湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期综合能力检测（入学考试）数学试卷

2025级高一综合能力检测试卷 数学 时量：90分钟 满分：120分 得分 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的.) 1.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体 现；常被运用于建筑、器物、标志等作品的设计上.下列学校的校徽图案 是轴对称图形的是 2.下列命题错误的个数有 ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等； ③三个点确定一个圆： ④反比例函数y一〔>0)的图象在一、三象限，y随x的增大而减小， ⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线 的交点 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索 浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划 租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每位学生和老师都有 座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有 A3种 B.4种 C.5种 D.6种 数学试题第1页（共8页） 4.两个二次函效y=a+6r十c与y=6r2十a.x十c在同-平面直角坐标 系中的图象可能是 5,如图，反比例函数y=的图象经过A,C两点，过点A作AB⊥y轴于点 B,过点C作CD⊥x轴于点D,连接OA,OC,AC.若Sam=4,CD: 0B=1:3,则k的值是 A-12 B.-9 C.-6 D.-3 6.如图，EF为半圆O上的一条弦，将EF沿着弦EF对折，折在后的弧恰好 与半圆O的直径AB相切于D点若AD=EF,则品的值是 A号 B3+5 3 c D.6-25 数学试愿第2页（供8页） 答题卡 题号 2 3 5 6 答案 二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共36分.） 7.分解因式：3a2+6a-126+3= &已知9<c0sA<0s20,则锐角A的原值范围是 9.在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字-1,0，号，这些 球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅 匀再摸出一个球，记下数字n,则使得二次函数y=x2十mx十n的图象不 经过第四象限的概率为 10.对于x,y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x十3y.若关于a的不 G(a,1-2a)≥-2， 等式组 恰好有3个整数解，则实数P的取值范围 lG(-2a,1+4a)> 是 11.我们把自变#为x的函数记作f(x),f(xo)表示自变量x=时函数 (x)的值，对于实数a,令[a]表示不超过a的最大整数，例如[3.1门= 3,[-1.5]=-2.[0.]=0,令fx)=那么[f(2]+[f(3] +…+[f(2025)]= 12.已知函数y=3x+2红+1.现有下列五个结论： ①图象过点(-号，3)： ②图象的最低点坐标为（一1,2）： ③图象无最高点且分为两段； ④若P(x1,y),Q(x,y2)在图象上，且x<x2<-1,则y<y; ⑤若P(x,y),Q(,)在图象上，-1<x<0<且1+x2+ 2x1x2=0,则y=y2. 其中正确的结论有 ,(填写序号) 数学试题第3页（共8页） 三、解答题（本题共5小题，14、15小题每小题9分，其余每小题12分， 共54分.) 13.(1)(6分)计算：W5-31+2sin30°-(x-2025)°+()： (2)6分)先化简，再求值：（中十1）÷27其中x=-4 数学试题第4页（共8页） 14.(9分)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先 烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题， 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满负情况下， 材料一 每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人：用A型客车载客600 人与用B型客车载客450人的车辆数相同. A型客车租车费用为3200元/辆：B型客车粗车费用为3000 元/辆. 材料二 优恋方案：租用A型客车m辆，租车费用(3200-50m)元/辆：租用 B型客车，租车费用打八折. 租车公司最多提供8辆A型客车： 材料三 学校参加研学活动师生共有530人，租用A,B两种型号客车共 10辆 (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 15.(9分)已知方程2-（使2+2k十6）x十(2k2+4k十8)=0(k为常数). (1)求证：该方程恒有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实根为x,x?,求x一x的最小值. 数学试题第6页（共8页） 16.(12分)如图1，已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,延长AO交BC于E 点，交⊙O于点F,D是劣弧AC上一点，连接AD并延长交BC的延长 线于点M,连接CD. (1)求证：∠ACB=∠CDM: (2)若BM=5,AE=CM=3,求CD的长： (3)如图2，连接BD分别交线段AF和线段AC于点G和点H,若 ∠DAG=∠DGA,且GH=:诗用含n的值表示C+品的值 04 相1 图2 数学试题第7页（共8页） 17.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx过点 (一1,3)，且对称轴为直线x=1,直线y=kx一k与抛物线交于A,B两 点，与x轴交于点C (1)求抛物线的解析式： (2)k=1时，直线AB与y轴交于点D,与直线x=2交于E.