1.1—1.3 认识负数 数轴、相反数与绝对值 有理数大小的比较 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（湘教版2024）

1.1—1.3 认识负数 数轴、相反数与绝对值 有理数大小的比较 一、认识负数 负数是小于零的数，用负号“-”表示。例如，-3、-5等都是负数。在数轴上，负数位于0的左侧。 二、数轴、相反数与绝对值 1.数轴：是一条直线，正中间是0点，向右为正方向，向左为负方向。任意一个有理数都可以在数轴上找到唯一对应的点。 2.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。例如，5和-5是相反数。在数轴上，一个数与它的相反数关于0点对称。 3.绝对值：一个数到0点的距离叫做这个数的绝对值。用“| |”表示。例如，|-5|=5，|5|=5。绝对值总是非负的。 三、有理数大小的比较 1.正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。 2.两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例如，-10比-3小，因为|-10|>|-3|。 3.在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此，可以通过在数轴上标出各数的位置来比较它们的大小。 巩固课内例1:正负数的定义 1．北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 2．在数5，，，，0.76中负数有 ，正数有 ． 3．指出下面各数中的正数、负数： ，，，，，，，． 巩固课内例2:相反意义的量 1．我国古代的《九章算术》是世界数学史上首次正式引入负数的文献，若收入元可记作元，则支出元可记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．在横线上填上恰当的词，使前后构成具有相反意义的量． （1）库存增加千克与 千克； （2）小红家这个月收入元与 元． 3．把下列具有相反意义的量用线连接起来． 前进米                      收入元 运出吨                     盈利元 上升C                        后退米 支出元                     运进吨 亏损元                      下降 巩固课内例3:数轴上的点表示有理数 1．如图，则有理数在数轴上对应的数据可能是（    ） A． B． C． D． 2．观察如图，如果点D表示25，则点B表示( )；如果点C表示，则点A表示( )． 3．如图，已知点A在数轴上表示的点是． (1)标出数轴上的原点； (2)点B在点A的右侧，距离点A6个单位长度，在数轴上标出点B所在的位置； (3)数轴上另有一点C，它到点A的距离比到点B的距离小3，求点C表示的数． 巩固课内例4:在数轴上表示各点 1．在下面的数轴中，表示和的点依次是（   ） A．①④ B．②④ C．③④ D．③⑤ 2．如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 3．在数轴上表示下列各数： ． 巩固课内例5:求一个数的相反数 1．实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．7的相反数是 ，的相反数是 ，0.2与 互为相反数． 3．先写出下列各数，再把写出的数在数轴上表示出来． (1)的相反数； (2)0的相反数； (3)相反数是的数． 巩固课内例6:求一个数的绝对值 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．求下列各数的绝对值：，，，0，，． 巩固课内例7:比较下列各组数的大小 1．有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．比较下面两个数的大小（用“” “” “” ） （1）1 ；（2） ；（3） ． 3．比较下列每组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 类型一、数轴三要素 1．下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 3．如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 类型二、有理数的定义 1．下列各数，，0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．最大的负整数是 ；最小的自然数是 ． 3．（1）与0之间有负数吗？0与1之间呢？如果有，请举例；如果没有，请说明理由． （2）与之间有负整数吗？与2之间有哪些整数？ （3）有比还大的负整数吗？ （4）写出3个小于并且大于的数． 类型三、《九章算术》中的正负数 1．《九章算术》记载了我国古代以斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数，如表示238，则表示．那么表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 3．算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶，如要表示一个多位数字，即把各位的数字从左到右横列，各位数的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位数用横式表示，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式．例如614用算筹表示出来是；数字有空位时，如86021用算筹表示出来是，百位是空位就不放算筹． 6728表示为 6708表示为 （1）8335用算筹可表示为（    ） A． B．  C． D． （2）算式“”可用如图①中的算筹表示，如图②中算筹表示两个三位数的运算，其结果为________；       （3）“”表示的最小的数是______________． 类型一、数轴上点与点之间的距离 1．在数轴上与所对应的点的距离等于4的点表示的数是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 2．数轴上点，到原点的距离分别是和，则，两点间的距离是 ． 3．同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．