第1章 有理数（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（湘教版2024）

第1章 有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二维码问题 【解惑】为了大力促进人工智能与教育教学深度融合，本学期学校开设了人工智能课程．已知利用如图1的二维码可以进行身份识别，小王同学建立了一个身份识别系统．图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为学生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，表示6班学生的识别图案是（   ）    A．   B．   C．   D．   【融会贯通】 1．利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，则序号为，表示该生为5班学生．以下表示7班学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 2．用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，其序号为．例如第一行数字从左往右依次是0，1，1，0，则表示的序号为，以此规律，第二行序号表示2，第三行序号表示2，第四行序号表示9，该生为6年级2班29号，图2学生识别为五年级，则要在( )涂黑． 3．在综合实践课《进位制的认识与探究》中，王老师组织同学们对搜集到的信息进行汇报．下面是其中三位同学给大家展示的资料和问题． (1)张同学：中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个（用十进制数表示）． (2)李同学：计算机已经是人们工作、学习的必备工具．世界上第一台通用计算机“ENIAC”于1946年2月14日诞生．这是计算机史上的第一代计算机，它是使用十进制计数，但其中也有少量以二进制方式工作的电子管．现今大家使用的计算机是第四代，第四代计算机已完全使用二进制进行数据表示和存储． 请你把十进制数29转换为二进制数，结果为______． (3)刘同学：1994年二维码诞生了，并在日常生活中应用广泛．二维码的技术原理是基于二进制的0和1，通过几何图形表示文字数值信息． 如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． ①图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是______； ②将图③中一、三两行代表的二进制数字相加，列出算式并计算，结果表示为四进制数； ③若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮她补充完整． 类型二、多进制问题 【解惑】二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法我们常用的十进制是逢十进一，如4652可以写作，数要用10个数字组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在小型机中引入了八进制，只要八个数字：0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制中174可以写作等于十进制的数124．将八进制中的数1234等于十进制中的数应为（   ） A．668 B．667 C．666 D．665 2．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天． 3．【背景介绍】进制是一种用有限种数字或符号来表示所有数值的计数方法．不同进制在不同的领域各有应用，比如计算机存储数据使用二进制，古巴比伦人使用六十进制进行计时．现实生活中，我们最习惯使用十进制来计数．十进制每个数位上可以使用以下10个数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，且满足“逢十进一”的原则．因此十位上一个1表示一个10即，百位上一个1表示1个100即．例如：． 【掌握新知】类似地，六进制中可以使用以下6个数字：0，1，2，3，4，5，且满足“逢六进一”的原则．例如六进制数中的数字4表示4个1，数字0表示0个，数字3表示3个，也就是，即六进制数转化为十进制数就是112． （1）根据以上材料，请填空： （用6的正整数次幂的形式填写）．反之，所以( )6． 【模型抽象】我们知道在十进制中，一个三位数； （2）对于任意一个六进制中的三位数，如果用最高位，表示中间位，代表最低位，记这个三位数为，则______． 【问题解决】我们知道在十进制中，一个三位数若能被9整除，只需要满足其各个数位之和能被9整除．因为，其中能被9整除，所以，只需满足各个数位之和能被9整除即可； （3）类比上述结论，在六进制中，一个三位数为若能被5整除，需要满足什么条件？试写出你的猜想并说明其理由； （4）在六进制中，一个三位数为若能被9整除，试直接写出的最大值______（用十进制表示）． 类型三、绝对值1与-1的化简 【解惑】已知数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【融会贯通】 1．的最小值是，，那么的值为（   ） A． B． C．0 D．不确定 2．若且，则值为 ． 3．阅读下列材料：，即当时，．用这个结论可以解决下面问题： (1)已知是有理数，当时，求的值； (2)已知是有理数，当时，求的值； (3)已知是有理数，，求的值． 类型四、绝对值最值 【解惑】对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：．对x，，5进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 【融会贯通】 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 2．【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 3．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 类型五、幻方 【解惑】图1中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将1～9这9个数字填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方； (2)在图2中填入不同的整数，构造一个三阶幻方； (3)小明通过探究发现，组成三阶幻方的任意一组九个数，有如下两个结论：①三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数的和都等于中间数的3倍；②若将这九个数按从小到大的顺序排列，则相邻两个数的差相等．