7.2平行线的证明课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试一试。 定理： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简述为：内错角相等，两直线平行。 证明：∵∠1=∠2（已知）， ∠1=∠3（对顶角相等）， ∴∠3=∠2（等量代换）。 ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。 已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2。 求证：a∥b。 定理： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 证明：∵∠1与∠2互补（已知）， ∴∠1+∠2=180°（互补的定义）。 ∴∠1=180°-∠2（等式的性质）。 ∵∠3+∠2=180°（平角的定义）， ∴∠3=180°-∠2（等式的性质）。 ∴∠1=∠3（等量代换）。 ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。 已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补。 求证：a∥b。 已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论。 （1）我们可以用下图的方法画出平行线，你能说说其中的道理吗？ 思考•交流 对错角相等，两直线平行。 （2）在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明；与同伴交流各自的折纸方法与证明过程。 思考•交流 1.蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个 四边形的形状如图所示，其中α=109°28′， β=70°32′。试确定这个四边形对边的位置关系， 并证明你的结论。 1.这个四边形对边分别平行。 证明：∵∠A=∠α=109°28′，∠B=∠β=70°32′， ∴∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC； ∵∠A=∠α=109°28′，∠D=∠β=70°32′， ∴∠A+∠D=180°， ∴AB∥CD； ∴这个四边形对边分别平行。 定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简述为:两直线平行,同位角相等。 我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们。 已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角。 求证：∠1=∠2。 证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，如图所示。 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD。 又因为AB∥CD，这样经过点 M存在两条直线AB和 GH 都与直线 CD 平行。 这与基本事实“过直线外一点有且只有 一条直线与这条直线平行”相矛盾。 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2。 定理： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 简述为:两直线平行,内错角相等。 利用上面的定理，我们可以证明： 已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角。 求证：∠1=∠2。 证明：∵l1∥l2 (已知)， ∴∠1=∠3 (两直线平行，同位角相等)。 又∵∠2=∠3 (对顶角相等)， ∴∠1=∠2 (等量代换)。 定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简述为:两直线平行,同旁内角互补。 类似地，还可以证明： 例.已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角。 求证：b∥c。 证明：∵b∥a (已知)， ∴∠2=∠1 (两直线平行，同位角相等)。 ∵c∥a (已知)， ∴∠3=∠1 (两直线平行，同位角相等)。 ∴∠2=∠3 (等量代换)。 ∴b∥c(同位角相等，两直线平行)。 定理： 平行于同一条直线的两条直线平行。 一般地，我们有如下定理： 1.请你完成定理“两直线平行，同旁内角互补”的证明。 已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角。 求证：∠1+∠2=180°。 1.请你完成定理“两直线平行，同旁内角互补”的证明。 证明：∵a∥b (已知)， ∴∠1=∠3 (两直线平行，同位角相等)。 又∵∠2+∠3=180° (平角的定义)， ∴∠1+∠2=180° (等量代换)。 作业一：习题7.2 作业二：导学案 作业三：对下一节课进行预习 $$