第1章 有理数（中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（湘教版2024）

第1章 有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、点的平移 【解惑】如图，将数轴上表示的点向右平移3个单位，得到点，则点表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D． 【融会贯通】 1．将1在数轴上对应的点向右平移2024个单位，则此时该点对应的数是（   ） A．2023 B．2025 C．2026 D． 2．数轴上点A对应的数是5，把点A向左平移7个单位长度，对应的数是 ． 3．数轴上点A表示的数是3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点，则平移后点表示的数是 ． 类型二、数轴上两点之间的距离 【解惑】在数轴上与表示的点距离等于3的点所表示的数是（   ） A．1 B．5 C．1或5 D．1或 【融会贯通】 1．数轴上点表示的数是，如果、两点的距离，那么点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 2．一个点到原点的距离是2个单位长度，另一个点到原点的距离是3个单位长度，这两个点分别在原点的两侧，则这两个点表示的有理数的和是 ． 3．已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为 ． 类型三、绝对值化简 【解惑】若，则等于（   ） A． B．0 C． D． 【融会贯通】 1．若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．若m，n互为相反数，则 ． 3．已知有理数a在数轴上对应点如图所示，化简 ．    类型四、有理数的运算律 【解惑】下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法对加法的分配律 2．计算： （ ）（ ） （ ）（ ） ． 3．计算：（ ）][（ ）]（ ）（ ） ． 类型五、程序流程图 【解惑】计算机按如图所示程序工作，如果输入的数是2，那么输出的数是（   ） A． B．54 C． D．558 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．21 C．156 D．231 2．按照如下图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为 ． 3．丁丁在电脑中编写了一个运算程序，运算法则如下图，按照这个运算法则，当在电脑中输入4时，显示结果是 ；当显示结果是8时，输入的数是 ． 类型六、绝对值分类讨论 【解惑】已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【融会贯通】 1．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．若，，且，且，那么的值是 ． 3．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 类型七、有理数的新定义运算 【解惑】若为有理数，定义运算符号“※”：当时，※；当时，※；当时，※．则根据定义，的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【融会贯通】 1．对于有理数，定义一种新运算“”，规定．当在数轴上的位置如图所示时，化简得（   ） A．0 B． C． D． 2．对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算，则的相反数是 ． 3．对于有理数a、b，定义一种新运算．“”，规定． (1)计算的值； (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简； 类型八、拆项法与倒数法 【解惑】（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【融会贯通】 1．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 2．漯河某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式， 我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ． 任务： (1)小明的解题过程中，A，B，C处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小明的方法计算． 3．（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 类型九、算24点 【解惑】你玩过24点游戏吗？就是让你将给定的四个数，用加、减、乘、除、乘方运算（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果等于24． (1)若给你四个数3，，7，，请列出算式； (2)若给你四个数，5，7，，5请列出算式． 【融会贯通】 1．[教材尝试·交流变式]有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．例如1，2，3，4可做如下运算：． (1)现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24； (2)现有4个有理数：1，2，4，，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24． 2．小明有如图所示的5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相加，和最大，这个最大值是______； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，这个最大值是______； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，这个最小值是______； (4)算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的运算符号，使计算结果为24．请写出1个运算式并进行计算． 3．“24点”游戏规则如下：在一副扑克牌（去掉大、小王）中取出4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌限用一次），使结果为24或，其中红色牌代表负数，黑色牌代表正数，，，，分别代表1，11，12，13．例如黑、黑2、黑3和红2，可进行如下运算：或． (1)现有四张牌为黑3、黑4、黑10和红6，运用上述规则写出三种不同的算式，使其结果为24或，则算式为： ①_______________________； ②_______________________； ③_______________________． (2)若四张牌为黑、黑3、黑4和红3，则应如何运算（写出一种算式即可）？ 类型十、数轴折叠问题 【解惑】如图，是一个数轴，请思考下列问题： (1)把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为______． A．     