请回答： (1)如图，数轴上表示和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)若数轴上A，B两点表示的数分别为x和， ①A，B两点之间的距离可表示为___________； ②如果，求x的值； (3)若数轴上A，B两点表示的数分别为和6，点P是线段上的一个动点，且点P表示的数为x，请直接写出的值． 类型二、已知绝对值求数 1．若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 2．若，则 ． 3．已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 类型三、点的平移 1．如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是（   ） A． B． C．0 D．1 2．数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是 ． 3．阅读下面的材料，回答问题： 材料一：在数轴上，我们把到两个点距离相等的点，叫做这两个点的“中点”，例如： ①表示1和5的点到表示3的点距离都为2，所以它们“中点”表示的数是3． ②表示和的点到表示的点距离都为1，所以它们的“中点”表示的数是．      材料二：对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得的数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点． (1)表示和6的点的“中点”表示的数是___________． (2)若“中点”表示的数是2023，其中一点表示的数是2020，则另一个点表示的数是___________． (3)点A、B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述“材料二”的操作后得到线段，其中，点A、B的对应点分别是、，线段AB的中点C与线段的中点对应． ①若点A表示的数是2，点B表示的数是6，请求出点表示的数． ②若点表示的数是2，请求出点C表示的数． 类型四、化简多重符号 1．下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 2． ． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型一、绝对值化简 1．已知，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．三个数在数轴上的点的位置如图所示，则= ． 3．观察有理数，，在数轴上的位置，如图所示． (1)比较大小： 0， 0； (2)化简：． 类型二、正负数的实际应用 1．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（   ） A． B． C． D． 2．3月22日是“世界水日”，“世界水日”的宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校课外小组在当日进行家庭用水情况调查时发现，小明家节约用水3.6吨，记作吨，那么小乐家浪费了1.8吨水记作 ；嘉嘉家用数据吨记录用水情况，则表示 ． 3．今年杜大伯在自家种植的地里采摘了筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）．    (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐多多少千克？ (2)若每千克白萝卜按元出售，全部卖出一共能卖多少钱？ 类型三、有理数大小比较的应用 1．广东第一峰位于阳山县秤架乡，现记录冬季某天4 个时刻的气温（单位：）分别为， 其中最低的气温是（    ） A． B． C． D． 2．某车间生产一批圆柱形机器零件，从中抽出了6件进行检验，把标准直径的长记为0，比标准直径长的记为正数，比标准直径短的记为负数，检查记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 与标准直径的差值 则第 个零件最符合标准． 3．已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1—1.3 认识负数 数轴、相反数与绝对值 有理数大小的比较 一、认识负数 负数是小于零的数，用负号“-”表示。例如，-3、-5等都是负数。在数轴上，负数位于0的左侧。 二、数轴、相反数与绝对值 1.数轴：是一条直线，正中间是0点，向右为正方向，向左为负方向。任意一个有理数都可以在数轴上找到唯一对应的点。 2.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。例如，5和-5是相反数。在数轴上，一个数与它的相反数关于0点对称。 3.绝对值：一个数到0点的距离叫做这个数的绝对值。用“| |”表示。例如，|-5|=5，|5|=5。绝对值总是非负的。 三、有理数大小的比较 1.正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。 2.两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例如，-10比-3小，因为|-10|>|-3|。 3.在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此，可以通过在数轴上标出各数的位置来比较它们的大小。 巩固课内例1:正负数的定义 1．北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据负数的定义，判断每个选项是否为负数，负数是小于的数．本题主要考查负数的定义，熟练掌握“小于的数是负数”是解题的关键． 【详解】解：是负数，是负数，不是负数，是负数． 故选： ． 2．在数5，，，，0.76中负数有 ，正数有 ． 【答案】 5，，0.76 【分析】此题主要考查了有理数的分类，关键是掌握有理数的分类方法． 根据正数和负数的定义求解即可． 【详解】解：在数5，，，，0.76中， 负数有；正数有5，，0.76． 故答案为：；5，，0.76． 3．指出下面各数中的正数、负数： ，，，，，，，． 【答案】正数：，，， ；负数：，， 【分析】本题考查对正负数的认识，掌握正负数的定义是解决问题的关键．数字前面带“+”号或不带符号的为正数，数字前面带“”号为负数，0既不是正数也不是负数，由此进行分类即可． 【详解】解：正数：，，， ； 负数：，，． 巩固课内例2:相反意义的量 1．我国古代的《九章算术》是世界数学史上首次正式引入负数的文献，若收入元可记作元，则支出元可记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．