1.4—1.7 有理数的加、减、乘、除、乘方和混合运算 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（湘教版2024）

1.4—1.7 有理数的加、减、乘、除、乘方和混合运算 一、有理数的加法 1. 同号两数相加，取相同的符号，并且把它们的绝对值相加。 2. 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并且用绝对值大的减去绝对值小的。 3. 互为相反数的两个数相加得0。 4. 一个数与0相加，仍得这个数。 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 二、有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 三、有理数的乘法 1. 同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘都得0。 3. 异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘。 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 四、有理数的除法 1. 同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除。 2. 0除以任何一个不等于0的数都得0。 3. 除以一个非零数等于乘上这个数的倒数。 五、有理数的乘方 1. 求相同因式积的运算，叫做乘方。 2. 乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂。 3. 正数的任何次幂都是正数；0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 六、有理数的混合运算 有理数混合运算的一般步骤是先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。在运算过程中，可以运用交换律、结合律和分配律进行简便计算。 巩固课内例1:有理数的加法运算 1．计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法法则进行计算后判断即可． 【详解】解：； 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键；根据有理数加法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（1）计算：；             （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加即可． 【详解】解：（1 ）原式； （2 ）原式． 巩固课内例2:有理数的加法运算(含相反数) 1．若a与的和为0，则a的值为（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是互为相反数的两个数之和为0，根据相反数的含义可得答案． 【详解】解：∵a与的和为0， ∴a与互为相反数， ∴， 故选：A 2．计算： （1） ； （2） = ． 【答案】 0 0 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：0； （2）， 故答案为：，0． 3．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数加减运算法则，是解题的关键． （1）根据任何数与0相加仍得原数，即可得出答案； （2）根据互为相反数的两数相加得0，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 巩固课内例3:有理数的加法运算(加法运算律) 1．下列各式中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查加法交换律，熟练掌握加法交换律是解题的关键． 根据加法交换律直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选C． 2．（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】（1）； ． 故答案为：． （2）； ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3)120 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可； （2）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可； （3）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 巩固课内例4:有理数的加法应用——收支问题 1．手机移动收付款给生活带来便捷．下图是小华某天手机移动收付款账单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用手机移动收付款的最终结果是（   ） 王某某转账                 扫二维码付款给早餐店     扫二维码付款给出租车     A．收入元 B．支出元 C．收入6元 D．支出5元 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及有理数加法运算，熟练掌握正负数的实际应用和有理数加法运算法则是解题的关键． 根据题意，将当日微信账单的各项收支相加并计算结果，再根据“正数表示收入，负数表示支出”即可得解． 【详解】解：， 即小华当天微信收支的最终结果是收入元， 故选：C． 2．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小明的爸爸某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小明的爸爸当天微信收支的最终结果是 元． 【答案】支出 【分析】本题考查了有理数的加法的应用、正数和负数，根据题意列式计算并结合正数和负数的意义判断即可得解． 【详解】解：由题意可得：（元）， 故小明的爸爸当天微信收支的最终结果是支出元， 故答案为：支出． 3．佳佳靠勤工俭学的收入支付上大学的费用，如表是佳佳某周的收支情况表，记收入为正，支出为负（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 收入 支出 (1)佳佳本周有多少节余？ (2)按本周的支出水平，估计佳佳一年（按天计算）至少有多少收入才能维持正常开支？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）把周一至周日的收入和支出加在一起计算即可； （2）求出平均每天的结余，再乘，就是一个月的结余． 【详解】（1）解：（元）； 答：佳佳本周有元节余； （2）解：（元）， （元），（元）， 答：估计佳佳一年按天计算至少有元收入才能维持正常开支． 【点睛】本题考查正数和负数的实际意义、有理数的加减混合运算，读懂表格数据，并根据题意列出算式计算是解题的关键． 巩固课内例5:有理数的减法运算 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则计算即可． 【详解】解： 故选： ． 2．口算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：； ； ； ； ； ； ； 故答案为：，，，，，，，． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的减法．根据有理数的减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 巩固课内例6:有理数的减法应用——温差问题 1．