精品解析：四川省达州市渠县文崇中学2024-2025学年九年级下学期6月月考数学试题

四川省达州市渠县文崇中学2024-2025学年九年级下学期6月月考数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的正六棱柱，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种类依次为4，5，3，5，5，3，6，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，4 B. 5，4 C. 4，5 D. 5，5 4. 冰壶，这项被誉为冰上 “国际象棋” 的运动，在冰面展开智慧与技巧的较量．瞧，这是奥运会冰壶比赛的某场赛事中红、黄两队某局投壶结束后的场景，冰壶散落分布．此刻，我们以冰壶大本营的中心点作为原点，构建起平面直角坐标系．比赛规则很明确，哪队的冰壶距离原点更近，哪队就是本局赢家．则胜方最靠近原点的壶所在位置位于(     ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，对角线．且，，点，分别是边，的中点，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 一辆行驶速度恒定的无人驾驶快递车从公司出发，到达A驿站卸完包裹后，立即前往B驿站，再卸完包裹后快递车按原路返回公司．已知公司和A、B两驿站在一条直线上，每个驿站卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s与时间t的函数关系如图所示，则快递车在每个驿站卸包裹的时间为（ ） A. 4分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 5分钟 8. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 因式分解：______． 12. 不透明袋子中装有12个球，其中有8个红球、4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 _______． 13. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 14. 如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是______． 15. 菱形中，，E，F分别是AB,AD上的动点，且，连接，交于G，则下列结论：①；②为等边三角形；③的最小值为2．其中正确的结论是_________________．  三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）求不等式组的所有整数解． 17. 如图，点E在正方形的边上，点F在边的延长线上，且．求证：． 18. 为全面落实“双减”政策，娄底某中学创新开展“五彩”课后服务活动（每位学生限选一组）：梅山武术社 （ 特邀梅山拳传承人现场教学）涟钢科技社 （开展“钢铁是怎样炼成的”主题探究）紫鹊界农学社（在校内开辟百草园实践基地）湘中文学社（研读曾国藩等本土名家作品） 人工智能AI，该校表示：“我们充分利用娄底特有的文化、工业和自然资源，让课后服务既有趣味性又有教育意义，真正实现减负增效．”为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有5000名学生，估计该校参加组（湘中文学社）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 19. 如图，在中，，的平分线交于点，，． （1）求的长． （2）求的值． 20. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同． （1）求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 21. 如图1是开封铁塔公园内的开宝寺塔，被誉为天下第一塔．贺贺同学想利用自己学习的知识测量一下铁塔的高度，如图2，贺贺在地面处测得塔顶的仰角为，在高为的摄像机的点处测得塔顶的仰角为，，，，三点共线，求开宝寺塔的高度（结果保留整数，参考数据：，，，）． 22. 如图，已知的边是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交于点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）过点作于点，求证：． （2）若，，求的半径． 23. 模具长计划生产面积为9，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为9，得．即；由周长为m，得，即，满足要求的．应是两个函数图像在第________象限内交点的坐标． （2）画出函数图像 函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线 平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图像 ①当直线平移到与函数的图像有唯一交点（3，3），周长的值为________ ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围； （4）得出结论 若能生产出面积为9的矩形模具，则周长的取值范围为________ 24. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 25. 在平行四边形中，，，点E为平面内一点，且． （1）若， ①如图1，当点E在上时，连接，作交于点F，连接、，求证：为等边三角形； ②如图2，连接，作，作于点F，连接，当点F在线段上时，求的长度； （2）如图3，连接，若，P为边上一点（不与A、B重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点G，连接，点E在运动的过程中，的最大值与最小值的差为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县文崇中学2024-2025学年九年级下学期6月月考数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的正六棱柱，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据从正面得到的视图是主视图，从正面来观察就可以得到正六棱柱的主视图． 【详解】解：从正面来观察，主视图是由三个矩形组成的，即 故选：A． 2. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据积和乘方将原式化简即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种类依次为4，5，3，5，5，3，6，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 3，4 B. 5，4 C. 4，5 D. 5，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数、中位数的概念，中位数：先将一列数排序，取中间的数．若这列数的个数是偶数，则取中间两个数和的一半，若这列数的个数是奇数，则中间的数就是中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．根据众数、中位数的概念解答即可． 【详解】解：这7个数据中出现次数最多的数据是5， 这组数据的众数是5． 数据排序为：3，3，4，5， 5，5， 6， ∴这组数据位于中间的数据为5， 这组数据的中位数为5． 故选：D． 4. 冰壶，这项被誉为冰上 “国际象棋” 的运动，在冰面展开智慧与技巧的较量．瞧，这是奥运会冰壶比赛的某场赛事中红、黄两队某局投壶结束后的场景，冰壶散落分布．此刻，我们以冰壶大本营的中心点作为原点，构建起平面直角坐标系．比赛规则很明确，哪队的冰壶距离原点更近，哪队就是本局赢家．则胜方最靠近原点的壶所在位置位于(     ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点所在象限的确定，找到胜方壶所在的位置成为解答本题的关键．先找到最靠近原点的壶所在方位，然后指出其所在的象限即可． 