专题1.1 数轴与绝对值的几何意义（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（湘教版2024）

专题1.1 数轴与绝对值的几何意义 · 思想方法 数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。 · 知识点总结 一、数轴的概念与画法 1．数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 2．数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点， ②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，……. 二、数轴上的点与有理数之间的关系 1．每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点； 2．一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. 三、绝对值的几何意义 或表示数轴上表示的点和表示的点的距离。 · 典例分析 【典例1】已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离． 请回答以下问题： （1）若表示一个有理数，，则______． （2）若表示一个有理数，的最小值_____． （3）在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置． 【思路点拨】 本题主要考查了数轴上的点表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）根据题意，由数轴上与表示有理数1的点之间的距离为3的点的位置，即可获得答案； （2）根据题意，可知表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离，作出图形，分情况讨论，即可获得答案； （3）分别分析计算当有2个、3个、4个、5个、6个工作台时，工具台应放置的位置，找出规律，即可获得答案． 【解题过程】 （1）解：根据题意，表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离， 如下图， 若， ∵数轴上与表示有理数1的点的距离为3的点有两个，分别为表示有理数的点和表示有理数4的点， ∴或4； 故答案为：或4； （2）∵， ∴表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 又∵表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， ∴当表示有理数的点在表示有理数的点左侧时，如下图， 此时， 当表示有理数的点与表示有理数的点重合时，如下图， 此时， 当表示有理数的点在表示有理数的点与表示有理数2的点中间时，如下图， 此时， 当表示有理数的点与表示有理数2的点重合时，如下图， 此时， 当表示有理数的点在表示有理数2的点右侧时，如下图， 此时． 综上所述，的最小值． 故答案为：3； （3）①如下图，当流水线上排列了2个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为1； ②如下图，当流水线上排列了3个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台与第2个工作台之间任何位置（包括第1个和第2个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为3； ③如下图，当流水线上排列了4个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为5； ④如下图，当流水线上排列了5个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台与第3个工作台之间任何位置（包括第2个和第3个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为8； ⑤如下图，当流水线上排列了6个工作台时， 工具台可设置在第3个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为11； ……； 综上所述，当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置）． · 学霸必刷 1．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（    ） A．6 B．2 C．3或6 D．2或6 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且，那么数轴上的原点应是（    ）． A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点A，（点A在点的左边）分别表示数1，，若数轴上表示数字5的点到和的距离相等，则的值为 ．    4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和，现将该刻度尺沿数轴向右平移个单位，则刻度尺上对应数轴上的数为 ．    5．（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． （1）某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； （2）若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 7．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． （1）则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； （2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； （3）若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 8．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上的单位长度为1，两点表示的数是互为相反数； （1）点表示的数是______，点表示的数______． （2）数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，则点所表示的数是______． （3）在数轴上，点为坐标原点，若点点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为秒． ①点表示的数为______；点表示的数为______．（用含的式子表示） ②当为何值时，点点点三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 9．（23-24七年级上·江苏南通·期中）综合与与实践： 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: （1）如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； （2）将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； （3）若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 10．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）阅读下面材料：如图，点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．    根据阅读材料与你的理解回答下列问题： （1）数轴上表示8与的两点之间的距离是______． （2）若，则______；若，则______． （3）表示数轴上有理数所对的点到1和所对的两点距离之和．请你画出数轴，写出所有符合条件的整数，使得． （4）若表示一个有理数，则有最小值吗?若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 11．（23-24七年级上·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    （1）当点运动秒时，______，______，______； （2）当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； （3）经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ （4）当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 12．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______ ． （3）若表示一个有理数，，则 ______ ． （4）若表示一个有理数，则的最小值 ______ ． （5）若表示一个有理数，则的最大值 ______ ． 13．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．     图1 （1）如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                         图2 （2）如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                  图3 14．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数、2、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是3，    请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：    解决问题： （1）直接写出式子的最小值是　　　　； （2）当为何值时，代数式的最小值是2； （3）式子的最小值是　　 　． 15．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； （2）当为何值时，两点间距离为3； （3）若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 16．（23-24七年级上·陕西西安·期中）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； （2）点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） （3）P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ （4）在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 17．（23-24七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： （1）表示数和的两点间距离是6，则_________； （2）如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； （3）代数式的最小值是多少？ （4）如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    18．（23-24七年级上·重庆南岸·期中）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．理解与实践： （1）数轴上点代表的数是，数轴上表示9的点到点之间的距离是______（用含的式子表示）； （2）可表示为点到表示数______的距离；若，则______； （3）代数式的最小值是______； （4）若，则的最大值是______． 拓展与延伸： 数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 19．（22-23七年级上·湖南怀化·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．    例1．已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2． 例2．已知，求x的值． 解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和． 依照阅读材料的解法，完成下列各题： （1）若，则________，若，则________； （2）的最小值是________，若，则________； （3）代数式的最小值为________； （4）求代数式的最小值． 20．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示和的两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______ ，如果，那么为______ ． （2）探索规律： ①当有最小值是______ ． ②当有最小值是______ ． ③当有最小值是______ ． （3）规律应用： 工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台A、、、、、、、、，一只配件箱应该放在工作台______ 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______ 米 （4）知识迁移： 最大值是______ ，最小值是______ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 数轴与绝对值的几何意义 · 思想方法 数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。 · 知识点总结 一、数轴的概念与画法 1．数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 2．数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点， ②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，……. 二、数轴上的点与有理数之间的关系 1．每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点； 2．一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. 三、绝对值的几何意义 或表示数轴上表示的点和表示的点的距离。 · 典例分析 【典例1】已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离． 请回答以下问题： （1）若表示一个有理数，，则______． （2）若表示一个有理数，的最小值_____． （3）在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置． 【思路点拨】 本题主要考查了数轴上的点表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）根据题意，由数轴上与表示有理数1的点之间的距离为3的点的位置，即可获得答案； （2）根据题意，可知表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离，作出图形，分情况讨论，即可获得答案； （3）分别分析计算当有2个、3个、4个、5个、6个工作台时，工具台应放置的位置，找出规律，即可获得答案． 【解题过程】 （1）解：根据题意，表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离， 如下图， 若， ∵数轴上与表示有理数1的点的距离为3的点有两个，分别为表示有理数的点和表示有理数4的点， ∴或4； 故答案为：或4； （2）∵， ∴表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 又∵表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， ∴当表示有理数的点在表示有理数的点左侧时，如下图， 此时， 当表示有理数的点与表示有理数的点重合时，如下图， 此时， 当表示有理数的点在表示有理数的点与表示有理数2的点中间时，如下图， 此时， 当表示有理数的点与表示有理数2的点重合时，如下图， 此时， 当表示有理数的点在表示有理数2的点右侧时，如下图， 此时． 综上所述，的最小值． 故答案为：3； （3）①如下图，当流水线上排列了2个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为1； ②如下图，当流水线上排列了3个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台与第2个工作台之间任何位置（包括第1个和第2个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为3； ③如下图，当流水线上排列了4个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为5； ④如下图，当流水线上排列了5个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台与第3个工作台之间任何位置（包括第2个和第3个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为8； ⑤如下图，当流水线上排列了6个工作台时， 工具台可设置在第3个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为11； ……； 综上所述，当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置）． · 学霸必刷 1．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（    ） A．6 B．2 C．3或6 D．2或6 【思路点拨】 本题考查了数轴，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，解题的关键是分类讨论． 要求学生分情况讨论，，三点的位置关系，即点在线段内，点在线段外． 【解题过程】 解：此题画图时会出现两种情况，即点在线段内，点在线段外，所以要分两种情况计算． 点、表示的数分别为、1， ． 第一种情况：在线段外， ； 第二种情况：在线段内， ． 故选：D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且，那么数轴上的原点应是（    ）． A．点A B．点B C．点C D．点D 【思路点拨】 本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点之间的关系是解题的关键；由图可知C与D之间相隔7个单位，即，根据，求的c，然后求得，即可得出结论． 【解题过程】 解：C与D之间相隔7个单位， 相距， ，即 ， ， 解得：， ， ， ， 原点在为点A． 故选：A 3．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点A，（点A在点的左边）分别表示数1，，若数轴上表示数字5的点到和的距离相等，则的值为 ．    【思路点拨】 本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 由数轴上表示数5的点到和的距离相等得到，解得或，由点在点的左边可以得到． 【解题过程】 解：数轴上表示数5的点到和的距离相等， ， 整理得：， 或， 解得：或， 点在点的左边， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和，现将该刻度尺沿数轴向右平移个单位，则刻度尺上对应数轴上的数为 ．    【思路点拨】 通过两点间的距离比求出数轴上刻度“”与刻度“”之间的距离，进而求刻度“”在数轴对应的数及符号，最后通过“左加右减”即可求解． 本题主要考查了数轴与刻度尺，解题关键是求出一个单位长度代表多少厘米． 【解题过程】 解：因为刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和， ∴刻度尺上刻度“”与刻度“”之间的距离是，是刻度尺上刻度“”与刻度“”之间的距离的倍； 而数轴上刻度“”和“”之间的数轴距离是， 所以数轴上刻度“”与刻度“”之间的距离是，由于刻度“”在数轴的左边，属于负数，所以对应的数应为，向右平移个单位后为． 故刻度尺上对应数轴上的数为． 故答案为：． 5．（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 【思路点拨】 本题主要考查数轴的知识，解题的关键是利用掌握分类讨论思想，以及两点间的距离表示方法． 利用分类讨论思想，当点在线段上时且时，设点表示的数为，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点在线段上时且时，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点运动到点的左边时，那只有，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数． 【解题过程】 解：设点表示的数为，当点在线段上时且时，如图所示， ∵M，N两点所表示的数分别是1、， ，， ， ， 解得：； 当点在线段上时且时，如图所示， ， 解得：； 当点运动到点的左边时，那只有，如图所示， ， 解得：； 故点表示的数为，或． 故答案为：，或． 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． （1）某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； （2）若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【思路点拨】 本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【解题过程】 解：（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 7．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． （1）则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； （2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； （3）若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 【思路点拨】 （1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，然后分A表示的数为5或两种情况分别求出B点表示的数即可； （3）依据M、N两点之间的距离为2022，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【解题过程】 （1）解：因为数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数3表示的点与数-7表示的点重合． 答案： （2）解：由题意知：点A表示的数为5或， 因为A，两点经折叠后重合， 所以当点A表示时，点表示1；当点A表示5时，点表示， 所以点表示的数是或1． （3）解：∵，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合， ∴ ，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是1009，点表示的数是． 8．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上的单位长度为1，两点表示的数是互为相反数； （1）点表示的数是______，点表示的数______． （2）数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，则点所表示的数是______． （3）在数轴上，点为坐标原点，若点点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为秒． ①点表示的数为______；点表示的数为______．（用含的式子表示） ②当为何值时，点点点三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？ 【思路点拨】 本题主要考查一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的感觉． （1）根据两点表示的数是互为相反数即可得到答案； （2）设点所表示的数为，根据题意列出方程即可得到答案； （3）①根据数轴上的点左加右减的运动规律得到答案； ②分三种情况依次进行讨论即可． 【解题过程】 （1）解：，两点表示的数是互为相反数， 点表示的数是，点表示的数为； （2）解：设点所表示的数为， 根据题意得：， 解得， 故答案为：； （3）解：①运动时间为秒， 点表示的数是，点表示的数为； ②当为中点时，即未出发， ， 当点为中点时，此时， 点表示的数是，点表示的数为， 解得， 当点为中点时，此时， ， 解得． 综上所述，或或． 9．（23-24七年级上·江苏南通·期中）综合与与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: （1）如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； （2）将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； （3）若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 【思路点拨】 （1）根据题意可知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度，据此求解即可； （2）先求出数轴甲上表示的数与的距离，再根据数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度进行求解即可；求出数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲上距离的距离即可得到答案； （3）要求乙轴对应甲轴的数，即要先求出乙轴上到对齐点的距离在甲轴上表示的是多少，同理，要求甲轴对应乙的数，即要先求出甲轴上到对齐点的距离在乙轴上表示多少，据此求解即可； 此题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意熟知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度是解题的关键． 【解题过程】 （1）∵数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐， ∴数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度， ∴数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐， 故答案为： ； （2）∵数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐， ∴数轴甲上表示的点与相距个单位长度，则在数轴乙上表示的点对齐； ∴数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲表示： 的点对齐， 的点对齐， 故答案为；；或； （3）由题意得： 当在数轴乙原点左侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数； 当在数轴乙原点右侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 10．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）阅读下面材料：如图，点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．    根据阅读材料与你的理解回答下列问题： （1）数轴上表示8与的两点之间的距离是______． （2）若，则______；若，则______． （3）表示数轴上有理数所对的点到1和所对的两点距离之和．请你画出数轴，写出所有符合条件的整数，使得． （4）若表示一个有理数，则有最小值吗?若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 【思路点拨】 （1）根据题目所给两点距离公式代入数值计算即可； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）画出数轴结合绝对值的定义求解即可； （4）根据题意，表示到，1011这两点的距离之和，当时，有最小值． 【解题过程】 （1）解；， 故答案为：10； （2）解：， 或， 或； ，表示到1和的距离相等， ， 故答案为：或，； （3）解：如图，    ， 的整数符合题意， 使得成立的所有符合条件的整数为：，，，0，1； （4）解：如图，    表示到，1011这两点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 11．（23-24七年级上·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    （1）当点运动秒时，______，______，______； （2）当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； （3）经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ （4）当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离； （2）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离； （3）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可； （4）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【解题过程】 （1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， 即或， 解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得：或， ∴点表示的数为或； 当点从点返回后，    此时，， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 12．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______ ． （3）若表示一个有理数，，则 ______ ． （4）若表示一个有理数，则的最小值 ______ ． （5）若表示一个有理数，则的最大值 ______ ． 【思路点拨】 （1）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可 （2）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （3）表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和为5，进行分类讨论 （4）依据绝对值的几何意义回答即可； （5）根据绝对值的几何意义解答即可； 【解题过程】 （1）解：数轴上表示和两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：8,12 （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离为：， 故答案为：， （3）解：，表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和为5， 当时， 则有 ， 解得， 当时， ， 此时x无解， 当， ， ， 或， 故答案为：或 （4）解：表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离， 当x在1所表示的点和所表示的点组成的线段上时，此时的距离和最小， 最小值为：， 故答案为：3 （5）解：，表示数轴上x和1的两点之间与x和2023的两点之间距离只差， 要使为最大值，则x在2023的右边， 则最大值为：， 故答案为：2022 ． 13．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．     图1 （1）如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                         图2 （2）如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                  图3 【思路点拨】 （1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为． 14．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数、2、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是3，    请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：    解决问题： （1）直接写出式子的最小值是　　　　； （2）当为何值时，代数式的最小值是2； （3）式子的最小值是　　 　． 【思路点拨】 （1）把原式转化看作是数轴上表示的点与表示3与的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （2）根据原式的最小值为2，得到在表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可获得答案； （3）设数轴上点分别表示数、1、5，点表示数，分情况讨论当点处在数轴上不同位置时式子的值，即可获得答案． 【解题过程】 （1）解：的最小值是5，理由如下： ， 在数轴上点分别表示数、3、，如下图，    几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以，的最小值是5； （2）当为或时，代数式为或，数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为2，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为2， 所以，当为或时，原式的最小值是2； （3）式子的最小值是8，理由如下：①③④ 设数轴上点分别表示数、1、5，点表示数， ①如下图，当点在点左侧时，    ； ②如下图，当点与点重合时，    ； ③如下图，当点在线段上时，    ； ④如下图，当点与点重合时，    ； ⑤如下图，当点在线段上时，    ； ⑥如下图，当点与点重合时，    ； ⑦如下图，当点在点右侧时，    ． 综上所述，式子的最小值是8． 15．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； （2）当为何值时，两点间距离为3； （3）若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， （1）结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； （2）当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； （3）根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【解题过程】 （1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 16．（23-24七年级上·陕西西安·期中）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； （2）点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） （3）P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ （4）在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【思路点拨】 本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法， （1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【解题过程】 （1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 17．（23-24七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： （1）表示数和的两点间距离是6，则_________； （2）如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； （3）代数式的最小值是多少？ （4）如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    【思路点拨】 （1）根据题意可得，求解即可获得答案； （2）根据题意可得，从而得到，，进而得到，，即可求解； （3）分情况讨论，可得时，代数式存在最小值，化简即可求解； （4）根据题意可得，原式表示的对应点到对应的点的距离之和，从而得到当时，有最小值，即可求解． 【解题过程】 （1）解：根据题意，可得， ∴ 或， 解得：或4． 故答案为：或4； （2）∵表示数的点位于和3之间， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：7； （3）表示点到1，2，3的距离之和， 当点在1左侧时，如下图，    此时， ∴； 当点与表示1的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在1，2之间时，如下图，    此时， ∴， ∵， ∴，即； 当点与表示2的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在2，3之间时，如下图，    此时， ∴， ∴； 当点与表示3的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在3右侧时，如下图，    此时， ∴． 综上所述，当时，该代数式有最小值， 此时； （4）， ∴原式表示的对应点到对应的点的距离之和， 如下图，    ∴当时，有最小值， ∴此时原式 ． 18．（23-24七年级上·重庆南岸·期中）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．理解与实践： （1）数轴上点代表的数是，数轴上表示9的点到点之间的距离是______（用含的式子表示）； （2）可表示为点到表示数______的距离；若，则______； （3）代数式的最小值是______； （4）若，则的最大值是______． 拓展与延伸： 数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 【思路点拨】 （1）根据数轴上两点之间的距离进行解答即可； （2）根据绝对值的意义进行解答即可； （3）根据数轴上两点之间的距离公式和绝对值的意义进行解答即可； （4）先求出表示到和的距离之和，其最小值为，表示到和的距离之和，其最小值为，即可进一步求解； 拓展与延伸：需要分四种情况进行讨论，然后列出式子求解． 【解题过程】 解：（1）数轴上点P代表的数是x，数轴上表示9的点到点P之间的距离是； 故答案为：； （2）可表示为点到表示数的距离； ， ， 解得：， 故答案为：；或； （3）表示的是到和的距离之和， ∴当在和之间及之上时，取最小值，且最小值为； 故答案为：； （4）若， 表示到和的距离之和，其最小值为， 表示到和的距离之和，其最小值为， ， ，， 当时，的值最大为：； 故答案为：； （4）若， 表示到和1的距离之和，其最小值为3， 表示到3和的距离之和，其最小值为5，， ， 当时，的值最大为：4，故答案为：4； 拓展与延伸：设点表示的数为， ①当点在点左边时，有，即， 解得：或（舍去）， ②当点在点之间靠近点时，有，即， 解得：或（舍去）， 当点在点之间靠近点时，有，即， 解得：或（舍去）， ③当点在点的右边时，有，即， 解得：或（舍去）， 点表示的数为或1或7或31． 19．（22-23七年级上·湖南怀化·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．    例1．已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2． 例2．已知，求x的值． 解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和． 依照阅读材料的解法，完成下列各题： （1）若，则________，若，则________； （2）的最小值是________，若，则________； （3）代数式的最小值为________； （4）求代数式的最小值． 【思路点拨】 （1）仿照题意进行求解即可； （2）设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为，2，则的值即为线段的长度与线段的长度之和，再分当点A在点B左侧时，当点A在点B与C之间时，当点A在点C右侧时，三种情况求出的最小值为3，再由，得到或，据此去绝对值解方程即可； （3）同（2）可得，当时，有最小值，又有当时，有最小值，则当时，有最小值，据此求解即可； （4）同理推出当时，有最小值，据此求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵在数轴上与原点距离为3的点对应的数为3和， ∴x的值为3或； ∵在数轴上与距离为4的点对应的数为2和， ∴x的值为2或； 故答案为：3或；2或； （2）解：设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为，2， ∴的值即为线段的长度与线段的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时，    如图所示，当点A在点B与C之间时，    如图所示，当点A在点C右侧时，    ∴综上所述，当点A在点B与C之间时，有最小值3； ∵当点A在点B与C之间时，的最小值为3，， ∴或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，若，则或； 故答案为：3；或3； （3）解：同（2）可得，当时，有最小值， 又∵， ∴当时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：16； （4）解：同（2）可得当时，有最小值， 当时，有最小值， 当时，有最小值， …… 当时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为． 20．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示和的两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______ ，如果，那么为______ ． （2）探索规律： ①当有最小值是______ ． ②当有最小值是______ ． ③当有最小值是______ ． （3）规律应用： 工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台A、、、、、、、、，一只配件箱应该放在工作台______ 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______ 米 （4）知识迁移： 最大值是______ ，最小值是______ ． 【思路点拨】 （1）由数轴上两点间的距离公式可直接得出答案； 先由数轴上两点间的距离公式得，进而得，据此解出即可； （2）根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离； 根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当数轴上表示数的点与表示的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离； 根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，的值为最小值，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离与数轴上表示数，两点之间的距离之和； （3）由（2）可知：当配件箱放在流水线的中点处，共作人员所走的路程最短，进而再求出最短路程即可； （4）根据的几何意义意义分三种情况进行讨论：当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即，可得；当在数轴上表示数的点在表示数，两点之间时，即，可得，当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即，可得，综上所述可得出，据此可得出答案． 【解题过程】 （1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：； 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：；． 数轴上表示和的两点和之间的距离是：， 当，则， 或， 由解得：， 由解得：， 的值为：或， 故答案为：；或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离，即为， 即有最小值是． 故答案为：． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离，即为， 即有最小值是， ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离与数轴上表示数，两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是． 故答案为：． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． 故答案为：；． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、两点间的距离之差， 当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ，， ； 当在数轴上表示数的点在表示数，两点之间时，即， 则，， ，， ， 当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ，， ， ， 的最大值是，的最小值是． 故答案为：；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$