精品解析：广东省汕头市金平区金园实验中学2024—2025学年下学期九年级数学第一学月模拟练习　

2024－2025学年度第二学期第一学月模拟练习人教版九下数学科 说明：本次考试用时120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 2. 已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ） A. 1 ：3 B. 1：6 C. 1：9 D. 3：1 3. 如图，，相交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 4. 在函数关系式中，自变量取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A. 且 B. 且a≠10 C. 且 D. 且 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A B. C. D. 7. 一元二次方程的两个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. A，B 两地相距千米，一艘轮船从A地顺流航行至 B 地所用时间比从B 地逆流航行至A 地所用时间少分钟， 已知船在静水中航行的速度为千米/时．若设水流速度为x千米/时（）， 则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 函数与()在同一平面直角坐标系中大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若函数，可整理为方程，且有两个根和，，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有( )个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空（每小题3分，共15分） 11. 已知y＝2xm﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝_____． 12. 点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，2﹣b），则ab=_____． 13. 如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为______． 14. 为了丰富全县学生的业余生活，县文体中心图书馆计划三个季度购进新书21000册，已知第一个季度购进5000册，求文体中心图书馆后两个季度购书的平均增长率，若后面两个季度购书的平均增长率为，则根据题意可列方程为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） （2）当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 17. 如图，相交于点O，． （1）求证：； （2）已知，的面积为6，求的面积． 18. 如图，在中，，，，求的长和的余弦值． 四、解答题（二）(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相于点A，反比例函数的图象经过点A． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接，求的面积； （3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 20. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 21. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）求证： （3）若，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点：，与轴交于点．点分别是上的动点，当点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设同时运动的时间为秒． （1）求抛物线表达式； （2）设的面积为，当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ （3）当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期第一学月模拟练习人教版九下数学科 说明：本次考试用时120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和求∠B，然后根据相似三角形的性质求解. 【详解】解：根据三角形内角和定理可得：∠B=30°， 根据相似三角形的性质可得：∠B′=∠B=30°. 故选：A. 【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是本题的解题关键. 2. 已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ） A. 1 ：3 B. 1：6 C. 1：9 D. 3：1 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案． 【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：C． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 3. 如图，，相交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，能够灵活利用平行线的性质、三角形相似判定和性质是解题的关键． 4. 在函数关系式中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件及二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式组，根据要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数为非负数列出一元一次不等式组，解一元一次不等式组即可求解. 【详解】解：根据函数关系式可得出： ， 解得：， 故选：B． 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A. 且 B. 且a≠10 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，根判别式．根据题意可知若方程是一元二次方程则二次项系数，再根据有两个不相等的实数根，则列式得到a的取值范围，继而得到本题答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∴，即：， ∴且， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换．先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的图象的顶点坐标为， 所以，所得图象的解析式为， 故选：A． 7. 一元二次方程的两个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根定义、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根定义、根与系数的关系即可得． 【详解】由一元二次方程的根定义得：，即， 由一元二次方程根与系数的关系得：， 则， 故选：D． 8. A，B 两地相距千米，一艘轮船从A地顺流航行至 B 地所用时间比从B 地逆流航行至A 地所用时间少分钟， 已知船在静水中航行的速度为千米/时．若设水流速度为x千米/时（）， 则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间的关系列方程是解题的关键． 顺流的速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，根据路程、速度、时间的关系表示出船顺流所用的时间和逆流所用的时间，根据时间的关系建立分式方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 9. 函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若函数，可整理为方程，且有两个根和，，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有( )个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键．利用顶点式得到，根据抛物线的开口向上得到，则，，于是可对①进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，利用时，可对②进行判断；把，代入中可对③进行判断；根据抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，则可对④进行判断；由于方程有个根，方程有个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线的开口向上， ， ，， ，所以①错误； 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，， 时，， ，所以②错误； ， ，所以③正确； 方程有两个根和， 抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和， ，所以④正确； 方程有四个根， 方程有个根，方程有个根， 所有根之和为，所以⑤正确． 综上所述，正确的有：③④⑤． 故选：B． 二、填空（每小题3分，共15分） 11. 