请你判断小明的发现是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，举出一个反例． 【融会贯通】 1．【妙填幻方】如图①，是一个的幻方，每行三个数，每列三个数、每斜对角三个数相加的和均相等． (1)将下列各数组上的9个数分别填入图②③④所示的方格中，使得每行的三个数，每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等． 第一组：6，5，4，3，2，1，0，，； 第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1； 第三组：，，，，0，2，4，6，8． (2)如图⑤，若要按照以上规律填成，则九个数字之和为_____________． 2．【阅读材料】 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如：图1是一个三阶幻方，是将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．    【模仿尝试】 （1）在图2中填入四个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． （2）将，，0，1，2，3，4，5，6这九个数填入图3的方格，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． 【观察发现】 构成三阶幻方的九个数，每个数同时加上或减去同一个数，所得到的九个数仍能构成三阶幻方． 【结论应用】 （3）将，，，，，0，2，4，6这九个数填入图4的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． （4）若满足“幻方”的九个数字之和为27，请在图5的方格中写出符合题意的九个数．    3．三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图1是一个“和幻方”，则a=______，b=______； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值； (3)如图3是一个“和幻方”，求x的值． 类型六、正方形等分问题 【解惑】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 材料一：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令．……① 等式两边同时乘以2，得．……② 由②式减去①式，得． ． 材料二：如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推． (1)受“材料二”的启发，图1中阴影部分的面积是__________；可求出的值是__________； (2)请在图2中再设计一个能求出的值的几何图形； (3)通过学习“材料一”“材料二”的内容，选择你喜欢的方法解决问题：的值为__________．（用含有的式子表示） 【融会贯通】 1．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是， 空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘以2，得②， 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为______． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为______． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为______． 2．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)求阴影部分的面积是_______． (2)由题意可知：部分n的面积为________． (3)计算：． 3．【阅读】求值． 【运用】仿照此法计算： 解：设① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②①得：， 即：， (1)； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作次，依次得到小正方形．      完成下列问题： ①小正方形的面积等于 ； ②求正方形的面积和． 类型七、有理数的圈次方 【解惑】规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 【融会贯通】 1．概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作2③，读作“2的圈3次方”， 写作④，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：_____________；_____________； （2）下列关于除方说法中，错误的有______________；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D．圈次方等于它本身的数是1或． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢 归纳：（3）请把有理数的圈次方写成幂的形式为：： ． （4）计算：． 2．学科素养·推理能力综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等， 类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：________；________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： ________，________． （3）算一算：． 3．慧慧学习了“有理数的乘方”后，她就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念.规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫作除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”.请你根据慧慧的规定解决下列问题： (1)直接写出计算结果：______，______； (2)将下列运算结果直接写成乘方幂的形式： ______，______，______，______； (3)计算：. 类型八、数列求和 【解惑】阅读材料：求的值． 解：设， 将等式两边同时乘以2得：， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 2．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： ； 将下式减去上式得： ，即，即； 请你仿照此法计算： （1）． （2）． 