根据正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，如果规定其中一个数为正数，则另一个就用负数表示，即可得出答案． 【详解】解：若收入元可记作元，则支出元可记作元． 故选：A． 2．在横线上填上恰当的词，使前后构成具有相反意义的量． （1）库存增加千克与 千克； （2）小红家这个月收入元与 元． 【答案】 减少 支出 【分析】此题考查了实际问题中具有相反意义的量的辨别能力，关键是能准确理解并运用该知识．根据增加与减少、收入与支出分别表示相反的意义进行求解． 【详解】解：（1）∵增加与减少表示相反的意义， ∴库存增加千克与减少千克是一对意义相反的量， 故答案为：减少 （2）∵收入与支出表示相反的意义， ∴小红家这个月收入元与支出元是一对意义相反的量， 故答案为：支出 3．把下列具有相反意义的量用线连接起来． 前进米                      收入元 运出吨                     盈利元 上升C                        后退米 支出元                     运进吨 亏损元                      下降 【答案】见详解 【分析】相反意义的量指的是：具有相反意义，有数量（数量可以相等，也可以不相等），成对出现，由此即可求解． 【详解】解：根据相反意义的量的含义得，    【点睛】本题主要考查相反意义的量，理解并掌握相反意义的量的定义是解题的关键． 巩固课内例3:数轴上的点表示有理数 1．如图，则有理数在数轴上对应的数据可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，由数轴可知有理数在和之间，更靠近， 据此判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，有理数在和之间，更靠近， ∴有理数在数轴上对应的数据可能是， 故选：． 2．观察如图，如果点D表示25，则点B表示( )；如果点C表示，则点A表示( )． 【答案】 5 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，分数的意义，确定单位”1”是解题的关键． 以0为原点，原点左边的是负数，原点右边的是正数；如果点D表示25，则从原点向右每个单位长度分别是5、10、15……；如果点C表示，则从原点向右每个单位长度分别是、、……，从原点向左每个单位长度分别是、、……，据此写出点B和点A表示的数． 【详解】解：观察如图，如果点D表示25，则点B表示5；如果点C表示，则点A表示． 故答案为：，． 3．如图，已知点A在数轴上表示的点是． (1)标出数轴上的原点； (2)点B在点A的右侧，距离点A6个单位长度，在数轴上标出点B所在的位置； (3)数轴上另有一点C，它到点A的距离比到点B的距离小3，求点C表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）根据点A在数轴上表示的点是，确定原点的位置即可； （2）根据两点间的距离，确定点的位置即可； （3）根据题意，得到，结合，得到，进而确定点表示的数即可． 【详解】（1）解：由题意，原点位置如图所示； （2）由题意，点的位置如图所示； （3）由题意，， ∵， ∴， ∴点表示的数为． 巩固课内例4:在数轴上表示各点 1．在下面的数轴中，表示和的点依次是（   ） A．①④ B．②④ C．③④ D．③⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，解题关键是读懂图形． 先分别求出各个点表示的数，再作出判断． 【详解】解：由数轴上0与3可知，⑤表示2，④表示，③表示，②表示，①表示，所以表示和的点依次是③④， 故选：C． 2．如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，熟知数轴上的点所表示的数的特征是解答本题的关键． 根据题意先求出点表示的数，再结合点为线段的中点即可解决问题． 【详解】解：点在数轴上所表示的数为，， 点表示的数为， 又点为线段的中点， 点表示的数为， 故答案为：． 3．在数轴上表示下列各数： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，先画出数轴，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：画数轴，如图 巩固课内例5:求一个数的相反数 1．实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：实数的相反数是， 故选：． 2．7的相反数是 ，的相反数是 ，0.2与 互为相反数． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解． 【详解】解：7的相反数是，的相反数是，0.2与互为相反数． 故答案为：，，． 3．先写出下列各数，再把写出的数在数轴上表示出来． (1)的相反数； (2)0的相反数； (3)相反数是的数． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查的是相反数的含义，在数轴上表示有理数； （1）根据相反数的定义先写出的相反数，再在数轴上表示即可； （2）根据相反数的定义先写出0的相反数，再在数轴上表示即可 （3）根据相反数的定义先写出的相反数，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解： 的相反数是，在数轴上表示如图所示， （2）解：的相反数是，在数轴上表示0如图所示， （3）解：相反数是的数是． 在数轴上表示如图所示． 巩固课内例6:求一个数的绝对值 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键，根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：的绝对值是， 故选：D． 2．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的计算．理解绝对值的定义是解题的关键． 绝对值是一个数在数轴上所对应点到原点的距离．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：对于，它在数轴上所对应点到原点0的距离是3，所以根据绝对值的定义． 故答案为：3 ． 3．求下列各数的绝对值：，，，0，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查绝对值．