B． C．     D． 一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为在的左侧，且折痕与折痕相同，且、两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． 若数轴上折叠后重合的两点分别表示数，则与折痕重合的点表示的数为______． 【融会贯通】 1．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知点A，B，C表示的数分别为1，，． 根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)B，C两点之间的距离为 ； (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是 ； (3)若数轴上P，Q两点间的距离为m（点P在点Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点P与点Q重合时，点Q表示的数为 ．（用含m，n的式子表示这个数） 3．数学活动课上，老师拿出如图所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求完成下列问题： 【基础设问】 （1）20的相反数是______，的倒数是______； （2）老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为．请将这三个数对应的点标在如图所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用A，B，C表示． 【能力设问】 （3）在（2）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． （4）老师利用这四张卡片上的数字设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的运算，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示． ①接力中，计算错误的学生是______； ②请正确计算老师出示的算式． 【拓展设问】 （5）根据这四张卡片上上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、点的平移 【解惑】如图，将数轴上表示的点向右平移3个单位，得到点，则点表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，利用了数轴上的点右移加，左移减．根据数轴上的点平移特点，即可求解． 【详解】解：将数轴上表示的点向右平移3个单位，则， ∴点表示的数是1， 故选：A． 【融会贯通】 1．将1在数轴上对应的点向右平移2024个单位，则此时该点对应的数是（   ） A．2023 B．2025 C．2026 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2024个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】解：根据题意：数轴上所对应的点向右平移2024个单位，则此时该点对应的数是． 故选：B． 2．数轴上点A对应的数是5，把点A向左平移7个单位长度，对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点左移减，右移加，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．数轴上点A表示的数是3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点，则平移后点表示的数是 ． 【答案】10或 【分析】此题考查数轴上的点平移法则，有理数的加减运算，理解左减右增是关键． 数轴上点的平移：向左平移，表示的数减少，向右平移，表示的数增大，然后即可求出答案． 【详解】解：如果向右平移：； 如果向左平移：． ∴平移后点表示的数是10或． 故答案为：10或． 类型二、数轴上两点之间的距离 【解惑】在数轴上与表示的点距离等于3的点所表示的数是（   ） A．1 B．5 C．1或5 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加法和减法，解题的关键是熟练掌握相关概念和法则，注意进行分类讨论． 【详解】解：当该点在左侧时，该点表示的数为：； 当该点在右侧时，该点表示的数为：； 综上所述，该点表示的数为或， 故选：D． 【融会贯通】 1．数轴上点表示的数是，如果、两点的距离，那么点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上表示有理数、数轴上两点的距离，根据、两点的距离求解即可． 【详解】解：点表示的数是， 、两点的距离， 点表示的数是或， 故选：C． 2．一个点到原点的距离是2个单位长度，另一个点到原点的距离是3个单位长度，这两个点分别在原点的两侧，则这两个点表示的有理数的和是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别得出这两点表示的有理数，再列式计算得出这两个点表示的有理数的和，即可作答． 【详解】解：∵一个点到原点的距离是2个单位长度， 故这个点表示的有理数为或， ∵一个点到原点的距离是3个单位长度， ∴故这个点表示的有理数为或， ∵这两个点分别在原点的两侧， ∴两个有理数为与3或与2， ∴或， 故答案为：1或． 3．已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离求法、数轴上的点表示有理数等知识，由数轴上点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离，计算即可得到答案．掌握数轴上两点之间距离的求法是解决问题的关键． 【详解】解：已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为或者， 故答案为：或． 类型三、绝对值化简 【解惑】若，则等于（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，有有理数的减法法则．先化简绝对值内的表达式，再根据a的符号确定绝对值的结果． 【详解】解： , ， ， , 故选：D． 【融会贯通】 1．若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据含有字母的绝对值化简，解答即可． 本题考查了绝对值的化简，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解：由，得， ∴， ∴， 故A. ，不符合题意；     B. 0，不符合题意；     C. 2，不符合题意；     D. 4，符合题意； 故选：D． 2．若m，n互为相反数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数，绝对值，先结合相反数的定义得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵m，n互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．