如图，石家庄驼梁自然风景区某天的气温是，则这天的温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法运算在实际中的应用，明确温差的概念是解决本题的关键． 根据温差的概念，即温差是指最高温度与最低温度的差值，由此计算即可． 【详解】解：因为该地区某天的气温是， 所以可知最低气温为，最高气温为， 所以这天的温差为． 故选：C． 2．某地2025年3月19日的天气预报为，则这天该地的温差是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，熟练掌握其运算法则是解题的关键；利用最高温度减去最低温度即可求解． 【详解】解：因为， 则这天该地的温差是12℃， 故答案为：12． 3．某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，哪天的温差最大？哪天的温差最小？ 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 最低气温 【答案】星期日的温差最大，星期一的温差最小 【分析】分别计算出每天的最高气温和最低气温的差，对比分析即可． 【详解】解：每天的最高气温和最低气温的差分别是： 星期一： 星期二： 星期三： 星期四： 星期五： 星期六： 星期日： 所以，星期日的温差最大，星期一的温差最小． 【点睛】本题考查有理数的减法应用，根据减法原则解题是关键． 巩固课内例7:有理数的加减混合运算 1．计算的结果是（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】B 【分析】此题考查了有理数加减混合运算．把原式变为省略加号和括号的加法计算即可． 【详解】解： 故选：B． 2．计算：． 解：原式 （ ） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，根据有理数混合运算的计算法则从左往右依次计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：，，，，，． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先统一成加法，再根据加法的交换律和结合律计算； （2）利用加法的交换律和结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例8:有理数的加减混合运算的应用 1．某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用早晨的气温加上上升的温度，再减去下降的温度即可得到答案． 【详解】解：， ∴午夜的气温是， 故选：B． 2．某地早上的气温为，中午上升了，夜间又下降了，那么这天夜间的气温是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算的实际应用，温度上升为加，温度下降为减，据此列式求解即可． 【详解】解：， ∴这天夜间的气温是， 故答案为：． 3．一位病人每天下午需要测量一次血压，下表是该病人周一至周五高压变化情况，该病人上个周日的高压为160单位． 星期 一 二 三 四 五 高压的变化（与前一天比较） 升25单位 降15单位 升13单位 升15单位 降20单位 (1)该病人哪一天的血压最高？哪一天的血压最低？ (2)与上周日比，本周五的血压是升了还是降了？ 【答案】(1)周四的血压最高，周二的血压最低 (2)升了 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出星期一~星期五的血压，再进行比较，即可作答． （2）结合上个周日的高压为160单位，且，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，，，，， ∴， ∴周四的血压最高，周二的血压最低； （2）解：由（1）得周五的血压为（单位）， ∵上个周日的高压为160单位，且， ∴本周五的血压升了． 巩固课内例9:有理数的乘法运算 1．计算：（    ） A．－10 B．10 C．－7 D．7 【答案】B 【分析】此题考查有理数乘法计算法则，熟练掌握有理数乘法计算法则是解题的关键； 根据有理数乘法计算法则解答． 【详解】解：， 故选B． 2．计算： （1） （ ） ； （2） （ ） ； （3） （ ） ； （4） （ ） ； （5） ． 【答案】 3 6 12 2 24 0 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】解∶（1）， 故答案为：，3，6，； （2）， 故答案为：，12，2，24； （3）， 故答案为：，，，； （4）， 故答案为：，，，； （5）， 故答案为：0． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3)2 (4) (5)0 (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解∶原式； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式 ； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式； （6）解∶原式 ． 巩固课内例10:有理数的乘法运算律 1．计算时，运用下列运算律可以避免通分的是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法分配律，根据乘法分配律即可得出答案，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 【详解】解：， 故运用乘法分配律可以避免通分． 故选：D． 2．计算： （ ）（ ）（利用乘法交换律） （ ）（ ）（利用乘法结合律） （ ）（ ） ． 【答案】 8 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用乘法交换律进行交换，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：；；；；；8； 3．用乘法运算律简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3500 (2)12 (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的运算，关键是使用运算律可使运算简便． （1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的分配律计算； （3）利用乘法的交换律计算即可； （4）逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 巩固课内例11:多个有理数相乘 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数的乘法法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：，故选项A计算错误； ，故选项B计算错误； ，故选项C计算错误； ，故选项D计算正确； 故选D． 2．计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)80 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0，由此即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 巩固课内例12:有理数的除法运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数的除法计算，根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：6． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5； (2)10 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握有理数除法运算法则． （1）先确定符号，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例13:有理数的乘除混合运算 1．计算的结果为（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算及其运算顺序，解题的关键在于遵循从左至右的运算顺序，同时正确处理负号．先计算除法，再计算乘法，即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶ （1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 巩固课内例14:有理数的乘方运算 1．可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数的基本概念，明确指数表示底数相乘的次数是解决本题的关键． 根据指数表示的是底数相乘的次数即可求解． 【详解】根据指数定义，表示2个3相乘，即，故选项A正确， 选项B：，结果不符； 选项C：，结果不符； 选项D：，结果不符． 故选：A． 2．计算： ； ； ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的定义计算即可； 【详解】解：； ； ； ． 故答案为；；；． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （2）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案； （4）原式将分子进行立方运算即可得到答案； （5）根据的偶次方等于1可得结果． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 巩固课内例15:科学记数法 1．2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋公海海域成功发射一枚携带训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，这次发射的东风41洲际弹道导弹最远射程．数据14000用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成的形式，其中为整数，正确确定、的值是解题的关键． 将14000写成其中为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．2025年1月11日，发布了官方，累计使用量迅速呈现指数级增长，截至2月9日下载量已超1.1亿次，日活跃用户数最高达4541万，成为全球增速最快、用户规模第二的应用．45410000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点移动在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．用科学记数法表示下列各数： (1)100000000； (2)4500000； (3)692400000000． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟知科学记数法是解题的关键． （1）科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 巩固课内例16:含乘方的混合运算 1．计算的结果是（    ） A． B．6 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算原则，准确计算是解题关键． 先算乘方与括号内的，再进行乘除运算，最后加减即可． 【详解】解： ． 故选B． 2．计算： ． 【答案】/6.5/ 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行乘方运算和化简绝对值，然后相加减，即可获得答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算有理数的乘方，绝对值，乘法，最后计算加减即可； （2）先计算有理数的乘方，乘除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型一、倒数的认识 1．2025的倒数是（   ） A． B． C．2025 D．−2025 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 直接根据倒数的定义作答即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故选：A． 2．一个数的倒数为，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的概念，两个数乘积为1，则这两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：一个数的倒数为，则这个数为． 故答案为：． 3．求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)1.2； (2)； (3)． 【答案】(1)1.2的相反数是，倒数是，绝对值是1.2； (2)的相反数是，倒数是，绝对值是； (3)的相反数是，倒数是，绝对值是． 【分析】此题考查相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义； （1）根据各定义依次解答即可； （2）根据各定义依次解答即可； （3）根据各定义依次解答即可． 【详解】（1）解：1.2的相反数是，倒数是，绝对值是1.2． （2）的相反数是，倒数是，绝对值是． （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 类型二、幂的概念 1．对于式子，下列说法正确的是（   ） A．指数是 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，中a为底数，b为指数，结果为幂，表示b个a相乘，由此逐项判断即可． 【详解】解：对于式子， 指数是2，故A选项错误； 底数是，故B选项错误； ，即幂是9，故C选项正确； 表示2个相乘，故D选项错误； 故选：C． 2．的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了乘方的相关概念：底数、指数、乘方的结果等，乘方的运算；根据乘方的相关概念及运算法则即可解答． 【详解】解：的底数是，指数是4，结果是； 故答案为：，4，． 3．（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 【答案】（1）底数是，指数是8；（2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【分析】（1）根据乘方的定义，a•a•...•a（n个a）=an，a是底数，n是指数，进而解决本题； （2）根据有理数的乘方的概念即可回答． 【详解】解：（1）中，底数是，指数是8； （2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【点睛】本题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方的概念解答．注意：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 类型一、绝对值的非负性 1．若，则的值为（   ） A．1 B．0 C．2023 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据非负数的性质得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．已知，则 ； ． 【答案】 8 6 【分析】本题主要考查了方程的解和非负数的性质等知识点，根据非负数的性质得出，，进而求出x、y的值即可，熟练掌握非负数的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：8，6． 3．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了绝对值非负性和解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴ 由（1）知， ， ∴与互为相反数 ∴． 类型二、算“24”点 1．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．使用数字3、4、5、8，通过加、减、乘、除四则运算得到结果24（每种运算可以使用任意次数，但每个数字只能使用一次），请写出一种算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 考虑可得结论． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 3．刘伟与李明在玩数字游戏，现有5张写着不同数的卡片（如图），刘伟请李明按要求抽出卡片，解答下列问题：    (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数的乘积最大，则乘积的最大值是______． (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数相除的商最小，则商的最小值是______． (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）． 【答案】(1)8 (2) (3)抽取，，，四张卡片， 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）这5个数两两相乘，结果可为正、负或零，要乘积最大，结果一定是正数；而积为正，只能是正正相乘或负负相乘，即或，所以选和； （2）这5个数选两个相除，结果可为正、负或零．要商最小，结果一定是负数，而商为负，只能异号两数相除，负数的绝对值越大反而越小，所以商的最小值是； （3）根据有理数的混合运算法则即可解答，本题答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可得， 从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，抽取和， 最大值是， 故答案为：8； （2）解：由题意可得， 从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，抽取和1， 最小值是， 故答案为：； （3）解：抽取，，，四张卡片， 可得 （答案不唯一）． 类型三、绝对值、倒数、相反数综合 1．若，互为相反数，，互为倒数，到的距离是3，则的值为（） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据，互为相反数，，互为倒数，到的距离是3，可以得到，，或，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，到的距离是3， ，，或， 当时， ； 当时， ； 故选：D． 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的运算，根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义得到，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：或． 3．若互为相反数，互为倒数，的相反数为2，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据相反数得到，，倒数得到，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴． 类型一、程序问题 1．小明编写了一个程序，如图，若输入x是，则输出的值为（   ） A． B．8 C． D．2 【答案】D 【分析】根据流程图分别代入计算，根据计算结果判断即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴， ∴的倒数为4， ∴， 故答案为：2， 故选：D． 2．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与程序框图有关的有理数的混合运算．理解运算规则是解题的关键． 输入，则，由，输入，则，由，输出即可． 【详解】解：输入，则， ∵， ∴输入，则， ∵， ∴输出， 故答案为：． 3．如图，是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值是3，则输出y的值等于______； (2)若输出y的值是3，求输入x的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，正确理解程序框图是解题的关键． （1）将代入，即可求解； （2）输出y的值是3，则，即可求解． 【详解】（1）解：输入x的值是3，则， 故答案为：8； （2）解：输出y的值是3，则， ， 解得：． 类型二、新定义问题 1．定义新运算：对于，规定为之间(包括）所有整数之和，如，那么末两位数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是定义新运算和有理数的加法，根据定义的新运算，确定整数范围并求和，计算末两位数即可，弄清新运算是解题的关键． 【详解】解：由于，，且运算包含和之间的所有整数，而不是整数， ∴实际取到之间的整数， ∴ ， ∴的末两位数为， 故选：． 2．定义一种新运算：，如，则的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】(1) (2)①；；②乘法交换 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 【详解】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 类型三、绝对值分类 1．已知，试求的值是（ ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的化简，有理数的乘法，根据正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它相反数化简即可． 【详解】解：当、，则，原式； 当、，则，原式； 当、，则，原式； 当、，则，原式； 故选：C． 2．若，，且，且，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数符号的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质． 通过绝对值求出，通过，且，判断出的值即可求解． 【详解】解：由，，得， 又，且， ∴同号，且都为负数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则_________0； (2)当时，若，则c_________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数的运算法则判断符号，绝对值化简等； （1）由有数乘法法则的，由加法法则，即可判断； （2）由有理数乘法法则，即可判断； （3）当a、b、c均为正数时，去绝对值，化简计算，即可求解；当a、b、c均为负数时，同理可求； 当a、b、c中有两个正数一负数时，同理可求；当a、b，c中有一个正数两个负数时，同理可求． 理解有理数加法、乘法法则，绝对值性质是解题的关键． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以； 故答案：； （2）解：因为，， 所以； 故答案：； （3）解：当a、b、c均为正数时， ； 当a、b、c均为负数时， ； 当a、b、c中有两个正数一负数时，不妨设 ，，， 所以 ； 当a、b，c中有一个正数两个负数时，不妨设 ，，， ． 综上，的值为或． 类型四、有理数混合运算结果最大、最小 1．在式子“”中的“□”内填入下列运算符号，计算后结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的四则运算，根据有理数的相应的运算法则进行分析即可． 【详解】解：，，，， ，即最小． 故选：A． 2．已知有理数，，，，请你对这些有理数进行加减乘除混合运算（每个数都要使用上，且仅可使用一次，不可以直接添负号）．若运算结果最小，则这个最小结果为 ；若运算结果最大，则这个最大结果为 ． 【答案】 80 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，掌握有理数的四则混合运算法则是解答本题的关键，根据有理数的四则混合运算法则编排、计算即可． 【详解】解：最小的组合为， 结果最大的组合为， 故答案为：；80 3．小华有5张写着不同数的卡片如图，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，最大值是______； (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是______； (3)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法使结果为30，写出运算式子（至少写出两种）． 【答案】(1)24 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． （1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且乘积数值最大的数，所以选和； （2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母的绝对值越小越好，分子的绝对值越小大越好，所以就要选和3，且为分子； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为30，方法不唯一，用加减乘除只要结果是30即可，如：抽取、、0、，则；再如：抽取、、、，则． 【详解】（1）解：从中抽出2张卡片，乘积最大的为， 故答案为：24； （2）解：从中抽出2张卡片，相除的商最小为， 故答案为：； （3）解：方法不唯一，如：抽取、、0、，则， 如：抽取、、、，则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4—1.7 有理数的加、减、乘、除、乘方和混合运算 一、有理数的加法 1. 同号两数相加，取相同的符号，并且把它们的绝对值相加。 2. 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并且用绝对值大的减去绝对值小的。 3. 互为相反数的两个数相加得0。 4. 一个数与0相加，仍得这个数。 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 二、有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 三、有理数的乘法 1. 同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘都得0。 3. 异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘。 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 四、有理数的除法 1. 同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除。 2. 0除以任何一个不等于0的数都得0。 3. 除以一个非零数等于乘上这个数的倒数。 五、有理数的乘方 1. 求相同因式积的运算，叫做乘方。 2. 乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂。 3. 正数的任何次幂都是正数；0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 六、有理数的混合运算 有理数混合运算的一般步骤是先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。在运算过程中，可以运用交换律、结合律和分配律进行简便计算。 巩固课内例1:有理数的加法运算 1．计算：（    ） A． B．1 C． D． 2．计算： ． 3．（1）计算：；             （2）计算：． 巩固课内例2:有理数的加法运算(含相反数) 1．若a与的和为0，则a的值为（   ） A．2025 B． C． D． 2．计算： （1） ； （2） = ． 3．计算： (1)； (2)； 巩固课内例3:有理数的加法运算(加法运算律) 1．下列各式中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例4:有理数的加法应用——收支问题 1．手机移动收付款给生活带来便捷．下图是小华某天手机移动收付款账单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用手机移动收付款的最终结果是（   ） 王某某转账                 扫二维码付款给早餐店     扫二维码付款给出租车     A．收入元 B．支出元 C．收入6元 D．支出5元 2．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小明的爸爸某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小明的爸爸当天微信收支的最终结果是 元． 3．佳佳靠勤工俭学的收入支付上大学的费用，如表是佳佳某周的收支情况表，记收入为正，支出为负（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 收入 支出 (1)佳佳本周有多少节余？ (2)按本周的支出水平，估计佳佳一年（按天计算）至少有多少收入才能维持正常开支？ 巩固课内例5:有理数的减法运算 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．口算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例6:有理数的减法应用——温差问题 1．如图，石家庄驼梁自然风景区某天的气温是，则这天的温差是（   ） A． B． C． D． 2．某地2025年3月19日的天气预报为，则这天该地的温差是 ． 3．某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，哪天的温差最大？哪天的温差最小？ 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 最低气温 巩固课内例7:有理数的加减混合运算 1．计算的结果是（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 2．计算：． 解：原式 （ ） ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例8:有理数的加减混合运算的应用 1．某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是（   ） A． B． C． D． 