精品解析：2025年山东省潍坊市中考真题数学试题

试卷类型：A 2025年潍坊市初中学业水平考试 数学试题 2025.6 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题卡上的项目填涂清楚； 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第I卷（选择题共44分） 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：实数的相反数是， 故选：． 2. 某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据给出的三视图可知，该物体为长方体和圆柱体的组合体，长方体在上，圆柱体在下，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，该物体可能是 故选B． 3. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时， ；当方程有两个相等的实数根时， ；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 4. 计算的结果是（　　） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 5. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设 的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设 ，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设 的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得， 和是等边三角形，设 的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长 与 ，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 6. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选： ． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） 7. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 三角形的中位线平行于第三边 D. 等腰三角形的两个底角相等 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查判断逆命题的真假，分别写出各命题的逆命题，根据等式的性质，不等式的性质，三角形的中位线定义，等腰三角形的判定，判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为若，则，为真命题，符合题意． B、逆命题为若，则，为假命题，例如，，，但是，不符合题意； C、逆命题为“平行于三角形第三边的线段是中位线”，为假命题，不符合题意； D、逆命题为“若三角形有两个角相等，则为等腰三角形”．由等角对等边可知成立，为真命题，符合题意； 故选：AD． 8. 如图，一次函数经过点，与 轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为 的中点 C. 方程的解是 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴为 的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； 故选：． 9. 如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作 ，垂足为点．设的长度为的面积为 ，则下列结论正确的是（ ） A. 边 的长为6 B. 在 上时， C. 在上时， D. 随 的增大而增大 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，动点的函数表达式，作 ，易得四边形为矩形，得到，进而得到，在中，求出 的长，分点在 和点在上两种情况，进行讨论，求出函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：作 于点， ∵， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，故A正确； 当点在 上时， ∵ ，， ， ∴ ，， ∴；故B错误； 当点在上时，如图， 则：， ∴；故C正确； 当时， 随着 的增大而减小，故D错误； 故选AC． 10. 已知二次函数，自变量 与函数值 的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数图象的开口向上 B. 关于 的方程的两个根是和4 C. 点在一次函数的图象上 D. 代数式的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据，待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象和性质，二次函数的增减性，对称性，逐一进行判断即可． 【详解】解：把代入，得： ，解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与 的函数值相同，均为 ， ∴关于 的方程的两个根是和4，故B选项正确； ∵， ∴为， ∴在直线上，故C选项正确； ∵， ∴当时，代数式的最大值为；故D选项正确； 故选BCD． 第II卷（非选择题 共106分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 如图，圆锥的底面圆心为 ，顶点为，母线 长为，母线 与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 13. 如图，在中，点在边 上，将沿 折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在 上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得， ，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点是函数图象上任意一点，过向 轴作垂线交 轴于点，向 轴作垂线交 轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 四、解答题（共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）先化简，再求值：，其中 ， 满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由 得， 将 代入，得， 解得 ， 将 代入 ，得， ∴该方程组的解为． 16. 如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． （1）画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （2）将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【答案】（1） 如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； （2） 如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （）根据平移的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】（1）型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 （2）方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为 万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人 台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设型机器人单价为 万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． 【小问2详解】 设配备型机器人 台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴ 的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 18. 如图，在中，点 分别是边 的中点，与 相交于点，连接， ．证明： （1）； （2） ． 【答案】（1） 证明：∵点 分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∴； （2） 证明：连接 ， ， ∵点 分别是边 的中点， ∴ ， ， ∴四边形 为平行四边形， ∴， ， ∵ ，为中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点 分别是边的中点，则有，，所以 ， ，从而可得 ，然后根据性质即可求证； （）连接 ， ，证明四边形 为平行四边形，所以， ，又 ，为中点，故有 ，所以 ， ，然后通过“ ”证明 即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用 表示株高，） 组别 类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高 满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 【答案】 （1）不赞同， 理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．若组数为5，则组距为4，是合适的．若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律． （2）补全直方图如图： ； （3）试验田中长势良好的玉米株数为，占比； 对照田中长势良好的玉米株数占比为； 所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田； （4）从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．综合以上信息，试验田长势好于对照田． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，统计图，利用方差作决策： （1）根据分组方法，求出最大值与最小值的差，进而求出组数为5和组数为10的组距，进行判断即可； （2）根据分布表补全直方图，利用360度乘以D组所占的百分比，求出圆心角的度数即可； （3）求出试验田和对照田中长势良好的玉米株数所占的比例，进行分析即可； （4）利用相关数据进行说明即可。 