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 巩固课内例7:比较下列各组数的大小 1．有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．比较下面两个数的大小（用“” “” “” ） （1）1 ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较， （1）根据正数大于负数判断即可； （2）（3）根据两个负数，绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：（1）∵1 为正数，为负数， ∴； （2） ∵， ∴； （3）． 故答案为（1）；（2）；（3）． 3．比较下列每组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查有理数的大小比较、绝对值、相反数、分数的基本性质，熟练掌握有理数比较大小是解决本题的关键． （1）（2）先计算绝对值通分，再比较大小； （3）先化为假分数，再计算绝对值通分，然后比较大小． 【详解】（1）解：∵，， ∵ ∴，即； （2）解：∵，， ∵ ∴，即； （3）解：∵，， ∵ ∴，即． 类型一、数轴三要素 1．下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的画法，根据数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A．单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； B．没有原点，故该选项不正确，不符合题意； C．正确，故该选项符合题意； D.没有原点，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 3．如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了数轴上的数、比较有理数的大小等知识点，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）根据数轴直接解答即可； （2）根据单位长度，在数轴上表示点和点=即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）解：如图：点和点即为所求． 类型二、有理数的定义 1．下列各数，，0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的定义解答即可，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，0，π，0.0123中，有理数有，，0，0.0123，共4个， 故选：A． 2．最大的负整数是 ；最小的自然数是 ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了有理数，根据有理数的分类和性质逐项分析即可； 【详解】解：最大的负整数为，最小的自然数为． 故答案为 3．（1）与0之间有负数吗？0与1之间呢？如果有，请举例；如果没有，请说明理由． （2）与之间有负整数吗？与2之间有哪些整数？ （3）有比还大的负整数吗？ （4）写出3个小于并且大于的数． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解（4）见详解． 【分析】本题主要是考查有理数的大小的比较和有理数的分类，认真掌握有理数比较大小的方法及负数、整数、负整数的定义与特点，负数：任何正数前加上负号都等于负数，负数比零，正数小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）正数负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此解答即可； （2）据负数、整数、负整数的定义与特点回答； （3）据负数、整数、负整数的定义与特点回答； （4）几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此解答即可 【详解】解：（1）与0之间有负数，如；0与1之间没有负数，原因是负数小于0； （2）和之间有负整数；与2之间有整数，0，1； （3）没有比大的负整数； （4）例如，． 类型三、《九章算术》中的正负数 1．《九章算术》记载了我国古代以斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数，如表示238，则表示．那么表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，理解题意是解题的关键． 根据题意及负数的表示方法即可即可解答． 【详解】解：由题意可得图片中表示的数为． 故选：C． 2．《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负数的定义，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规定．根据题中规定解答即可． 【详解】 解：根据题意得：“”表示的数是， 故答案为：． 3．算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶，如要表示一个多位数字，即把各位的数字从左到右横列，各位数的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位数用横式表示，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式．例如614用算筹表示出来是；数字有空位时，如86021用算筹表示出来是，百位是空位就不放算筹． 6728表示为 6708表示为 （1）8335用算筹可表示为（    ） A． B．  C． D． （2）算式“”可用如图①中的算筹表示，如图②中算筹表示两个三位数的运算，其结果为________；       （3）“”表示的最小的数是______________． 【答案】（1）B；（2）-426；（3）10340 【分析】（1）根据题意可得8335用算筹的表示方法； （2）由算筹表示方法的到算式，再计算； （3）根据算筹记数的规定可知，“”表示的最小的数是5位数，依此即可得到“”表示的最小的数． 【详解】解：（1）8335用算筹可表示为： ， 故选B； （2）由题意得：图②中算式为： 103-529=-426， 故答案为：-426； （3）由已知可得： 表示的最小的数是5位数，且最高位是1，个位是0， 则最小的数是：10340． 【点睛】 本题考查了应用类问题，关键是对我国古代用算筹记数的规定的理解和掌握，再根据有理数的大小比较可知“”表示的最小的数是5位数． 类型一、数轴上点与点之间的距离 1．在数轴上与所对应的点的距离等于4的点表示的数是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移计算，熟练掌握左减右加是解题的关键． 根据数轴上点的平移解答即可． 【详解】解：当点在表示的点的右边时， 该点表示的数是：； 当点在表示的点的左边时， 该点表示的数是：； 故该点表示的数是2或， 故选：C． 2．数轴上点，到原点的距离分别是和，则，两点间的距离是 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据题意求出A点表示的数是1或，B点表示的数是3或，再分类讨论即可． 【详解】解：∵数轴上点A、B到原点的距离分别是1和3， ∴A点表示的数是1或，B点表示的数是3或， 当A点表示的数是1，B点表示的数是3时， 则A、B两点间的距离是2； 当A点表示的数是1，B点表示的数是时， 则A、B两点间的距离是4； 当A点表示的数是，B点表示的数是3时， 则A、B两点间的距离是4； 当A点表示的数是，B点表示的数是时， 则A、B两点间的距离是2； 故答案为：2或4． 3．同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．请回答： (1)如图，数轴上表示和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)若数轴上A，B两点表示的数分别为x和， ①A，B两点之间的距离可表示为___________； ②如果，求x的值； (3)若数轴上A，B两点表示的数分别为和6，点P是线段上的一个动点，且点P表示的数为x，请直接写出的值． 【答案】(1)7，3 (2)①；②2或 (3)11 【详解】（1）解：根据A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为， 则数轴上表示-2和5的两点之间的距离， 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离． 故答案为7，3． （2）解：①数轴上A，B两点表示的数分别为x和， A，B两点之间的距离． ②， ， 解得或． （3）解：点P在线段上，因此x的取值范围为， 计算的值： 当时，； 当时，， 因此： 【点睛】此题综合考查了数轴距离、绝对值性质、绝对值方程、动点问题以及数轴上的几何意义等多个知识点，要求学生具备较强的数形结合能力和代数运算能力． 类型二、已知绝对值求数 1．若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 根据绝对值的代数意义判断即可． 【详解】∵ ∴，即a是非负数． 故选：C． 2．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的基本性质，解题的关键是掌握“若一个数的绝对值为0，则这个数本身为0”这一核心结论． 根据绝对值的定义，绝对值表示一个数在数轴上所对应点到原点的距离，距离不可能为负数，当绝对值等于0时，对应的数只能是0；因此对于，可直接得出，进而求解a的值． 【详解】解：∵，根据绝对值的性质，绝对值为0的数只有0， ∴，解得． 故答案为：1． 3．已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了求绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． （1）分别把和代入求解即可； （2）根据绝对值的非负性得，进而得当时，的值最小，最小值为． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）解：∵若为一个有理数，则， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当时，的值最小，的最小值为． 类型三、点的平移 1．如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：D． 2．数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴上点的平移，正确记忆平移规律是解题的关键． 利用A点位置结合平移规律依次求得点B，C表示的数． 【详解】解：点A表示的数是3， 由点A向右移动2个单位长度到点B，点B表示的数是， 由点B向左移动9个单位长度到点C，点C表示的数是． 故答案为：． 3．阅读下面的材料，回答问题： 材料一：在数轴上，我们把到两个点距离相等的点，叫做这两个点的“中点”，例如： ①表示1和5的点到表示3的点距离都为2，所以它们“中点”表示的数是3． ②表示和的点到表示的点距离都为1，所以它们的“中点”表示的数是．      材料二：对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得的数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点． (1)表示和6的点的“中点”表示的数是___________． (2)若“中点”表示的数是2023，其中一点表示的数是2020，则另一个点表示的数是___________． (3)点A、B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述“材料二”的操作后得到线段，其中，点A、B的对应点分别是、，线段AB的中点C与线段的中点对应． ①若点A表示的数是2，点B表示的数是6，请求出点表示的数． ②若点表示的数是2，请求出点C表示的数． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）设“中点”表示的数是，由“中点”的定义即可求解； （2）设另一个点表示的数是由“中点”的定义即可求解； （3）①由（1）同理可求点和点的“中点”表示的数是，由点P到对应点的操作即可求解； ②由操作可得C表示的数可以由点表示的数对应的点先向左平移1个单位，再除以得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 所以“中点”表示的数是， 故答案：． （2）解：由题意得 ， 所以另一个点表示的数是， 故答案：． （3）解：①由（1）同理可求点和点的“中点”表示的数是， 所以表示的数是； ②表示的数是由点C表示的数乘以，再把所得的数对应的点向右平移1个单位得到， 所以C表示的数可以由点表示的数对应的点先向左平移1个单位，再除以得到， 所以C表示的数为； 【点睛】本题考查了“中点”的新定义，点在数轴上的平移，用方程解决问题，理解新定义是解题的关键． 类型四、化简多重符号 1．