已知有理数a在数轴上对应点如图所示，化简 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，相反数和实数的大小比较法则，根据数轴得出，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：从数轴可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 类型四、有理数的运算律 【解惑】下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算中的简便运算，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律，是解题的关键．根据加法的交换律和结合律，进行求解即可． 【详解】解：计算的过程中最简便的是， 故选：D． 【融会贯通】 1．应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法对加法的分配律 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键． 【详解】解：应用了乘法结合律， 故选：B 2．计算： （ ）（ ） （ ）（ ） ． 【答案】 8 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的交换律和结合律． 根据有理数乘法的交换律和结合律求解即可． 【详解】 ． 故答案为：，，，8，． 3．计算：（ ）][（ ）]（ ）（ ） ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的加减法，根据有理数加法交换律交换加数位置，根据简便算法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：，，，，． 类型五、程序流程图 【解惑】计算机按如图所示程序工作，如果输入的数是2，那么输出的数是（   ） A． B．54 C． D．558 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算、求一个数的绝对值、有理数的大小比较，把代入计算程序中计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将代入计算程序中得：，， 将代入计算程序中得：，， 故如果输入的数是2，那么输出的数是， 故选：C． 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．21 C．156 D．231 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图计算，涉及有理数乘除运算，看懂程序流程图，按步骤计算即可得到答案，看懂程序流程图，掌握有理数乘除运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：由程序图可知，若开始输入的数为，则 第一次：，； 第二次：，； 第三次：，； 最后输出的结果是， 故选：D． 2．按照如下图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数计算，掌握代数式运算法则是解答本题的关键． 根据题意，将输入到上面的操作步骤中，按照操作步骤进行代数运算即可． 【详解】解：根据题意，将输入到上面的操作步骤中，则， 最后输出结果是． 故答案为：． 3．丁丁在电脑中编写了一个运算程序，运算法则如下图，按照这个运算法则，当在电脑中输入4时，显示结果是 ；当显示结果是8时，输入的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查程序运算，质数和合数，利用质数和合数，根据程序运算解答即可． 【详解】解：∵是合数， ∴当输入4时，显示结果是， 当输入的是质数时，，解得； 当输入的是合数时，，解得，不符合题意，舍去； 故答案为：，． 类型六、绝对值分类讨论 【解惑】已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 2．若，，且，且，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数符号的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质． 通过绝对值求出，通过，且，判断出的值即可求解． 【详解】解：由，，得， 又，且， ∴同号，且都为负数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)9或3 【分析】本题主要考查绝对值、代数式求值等知识，熟练掌握绝对值的定义、有理数的加法法则、有理数的减法法则是解决本题的关键． （1）先根据绝对值的意义得出x，y的值，然后根据题意取得x，y的确定的值，然后代入式子根据有理数减法运算法则计算即可． （2）根据绝对值的意义可得出或，，然后代入式子根据有理数加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴或，， ∴， 若， 则或， ∴或； （2）解：∵，， ∴，， ∴或，， ∵， ∴， 则或，， ∴或． 类型七、有理数的新定义运算 【解惑】若为有理数，定义运算符号“※”：当时，※；当时，※；当时，※．则根据定义，的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的新定义，属于新定义题型，严格按照题目中定义求解，运算过程中细心即可．根据新定义运算进行运算即可求解． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故选：B． 【融会贯通】 1．对于有理数，定义一种新运算“”，规定．当在数轴上的位置如图所示时，化简得（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与数轴，合并同类项等知识．根据数轴判断绝对值中式子的正负情况，然后去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴，， 则． 故选：B． 2．对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算，则的相反数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，求一个数的相反数，根据新定义可得，据此计算出的值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴的相反数是3， 故答案为：3． 3．对于有理数a、b，定义一种新运算．“”，规定． (1)计算的值； (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简； 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了新定义，绝对值，整式的加减，数轴，理解新定义，掌握绝对值运算是解题关键． （1）根据新定义列出绝对值式子计算即可； （2）先根据数轴的定义得出a、b的符号，再根据新定义即可即可． 