【详解】解：（1）略 （2）D组对应的圆心角为 （3）略 （4）略 20. 图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的 ，其上的某个座舱可视作 上的点，座舱距离地面的最低高度 为 米，地面 上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． （1）当视线 与 相切时，求点处的座舱到地面的距离； （2）已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，， ） 【答案】（1）米； （2）10分钟；米． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接 ，，作，垂足为，根据勾股定理得（米），又，所以，因为 与 相切，所以，可得，所以，（米），从而可得，所以（米）； （）过点作，交 于点．延长 ，交于点 ，连接，不妨设米，又因为，所以，则（米），然后通过，可得，则，故有最佳观赏风景的时间为（分钟），最后通过弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：连接 ，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在 中，米，， 所以（米）， 因为， 所以， 因为 与 相切， 所以， 所以， 因为米， 所以， 所以，（米）， 所以， 在 中，（米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； 【小问2详解】 解：过点作，交 于点．延长 ，交于点 ，连接，不妨设米， 因为， 所以， 所以（米）， 因为米， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以最佳观赏风景的时间为（分钟）， 所以的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点 与点之间的一点，过点作 轴的垂线，交 于点，交 轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与 轴的一个交点为，且，求 的取值范围． 【答案】（1） ，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1） 利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得 ，，又二次函数与 轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解： ∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得 ，， ∵二次函数与 轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ， ∴ 的取值范围是． 22. 黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的． 【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段 上的点满足，则点称作线段 的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与 互为倒数． 材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段 的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线 上截取，连接 ； 在 上截取； 在 上截取，即为所求． 方法：如图， 以 为边作正方形； 取 中点，连接 ； 以点为圆心，为半径作圆弧，与 的延长线交于点 ； 以 为边在 一侧作正方形，交 于点，可得．点即为所求． 【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作 的两条互相垂直的半径 和，取的中点，连接； 作的平分线，交 于点 ； 过点 作 的垂线，交 于点，，连接 ， ； 截取 ，，连接 ，，，五边形即为所求． （3）若，根据以上作法，证明：． 【答案】（） 设，则， 在 中，根据勾股定理得， 所以， 所以， 所以； （）延长交于点， 在中，根据勾股定理，得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以； （）证明：因为半径，所以，， 过点 作于点， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 所以， 在中，， 设，则， 解得， 所以， 连接，在中，， 所以， 在Rt中，， 所以， 根据垂径定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（）设，则，勾股定理得，然后通过线段和差求出，则，所以； （）延长交于点，根据勾股定理得，所以，则有，所以，所以，则，从而可得； （）过点 作于点，证明，通过性质可得，设，则，解得，所以，连接，在中，，所以，Rt中，，所以，根据垂径定理，得，所以，又，所以，从而得证． 【详解】（）略 （）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形的性质，圆内接正五边形，黄金分割点等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2025年潍坊市初中学业水平考试 数学试题 2025.6 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题卡上的项目填涂清楚； 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第I卷（选择题共44分） 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（　　） A. 1 B. C. 0 D. 5. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） 7. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 三角形的中位线平行于第三边 D. 等腰三角形的两个底角相等 8. 如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为的中点 C. 方程的解是 D. 当时， 9. 如图，在四边形 中，，点在边上运动（不含），过点作 ，垂足为点 ．设 的长度为的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 边 的长为6 B. 在 上时， C. 在上时， D. 随的增大而增大 10. 已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数图象的开口向上 B. 关于的方程的两个根是和4 C. 点在一次函数的图象上 D. 代数式的最大值为 第II卷（非选择题 共106分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果） 11. 计算：___________． 12. 如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线 长为，母线 与高的夹角为 ，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 13. 如图，在中，点 在边 上，将沿 折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在 上．若，则______．（用含 的式子表示） 14. 如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（， 为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 四、解答题（共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 16. 如图，已知菱形 的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． （1）画出平面直角坐标系，并写出对称中心 的坐标和点的对应点的坐标； （2）将菱形 平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 17. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 18. 如图，在 中，点 分别是边 的中点， 与 相交于点，连接 ， ．证明： （1）； （2） ． 19. 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用 表示株高，） 组别 类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高 满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 20. 图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的 ，其上的某个座舱可视作 上的点，座舱距离地面的最低高度 为米，地面 上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． （1）当视线 与 相切时，求点处的座舱到地面的距离； （2）已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，， ） 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交 于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 22. 黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的． 【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与 互为倒数． 材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线 上截取，连接 ； 在 上截取； 在上截取，即为所求． 方法：如图， 以为边作正方形； 取 中点，连接 ； 以点为圆心，为半径作圆弧，与 的延长线交于点 ； 以 为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求． 【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作 的两条互相垂直的半径 和，取的中点 ，连接； 作的平分线，交 于点； 过点作 的垂线，交 于点， ，连接， ； 截取 ，，连接 ，，，五边形即为所求． （3）若，根据以上作法，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $