第08课：第二十一章一元二次方程章末复习题讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第08课 第二十一章一元二次方程章末复习人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点1一元二次方程的概念：①含有1个未知数②最高次为2次③整式方程。 知识点2一元二次方程一般形式： 知识点3一元二次方程的根：使得方程等号两边相等的未知数的值。将x的值代入方程可以进行验根。 知识点4一元二次方程的解法①直接开方法；②配方法；③公式法求根公式： ；④因式分解法。 知识点5若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，①根的判别式： ②当时，方程有两个不等的实数根; 当时，方程有两个相等的实数根; 当时，方程没有实数根. 当时，方程有两个实数根; 知识点6一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，根与系数的关系是：① ② 知识点7列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步：审、设、列、解、验、答 实际问题类别：①数字问题；②平均变化率问题；③图形面积问题；④靠墙围栅栏问题；⑤动点问题；⑥销售问题；⑦其他问题 考点01 一元二次方程的概念 例题1.下列方程中，一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 变式1.下列方程属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 考点02 一元二次方程的一般形式 例题2.将一元二次方程化为一般形式，正确的是(    ) A. B. C. D. 变式2.将一元二次方程化成一般形式，正确的是      ． A. B. C. D. 考点03 一元二次方程的根 例题3.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是(    ) A. B. C. D. 变式3.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为  (    ) A. B. C. D. 考点04 一元二次方程的根的判别式 例题4.关于的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 变式4.不解方程，判断方程的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 无法确定 考点05 一元二次方程的解法 例题5.用指定的方法解方程    直接开平方法                分解因式法         配方法                       公式法 变式5.用括号内指定的方法解下列方程： 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 考点06 一元二次方程的根与系数的关系 例题6（1）.已知，是一元二次方程的两个根，不解方程，求下列各式的值： ． 变式6（1）.设方程的两个根为，，不解方程求下列各式的值： ． 例题6（2）.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 变式6（2）.已知关于的一元二次方程． 当时，判断一元二次方程的根的情况； 若方程的两个实数根为，，且，求的值．  考点07 实际问题与一元二次方程 （1）数字问题； 例题7（1）.一个两位数，十位数字与个位数字之和为，且这两个数字之积等于它们两个数字之和的倍，求这个两位数． 变式7（1）.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大，且个位上的数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数． （2）平均变化率问题； 例题7（2）①.为进一步规范各个学校的课后服务工作，某市教育局提出明确要求，鼓励教师参与志愿辅导．某区率先推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导．据统计，第一批公益课受益学生达到万人次，第三批公益课受益学生达到万人次． 如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； 按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次． 变式7（2）①.某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动四月份投入资金万元，六月份投入资金万元，现假定每月投入资金的增长率相同． 求该商场投入资金的月增长率； 按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 例题7（2）②.某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元． 求该药品平均每次降价的百分率是多少？ 如果按此下降率继续下降，再过两年，该药品的售价是否会降到每盒元，请说明理由？ 变式7（2）②.两年前生产吨甲种药品的成本是元，随着生产技术的进步，现在生产吨甲种药品的成本是元，甲种药品成本的年平均下降率多大． （3）图形面积问题； 例题7（3）.某中学规划在校园内一块长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草如图所示，若使每一块草坪的面积都为，求人行道的宽为多少米？  变式7（3）.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路阴影部分，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，求每条道路的宽． （4）靠墙围栅栏问题； 例题7（4）.如图，利用一面墙墙的长度不限，用长的篱笆，围成一个矩形场地． 若矩形场地的面积为，求矩形场地的长和宽； 能围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由．  变式7（4）.如图，有长为的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，求的长． （5）动点问题； 例题7（5）.如图，在中，，，，点在上从点到点运动不包括点，点运动的速度为；点在上从点运动到点不包括点，速度为若点、分别从、同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． 经过多长时间后，、两点的距离为？ 经过多长时间后，的面积为？ 请用配方法说明，点运动多少时间时的面积最大？最大面积是多少？ 变式7（5）.如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点、分别从同时出发，问几秒钟时的面积等于？点到达点时、点同时停止运动 （6）销售问题； 例题7（6）①.某区某水果店在销售中发现，荔枝每千克进价为元，销售价为元时，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克． 若想要每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？ 若想要每天盈利元，可能吗？请说明理由． 变式7（6）①.