已知y＝2xm﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝_____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义可得m﹣1＝﹣1即可求解m. 【详解】∵y＝2xm﹣1是y关于x的反比例函数， ∴m﹣1＝﹣1． 解得m＝0， 故答案为0． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的解析式满足自变量的次数为-1，根据此知识点即可解题. 12. 点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，2﹣b），则ab=_____． 【答案】 ． 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵点（2+a，3）关于y轴对称点的坐标是（-4，2-b）， ∴2+a=4，2-b=3， 解得a=2，b=-1， 所以，ab=2-1= ， 故答案为 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 13. 如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查网格中的三角形函数，找到角所在的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：由图可知：，，， 则， ∴， 故答案为：． 14. 为了丰富全县学生的业余生活，县文体中心图书馆计划三个季度购进新书21000册，已知第一个季度购进5000册，求文体中心图书馆后两个季度购书的平均增长率，若后面两个季度购书的平均增长率为，则根据题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设后面两个季度购书的平均增长率为，根据第一季度进书5000册，三个季度购进新书21000册，可列出方程． 【详解】解：设后面两个季度购书的平均增长率为， 根据题意得：， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义、轴对称中最小距离问题、勾股定理、正方形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 由正方形的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得，，根据三角形的面积列方程得到，，作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长是3， ∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3， ∴，， ，， ∵的面积为4， ，解得：或（舍去）， ∴，， 作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值， ∴， ∴，， ，即的最小值为． 故答案为． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） （2）当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 【答案】（1） （2）立方米 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可． （1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可； （2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可． 【小问1详解】 解：设， 由函数图象可得，点反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）得，反比例函数的表达式为：， 当时， ∴， 答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米． 17. 如图，相交于点O，． （1）求证：； （2）已知，面积为6，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，又， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 18. 如图，在中，，，，求的长和的余弦值． 【答案】6，． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，在中，先利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义求出的余弦值，即可解答． 【详解】解：在中， ， ， ， ，的余弦值为． 四、解答题（二）(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相于点A，反比例函数的图象经过点A． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接，求的面积； （3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为． （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识点，掌握方程思想和数形结合是解题的关键． （1）联立求得A的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）求得B、C的坐标，利用求得即可； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：联立，解得， ∴A点坐标为． 将代入，得． ∴． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 如图， 联立，解得：或． ∴． 在中，令，得． 故直线与x轴的交点为． 如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，交x轴于M、N两点， 则． 【小问3详解】 由图象可得： 关于x的不等式的解集为或． 20. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．（1）根据题意列出函数解析式即可；（2）利润为元，求的值；（3）求出利润函数解析式，根据二次函数性质求出最值． 小问1详解】 解：根据题意，得， 与之间的函数关系式：； 【小问2详解】 根据题意，得， 解得， 尽可能让利于顾客， ， 答：每个毛绒玩具售价应定为元； 【小问3详解】 ， 获利不得高于进价的，， ， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大，此时． 答：每个售价定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元． 21. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解； ②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）求证： （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】(1)由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是切线， (2)连接AC，由垂径定理得出得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论； (3)连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由(2) 的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可. 【详解】（1）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即°， ∴， ∴是的切线； （2）连接，如图2所示： 图2 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，如图3所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)(3)中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点：，与轴交于点．点分别是上的动点，当点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设同时运动的时间为秒． （1）求抛物线的表达式； （2）设的面积为，当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ （3）当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1） （2）当的面积最大，最大面积是 （3）当或时，是以为腰的等腰三角形 【解析】 【分析】（1） 将点、代入解析式可得 ． （2） 用表示，，用相似求的长， 把的面积用表示， 根据二次函数的性质， 可求最大面积 ． （3） 若是等腰三角形， 所以分或，两种情况分别讨论， 由相似三角形可得关系式， 可求的值 ． 【小问1详解】 根据题意得：， 解得：， 解析式； 【小问2详解】 如图 过点作于点， 由题意可知：，， ， 由题意得， 点的坐标为， ， 在中，， ， ∴， 即， ， ， 当，的面积最大， 最大面积是； 【小问3详解】 当，如图 2， ，， ， ， ∴， 即， ， 当即， ， 当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质， 待定系数法确定函数解析式， 相似三角形的判定与性质， 以及坐标与图形性质， 分类讨论思想， 熟练掌握各自的性质是解本题的关键 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$