2．某地早上的气温为，中午上升了，夜间又下降了，那么这天夜间的气温是 ． 3．一位病人每天下午需要测量一次血压，下表是该病人周一至周五高压变化情况，该病人上个周日的高压为160单位． 星期 一 二 三 四 五 高压的变化（与前一天比较） 升25单位 降15单位 升13单位 升15单位 降20单位 (1)该病人哪一天的血压最高？哪一天的血压最低？ (2)与上周日比，本周五的血压是升了还是降了？ 巩固课内例9:有理数的乘法运算 1．计算：（    ） A．－10 B．10 C．－7 D．7 2．计算： （1） （ ） ； （2） （ ） ； （3） （ ） ； （4） （ ） ； （5） ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 巩固课内例10:有理数的乘法运算律 1．计算时，运用下列运算律可以避免通分的是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 2．计算： （ ）（ ）（利用乘法交换律） （ ）（ ）（利用乘法结合律） （ ）（ ） ． 3．用乘法运算律简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例11:多个有理数相乘 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算： ； 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例12:有理数的除法运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C．3 D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例13:有理数的乘除混合运算 1．计算的结果为（    ） A．8 B． C． D．2 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例14:有理数的乘方运算 1．可表示为（    ） A． B． C． D． 2．计算： ； ； ； ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 巩固课内例15:科学记数法 1．2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋公海海域成功发射一枚携带训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，这次发射的东风41洲际弹道导弹最远射程．数据14000用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 2．2025年1月11日，发布了官方，累计使用量迅速呈现指数级增长，截至2月9日下载量已超1.1亿次，日活跃用户数最高达4541万，成为全球增速最快、用户规模第二的应用．45410000用科学记数法表示为 ． 3．用科学记数法表示下列各数： (1)100000000； (2)4500000； (3)692400000000． 巩固课内例16:含乘方的混合运算 1．计算的结果是（    ） A． B．6 C．12 D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 类型一、倒数的认识 1．2025的倒数是（   ） A． B． C．2025 D．−2025 2．一个数的倒数为，则这个数为 ． 3．求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)1.2； (2)； (3)． 类型二、幂的概念 1．对于式子，下列说法正确的是（   ） A．指数是 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 2．的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 3．（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 类型一、绝对值的非负性 1．若，则的值为（   ） A．1 B．0 C．2023 D． 2．已知，则 ； ． 3．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 类型二、算“24”点 1．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．使用数字3、4、5、8，通过加、减、乘、除四则运算得到结果24（每种运算可以使用任意次数，但每个数字只能使用一次），请写出一种算式 ． 3．刘伟与李明在玩数字游戏，现有5张写着不同数的卡片（如图），刘伟请李明按要求抽出卡片，解答下列问题：    (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数的乘积最大，则乘积的最大值是______． (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数相除的商最小，则商的最小值是______． (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）． 类型三、绝对值、倒数、相反数综合 1．若，互为相反数，，互为倒数，到的距离是3，则的值为（） A． B．2 C．或2 D．或 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3，则的值为 ． 3．若互为相反数，互为倒数，的相反数为2，求的值． 类型一、程序问题 1．小明编写了一个程序，如图，若输入x是，则输出的值为（   ） A． B．8 C． D．2 2．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 3．如图，是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值是3，则输出y的值等于______； (2)若输出y的值是3，求输入x的值． 类型二、新定义问题 1．定义新运算：对于，规定为之间(包括）所有整数之和，如，那么末两位数为（　　） A． B． C． D． 2．定义一种新运算：，如，则的结果是 ． 3．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 类型三、绝对值分类 1．已知，试求的值是（ ） A． B． C．或 D．或或 2．若，，且，且，那么的值是 ． 3．分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则_________0； (2)当时，若，则c_________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，求的值． 类型四、有理数混合运算结果最大、最小 1．在式子“”中的“□”内填入下列运算符号，计算后结果最小的是（    ） A． B． C． D． 2．已知有理数，，，，请你对这些有理数进行加减乘除混合运算（每个数都要使用上，且仅可使用一次，不可以直接添负号）．若运算结果最小，则这个最小结果为 ；若运算结果最大，则这个最大结果为 ． 3．小华有5张写着不同数的卡片如图，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，最大值是______； (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是______； (3)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法使结果为30，写出运算式子（至少写出两种）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$