某水果商店销售一种进价为元千克的优质水果．若售价为元千克，则每个月可售出千克．售价在元千克的基础上每涨价元，月销售量就减少千克． 当售价为元千克时，每月销售水果多少千克？ 当月利润为元时，每千克水果售价为多少元？ 例题7（6）②. 某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． 降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ 要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 变式7（6）②.某种服装，平均每天可销售件，每件赢利元在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件如果每天要赢利元，每件应降价多少元？ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的根是(    ) A. B. ， C. D. ， 3.等腰三角形的一边长是，方程的两个根是三角形的两边长，则为(    ) A. B. C. D. 或 4.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.如果是方程的一个根，那么常数的值为(    ) A. B. C. D. 6.一元二次方程的根的情况是    ． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 8.设，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.两个连续偶数的积为，若设较小的偶数为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.如图，一张矩形桌子的桌面长，宽，一块矩形台布的面积是桌面面积的倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等设台布垂下的长度为，则根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.方程的一次项系数是          ． 12.方程的根为          ． 13.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值是          ． 14.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么           ． 15.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ． 16.已知，是方程的两个根，则代数式的值为          ． 17.如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建同样宽的两条道路两条道路各与矩形的一条边平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为设道路的宽为，则根据题意，可列方程为          ． 18.已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为          ． 19.某商品成本价为元瓶，当定价为元瓶时，每天可售出瓶．市场调查反映：销售单价每上涨元，则每天少售出瓶．设销售单价上涨元． 涨价前每瓶的利润为          元，涨价后每瓶的利润为          元用含的代数式表示； 涨价后每天的销售量为          瓶用含的代数式表示； 若涨价后日销售利润达到元，则列出方程为          ． 20.如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动如果点，分别从点，同时出发，那么出发后          时，线段的长为． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 21.用指定方法解下列一元二次方程： ；直接开平方法 ；配方法 ；公式法 因式分解法 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 22.本小题分若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 23.本小题分已知关于的一元二次方程． 求证：无论实数取何值，此方程一定有两个实数根； 设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 24.本小题分已知关于的方程有两个不等的实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 25.本小题分某果园原计划种棵桃树，一棵桃树平均结个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量试验发现，每多种棵桃树，每棵桃树的产量就会减少个，但多种的桃树不能超过棵如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ 26.本小题分如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为米，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． 如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ 能否围成面积为平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．   27.本小题分某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次即最低档次的产品每天生产件，每件利润元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加元． 若生产的某批次蛋糕每件利润为元，此批次蛋糕属第几档次产品； 由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少件．若生产的某档次产品一天的总利润为元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 28.本小题分某批发商以每件元的价格购进件恤．第一个月以单价元销售，售出了件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低元． 填表不需化简： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价元            销售量件                       如果批发商希望通过销售这批恤获利元，那么第二个月的单价应是多少元？ 29.本小题分年月日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低元，平均每天可以多售出个． 若每个模型降价元，平均每天可以售出          个模型，此时每天获利          元； 在每个模型盈利不超过元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 30.本小题分如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． 通过计算，判断是否是“倍根方程”； 若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； 已知关于的一元二次方程是常数是“倍根方程”，请直接写出的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08课 第二十一章一元二次方程章末复习人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点1一元二次方程的概念：①含有1个未知数②最高次为2次③整式方程。 知识点2一元二次方程一般形式： 知识点3一元二次方程的根：使得方程等号两边相等的未知数的值。将x的值代入方程可以进行验根。 知识点4一元二次方程的解法①直接开方法；②配方法；③公式法求根公式： ；④因式分解法。 知识点5若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，①根的判别式： ②当时，方程有两个不等的实数根; 当时，方程有两个相等的实数根; 当时，方程没有实数根. 当时，方程有两个实数根; 知识点6一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，根与系数的关系是：① ② 知识点7列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步：审、设、列、解、验、答 实际问题类别：①数字问题；②平均变化率问题；③图形面积问题；④靠墙围栅栏问题；⑤动点问题；⑥销售问题；⑦其他问题 考点01 一元二次方程的概念 例题1.下列方程中，一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】 解：、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 变式1.下列方程属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  考点02 一元二次方程的一般形式 例题2.将一元二次方程化为一般形式，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，，，故选A． 变式2.将一元二次方程化成一般形式，正确的是      ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 考点03 一元二次方程的根 例题3.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程． 把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可． 【解答】 解：把代入方程得：， 解得：． 故选：． 变式3.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  考点04 一元二次方程的根的判别式 例题4.关于的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C  【解析】当时，方程有两个不等的实数根; 当时，方程有两个相等的实数根; 当时，方程没有实数根. 当时，方程有两个实数根; 变式4.不解方程，判断方程的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 无法确定 【答案】C  【解析】当时，方程有两个不等的实数根; 当时，方程有两个相等的实数根; 当时，方程没有实数根. 当时，方程有两个实数根; 考点05 一元二次方程的解法 例题5.用指定的方法解方程    直接开平方法                分解因式法         配方法                       公式法 【答案】解：， ， ，． 方程移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； ，        ，       ，  ，    ，． ， 这里，，， ， ， 解得：，．  【解析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握配方法、直接开方法、公式法、因式分解法等知识，属于中考常考题型． 根据直接开方法的步骤即可解决问题； 移项后，提取公因式即可解决问题 利用配方法，把移到等号的右边，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解； 首先找出方程中、和的值，求出，进而代入求根公式求出方程的解． 变式5.用括号内指定的方法解下列方程： 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 【答案】解：移项整理，得直接开平方，得，即， 移项，得配方，得，由此可得， ，，．，方程有两个不等的实数根，， 因式分解，得于是得，或，，．  考点06 一元二次方程的根与系数的关系 例题6（1）.已知，是一元二次方程的两个根，不解方程，求下列各式的值： ． 【答案】(1)解：由题可知，x1+x2＝5，x1x2＝-2． ．   (2)．  变式6（1）.设方程的两个根为，，不解方程求下列各式的值： ． 【答案】解：由根与系数的关系得，， ； ．  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，解答本题的关键是掌握利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值的思路与方法． 首先利用通分将化成，然后将、的值代入，计算即可； 首先去括号将化成，然后将、的值代入，计算即可． 例题6（2）.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)解：由题意可得，解得；  (2)由，得.，，，解得或.，.  变式6（2）.已知关于的一元二次方程． 当时，判断一元二次方程的根的情况； 若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)∵当k＝1时，一元二次方程为x2－3x＋2＝0，b2－4ac＝（－3）2－4×2＝1＞0． ∴此时该一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)∵x1＋x2＝k＋2，x1x2＝2k， ∴（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（k＋2）2－4×2k＝k2－4k＋4，∴k2－4k＋4＋k2＝10， 解得k1＝－1，k2＝3， 当b2－4ac＝（k－2）2＞0时，该一元二次方程有两个不相等的实数根，此时k≠2．∴k的值为－1或3．  考点07 实际问题与一元二次方程 （1）数字问题； 例题7（1）.一个两位数，十位数字与个位数字之和为，且这两个数字之积等于它们两个数字之和的倍，求这个两位数． 【答案】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 由题意得， 即， 解得，． 当时，， 当时，， 故这个两位数为或．  【解析】本题考查一元二次方程的应用，关键根据等量关系列一元二次方程； 设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，根据“这两个数字之积等于它们两个数字之和的倍”列方程求解即可． 变式7（1）.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大，且个位上的数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数． 【答案】或  （2）平均变化率问题； 例题7（2）①.为进一步规范各个学校的课后服务工作，某市教育局提出明确要求，鼓励教师参与志愿辅导．某区率先推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导．据统计，第一批公益课受益学生达到万人次，第三批公益课受益学生达到万人次． 如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； 按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次． 【答案】(1)设这个增长率为x．由题意，得2（1＋x）2＝2.42，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1（不合题意，舍去）．∴这个增长率为10%  (2)2.42×（1＋10%）＝2.662（万人次）．∴预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次  变式7（2）①.某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动四月份投入资金万元，六月份投入资金万元，现假定每月投入资金的增长率相同． 求该商场投入资金的月增长率； 按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1)设该商场投入资金的月增长率为.依题意得，解得，（不合题意，舍去）.该商场投入资金的月增长率为  (2)由题意，得（万元）.预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元  例题7（2）②.某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元． 求该药品平均每次降价的百分率是多少？ 如果按此下降率继续下降，再过两年，该药品的售价是否会降到每盒元，请说明理由？ 【答案】解：设该药品平均每次降价的百分率为，由题意，得 ， 解得：，舍去． 答：该药品平均每次降价的百分率； 不会降到每盒元，． 如果按此降价的百分率继续下降，估计再过两年的售价为： ． 答；再过两年，该药品的售价不会降到每盒元．  【解析】设该药品平均每次降价的百分率为，根据增长率或降低率问题的等量关系建立方程求出其解即可； 根据的结果可以计算出再过两年的售价，然后和元进行比较即可作出判断． 此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 变式7（2）②.两年前生产吨甲种药品的成本是元，随着生产技术的进步，现在生产吨甲种药品的成本是元，甲种药品成本的年平均下降率多大． 【答案】解：设甲种药品成本的年平均下降率为， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：甲种药品成本的年平均下降率为．  【解析】设甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产吨甲种药品的成本两年前生产吨甲种药品的成本年平均下降率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （3）图形面积问题； 例题7（3）.某中学规划在校园内一块长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草如图所示，若使每一块草坪的面积都为，求人行道的宽为多少米？ 【答案】解：设人行道的宽为，根据题意，得，解得，舍去． 答：人行道路的宽为．   变式7（3）.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路阴影部分，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，求每条道路的宽． 【答案】解：设每条道路的宽为 ，则草坪的长为，宽为  根据题意，得  解得，不合题意，舍去  答：每条道路的宽为．  （4）靠墙围栅栏问题； 例题7（4）.如图，利用一面墙墙的长度不限，用长的篱笆，围成一个矩形场地． 若矩形场地的面积为，求矩形场地的长和宽； 能围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)解：设矩形场地的竖宽为，则横长为， 根据题意，得，即，解得. 答：长为10m，宽为5m； (2)由，得，，此方程无实数解， 故不能围成一个面积为的矩形场地.   变式7（4）.如图，有长为的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，求的长． 【答案】解：设长为，则长为依题意，得，整理，得，解得，当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意．答：的长为．  （5）动点问题； 例题7（5）.如图，在中，，，，点在上从点到点运动不包括点，点运动的速度为；点在上从点运动到点不包括点，速度为若点、分别从、同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． 经过多长时间后，、两点的距离为？ 经过多长时间后，的面积为？ 请用配方法说明，点运动多少时间时的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】解：设经过后，、两点的距离为， 后，，， 根据勾股定理可知， 代入数据； 解得或不合题意舍去； 设经过后，的面积为 后，，， 解得，， 经过或后，的面积为 设经过后，的面积最大， 后，，， 当时，即时，的面积最大， 即． 当时间为秒时，最大面积为．  【解析】根据勾股定理，便可求出经过后，、两点的距离为 根据三角形的面积公式便可求出经过或后，的面积为 根据三角形的面积公式以及二次函数最值便可求出时的面积最大． 此题考查一元二次方程的应用和配方法法的应用，注意与勾股定理相结合求得相关线段的长度，是各地中考的热点，属于中档题． 变式7（5）.如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点、分别从同时出发，问几秒钟时的面积等于？点到达点时、点同时停止运动 【答案】解：设出发秒时的面积等于． ， ，整理得 ， 解得舍去，符合题意． 答：出发秒钟时的面积等于．  【解析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用以及三角形的面积公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．设出发秒时的面积等于，根据三角形的面积公式列出方程，然后求解，舍去不合题意的解即可求解． （6）销售问题； 例题7（6）①.某区某水果店在销售中发现，荔枝每千克进价为元，销售价为元时，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克． 若想要每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？ 若想要每天盈利元，可能吗？请说明理由． 【答案】解：设每千克应涨价元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 要使顾客得到实惠， ． 答：每千克应涨价元． 