第二十二章 二次函数 章末测试-2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版九年级上册数学 第二十二章 二次函数 章末测试 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．将拋物线 向上平移 3 个单位后得到的拋物线的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A．-8 B．-6 C．-3 D．0 4．为使抛物线C1：y=3（x-1）2+2与抛物线C2：y=3（x+1）2-2重合，下列平移能实现的是（　　） A．把C1先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把C1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把C1先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把C1先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 5．已知点 两点均在函数 的图象上。若 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．二次函数为常数，部分，的对应值如下表： 则下列判断中正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．最小值为 7．二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共8小题，共24分） 9．若是关于的二次函数，则的值是　 　． 10．已知抛物线经过点和，则　 　（填“”“”或“”）． 11．二次函数，当时，则函数值的取值范围为　 　． 12．在平面直角坐标系中，关于x的函数y＝-x+3a+2和y＝x2-ax的图象相交于点P、Q． （1）若点P的横坐标为1，则a＝　 　． （2）若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是 　 　． 13．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是　 　m． 14．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为　 　. 15．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号是　 　（填写正确的序号）． 16．如图，小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．则小球滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式为　 　（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 三、解答题（共5小题，共44分） 17．已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 18．已知二次函数 ，且经过点 ． （1）求二次函数的表达式． （2）将该二次函数图象向下平移 5 个单位，求平移后图象与 轴的交点坐标． 19．已知二次函数（为常数）， （1）若，求该二次函数图象的对称轴； （2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值； （3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 20．水果店王阿姨在水果批发市场以20元的价格购进一种水果，若这种水果的销售量与销售单价元满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式．并在不亏钱的情况下直接写出自变量的取值范围； （2）请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 21．小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根的喷水管，如图，以水管与地面的交点为原点，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为处达到最高点，高度为，水柱落地处离水池中心的距离为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）求水管的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版九年级上册数学 第二十二章 二次函数 章末测试 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．将拋物线 向上平移 3 个单位后得到的拋物线的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A．-8 B．-6 C．-3 D．0 4．为使抛物线C1：y=3（x-1）2+2与抛物线C2：y=3（x+1）2-2重合，下列平移能实现的是（　　） A．把C1先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把C1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把C1先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把C1先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 5．已知点 两点均在函数 的图象上。若 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．二次函数为常数，部分，的对应值如下表： 则下列判断中正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．最小值为 7．二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共8小题，共24分） 9．若是关于的二次函数，则的值是　 　． 10．已知抛物线经过点和，则　 　（填“”“”或“”）． 11．二次函数，当时，则函数值的取值范围为　 　． 12．在平面直角坐标系中，关于x的函数y＝-x+3a+2和y＝x2-ax的图象相交于点P、Q． （1）若点P的横坐标为1，则a＝　 　． （2）若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是 　 　． 13．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是　 　m． 14．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为　 　. 15．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号是　 　（填写正确的序号）． 16．如图，小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．则小球滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式为　 　（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 三、解答题（共5小题，共44分） 17．已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 18．已知二次函数 ，且经过点 ． （1）求二次函数的表达式． （2）将该二次函数图象向下平移 5 个单位，求平移后图象与 轴的交点坐标． 19．已知二次函数（为常数）， （1）若，求该二次函数图象的对称轴； （2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值； （3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 20．水果店王阿姨在水果批发市场以20元的价格购进一种水果，若这种水果的销售量与销售单价元满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式．并在不亏钱的情况下直接写出自变量的取值范围； （2）请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 21．小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根的喷水管，如图，以水管与地面的交点为原点，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为处达到最高点，高度为，水柱落地处离水池中心的距离为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）求水管的长度． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向上平移3个单位后得到的抛物线的函数表达式是y=x2+3. 故答案为：B. 【分析】根据二次函数图象的平移变换规律，上加下减，左加右减，即可得出平移后的函数表达式. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故答案为：D． 【分析】根据二次函数二次项系数大于0，可得出抛物线开口向上，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，再根据对称轴为x=1，即可得出。 3．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点 和 ∴函数为 ∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为 ∴函数的最大值与最小值之和是： 故答案为：B. 