3．阅读材料：求值 解：设，将等式两边同时乘2得 将得：，即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 类型九、裂项求和 【解惑】请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 【融会贯通】 1．观察下列等式： ，，，， (1)按照上述规律填空：______，______． (2)计算：． (3)探究并计算： 2．观察下列等式，，，… 将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______； (2)直接写出下列各式的计算结果：______； (3)探究并计算：． 3．观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 类型十、数轴动点求t 【解惑】如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 【融会贯通】 1．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值； (4)当点P与原点的距离是1个单位长度时，直接写出t的值． 2．定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 3．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二维码问题 【解惑】为了大力促进人工智能与教育教学深度融合，本学期学校开设了人工智能课程．已知利用如图1的二维码可以进行身份识别，小王同学建立了一个身份识别系统．图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为学生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，表示6班学生的识别图案是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据班级序号的计算方法一一进行计算即可． 【详解】解：A、第一行数字从左到右依次为1，0，1，0，序号为，表示该生为10班学生； B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为，表示该生为6班学生； C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生； D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生． 故选：B． 【融会贯通】 1．利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，则序号为，表示该生为5班学生．以下表示7班学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题属于新定义题目，主要考查了含乘方的有理数的混合运算，读懂题目中班级序号的计算方法是解题的关键． 根据班级序号的计算方法一一进行计算即可． 【详解】解：A. 第一行数字从左到右依次为0、1、1、1，则序号为，表示该生为7班学生，该选项符合题意； B. 第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，则序号为，表示该生为10班学生，该选项不符合题意； C. 第一行数字从左到右依次为0、1、1、0，则序号为，表示该生为6班学生，该选项不符合题意； D. 第一行数字从左到右依次为1、0、1、1，则序号为，表示该生为11班学生，该选项不符合题意； 故选：A. 2．用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，其序号为．例如第一行数字从左往右依次是0，1，1，0，则表示的序号为，以此规律，第二行序号表示2，第三行序号表示2，第四行序号表示9，该生为6年级2班29号，图2学生识别为五年级，则要在( )涂黑． 【答案】 【分析】本题主要考查乘方的运用，掌握有理数乘方运算是关键，根据题意得到乘方运算方法，结合图形计算即可． 【详解】解：图2学生识别为五年级，则第一行数字表示的序号； 图2中，则，即； 因为只能为0或1，只有当时，的值为1； 所以，也就是要在涂黑， 故答案为：． 3．在综合实践课《进位制的认识与探究》中，王老师组织同学们对搜集到的信息进行汇报．下面是其中三位同学给大家展示的资料和问题． (1)张同学：中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个（用十进制数表示）． (2)李同学：计算机已经是人们工作、学习的必备工具．世界上第一台通用计算机“ENIAC”于1946年2月14日诞生．这是计算机史上的第一代计算机，它是使用十进制计数，但其中也有少量以二进制方式工作的电子管．现今大家使用的计算机是第四代，第四代计算机已完全使用二进制进行数据表示和存储． 请你把十进制数29转换为二进制数，结果为______． (3)刘同学：1994年二维码诞生了，并在日常生活中应用广泛．二维码的技术原理是基于二进制的0和1，通过几何图形表示文字数值信息． 如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． ①图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是______； ②将图③中一、三两行代表的二进制数字相加，列出算式并计算，结果表示为四进制数； ③若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮她补充完整． 【答案】(1)72 (2) (3)①；21；②见解析；③见解析 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意，满七进一，列式计算，即可求解； （2）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （3）①根据黑色代表1，白色代表0，写出第四行代表二进制的数字，然后转化为十进制数字，即可求解； ②根据题意将图③中一、三两行代表的二进制数字相加，列出算式并计算，再将结果表示为四进制数，即可求解； ③先把第三、五两行代码换算成二进制，再画二维码． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：72； （2）解：依题意，， ∴， 故答案为：； （3）解：①第四行代表二进制的数字是， ，转化成十进制后可知他的考场号是21， 故答案为：；21； ②图③中一、三两行代表的二进制数字分别为，， 转换为十进制为， ， ， ， ∴， ∴42转化为四进制数为； ③“小芳”的准考证号是2417051311，在第三、五两行的十进制数分别为05，11， ∵，， 即，， 如图所示． ． 