【详解】解：根据题意可得，最靠近原点的壶在原点的右上方， 胜方最靠近原点的壶所在位置位于第一象限． 故选：A． 5. 如图，，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，根据，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得： ∴， 故选：C． 6. 如图，在四边形中，对角线．且，，点，分别是边，的中点，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，勾股定理；取的中点，连接，．根据中位线的性质可得,，，得到，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． ，分别是边，的中点， ，分别是，的中位线， ，且， ，且． 又， ， ． 故选：C． 7. 一辆行驶速度恒定的无人驾驶快递车从公司出发，到达A驿站卸完包裹后，立即前往B驿站，再卸完包裹后快递车按原路返回公司．已知公司和A、B两驿站在一条直线上，每个驿站卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s与时间t的函数关系如图所示，则快递车在每个驿站卸包裹的时间为（ ） A. 4分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 5分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，求出快递车行驶的总时间是解题的关键．由图象可知，快递车行驶米所需时间为分钟，据此可得快递车行驶的总时间为（分钟），进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶米所需时间为分钟， ∴快递车行驶米所需时间为分钟， 所以快递车行驶的总时间为（分钟）， 所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（分钟）， 故选：D． 8. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由是的直径，则，又四边形是的内接四边形，故有，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到． 10. 已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小值的求法．根据对称轴公式求出和的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，进而得出，，结合条件，列出方程求解逐一判断即可． 【详解】解：由两函数表达式可知， 函数的对称轴 为， 函数的对称轴为，且两函数图象均开口向上， 即，否则不存在最小值，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有，， A、若，则有，即， 解得：或（舍去）， 当时，则， ，故符合题意； B、若，则有，即， 解得：或， 当时，则， ， 当时，则， ，但不一定为0，故不符合题意； C、若，则有， 当时，才有，才有，故不符合题意； D、若，则有， 当且仅当时，才有， 此时，则，与题干矛盾，故不符合题意； 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 因式分解：______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了公式法分解因式，直接利用完全平方公式进行分解即可，关键是掌握完全平方公式：． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 不透明袋子中装有12个球，其中有8个红球、4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有12个小球，其中红球有8个， ∴摸出一个球是红球的概率是， 故答案为：． 13. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 14. 如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式等知识，过点作于，设，构建一元二次方程，利用判别式求出的最大值，可得结论．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：过点作于，如图所示： 设， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴或（，不符合题意，舍去）， ∴， ∴的最大值为， 当点从点运动到点的过程中，开始时，点从点B开始向左运动，达到最大值时，然后点应该是再往右运动，然后回到点B， ∴点经过的路径长是2倍的的最大值， ∴点经过的路径长是， 故答案为：． 15. 菱形中，，E，F分别是AB,AD上的动点，且，连接，交于G，则下列结论：①；②为等边三角形；③的最小值为2．其中正确的结论是_________________．  【答案】①② 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及，先证明是等边三角形，再根据“”可得，进而可得，可说明是等边三角形，在是等边三角形中，要求最小，根据垂线段最短即可知当时，最小，再通过勾股定理即可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴结论①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴结论②正确； ∵当时，最小， 在中，，可知， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， ∴结论③错误． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识，充分利用含角的菱形的性质是解答本题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）求不等式组的所有整数解． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解答此类题目要遵循以下原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解．也考查了实数的混合运算、三角函数值． （1）先进行二次根式与绝对值的化简、特殊角的三角函数值的运算，然后进行加减法求解即可； （2）利用解不等式组的方法求出其解集，再确定其整数解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为． 17. 如图，点E在正方形的边上，点F在边的延长线上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，再证明即可得证． 【详解】略 18. 为全面落实“双减”政策，娄底某中学创新开展“五彩”课后服务活动（每位学生限选一组）：梅山武术社 （ 特邀梅山拳传承人现场教学）涟钢科技社 （开展“钢铁是怎样炼成的”主题探究）紫鹊界农学社（在校内开辟百草园实践基地）湘中文学社（研读曾国藩等本土名家作品） 人工智能AI，该校表示：“我们充分利用娄底特有的文化、工业和自然资源，让课后服务既有趣味性又有教育意义，真正实现减负增效．”为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有5000名学生，估计该校参加组（湘中文学社）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①400；②54； （2）参加组（湘中文学社）的学生人数为1750人； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，树状图或列表法求解概率，用样本估计总体等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． （1）由B的人数除以对应的占比即可求解调查人数；求出C的人数，再由乘以占比求解圆心角； （2）用样本估计总体的方法求解； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：①调查人数：（名）， 故答案为：400； ②组的人数：（名）， 组的人数：（名， 扇形统计图中圆心角， 故答案为：54； 【小问2详解】 解：， 答：参加D组（湘中文学社）的学生人数为1750人； 【小问3详解】 解：树状图如下： 共有12中等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的有两种， （恰好抽中甲、乙两人）． 19. 如图，在中，，的平分线交于点，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）求出，得到； （2）设相交于点，作于点，证明，得到，设，则，得到，解得，得到，求出． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，作于点， 平分，， ，， ， ， 由（1）知，， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ． 20. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同． （1）求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元 （2）购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． （1）设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元，由用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同，再建立分式方程求解即可； （２）确定，再根据函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元， ， 整理得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元； 【小问2详解】 解：设购买A型劳动工具m把，则购买B型劳动工具把，购买花费为w元， 根据题意得：， 解得， 所以m得最大值为66， ， ∵ ∴w随m增大而减小 ∴时，w取得最小值2170元，此时A工具66把，B工具34把． 答：购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170． 21. 如图1是开封铁塔公园内的开宝寺塔，被誉为天下第一塔．贺贺同学想利用自己学习的知识测量一下铁塔的高度，如图2，贺贺在地面处测得塔顶的仰角为，在高为的摄像机的点处测得塔顶的仰角为，，，，三点共线，求开宝寺塔的高度（结果保留整数，参考数据：，，，）． 【答案】开宝寺塔的高度为55m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，则四边形为矩形，由题意知，，，，．设，则，解直角三角形求出，进而求出，由，即可解答． 【详解】解：过点作于点， 则四边形为矩形， ． 由题意知，，，，． 设，则， ， ， ． 将，代入上式得：， 即． 解得． 答：开宝寺塔的高度为． 22. 如图，已知的边是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交于点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）过点作于点，求证：． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接． 是的切线，、 ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）连接，由是的切线，得到，由于，得，于是得到，根据等腰三角形的性质得到，通过等量代换得，然后根据角平分线的性质可得结果； （2）连接，利用勾股定理求出．证明，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ， ， ， 是的直径， ， ， 由（1）得， ， ， ， 的半径为． 23. 模具长计划生产面积为9，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为9，得．即；由周长为m，得，即，满足要求的．应是两个函数图像在第________象限内交点的坐标． （2）画出函数图像 函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线 平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图像 ①当直线平移到与函数的图像有唯一交点（3，3），周长的值为________ ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围； （4）得出结论 若能生产出面积为9的矩形模具，则周长的取值范围为________ 【答案】（1）一 ； （2）画图 （3）①12 ，②时，没有交点；时，有2个交点； （4） 【解析】 【分析】（1）根据反比例的图象在第一象限即可得出； （2）过原点及（1，-1）即可得直线， （3）①把点（3，3）代入即可求解； ②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和，并整理得：即可求解； (4）由（3）可得． 【小问1详解】 ∵的图象位于第一象限， ∴ 两个函数图像的交点在第一象限内， 故填：一； 【小问2详解】 作图略 【小问3详解】 ① 把点（3，3）代入得：3=-3+， 解得：m=12， 故答案为：12． ②由①知：0个交点时，0＜m＜12；2个交点时，m＞12；1个交点时，m=12； 【小问4详解】 联立和，并整理得：， =时，两个函数有交点， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． 24. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用． （1）由待定系数法可求出答案； （2）①求出，，则，分两种情况由矩形的性质可得出答案； ②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①抛物线对称轴为直线，与y轴交于点． ∴直线的表达式为， ∴设， ∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形， ∴，， ∴， 分以下两种情况讨论： 当（点E在点H左侧，如图1所示），，， 当时，点E在H右侧，如图2所示，，， ∴； ②L关于m的函数图象如图所示， 当时，， 当时，， 由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围． 25. 在平行四边形中，，，点E为平面内一点，且． （1）若， ①如图1，当点E在上时，连接，作交于点F，连接、，求证：为等边三角形； ②如图2，连接，作，作于点F，连接，当点F在线段上时，求的长度； （2）如图3，连接，若，P为边上一点（不与A、B重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点G，连接，点E在运动的过程中，的最大值与最小值的差为 ． 【答案】（1）①证明：∵在平行四边形中，，， ∴是等边三角形，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①得到△是等边三角形，利用得到，即可得到，即可得到结论； ②分为两种情况作图，过点E作于点G，即可得到点A，B，E，F四点共圆，进而得到，根据勾股定理解答即可； （2）过点P作，且，连接，，即可得到，然后根据对应边成比且夹角相等得到，然后根据对应边成比例求出的长，根据三角形三边关系的应用得到最值求差解答即可． 【小问1详解】 ①略 ②如图，当点E在的下方时，过点E作于点G， ∵，， ∴， ∴点A，B，E，F四点共圆， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的上方时，如图，过点E作于点G， 同理可得，， ∴； 综上所述，长为或； 【小问2详解】 解：如图，过点P作，且，连接，， ∵，作的角平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系的应用可得， ∴最大值与最小值的差为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $