第二十二章 二次函数 章末综合闯关试题 2025-2026学年人教版九年级上册

第二十二章 二次函数 章末综合闯关试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册 一、单选题 1．下列函数中，y总随x的增大而减小的是（　　） A．y＝﹣4x B．y＝x﹣4 C．y＝ D．y＝x2 2．对于二次函数 ，下列说法错误的是（　　）． A．该二次函数图象的对称轴可以是 轴 B．该二次函数图象的对称轴不可能是 C．当 时， 的值随 的值增大而增大 D．该二次函数图象的对称轴只能在 轴的右侧 3．将抛物线 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数y＝﹣（x﹣3）2，那么这个二次函数的图象有（　　）． A．最高点（3，0） B．最高点（﹣3，0） C．最低点（3，0） D．最低点（﹣3，0） 5．若点 在抛物线 上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线 与抛物线 交于A、B两点，则 的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．二次函数 的部分对应值如下表： x -2 -1 0 1 2 4 y 5 0 -3 -4 -3 5 则关于x的一元二次方程 的解为（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 8．若二次函数 的最小值为-2，则方程 的不相同实数根的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+ ，若小球经过 秒落地，则小球在上抛过程中，第（　　）秒离地面最高. A． B． C． D． 10．已知二次函数 图象的对称轴为 ，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．正确的是（　　） A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤ 二、填空题 11．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　 　． 12．若二次函数 的图象开口向下，则 　 　0（填“＝”或“>”或“<”）． 13．已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为　 　. 14．抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是　 　. 15．将抛物线y＝ (x－1)2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　 　 16．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是　 　 17．一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　 　(s)。 18．如图，抛物线 过点 ， ，且顶点在第一象限，设 ，则M的取值范围是　 　． 三、解答题 19．已知y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，求m的值． 20．在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下 x …… ﹣1 0 1 2 3 …… y甲 …… 6 3 2 3 6 …… 乙写错了常数项，列表如下： x …… ﹣1 0 1 2 3 …… y乙 …… ﹣2 ﹣1 2 7 14 …… 通过上述信息，解决以下问题： （1）求原二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式； （2）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当x　 　时，y的值随x的值增大而增大； 21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n. （1）当m＝2时， ①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标； ②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，求x2的取值范围； （2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围. 22．已知：二次函数 (a为常数). （1）请写出该二次函数图象的三条性质； （2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点，求 的取值范围. 23．某网点销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网点决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售利润为y元. （1）求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）销售单价是多少元时，网店每天可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）销售单价是多少元时，网店每天的利润是8000元？根据以上结论，请直接写出销售单价在什么范围时，网店每天的利润不低于8000元. 24．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米． （1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； （2）求出水柱的最大高度的多少？ 25．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 26．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C． （1）当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）若OA•OB＝6，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上找一点P，使S△PAC的面积为15，求P点的坐标． 答案解析部分 1．A 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．C 8．B 9．A 10．D 11．6 12．< 13． 14． 且k≠1 15．y＝x2 16． 或5 17．8 18． 19．解：∵y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数， ∴m2+2m﹣1=2， 解得m=1或﹣3， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴m=﹣3 20．（1）解：由甲同学的错误可知c＝3， 由乙同学提供的数据选x＝﹣1，y＝﹣2；x＝1，y＝2， 有 ， ∴ ， ∴y＝﹣3x2+2x+3 （2）≤ 21．（1）解：①∵m＝2， ∴抛物线为y＝x2﹣2x+n. ∵x 1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1， ∴顶点的纵坐标为：n﹣1. ②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上， x＝﹣2到x＝1的距离为3， ∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4， （2）解：∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q. ∴点Q的坐标为（3，2）， ∵n＝3， 抛物线为y＝x2﹣mx+3. 当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得 ； 当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2； 当抛物线的顶点在线段PQ上时， 2，解得m＝±2. 结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或 . 故答案为：m≤﹣2或m＝2或 . 22．（1）解：①图象开口向上；②图象的对称轴为直线 ；③当 时， 随 的增大而增大；④当 时， 随 的增大而减小；⑤当 时，函数有最小值 （2）解：∵二次函数的图象与一次函数 的图象有两个交点， ∴ ，即 ， ，解得 ， ∵二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点， ∴二次函数 的图象与 轴 的部分有两个交点， 画出二次函数 的图象，结合图象， 可知当 时， ， ∴当 时， ，得 ， ∴当二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点时， 的取值范围为 23．（1）解： ； （2）解：∵ ∴当 时， 有最大值9000 即销售单价是60元时，网店每天可获得最大利润9000元 （3）解：根据题意得， ， 解得： ， ， ∵ ，∴ ， 答：当销售单价是50元时，网店每天获利8000元；销售单价范围在50-61元时，网店每天的利润不低于8000元. 24．（1）解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：解得： 所以，抛物线的解析式为：y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)， 化为一般形式为：y=-﹣ x2+ x+2（0≤x≤3） （2）解：由（1）知抛物线的解析式为y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)， 当x=1时，y= ， 所以，抛物线水柱的最大高度为 m. 25．（1）解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0） 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0） 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0） 即：y＝a（x﹣1）（x+3） 把B（0，3）代入得：3＝﹣3a ∴a＝﹣1 ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3 （2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴ ， ∴直线AB为y＝x+3， 作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M， 设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3）， ∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x， ∴ ， 当 时， ， ， ∴△PAB的面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（ ， ）. 26．（1）解：∵m≠﹣4， ∴△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×3（m+1）＝（m+4）2＞0， ∴当m≠﹣4时，二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）的图象与x轴必有两个交点； （2）解：令y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0， 解得x1＝m+1，x2＝﹣3， ∵二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C， ∴A（﹣3，0），B（m+1，0），m+1＞0， ∵OA•OB＝6， ∴3（m+1）＝6， 解得m＝1， ∴二次函数y＝﹣x2﹣x+6， 当x＝0时，y＝6， ∴点C的坐标为（0，6）； （3）解：设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6）， 如图一所示， 当P在y轴左边时， ，并且有： 则有： 即： ， 解得a＝﹣5，a＝2（不合题意，舍去）， ∴P点的坐标为（﹣5，﹣14）； 如图二所示， 当P在y轴右边， ，并且有： 则有： 即： ， 解得a＝﹣5（不合题意，舍去），a＝2， ∴P点的坐标为（2，0）； 故P点的坐标为（﹣5，﹣14）或（2，0）． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$