类型二、多进制问题 【解惑】二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解． 【详解】解：方法一：∵ 所以． 方法二 所以． 故选：C． 【融会贯通】 1．进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法我们常用的十进制是逢十进一，如4652可以写作，数要用10个数字组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在小型机中引入了八进制，只要八个数字：0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制中174可以写作等于十进制的数124．将八进制中的数1234等于十进制中的数应为（   ） A．668 B．667 C．666 D．665 【答案】A 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据题目中八进制数换算成十进制数的计算方法列式计算即可得到答案． 【详解】解：， ∴将八进制中的数1234等于十进制中的数应为668， 故选：A． 2．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天． 【答案】510 【分析】本题考查了有理数乘方的混合运算，解题关键是理解七进制数的表示方法； 根据图中的数学列式计算类比于十进制，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数即可解答． 【详解】解：因为，七进制是满七进一， 所以，从右到左依次排列的绳子，分别代表绳结数乘以，，，的天数， 所以孩子自出生后的天数是：． 故答案为：510． 3．【背景介绍】进制是一种用有限种数字或符号来表示所有数值的计数方法．不同进制在不同的领域各有应用，比如计算机存储数据使用二进制，古巴比伦人使用六十进制进行计时．现实生活中，我们最习惯使用十进制来计数．十进制每个数位上可以使用以下10个数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，且满足“逢十进一”的原则．因此十位上一个1表示一个10即，百位上一个1表示1个100即．例如：． 【掌握新知】类似地，六进制中可以使用以下6个数字：0，1，2，3，4，5，且满足“逢六进一”的原则．例如六进制数中的数字4表示4个1，数字0表示0个，数字3表示3个，也就是，即六进制数转化为十进制数就是112． （1）根据以上材料，请填空： （用6的正整数次幂的形式填写）．反之，所以( )6． 【模型抽象】我们知道在十进制中，一个三位数； （2）对于任意一个六进制中的三位数，如果用最高位，表示中间位，代表最低位，记这个三位数为，则______． 【问题解决】我们知道在十进制中，一个三位数若能被9整除，只需要满足其各个数位之和能被9整除．因为，其中能被9整除，所以，只需满足各个数位之和能被9整除即可； （3）类比上述结论，在六进制中，一个三位数为若能被5整除，需要满足什么条件？试写出你的猜想并说明其理由； （4）在六进制中，一个三位数为若能被9整除，试直接写出的最大值______（用十进制表示）． 【答案】（1），，543；（2）；（3）一个三位数为若能被5整除，需要满足能被5整除，见解析；（4）9 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，等式的性质以及单位进制的转化． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （3）将转化，据此求解即可； （4）由题意，得a，b，c均不大于5且为整数，分类求解即可． 【详解】解：（1） ∵，∴， 故答案为：，，543； （2）， 故答案为：； （3）一个三位数为若能被5整除，需要满足能被5整除． 理由如下： ， 因为是5的整数倍， 所以若能被5整除，只需能被5整除； （4）由题意，得a，b，c均不大于5且为整数． 当，，时，不是9的倍数 由（2）可知，， 所以改变a的值，不会影响除以9的余数， 所以可令，在题设条件下，使b尽可能大； 当，时，， 因为比215小的最小的9的倍数是207，所以不论c取何值，都不符合题意！ 当，时，时，时，，符合题意． 所以当，时，的最大值为9． 故答案为：9． 类型三、绝对值1与-1的化简 【解惑】已知数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查数轴的相关知识，根据所给数值在x轴上的位置，判断出相应的符号，然后化简绝对值计算即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．的最小值是，，那么的值为（   ） A． B． C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的应用，解决本题的关键是判断出、、的大小．根据题意，因为的最小值是，求出，得出，因为，所以，得出，所以，，所以，，，，求出，据此解答． 【详解】解：， 的最小值是0， 的最小值是， ． ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 2．若且，则值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的加法和除法，应用“分类讨论”的数学思想是关键．根据且可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可． 【详解】由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正． 当a，b，c为两正一负时， 当a，b，c为两负一正时，， 故答案为：1或 3．阅读下列材料：，即当时，．用这个结论可以解决下面问题： (1)已知是有理数，当时，求的值； (2)已知是有理数，当时，求的值； (3)已知是有理数，，求的值． 【答案】(1)2 (2)或3 (3) 【分析】本题考查了有理数的加法、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c的分类讨论．注意． （1）根据和绝对值的意义计算得到结果； （2）对、、进行讨论，然后计算的结果； （3）根据是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：是有理数，， ； （2）解：是有理数，当时， ①； ②； 故的值为或3； （3）解：因为是有理数，． 所以两正一负， 因为两正一负时，， 所以 ． 类型四、绝对值最值 【解惑】对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：．对x，，5进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 【答案】C 【分析】先根据“绝对运算”的定义列出关于的表达式，再分情况讨论的取值范围，求出每种情况下表达式的值，最后比较得出最小值．本题主要考查了绝对值的性质和分类讨论思想的应用，熟练掌握绝对值的性质并分情况讨论是解题的关键． 【详解】解： 当时， ∵ ∴ ∴ 当时， 当时， ∵ ∴ ∴ 综上，的最小值为 故选：C． 【融会贯通】 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 2．【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 【答案】225 【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式表示的意义，确定或16时，有最小值，再代值计算即可． 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和， ∴当时，有最小值， 当时， ． 故答案为：225． 3．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 类型五、幻方 【解惑】图1中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将1～9这9个数字填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方； (2)在图2中填入不同的整数，构造一个三阶幻方； (3)小明通过探究发现，组成三阶幻方的任意一组九个数，有如下两个结论：①三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数的和都等于中间数的3倍；②若将这九个数按从小到大的顺序排列，则相邻两个数的差相等．请你判断小明的发现是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，举出一个反例． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①正确，理由见解析；②不正确，反例见解析 【分析】本题考查有理数的四则运算及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据要求构造三阶幻方即可； （3）根据要求构造三阶幻方即可； （4）根据三阶幻方的定义进行分析，求解即可． 【详解】（1）解：三阶幻方如图1所示： （2）解：三阶幻方如图2所示： （3）①正确． 理由如下：设这九个数为， 如图3，每行、每列、每条对角线上的三个数的和为S， 则， ①， ②， ③， ④， 将， 得． 因为， 所以． 即三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数的和都等于中间数的3倍． ②错误，反例如图4， 【融会贯通】 1．【妙填幻方】如图①，是一个的幻方，每行三个数，每列三个数、每斜对角三个数相加的和均相等． (1)将下列各数组上的9个数分别填入图②③④所示的方格中，使得每行的三个数，每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等． 第一组：6，5，4，3，2，1，0，，； 第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1； 第三组：，，，，0，2，4，6，8． (2)如图⑤，若要按照以上规律填成，则九个数字之和为_____________． 【答案】(1)见解析 (2)90 【分析】本题主要考查了的幻方．熟练掌握幻方的和的性质，是解决本题的关键． （１）根据幻方的和的性质，一一解答．先确定中央的数，再把第二个数与第四个数（或第六个数与第八个数）填在同侧的角里，而后根据幻方和的性质计算填写； （2）根据幻方性质先确定相对角上的数，再确定剩下的数． 【详解】（1）第一组：6，5，4，3，2，1，0，，； 幻和：， 每行、列、对角的数的和：， 中央数： 中央数两侧相对的数的和：； 1 6 0 2 4 5 3 第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1； 幻和：， 每行、列、对角的数的和：， 中央数： 中央数两侧相对的数的和：； 2 9 4 7 5 3 6 1 8 第三组：，，，，0，2，4，6，8． 幻和：， 每行、列、对角的数的和：， 中央数：， 中央数两侧相对的数的和：； 8 4 0 2 6 （2）∵中央的数是10， ∴左上角是：，右上角是：， 中列上面是：，下面是：， 中行左面是：，右面是：， ∴这九个数为：5，7，8，9，10，11，12，13，15， ∴幻和为：， 故答案为：90． 7 11 12 15 10 5 8 9 13 2．【阅读材料】 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如：图1是一个三阶幻方，是将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．    【模仿尝试】 （1）在图2中填入四个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． （2）将，，0，1，2，3，4，5，6这九个数填入图3的方格，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． 【观察发现】 构成三阶幻方的九个数，每个数同时加上或减去同一个数，所得到的九个数仍能构成三阶幻方． 【结论应用】 （3）将，，，，，0，2，4，6这九个数填入图4的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． （4）若满足“幻方”的九个数字之和为27，请在图5的方格中写出符合题意的九个数．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查有理数的加减运算，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键． （1）将图1的数据加上1，填入表格即可； （2）将图1的数据减去3，填入表格即可； （3）、、、、、0、2、4、6将数从小到大排序，最中间的数填入中心位置，大小匹配填的两侧； （4）若满足“幻方”的九个数字之和为27，则中间数为3，再根据“构成三阶幻方的九个数，每个数同时加上或减去同一个数，所得到的九个数仍能构成三阶幻方”可得出结果． 【详解】解：（1）三阶幻方如图2所示：    （2）三阶幻方如图3所示：    （3）三阶幻方如图4所示：   ． （4）三阶幻方如图所示：   ． 3．三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图1是一个“和幻方”，则a=______，b=______； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值； (3)如图3是一个“和幻方”，求x的值． 