下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多重符号化简，根据“奇负偶正”的方法进行化简即可求解． 【详解】解：A．，本选项化简错误； B．，本选项化简正确； C．，本选项化简错误； D．，本选项化简错误． 故选：B 2． ． 【答案】 【详解】本题主要考查了化简多重符号，熟练掌握化简多重符号法则是解题关键．化简多重符号法则为：当负号的个数为奇数时，结果为负；当负号的个数为偶数时，结果为正．据此即可获得答案． 解： 故答案为：． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查的是化简多重符号，掌握相关方法是解题的关键．对这类式子进行化简，非0数的正负与前边的正号的个数无关，而与负号的个数有关，当有奇数个负号时，值是负数，当有偶数个负号时，值是正数，由此依次进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 类型一、绝对值化简 1．已知，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值，根据题意，得到，且，根据绝对值的意义去绝对值即可得到答案，熟记绝对值的意义是解决问题的关键． 【详解】解：，且， ，且， ， 故选：D． 2．三个数在数轴上的点的位置如图所示，则= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴与绝对值的应用，需根据数轴上点的位置判断大小是解决本题的关键． 先根据数轴上三个数位置判断出a，b，c的大小，再由绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据三个数在数轴上的点的位置可知， ， ∴，， ∴． 故答案为： ． 3．观察有理数，，在数轴上的位置，如图所示． (1)比较大小： 0， 0； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查有理数的大小比较以及根据点在数轴的位置，化简绝对值.解题的关键是根据点在数轴上的位置，判断出有理数的大小关系，以及式子的符号． （1）先判断数的大小，再判断式子的符号即可； （2）根据绝对值的意义，化简绝对值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ，， 故答案为：， （2） ， ，， 故答案为：． 类型二、正负数的实际应用 1．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的实际应用，理解题意是解题关键．分别计算三种品牌面粉的最大质量和最小质量，再用三种品牌面粉中最大质量与另两个品牌最小质量作差，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第一种品牌面粉的最大质量为，最小质量为； 第二种品牌面粉的最大质量为，最小质量为； 第三种品牌面粉的最大质量为，最小质量为； 从中任意拿出不同品牌的两袋，它们的质量最多相差， 故选：A． 2．3月22日是“世界水日”，“世界水日”的宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校课外小组在当日进行家庭用水情况调查时发现，小明家节约用水3.6吨，记作吨，那么小乐家浪费了1.8吨水记作 ；嘉嘉家用数据吨记录用水情况，则表示 ． 【答案】 吨 浪费了4.8吨水 【分析】本题考查负数在生活中的实际意义，解题的关键是理解负数的实际意义．根据负数的实际意义填空． 【详解】解：节约了3.6吨水，记作吨， 则表示相反意义的浪费1.8吨水，记作吨． 数据吨记录用水情况表示浪费了4.8吨水． 故答案是：吨，浪费了4.8吨水． 3．今年杜大伯在自家种植的地里采摘了筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）．    (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐多多少千克？ (2)若每千克白萝卜按元出售，全部卖出一共能卖多少钱？ 【答案】(1)千克； (2)元． 【分析】（）分别求出质量最大和最小的一筐的质量，再相减即可； （）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上筐萝卜的标准质量即可求出总质量，再乘以萝卜的单价解答即可； 本题考查了正数与负数，有理数的运算在实际中的应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：最重的一筐超过千克，最轻的差千克， ∴（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐多重千克； （2）解：（千克） 则筐白萝卜总质量为（千克） ∴全部卖出一共能卖（元）； 答：这筐白萝卜可卖元． 类型三、有理数大小比较的应用 1．广东第一峰位于阳山县秤架乡，现记录冬季某天4 个时刻的气温（单位：）分别为， 其中最低的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较， 比较四个温度数值的大小，找出最小的数． 【详解】解：根据题意，得， 所以最低气温为． 故选：D． 2．某车间生产一批圆柱形机器零件，从中抽出了6件进行检验，把标准直径的长记为0，比标准直径长的记为正数，比标准直径短的记为负数，检查记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 与标准直径的差值 则第 个零件最符合标准． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，理解正负数的意义是解题的关键． 根据正负数的意义：与标准尺寸差值的绝对值越小越符合标准解答． 【详解】解：，，，，，， ， 第个零件最符合标准， 故答案为： ． 3．已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 【答案】(1)③ (2)样品①③④ 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较； （1）直接比较各个选项数据的绝对值，找出最接近标准的即可． （2）找出绝对值大于的不是正品，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，，， 而， ∴最符合要求是样品③； （2）∵规定零件误差的绝对值在之内是正品， 而，， ∴②⑤不符合题意； ∴正品是样品①③④． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$