若抛物线 y=(x一h)2-1与线段DE有公共点，求h的取值范围： (3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P,Q两点，M,N分别是AB, PQ的中点.试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点 T,使得TC总是平分∠MTN?若存在，求出点T的坐标：若不存 在，请说明理由。 备用图 数学试题第8页（共8页） 数 学 时量:90分钟 满分:120分 得分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.) 1.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、标志等作品的设计上.下列学校的校徽图案是轴对称图形的是 2.下列命题错误的个数有 ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等； ③三个点确定一个圆； ④反比例函数 的图象在一、三象限，y随x 的增大而减小； ⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45 座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每位学生和老师都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有 A.3种 B.4种 2025 级高一综合能力检测试卷 C.5种 D.6种 学科网（北京）股份有限公司 4.两个二次函数. 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 5.如图，反比例函数 的图象经过A，C两点，过点A 作 轴于点B,过点C作CD⊥x轴于点D,连接OA,OC,AC.若 OB=1:3,则k的值是 A.-12 B.-9 C.-6 D.-3 6.如图，EF为半圆O上的一条弦，将 沿着弦EF 对折，折叠后的弧恰好与半圆O的直径AB 相切于D点，若AD=EF,则 的值是 学科网（北京）股份有限公司 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题(本题共6小题，每小题6分，共36分.) 7.分解因式： 8.已知 则锐角A 的取值范围是 . 9.在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数. 的图象不经过第四象限的概率为 . 10.对于x,y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组 恰好有 3个整数解，则实数 P 的取值范围是 . 11.我们把自变量为x的函数记作f(x)，f(x₀)表示自变量、 时函数f(x)的值，对于实数a，令[a]表示不超过a的最大整数，例如[[3.1]=3,[-1.5]=-2,[0.7]=0,令 那么[f(2)]+[f(3)]+…+[f(2025)]= . 12.已知函数 现有下列五个结论： ①图象过点 ②图象的最低点坐标为(-1，2)； ③图象无最高点且分为两段； ④若 P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)在图象上,且 则 ⑤若 在图象上， 且 则 其中正确的结论有 .(填写序号) 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(本题共5 小题，14、15 小题每小题9分，其余每小题12 分，共54分.) 13.(1)(6分)计算: (2)(6分)先化简,再求值: 其中x=-4. 学科网（北京）股份有限公司 14.(9分)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题. 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A 型客车比每辆B 型客车多载客15人；用A 型客车载客600人与用B 型客车载客450人的车辆数相同. 材料二 A型客车租车费用为 3200 元/辆；B 型客车租车费用为 3000元/辆. 优惠方案：租用A 型客车m辆，租车费用(3200-50m)元/辆；租用B 型客车，租车费用打八折. 材料三 租车公司最多提供8辆A 型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用 A，B两种型号客车共10辆. (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 学科网（北京）股份有限公司 15.(9分)已知方程 (k为常数). (1)求证：该方程恒有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实根为. 求 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 16.(12分)如图1,已知 内接于⊙O，AB=AC,,延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧 上一点，连接 AD并延长交BC 的延长线于点 M,连接CD. (1)求证: (2)若BM=5,AE=CM=3,求CD的长； (3)如图2,连接 BD 分别交线段AF 和线段AC 于点G 和点 H,若 且GH=n,，请用含 n的值表示 的值. 司9-0. 学科网（北京）股份有限公司 17.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 过点(-1,3),且对称轴为直线.x=1,直线y=kx-k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)k=1时，直线AB与y轴交于点D，与直线.x=2交于E.若抛物线 与线段 DE有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N 分别是AB，PQ的中点.试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得 TC总是平分 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$