【答案】(1)9，1； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的加减运算及乘法运算，乘方运算，根据幻方特点，利用和或积相等是解题的关键． （1）根据表知，每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均为15，则由第一横行的和为15，可求得a的值；由第二竖列的和为15，可求得b的值； （2）由表可求得第一横行三个数字的积为8，根据两斜对角线的三个数的积为8可分别求得n与m的值，从而求得结果． （3）设最中间的数为y，则，从而可求得y的值；设右下角的数为t，则，则可得t；设第三行第二列的数为c，则，求得的值，从而得到第二列的三个数，最后可求得x的值． 【详解】（1）解：由，得； 由于，得； 故答案为：9，1； （2）解：第一横行的积为， 则，； 则，． ∴； （3）解：如图，设最中间的数为y，则，解得， 设右下角的数为t，则，． 设第三行第二列的数为c，则，解得． 则第二列3个数的和为． 所以，解得． 3 8 x y 5 c t 类型六、正方形等分问题 【解惑】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 材料一：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令．……① 等式两边同时乘以2，得．……② 由②式减去①式，得． ． 材料二：如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推． (1)受“材料二”的启发，图1中阴影部分的面积是__________；可求出的值是__________； (2)请在图2中再设计一个能求出的值的几何图形； (3)通过学习“材料一”“材料二”的内容，选择你喜欢的方法解决问题：的值为__________．（用含有的式子表示） 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的边长为1，得到其面积为1，仿照阅读学习到的计算方法，求得的值，用即可求得阴影部分的面积． （2）根据给出的几何图形，变换方式表示即可； （3）仿照阅读学习到的计算方法，解答即可． 本题考查了正方形的性质，乘方运算，正确理解乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：令．……① ， 等式两边同时乘以2，得．……② 由②式减去①式，得． ∴图1中阴影部分的面积是， 故：答案为：；． （2）解：根据题意，得画图如下：． （3）解：令．……① ， 等式两边同时乘以3，得．……② 由②式减去①式，得． 故答案为：． 【融会贯通】 1．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是， 空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘以2，得②， 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为______． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为______． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）观察图形发现部分①的面积为，部分②的面积为，部分③的面积为即可解题； （2）由（1）得求 的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为； （3）根据材料二两边同时乘以，然后相减解题即可； （4）利用材料二两边同时乘以4，然后相减解题即可． 【详解】（1）解：∵正方形边长为， ∴正方形面积为， ∵①是边长为的正方形纸片面积的一半， ∴①的面积为， 依此论推②的面积为， ③的面积为， 故答案为：； （2）解：由（1）得求 的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为： ， 故答案为：； （3）解：令， 等式两边同时乘以，得， 由②式减去①式，得， ， ； （4）解：令， 等式两边同时乘以，得， ②①得：， ， 即， 故答案为：． 2．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)求阴影部分的面积是_______． (2)由题意可知：部分n的面积为________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出前三部分的面积，找出数学规律，进行求解即可； （2）根据找出的数学规律，直接写出即可； （3）根据图形可知，代数式的和等于正方形的面积减去最后一块阴影部分的面积，即可求出． 【详解】（1）解：观察图形可知：部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：，…， 阴影部分的面积是； （2）解：由规律可知：部分n的面积为． （3）解：． 【点睛】本题考查图形的规律性问题，通过图形抽象和概括出数学规律是解题的关键． 3．【阅读】求值． 【运用】仿照此法计算： 解：设① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②①得：， 即：， (1)； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作次，依次得到小正方形．      完成下列问题： ①小正方形的面积等于 ； ②求正方形的面积和． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据例题，原式乘以5，然后两式相减即可求解． （2）①根据有理数乘方的意义，表示出，找到规律即可求解． ②根据（1）的方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）设 ，得： ，得： 则 （2）①∵，……， ∴， 故答案为：； ②①， 得：②， 得：， ∴， 即． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解例题的解法是解题的关键． 类型七、有理数的圈次方 【解惑】规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 【答案】(1)， (2)①②④ (3) 【分析】本题考查的是乘方、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． （1）利用定义及有理数的除法法则计算即可； （2）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可； （3）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：，． （2）解：①任何非零数的圈次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于，正确； ②对于任何正整数，的圈次方表示的是个相除，都等于；正确； ③，，故，错误； ④负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确； 故答案为：①②④ （3）解：∵ ∴， ， ， ， ， ． 