【详解】（1） ； （2）由数轴的定义得： 则 ． 类型八、拆项法与倒数法 【解惑】（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 【融会贯通】 1．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）对比答案解答即可； （2）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：解法一错误； 故答案为：一； （2）解： 原式 2．漯河某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式， 我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ． 任务： (1)小明的解题过程中，A，B，C处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小明的方法计算． 【答案】(1)0，， (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，理解题中拆项法是解答的关键． （1）根据所给求解过程，利用有理数的加减混合运算求解即可； （2）仿照题中拆项法求解过程求解即可． 【详解】（1）解：原式 ， 故A，B，C处依次代表的数据是0，，． （2）解： ． 3．（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【答案】（1）①；②加法交换律、加法结合律；（2）①17，；；②1 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）①先把原式变形为，再计算求解即可；②观察解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①把带分数拆解成整数加分数的形式即可；②先把原式的带分数拆解成整数加分数的形式，再把整数和分数分别合在一起计算求解即可． 【详解】解：（1）① ． ； ②由解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①； 故答案为：17，；； ②原式 ． 类型九、算24点 【解惑】你玩过24点游戏吗？就是让你将给定的四个数，用加、减、乘、除、乘方运算（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果等于24． (1)若给你四个数3，，7，，请列出算式； (2)若给你四个数，5，7，，5请列出算式． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的混合运算使计算结果等于24即可得； （2）根据有理数的混合运算使计算结果等于24即可得． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：（答案不唯一）． 【融会贯通】 1．[教材尝试·交流变式]有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．例如1，2，3，4可做如下运算：． (1)现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24； (2)现有4个有理数：1，2，4，，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查的是有理数的混合运算， （1）根据运算规则先列式，再计算24点即可得到答案． （2）根据运算规则先列式，再计算24点即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； 2．小明有如图所示的5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相加，和最大，这个最大值是______； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，这个最大值是______； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，这个最小值是______； (4)算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的运算符号，使计算结果为24．请写出1个运算式并进行计算． 【答案】(1)7 (2)15 (3) (4)（方法不唯一）． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）根据题意，可以得到要使得和最大，一定是取正号的两个数字，再观察数字可知，当取和时，符合要求； （2）根据题意，可以得到要使得乘积最大，一定是取同号的两个数字，再观察数字可知，当取和时，符合要求； （3）根据题意，可以得到要使得数字相除的商最小，一定是取异号的两个数，再观察数字可知，当取和时，符合要求； （4）根据有理数的四种混合运算，求解即可． 【详解】（1）解：根据题中的数字以及题意可得：当取和时，得到的和最大， 此时，； 故答案为：7； （2）解：根据题中的数字以及题意可得：当取和时，得到的乘积最大， 此时，； 故答案为：； （3）解：根据题中的数字以及题意可得：当取和时，得到的商最小， 此时，； 故答案为：； （4）解：选择卡片：，，，， 列式得：， 故答案为：（答案不唯一）． 3．“24点”游戏规则如下：在一副扑克牌（去掉大、小王）中取出4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌限用一次），使结果为24或，其中红色牌代表负数，黑色牌代表正数，，，，分别代表1，11，12，13．例如黑、黑2、黑3和红2，可进行如下运算：或． (1)现有四张牌为黑3、黑4、黑10和红6，运用上述规则写出三种不同的算式，使其结果为24或，则算式为： ①_______________________； ②_______________________； ③_______________________． (2)若四张牌为黑、黑3、黑4和红3，则应如何运算（写出一种算式即可）？ 【答案】(1)①；②；③； (2)． 【分析】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键． （1）把数字3、4、10、利用运算符号和括号组成算式，使运算结果为24或； （2）把数字12、3、4和利用运算符号和括号组成算式，使运算结果为24或即可． 【详解】（1）解：根据题意得，①； ②； ③； （2）解：根据题意得，． 类型十、数轴折叠问题 【解惑】如图，是一个数轴，请思考下列问题： (1)把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为______． A．     B． C．     D． 一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为在的左侧，且折痕与折痕相同，且、两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． 若数轴上折叠后重合的两点分别表示数，则与折痕重合的点表示的数为______． 【答案】(1)①D；②1012； (2)①2019；②；1013；③． 