【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(1，2) 抛物线 的顶点坐标为 ∵点(1，2)先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点( ∴把抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线 故答案为：A. 【分析】根据平移规律“上加下减，左加右减”解题即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵函数y=(x-1)2-2025， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1， ∵b<C； ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ∴a+2-1>1-a， 解得：a >0， 故答案选：C. 【分析】根据二次函数性质即可求出结果. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：由表格可知， 该函数图象的对称轴为直线， 函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 当x>2时，y随x的增大而增大，故选项B正确，符合题意； 当y>1时，x>3或x<0，故选项C错误，不符合题意； 当时，取得最小值，这个最小值小于-1，故选项D错误，不符合题意； 故答案为：B. 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：A、函数值3不是最小值，故本选项错误； B、时有最小值3，故本选项正确； C、时有最大值3，故本选项错误； D、函数有最大值3，故本选项错误． 故答案为：B． 【分析】根据二次函数最值和开口方向逐项判断解题． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故答案为：B． 【分析】根据二次函数，一次函数图象，性质与系数关系逐项进行判断即可求出答案. 9．【答案】 【解析】【解答】解：是关于的二次函数， ，，即， ， 故答案为：． 【分析】本题考查二次函数定义.根据二次函数定义可列出方程组：，，解方程组可求出m的值. 10．【答案】 【解析】【解答】解：当x=1时，y1=-12+3=2， 当x=2时，y2=-(-2)2+3=-1， ∴y1>y2. 故答案为：>. 【分析】分别把x=1和x=2代入y=-3x2，求出y1，y2，即可求解. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴ 二次函数 的图象开口向下， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴当时，有最小值为， ∴当时，， 故答案为：． 【分析】先将二次函数解析式转化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的增减性求解． 12．【答案】（1）0 （2）a＞0或＜a＜0 【解析】【解答】解：（1）令 -x+3a+2=x2-ax， ∵点P的横坐标为1， ∴当x=1时，-1+3a+2=1-a， 解得：a=0， 故答案为：0； （2）∵二次函数 y＝x2-ax ，1＞0， ∴二次函数图象开口向上，令x2-ax=0则，x=0或x=a， ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（0，a）， ①当a＞0时，P、Q两点都在x轴的上方， ∴当x=a时，y=-x+3a+2=-a+3a+2=2a+2＞0， 解得：a＞-1， ∴a＞0； ②当a＜0时，P、Q两点都在x轴的上方， ∴当x=0时，y=-x+3a+2=3a+2＞0， 解得：， ∴， 综上所述：实数a的取值范围是a＞0或＜a＜0 ， 故答案为： a＞0或＜a＜0 . 【分析】（1）根据题意先求出-1+3a+2=1-a，再计算求解即可； （2）先求出二次函数图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（0，a），再分类讨论求实数a的取值范围即可。 13．【答案】 【解析】【解答】解：由题意得，， t=2时，函数值最大，此时h=20， ∴小球运动中的最大高度是m， 故答案为． 【分析】根据二次函数的性质，求出最值，即可得到答案． 14．【答案】6 【解析】【解答】解：当y=0时，-x2+x+2=0 解之：x1=-1，x2=2， ∴当0＜x＜2时y＞0 设点P（x，-x2+x+2）， ∴矩形OAPB的周长为2（x-x2+x+2）=-2（x-1）2+6， ∵-2＜0，抛物线的开口向下， ∴当x=1时矩形OAPB的周长最大值为6. 故答案为：6. 【分析】由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到y＞0时x的取值范围；设点P（x，-x2+x+2），可得到矩形OAPB的周长与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质和x的取值范围可得到矩形OAPB的周长的最大值. 15．【答案】②③⑤ 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1， ∴b=2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2-4ac＞0，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）， ∴9a-3b+c=0，所以③正确； ∵点（-0.5，y1）到直线x=-1的距离比点（-2，y2）到直线x=-1的距离小， 而抛物线开口向上， ∴y1＜y2；所以④错误； ∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确， 故答案为：②③⑤． 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：由已知得， ， ， 即， 故答案为：． 【分析】根据，代入数据求出 的值，然后再根据“距离平均速度时间”，代入数据即可求解。 17．【答案】（1）解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； （2）二次函数解析式为， 则顶点坐标为 ​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式的一般式转化成化为顶点式，即可得出顶点坐标． （1）解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； （2）二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 18．【答案】（1）解：∵二次函数 经过点(2，0)， 解得 ∴二次函数的表达式为 （2）解：∵二次函数的表达式为 ∴将该二次函数图象向下平移5个单位，得到的函数解析式为 当 时， 解得 ∴平移后图象与x轴的交点坐标为(1，0)，( . 【解析】【分析】(1)将点(2，0)代入二次函数 中， 即可求得a的值，从而可以得到该函数的解析式； (2)根据(1)中的函数解析式，即可得到平移后的函数解析式，然后令 即可求得平移后图象与x轴的交点坐标。(2) 19．【答案】（1）解：∵， ∴（为常数）， ∴， ∴二次函数的对称轴是．​​ （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴是． 当时，函数有最小值．即， 解得：（舍去）或； 当时，函数有最小值．即， 解得：（舍去）或 综上，或． （3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大， 当时，恒成立，即时，m的最大值为． ∴，得（舍去）或3． ∴，得或． ∴m的最大值为． 【解析】【分析】（1）先得到解析式，然后根据对称轴公式解题； （2）先配方得到顶点式，求出对称轴为．再分为和两种情况，根据二次函数的最值列方程解题； （3）令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．然后借助图象解答即可． （1）解：∵， ∴（为常数）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴是． 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或； 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或 综上，或． （3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大， 当时，恒成立，即时，m的最大值为． ∴，得（舍去）或3． ∴，得或． ∴m的最大值为． 20．【答案】（1）解：设一次函数关系式为， 由图得：， 解得：， 一次函数的关系式为； （2）解：设这种水果的利润为元， 依题意：， 化简、配方得：； ∵， ∴当时，w取得最大值，即最大值为1100； 答：这种水果定价30元时，可获最大利润1100元． 【解析】【分析】（1）结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设这种水果的利润为元，利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可. （1）解：设一次函数关系式为， 由图得：， 解得：， 一次函数的关系式为； （2）解：设这种水果的利润为元 依题意：， 化简、配方得：； ∵， ∴当时，w取得最大值，即最大值为1100； 答：这种水果定价30元时，可获最大利润1100元． 21．【答案】（1）解：设抛物线对应的函数解析式为，把代入得：， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴水管的长度为． 【解析】【分析】（1）根据题意，可得出抛物线的顶点坐标为（1，3），再根据在抛物线上，即可根据顶点式没用待定稀释法求得 抛物线对应的函数解析式； （2）求出当时的y的值，即为水管的长． （1）解：设抛物线对应的函数解析式为， 把代入得：， 解得， ∴； （2）当时，， ∴水管的长度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$