假设能，设每千克应涨价元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：． ， 原方程无解，即每天不能盈利元．  【解析】设每千克应涨价元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； 假设能，设每千克应涨价元，则每天可售出千克，同可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出每天不能盈利元． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 变式7（6）①.某水果商店销售一种进价为元千克的优质水果．若售价为元千克，则每个月可售出千克．售价在元千克的基础上每涨价元，月销售量就减少千克． 当售价为元千克时，每月销售水果多少千克？ 当月利润为元时，每千克水果售价为多少元？ 【答案】(1)解：当售价为55元/千克时， 每月销售水果=500-10(55-50)=450（千克）,  (2)解：设每千克水果售价为x元， 由题意可得：8750=(x-40)[500-10(x-50)]， 化简得：， 解得：=65，=75， 答：每千克水果售价为65元或75元.  例题7（6）②. 某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每月可售出件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． 降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ 要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】(1)解：由题意，得60×（360-280）＝4800（元）．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元．  (2)设每件商品应降价x元，由题意，得（360-x-280）（5x＋60）＝7200，解得x1＝8，x2＝60．∵有利于减少库存，∴x＝60．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．  变式7（6）②.某种服装，平均每天可销售件，每件赢利元在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件如果每天要赢利元，每件应降价多少元？ 【答案】 解：设每件应降价元，则每件盈利元，每天可售出件根据题意，得，整理，得，解得，不合题意，舍去答：每件应降价元．  一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.一元二次方程的根是(    ) A. B. ， C. D. ， 【答案】D  3.等腰三角形的一边长是，方程的两个根是三角形的两边长，则为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】D  【解析】【分析】 此题主要考查了一元二次方程的解的定义，三角形三边关系，等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到方程的解，把方程的解代入原方程即可求出待定字母的取值即可解决问题． 由于一个等腰三角形的一边长为，另两边长是关于的方程的两根，有两种情况： 当腰长为时，直接把代入原方程即可求出的值，然后求出方程的另一根，即可判断能否构成三角形； 当底边为时，那么的方程的两根是相等的，利用判别式为即可求出的值，然后就可以求出方程的解，即可判断能否构成三角形． 【解答】 解：一个等腰三角形的一边长为，另两边长是方程的两个根， 当腰长为时，把代入原方程得 ， ， 原方程变为：， 设方程的另一个根为， 则， ， 能构成三角形； 当底边为时，那么的方程的两根是相等的， ， ， 方程变为， 方程的两根相等为， 能构成三角形． 综上，的值是或． 4.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  5.如果是方程的一个根，那么常数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  6.一元二次方程的根的情况是    ． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B  【解析】解：， 该方程有两个不相等的实数根． 故选：． 代入数据求出根的判别式的值，根据的正负即可得出结论． 本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键． 7.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  【解析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为且． 故选：． 8.设，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  9.两个连续偶数的积为，若设较小的偶数为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了由实际问题抽象一元二次方程，对于连续偶数之间的关系，在做此类问题时，一定要清楚两个连续偶数之间的关系是相差，所以明白了这个关系，再根据实际的要求，列出方程即可． 【解答】 解：设较小的偶数为，则另一个偶数为， 根据题意得：． 10.如图，一张矩形桌子的桌面长，宽，一块矩形台布的面积是桌面面积的倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等设台布垂下的长度为，则根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.方程的一次项系数是          ． 【答案】  12.方程的根为          ． 【答案】，  13.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值是          ． 【答案】  14.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么           ． 【答案】  15.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ． 【答案】且  16.已知，是方程的两个根，则代数式的值为          ． 【答案】  17.如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建同样宽的两条道路两条道路各与矩形的一条边平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为设道路的宽为，则根据题意，可列方程为          ． 【答案】  18.已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为          ． 【答案】  19.某商品成本价为元瓶，当定价为元瓶时，每天可售出瓶．市场调查反映：销售单价每上涨元，则每天少售出瓶．设销售单价上涨元． 涨价前每瓶的利润为          元，涨价后每瓶的利润为          元用含的代数式表示； 涨价后每天的销售量为          瓶用含的代数式表示； 若涨价后日销售利润达到元，则列出方程为          ． 