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减混合运算，掌握平移和翻折的规律是解题的关键． （1）①根据题意和有理数的加法法则进行计算即可； ②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①根据题意得折叠中点表示的数为1，再根据重合点表示的数与中点表示的数的差相等列式计算即可； ②根据折叠中点表示的数为1，，可推出点A所表示的数和点B所表示的数与折叠中点表示的数的差为1022，结合A在B的左列式计算即可； ③折痕重合的点表示的数应是12.5465和-36.5465的中点，利用中点公式即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意可知：， 故选：； ②根据题意可知， 机器人跳动过程用算式表示为： ， 故机器人跳次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：； （2）①表示的点与表示的点重合， 折叠中点表示的数为：， 设表示的点与表示的点重合， ， 解得， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：． ②折叠中点表示的数为，， 点所表示的数为：，点所表示的数为：， 故答案为：，； ③， 与折痕重合的点表示的数为． 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；4； (2)3 (3)①3；②存在t值为或，使得． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质： （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）求得中点对应的数，即可求解； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为，当点Q追上点P时，，求解即可； ②根据运动方向和运动速度分别表示出t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，然后分两种情况，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵b是最大的负整数， ∴， 故答案为：；；4； （2）解：由题意可得，中点对应的数为， ∵点B表示的数为， ∴点B与表示3的点重合； 故答案为：3； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点Q追上点P时， ， 解得， ∴t为3时，点Q追上点P； ②解：存在， 根据题意得：t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点B，Q重合时，，此时， 当点Q在点B的右侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点B的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 存在t值为或，使得． 2．如图，已知点A，B，C表示的数分别为1，，． 根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)B，C两点之间的距离为 ； (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是 ； (3)若数轴上P，Q两点间的距离为m（点P在点Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点P与点Q重合时，点Q表示的数为 ．（用含m，n的式子表示这个数） 【答案】(1)0.5 (2)0.5 (3) 【分析】本题主要考查了数轴以及数轴上点之间的距离计算公式，中点计算等知识点， （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （2）根据点A与点C重合，先求出折点表示的数为，设与点B重合的点表示的数是x，列方程求解即可； （3）由题意得到表示数n的点到P，Q两点距离为，即可求解； 熟练掌握点之间的距离公式是解题关键． 【详解】（1）∵点C表示的数为，点B表示的数为， ∴B，C两点之间的距离， 故答案为：； （2）∵点A表示的数为1，点C表示的数为，将数轴折叠，使点A与点C重合， ∴折点表示的数为：， 设与点B重合的点表示的数是x， ∵点B表示的数为， ∴， ∴， ∴与点B重合的点表示的数是， 故答案为：； （3）∵数轴上P，Q两点间的距离为m（点P在点Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等， ∴表示数n的点是线段的中点， ∴点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 故答案为：． 3．数学活动课上，老师拿出如图所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求完成下列问题： 【基础设问】 （1）20的相反数是______，的倒数是______； （2）老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为．请将这三个数对应的点标在如图所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用A，B，C表示． 【能力设问】 （3）在（2）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． （4）老师利用这四张卡片上的数字设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的运算，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示． ①接力中，计算错误的学生是______； ②请正确计算老师出示的算式． 【拓展设问】 （5）根据这四张卡片上上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）0，6；（4）①小明，②27；（5） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，绝对值，数轴的应用，关键是读懂题意，正确地运算即可． （1）根据相反数，绝对值，倒数的概念，即可得到结果； （2）根据数轴上点对应的数，在数轴上标出A，B，C三点即可； （3）结合数轴上A点位置得到点位置和所对应的数，从而得到结果； （4）①根据图所示，逐一验算三位同学的计算，即可得到结果；②根据有理数混合运算法则进行计算即可； （5）根据，，6，20四个数字按要求进行混合运算，使其结果为24即可． 【详解】解：（1）20的相反数是，的倒数是， 故答案为：，； （2）如图所示， ， 点对应，点对应，点对应6； （3）以点为折点，将此数轴向右折叠，点落在数轴上的点处， 在数轴上对应数字0， 点到点的距离为6个单位长度， 故答案为：0，6； （4）①老师给出的式子是：， 小明计算了乘方，应得到：，小明计算错误， 故答案为：小明； ②： ； （5）． 故答案为：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$