【融会贯通】 1．概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作2③，读作“2的圈3次方”， 写作④，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：_____________；_____________； （2）下列关于除方说法中，错误的有______________；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D．圈次方等于它本身的数是1或． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢 归纳：（3）请把有理数的圈次方写成幂的形式为：： ． （4）计算：． 【答案】（1）1； （2）D （3） （4） 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． （1）根据题意，可以分别计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确， 从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值； （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1） ； ． 故答案为： （2）任何非零数的圈 2 次方都等于 1 ，故选项A正确，不符合题意； 任何非零数的圈 3 次方都等于它的倒数，故选项B正确，不符合题意； 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故选项C正确，不符合题意； 圈次方等于它本身的数是的圈偶数次方等于的圈奇数次方等于，故选项D错误，符合题意． 故选：D （3）有理数的圈次方写成幂的形式为： ． 故答案为： （4） ， 2．学科素养·推理能力综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等， 类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：________；________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： ________，________． （3）算一算：． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． (1)由新定义列出算式计算即可； (2)根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； (3)根据新定义计算即可． 【详解】解： （1），， 故答案为：，； （2） ， ； 故答案为：，  ； （3）原式． 3．慧慧学习了“有理数的乘方”后，她就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念.规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫作除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”.请你根据慧慧的规定解决下列问题： (1)直接写出计算结果：______，______； (2)将下列运算结果直接写成乘方幂的形式： ______，______，______，______； (3)计算：. 【答案】(1)，9 (2)，，， (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，有理数的乘方，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意进行计算即可； （2）根据题意计算出式子的值即可； （3）根据题意和（2）中的结果，计算出答案即可； 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，9； （2）解：由题意可得：， ， ， ， 故答案为：，，，； （3）解：原式 ． 类型八、数列求和 【解惑】阅读材料：求的值． 解：设， 将等式两边同时乘以2得：， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以2，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 两边乘以2得：， 两式相减得：， 则原式； （2）解：设， 两边乘以3得：， 两式相减得：，即， 则原式． 【融会贯通】 1．阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）仿照例题，设，将等式两边同时乘2得到，作差求解即可； （2）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； （3）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； 【详解】（1）解：设①， 将等式两边同时乘2，得②， 得，， 即； （2）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即； （3）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即． 2．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： ； 将下式减去上式得： ，即，即； 请你仿照此法计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，从而可得的值，再计算，由此即可得； （2）设，从而可得的值，再计算，由此即可得． 【详解】解：（1）设， 将等式两边同乘以得：， 将上式减去下式得：，即， 则， 即； （2）设， 将等式两边同乘以3得：， 将下式减去上式得：，即， 则， 即． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，掌握理解阅读材料中的求解方法是解题关键． 3．阅读材料：求值 解：设，将等式两边同时乘2得 将得：，即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，明确题意，仿照题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题是解题的关键． （1）设，将等式两边同时乘得，两式相减可得，变形即可得解； （2）设，两边同时乘得，可得，变形即可得解． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘，得：， 将下式减去上式，得：， 即：， 则； （2）解：设， 两边同时乘，得：， ，得：， 即：， 则． 类型九、裂项求和 【解惑】请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．观察下列等式： ，，，， (1)按照上述规律填空：______，______． (2)计算：． (3)探究并计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数字类的规律问题，找出规律是解题的关键： （1）根据规律即可得出答案； （2）根据已知等式将等式依次拆项相加可得结论； （3）先依次拆项得出，再计算即可． 【详解】（1）； （2）      （3） 2．观察下列等式，，，… 将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______； (2)直接写出下列各式的计算结果：______； (3)探究并计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题干所给方法可直接进行求解； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． 【详解】（1）； （2） ； （3） ． 3．观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 【答案】(1) (2)； (3)； (4)； 【分析】（1）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （2）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （3）根据题意得到，再根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （4）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 原式 ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ，，， 由此可得， ， ∴原式 ； （3）解：由题意得到， ， ∴原式 ， ； （4）解：由题意可得， 原式 ； 【点睛】本题考查有理数的规律题，解题的关键是熟练掌握有理数的规律． 类型十、数轴动点求t 【解惑】如图，数轴上，，三点对应的数分别为，，，且，满足，为线段的中点．动点，分别从点，同时出发匀速相向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，点运动至点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)的长为或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出，，再根据为线段的中点可求出； （2）由题意可得：，，得到点表示的数为，点表示的数为，进而得到，，根据求出，即可求解； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为，得到，，最后根据，列方程即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 为线段的中点， ， 故答案为：，，； （2）由题意可得：，， 点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 的长为或； （3）由（2）知，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或． 【融会贯通】 1．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值； (4)当点P与原点的距离是1个单位长度时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)3或 (4)或或或 【分析】本题考查了数轴的点问题，有理数在数轴上的表示方法，有理数的混合运算； （1）先求得的距离，根据题意，用路程除以速度，即可求解； （2）先求得到达点时用的时间，进而求得从点出发后的所在位置，即可求解； （3）根据题意分点P第一次到达和点P运动到点A，然后向右运动到两种情况讨论，然后分别列式求解即可； （4）由数轴可知距离原点2个单位长度的位置有和，根据往返情况分类讨论，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∵点从点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴到达点时用的时间为秒， ∵当点到达点后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴当点返回到点时，秒； （2）解：∵到达点时用的时间为秒， 当时，，即时，点从点返回； ； ∴当时，点表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，（秒） 当点P运动到点A，然后向右运动到时，（秒） 综上所述，t的值为3或秒； （4）解：由数轴可知距离原点2个单位长度的位置有和， 当从到到达位置时： 当从到到达位置时： 当从到到达位置时： 当从到到达位置时： 综上，当点P与原点距离是1个单位长度时，t的值为：或或或． 2．定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 3．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为； （）；当时，存在定值，为． 【分析】（）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （）求出点表示的数为，点表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （）依题意可得出对应的数； 由（）可知：点所表示的数为，点表示的数为，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴，， ∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得， 当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； 由题意，得点表示的数为，点所表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$