【答案】(1)4;(x+4) (2)(60-5x) (3)(x+4)(60-5x)＝300  20.如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动如果点，分别从点，同时出发，那么出发后          时，线段的长为． 【答案】  三、计算题：本大题共1小题，共6分。 21.用指定方法解下列一元二次方程： ；直接开平方法 ；配方法 ；公式法 因式分解法 【答案】(1)，  (2)，  (3)，  (4)，  四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 22.本小题分若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，即且，解得的值为．  23.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论实数取何值，此方程一定有两个实数根； 设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】(1)，.无论实数取何值，此方程一定有两个实数根  (2)此方程的两个实数根分别为，，，.，，即，整理，得，解得，.的值为或  24.本小题分已知关于的方程有两个不等的实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 【答案】(1)由题意，得，解得  (2)由题意，得，.由（1），知，.，.原方程可化为.，即，解得（不合题意，舍去），.的值为-2  25.本小题分某果园原计划种棵桃树，一棵桃树平均结个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量试验发现，每多种棵桃树，每棵桃树的产量就会减少个，但多种的桃树不能超过棵如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】解：设应多种  棵桃树． 根据题意，得  ． 解得  ，     多种的桃树不能超过棵，   ． 答：应多种棵桃树．  26.本小题分如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为米，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． 如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ 能否围成面积为平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)解：设AD的长为x米，则AB=27-3x． 依题意，得x（27-3x）=54，解得x1=3，x2=6． ∵墙的最大可用长度为12米， ∴27-3x≤12，解得x≥5． ∴x=6，即AD的长为6米．   (2)不能围成面积为90平方米的花圃．理由如下： 假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米， 于是有y（27-3y）=90， 整理，得y2-9y+30=0， ∵Δ=（-9）2-4×1×30=-39＜0， ∴该方程无实数根． ∴不能围成面积为90平方米的花圃．   27.本小题分某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次即最低档次的产品每天生产件，每件利润元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加元． 若生产的某批次蛋糕每件利润为元，此批次蛋糕属第几档次产品； 由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少件．若生产的某档次产品一天的总利润为元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 【答案】解：， 此批次蛋糕属第三档次产品 设烘焙店生产的是第档次的产品， 根据题意得， 整理得， 解得，不合题意，舍去， 该烘焙店生产的是第五档次的产品．  【解析】本题考查一元二次方程的应用． 根据生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加元，即可求出每件利润为元的蛋糕属第几档次产品； 设烘焙店生产的是第档次的产品，根据单件利润销售数量总利润，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 28.本小题分 某批发商以每件元的价格购进件恤．第一个月以单价元销售，售出了件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低元． 填表不需化简： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价元            销售量件                       如果批发商希望通过销售这批恤获利元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【答案】(1)80-x ;200+10x;800-200-(200+10x)  (2)根据题意，得80×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800＝9000．整理，得x2-20x+100＝0，解得x1＝x2＝10．当x＝10时，80-x＝70＞50．答：第二个月的单价应是70元．  29.本小题分年月日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低元，平均每天可以多售出个． 若每个模型降价元，平均每天可以售出          个模型，此时每天获利          元； 在每个模型盈利不超过元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 【答案】(1)30;1050  (2)设每个模型应降价x元．  根据题意，得(40-x)(20+2x)＝1200．  整理，得x2-30x+200＝0．  解得x1＝10，x2＝20．  又∵每个模型盈利不超过25元，∴x＝20．  答：每个模型应降价20元．  30.本小题分如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． 通过计算，判断是否是“倍根方程”； 若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； 已知关于的一元二次方程是常数是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)解：解方程x2-3x+2=0，得x1=2，x2=1． ∴x2-3x+2=0是“倍根方程”．   (2)解：∵（x-2）（x-m）=0， ​​​​​​​∴x1=2，x2=m． ∵（x-2）（x-m）=0是“倍根方程”， ∴m=4或m=1． 当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26； 当m=1时，m2+2m+2=1+2+2=5． 综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5．   (3)解：依题意，设方程的两根分别为α，2α． 根据根与系数的关系，得  解得  或  ∴m的值为13或-11．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$