殊化三角形为直角三角形，借助向量坐标运算求解. 【详解】如图，由点为边的中点，得，由点为的中点，得， 所以. 故选：B 法二：将特殊化，假设为以角为直角的等腰直角三角形， 如图，以点为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，则，， 根据题意，得，， 所以. 故选：B. 【针对训练】3．（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形特征及向量线性关系计算判断. 【详解】由题意得，∽，所以， 所以，所以. 故选：A. 4．（2025·湖北·模拟预测）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由及即可求解. 【详解】 因为点是线段的中点,所以， 又， 所以， 所以， 故选：C 5．（2024·四川·一模）如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】由点为中点得：，因为，所以， 因为， 所以. 故选：C 二、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知，且，则 ． 【答案】4 【分析】根据向量加减法的运算法则，拆解向量，化简求值. 【详解】因为， 则带入，得， 整理得．又， 所以，解得． 故答案为:4. 【解题策略】 1. 熟练运用线性运算的核心法则 解题前需牢记运算的基本规则，避免基础错误： 加法法则： 三角形法则：首尾相连，和向量 = 首向量起点 → 尾向量终点（）。 平行四边形法则：共起点，和向量 = 以两向量为邻边的平行四边形对角线（，为平行四边形）。 减法法则：共起点，差向量 = 被减向量终点 → 减向量终点（）。 数乘法则： 长度：； 方向：时与同向，时与反向，时为零向量。 2. 优先“基底化”：用已知向量表示未知向量 根据平面向量基本定理（同一平面内不共线的两向量可作为基底，表示任意向量），解题时优先选择“已知条件多、位置特殊”的向量作为基底（如三角形的邻边、平行四边形的边），将未知向量转化为基底的线性组合： 步骤：① 确定基底（如、）；② 将目标向量（如）拆分为与基底相关的向量；③ 利用运算法则合并，整理成的形式。 关键：拆分时紧扣图形中的线段关系（如中点、三等分点、平行关系），通过“加/减”衔接向量。 3. 善用几何意义：简化抽象运算 线性运算的几何意义是“将代数运算转化为直观图形关系”，尤其适用于含几何图形（三角形、平行四边形、多边形）的题目： 遇“中点”“中线”：利用“中点向量公式”（如为中点，则），快速建立向量关系。 遇“平行”“共线”：结合数乘的方向性质（如且，则）。 遇“多边形”：利用“向量多边形法则”（如四边形中，），简化多向量求和。 4. 巧用“共线向量定理”：解决参数与共线问题 共线向量定理是线性运算中“关联向量与参数”的核心工具，适用于求参数、判断三点共线： 定理应用：若，则 ⇨ 存在唯一，使。 三点共线：若共线，且，则（反之亦成立）。解题时可设参数，通过向量相等列方程求解。 5. 注重“运算律”：简化复杂表达式 向量线性运算满足交换律、结合律、分配律，合理运用可简化计算： 交换律：； 结合律：； 分配律：，。 示例：计算，可先展开分配律，再合并同类向量（结果为）。 6. 警惕“零向量”与“方向”陷阱 零向量：数乘中若，需考虑或两种情况；共线问题中，零向量与任一向量共线，需先排除零向量再判断非零向量的共线关系。 方向：数乘的方向是易错点，需明确的正负对向量方向的影响，避免因方向判断错误导致结果符号出错。 【考点三：共线定理及其应用】 【例题】1．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 2．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【详解】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 【针对训练】4．（2025·海南·模拟预测）在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线、辅助角公式可得，结合的范围即可求解. 【详解】因为在中，点为边上一点，已知， 所以，即， 而，所以，解得. 故选：A. 5．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即. 故选：C 6．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 7．（2024·全国·模拟预测）已知平面上点，，满足，且，点满足，动点满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．1或 【答案】A 【分析】由题设三个条件依次得到，推得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，再得点，，三点共线，通过建系将问题转化成由点向圆做切线，求原点到该切线的最短距离问题. 【详解】由题意，得 ，所以． 因为，所以． 又，即，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． 如图，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系． 易知，，则点的轨迹方程为． 由，得点，，三点共线． 过点作圆的切线，设其方程为，即． 由点到该切线的距离为，可得，解得或． 由图知，当时，最小，切线的方程为， 此时的最小值即为点到切线的距离，即． 故选：A． 【解题策略】 一、明确共线定理的核心内容 解题前需精准掌握定理的“充要条件”，避免条件遗漏： 定理表述：若向量，则向量与共线（平行）的充要条件是：存在唯一实数，使得。 关键条件： 1. 必须强调（若，则需为，且不唯一，定理不成立）； 2. 的唯一性：若且，则，可用于列方程求参数。 二、核心应用场景与解题策略 1. 判定三点共线（最高频应用） 转化逻辑：三点共线 ⇨ 向量与共线（或与共线）。 解题步骤： 1. 选取三点中的两个向量（如和），确保其中一个非零； 2. 根据共线定理设关系：（为实数）； 3. 若向量用坐标表示，可列横、纵坐标相等的方程，求解；若用基底表示，可通过基底系数相等列方程。 重要推论：若为平面内任意一点，共线 ⇨ 存在实数，使得，且（反之亦成立）。解题时可直接利用“”快速建立参数关系，简化计算。 2. 求参数值（含坐标与基底两种情况） 情况1：向量用坐标表示 策略：设（），，则 ⇨ （此为坐标形式的共线条件，由推导得出：，，消去即得）。直接代入坐标列方程，求解参数（如向量坐标中的未知量）。 情况2：向量用基底表示 策略：设基底为（不共线），若，，则 ⇨ 存在，使得且（基底系数成比例）。通过系数比例关系列方程，求解参数（如中的未知量）。 3. 证明线线平行（几何证明题） 转化逻辑：要证两条直线平行（不重合），可证直线上的“方向向量”共线。 解题步骤： 1. 分别在两条直线上取非零方向向量（如直线的方向向量，直线的方向向量）； 2. 证明存在实数，使得（即与共线）； 3. 补充说明两条直线不重合（可通过直线上一点不在另一条直线上证明），即可得。 三、避坑关键：警惕易出错点 1. 忽略“非零向量”条件：应用定理时，必须先明确所设的“基准向量”（如）非零，否则可能出现不唯一或逻辑矛盾（例如，若，，则不存在使）。 2. 混淆“共线”与“重合”：向量共线仅表示方向相同或相反，对应直线可能平行或重合。若题目要求“直线平行”，需额外证明两直线不重合；若仅需“三点共线”，则无需排除重合（三点共线本身包含重合情况）。 3. 误用“”的前提：推论“且”的前提是“为任意点，共线”，若与共线，该推论仍成立，但需确保向量表达式正确，避免因点的位置错误导致系数计算偏差。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知是空间中任意五点，则 B．若向量，满足，则 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．若，则四点共面 2．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）下列命题中，正确的是（     ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，则 C．“”是，共线”的充要条件 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 3．（2025·云南·模拟预测）在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 5．（2025·湖北宜昌·二模）已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图，已知，用，表示，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 9．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 11．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 12．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为 . 13．（21-22高三上·江苏镇江·期中）已知非零向量，不共线，若，，，且A，C，D三点共线，则 ． 14．（2023·陕西咸阳·模拟预测）在中，点是的中点，点在上，且，，则 . 三、解答题 15．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知点是所在平面内一点，满足，求与的面积之比． 16．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CD B A C A C A A C A 题号 11 答案 A 1．CD 【分析】根据空间向量的运算，即可判断A项；根据已知可推得，即可判断B项；根据空间向量可以平移，即可判断C项；只有“，不共线”，四点才共面，可判断D. 【详解】对于A，，注意前者是零向量，后者是实数0，故A错误； 对于B，注意向量相等时，向量所在直线互相平行或重合， 因此当时，，四点可能在一条直线上，故B错误； 对于C，空间中的任意两个非零向量都可以平移到同一起点， 则这两个向量可以是共面向量,故C正确； 对于D，若“，不共线”，有四点共面， 若“，共线”，则四点在同一直线上，则有四点共面， 故D正确． 故选：CD. 2．B 【分析】根据向量共线的定义可判定A；由向量数量积的性质及运算可判定B；由向量共线的性质可判定C；由向量相等的定义可判定D. 【详解】对于A，当或时，有， 但与方向相同或相反不一定成立，故A错误； 对于B，若，则， 则，即，故B正确； 对于C，由，可得，共线， 若，，则，但不存在实数，使得， 故“”是，共线”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，两个单位向量互相平行，它们的方向可能相同也可能相反， 则这两个单位向量不一定相等，故D错误． 故选：B. 3．A 【分析】由题意得，利用向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：A. 4．C 【分析】由平面向量基本定理结合，可得，再由，即可求出的值. 【详解】由，可得， 则 则 故， 所以 故选：C. 5．A 【分析】由可知用有向线段表示则可以构成封闭的三角形，再根据三个向量均为单位向量可知该三角形为等边三角形，由此即可求出与夹角的大小. 【详解】如图所示，    △为边长为1的正三角形，则与夹角即为. 故选：A. 6．C 【分析】利用平面向加、减法法则结合已知条件，可得出关于、的表达式. 【详解】因为 所以. 故选：C. 7．A 【分析】根据平面向量的线性运算直接求解即可. 【详解】在中，， 则 . 又因为，所以. 故选：A 8．A 【分析】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可. 【详解】，， 因为与共线，， 故选：A． 9．C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 10．A 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 11．A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 12．/ 【分析】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可. 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以， 又三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 13． 【分析】根据三点共线，则对应向量共线，则存在非零实数x，使得，即可求得参数. 【详解】因为A，C，D三点共线，故可得， 则存在非零实数x，使得． 又，， 故可得．又非零向量，不共线， 故可得，，解得，． 故答案为：. 14． 【分析】根据平面向量共线定理的推论求出，再根据平面向量基本定理求出、，即可得解. 【详解】依题意，又点在上，且， 所以，所以，解得， 即， 所以， 又，所以，， 所以. 故答案为： 15．3 【分析】法一： ，由向量的线性运算得到，从而得到；法二：由向量的线性运算得到，再由结论得到；法三：由共线得到线段长度之比，以为中间值，找到和与的比例关系，从而得到和之比. 【详解】法一：如图，过点作，延长交于点，则． 因为， 所以，则，所以，，从而，， 所以． 法二：由得，所以， 以下证明结论：在平面内，若有，其中是平面内一点，是的三个顶点，则. 由可得， 由向量叉乘的几何意义， 同理可得，所以. 利用以上结论，因为，所以，即. 法三：如图，延长交于点，设， 因为，所以． 又因为三点共线，所以，即， 因为等高，所以，即． 因为， ，，所以． 因为等高，所以，即，所以． 16．(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$