4.1第2课时 三角形的内角和与外角（课件）-2025-2026学年八年级数学上册（湘教版2024）

年 级:八年级 主 讲 人:曹永康 学 科:数学(湘教版) 学 校:祁阳市茅竹镇中心学校 4.1 三角形(2)三角形的内角和与外角 教学目标 1.通过操作活动,发现三角形的内角和等于180 ; 2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数; 3.掌握三角形的外角的性质及外角和; 4.通过自主探索、合作交流,提高逻辑思维能力. 祁阳市茅竹镇中心学校 在小学,我们通过对一个三角形折叠、剪拼等操作(如下图)知道三角形的内角和是180 ,你能说出这些方法的原理吗? A B C 折叠 剪拼 折叠三角形纸板,可以把它的三个角拼成一个角. 将∠A,∠B剪下来移到顶点C处拼接成一个角. 温故知新 新知讲解 受到启发,任画一个 ABC,将边AB所在直线沿点B到点C的方向平移线段BC的长度,则边AB经过点C,并可得到直线A'B',如图 因为直线在平移下的像是与它平行的直线, 所以A′B′ //AB. 则∠A′CD=∠B, ∠ACA′=∠A. 又∠BCA+∠ACA′+∠A′CD=180 , 所以∠BCA+∠A+∠B =180 . 由此得到: 三角形的内角和等于180 . C B A A' D B' 还有其他方法得出此结论吗? 方法一 将边BC所在直线沿点B到点A的方向平移线段BA的长度,则边BC经过点C,并可得到直线B'C',如图. 因为直线在平移下的像是与它平行的直线, 所以B′C′ //BC. 则∠B′AB=∠B, ∠C′AC=∠C. 又∠B′AB+∠BAC+∠C′AC=180 , 所以∠B+∠BAC+∠C =180 . B' C' 方法二 选边BC所在直线上一点D,过点D作DE∥AC,DF∥AB,如图. 过点D作DE∥AC,DF∥AB. 所以∠C=∠EDB,∠B=∠FDC(两直线平行,同位 角相等), ∠A+∠AED=180 ,∠EDF+∠AED=180 (两直线平行, 同旁内角相补). 所以∠A=∠EDF. 因为∠EDB+∠EDF+∠FDC=180 , 所以∠C +∠A +∠B = 180 . C B A E F D 例 在 ABC中,∠A的度数是∠B的度数的3倍,∠C比∠B大15 ,求∠A,∠B,∠C的度数. 例题讲解 解 设∠B为x ,则∠A为(3x) , ∠C为(x+15) ,从而有 3x+x+ (x+15) =180. 解得 x=33. 所以 3x=99,x+15=48. 答:∠A, ∠B,∠C的度数分别为99 ,33 ,48 . 说一说 一个三角形的三个内角中,最多有几个直角?最多有几个钝角? 由于三角形的内角和等于180 ,因此,一 个三角形中最多有一个直角或一个钝角. 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形, 有一个角是直角的三角形叫直角三角形, 有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形,如图4.1-14所示. A B C (1)锐角三角形 C A B (2)直角三角形 (3)钝角三角形 C A B A B C 直角边 直角边 斜 边 直角三角形可用符号“Rt ”来表示,例如,直角三角形ABC可以记作“Rt ABC”.在直角三角形中,夹直角的两边叫作直角边,直角的对边叫作斜边. 特别地,两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 如图,我们把 ABC的一边BC延长,得到∠ACD. A B C D 像这样,三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫作三角形的外角. 对外角∠ACD来说, ∠ACB是与它相邻的内角, ∠A和∠B是与它不相邻的内角. 新知讲解 合作探究 如图,∠ACD是 ABC的一个外角,则∠ACD与内角∠A,∠B之间有什么关系? 思考 因为∠ACD+∠ACB=180 , ∠A+∠B+∠ACB=180 , 所以∠ACD=180 -∠ACB, ∠A+∠B==180 -∠ACB. 于是∠ACD=∠A+∠B(等量代换) 由此得到: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角跟与它相邻的内角之间有什么关系? 三角形的一个外角跟与它相邻的内角相加等于180 . 议一议 (1)三角形的外角具有哪些特征? (2)三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系? (1)外角与三角形的一个内角共顶点且共边,一条边是三角形 的一边,另一条边是该边的延长线. (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 巩固练习 1.如图,已知AD是 ABC的角平分线,∠ADB=98 ,∠C=70 ,求∠B的度数. 解:因为∠ADB=∠C+∠CAD, 所以∠CAD=∠ADB-∠C=98 -70 =28 . 又∠BAD=∠CAD, 所以∠BAD=28 . 因此,∠B=180 -∠ADB-∠BAD=54 . 2.如图,D 是 ABC 的 BC 边上一点,∠B = ∠BAD, ∠ADC = 80 ,∠BAC = 70 ,求: (1)∠B 的度数; (2)∠C 的度数. 解:(1)因为∠ADC 是 ABD 的外角, 所以∠ADC =∠B +∠BAD = 80 . 又因为∠B =∠BAD, 所以 (2)因为在 ABC 中,∠B +∠BAC +∠C = 180 , 所以∠C = 180 - 40 - 70 = 70 . B D C A 1. 关于三角形的内角和的结论是什么? 三角形的内角和等于180 . 2. 关于三角形的外角的结论是什么? 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 交流总结 3. 按边分,三角形可以分为哪几类? 三边不相等的三角形,等腰三角形(包含等边三角形). 4. 按角分,三角形可以分为哪几类? 锐角三角形,直角三角形,钝角三角形. 5. 直角三角形ABC表示为 . Rt ABC 交流总结 作业布置 课本第93页: 练习: A组第2题、B组第3题 $$