精品解析：湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

2024-2025学年高一（上）入学考试数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由中心对称图形的定义判断. 【详解】把一个图形绕着某一点旋转，如果能与原图形重合，那么就说这个图形关于这个点中心对称。 据此，只有第3个图形满足中心对称的定义. 故选：C. 2. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由科学记数法的规则求解. 【详解】，则用科学记数法表示为. 故选：D. 3. 已知、为两个连续的整数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，求出的值即可求解. 【详解】由，得，所以，则. 故选：B. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由完全平方公式展开计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C 5. 对于下列说法，正确的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 不相交的两条直线叫做平行线 C. 相等角是对顶角 D. 将一根木条固定在墙上，只需打两个钉子就可以，这种做法的依据是“两点确定一条直线” 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质、定义判断AB；利用对顶角的定义判断C；利用两点确定直线判断D. 【详解】对于A，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，A错误； 对于B，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，B错误； 对于C，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，C错误； 对于D，由两点确定一条直线，知将一根木条固定在墙上，只需打两个钉子就可以，D正确. 故选：D 6. 随机调查了某校七年级名同学近个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示，则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） 人数 课外书数量本 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数、众数的概念计算可得. 【详解】因为有13人阅读9本课外书，是人数最多的，所以众数为：9. 因为调查了40名学生的阅读量，所以中位数是：把数字从小到大的顺序排列，第20，21两个数的平均数为所求.第20个数和第21个数均为9，所以中位数为：9. 故选：D 7. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】求出各选项的逆命题，再判断真假即可得解. 【详解】对于A，逆命题为：内错角相等，两直线平行，真命题，A不是； 对于B，逆命题为：有两个锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，B不是； 对于C，逆命题为：两个全等三角形关于某个点成中心对称，假命题，C是； 对于D，逆命题为：到线段两个端点的距离相等点在这条线段的垂直平分线上，真命题，D不是. 故选：C 8. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用直角三角形性质及圆的性质计算即得. 【详解】连接，由是的直径，得， 又弦，则，于是， 所以. 故选：B 9. 已知多项式，当时，它的值是；当时，它的值是则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，代入计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 10. 某天，某同学早上点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离千米与所用时间分之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（ ） A. 汽车在途中加油用了分钟 B. 若，则加满油以后的速度为千米小时 C. 若汽车加油后的速度是千米小时，则 D. 该同学到达宁波大学 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定的图象，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，汽车在途中加油用分钟，A正确； 对于B，由，得，解得， 所以加满油以后的速度为千米小时，B正确； 对于C，，解得，C错误； 对于D，该同学到达宁波大学，D正确. 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 若四边形的四个内角的比是：：：，则最小的内角是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用多边形的内角和结合方程即可求出答案． 【详解】设四边形四个内角分别是，则， 解得．则它的最小角是． 故答案为：. 12. 约分：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，约去公因式即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 13. 小明的书包里只放了大小的试卷共张，其中语文张，数学张．若随机地从书包中抽出张，抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是______． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】记张语文试卷为，张数学试卷为， 随机抽出张的结果有，共10个， 其中抽出的试卷恰好都是数学试卷的结果为12，1个， 所以抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是. 故答案为： 14. 如图，圣诞帽的主视图是正三角形，把帽子压平整，成双层扇形摆放在桌子上不考虑帽子的厚度则这个扇形的圆心角度数为______ 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥底面半径求出底面周长，得双层扇形弧长，可求这个扇形的圆心角度数. 【详解】由题知，帽子为圆锥，设母线长为2，即， ∵主视图为等边三角形，∴为等边三角形，∴，∴， ∴底面圆周长，∴半圆， ∴设压平的圆心角为，则，∴． 故答案为：90． 15. 已知为的直径，，延长至点，使得，为圆的切线，为切点，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的切线性质，结合直角三角形性质求出的高，即可求出面积. 【详解】由为的切线，得，而，则，， 过作于，则， 所以的面积. 故答案： 16. 小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，你们能补出这个常数吗它应是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程的解代入方程求解即可. 【详解】因为方程的解是， 所以代入得：，所以， 故答案为： 三、计算题：本大题共2小题，共12分. 17. 求不等式组：的解． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可. 【详解】因为：， 由①得：； 由②得：， 则不等式的解为． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 分析】利用加法消元法求解方程组即得. 【详解】，得：， 得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 所以方程组的解为：． 四、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长里，南边城墙长里，东门点，南门点分别是，的中点，，里，经过点，则等于多少里？请你根据上述题意，求出的长度． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线的性质及相似三角形性质，列式计算即得. 【详解】由四边形是矩形，，，得， 则，，于是∽， 则，即，所以. 所以等于里． 20. 如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若平分，，：：，写出求长的思路． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）连接，只需证明即可. （2）先判断为等腰直角三角形，由得；再由得：，结合，可求. 【小问1详解】 连接，，． 为的直径，所以. 点为的中点，． ， ∴ 又， ∴. 是的切线 【小问2详解】 平分， ， ， ， 为直径， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∵，是公共角， ∽， ：：， , 设为， ：：， ∴, ， 解得. 即. 21. 为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如图所示的统计图. （1）小明一共调查了多少户家庭？ （2）求所调查家庭5月份用水量的平均数； （3）若该小区有400户居民，请根据（2）所得结果，估计这个小区5月份居民的总用水量. 【答案】（1）20户家庭 （2）吨 （3）1800吨 【解析】 【分析】（1）根据统计图运算即可；（2）根据统计图结合平均数运算求解；（3）根据（2）中的平均数，用样本估计总体，运算求解. 【小问1详解】 ∵， 故小明一共调查了20户家庭. 【小问2详解】 ∵， 故所调查家庭5月份用水量的平均数为吨. 【小问3详解】 由（2）可知：样本的平均数估计总体的平均数为，则（吨）. 故估计这个小区5月份居民的总用水量为1800吨. 22. 如图，中，，平分交于点点在边上，且求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由，有，可得，证明≌，可得． 【详解】证明：， ， ， 又， ， 平分交于点， ， 在和中，由，得， ． 23. 今年月日日在江北嘴举行了第二届花博会，吸引了众多游客．王某看准了商机，在销售区租了一个摊位，主要卖干花和鲜花植物．干花和鲜花的成本价分别是每束元，每盆元． （1）已知一盆鲜花的售价是一束干花价格的倍．第一天就卖了束干花，盆鲜花，共获利元．求一束干花的售价是多少元． （2）若在（2）的条件下，花博会最后一天，王某发现还有束干花和盆鲜花，决定干花的售价提高销售，很快全部售完．鲜花降价卖了盆，剩下的每盆元全部卖出，当天的利润为元，且鲜花价格尽可能降低．求的值是多少？ 【答案】（1）元 （2）15 【解析】 【分析】（1）设一束干花的售价是元，列出方程求解即得. （2）由已知条件列出方程求解即得. 【小问1详解】 设一束干花的售价是元，则一盆鲜花的售价是元， 依题意，得，解得， 所以一束干花的售价是元. 【小问2详解】 由（1）知，一束干花的售价是元，则一盆鲜花的售价是元， 依题意，， 解得，，而鲜花价格尽可能降低，即尽可能小，所以， 所以的值是. 24. 已知：是任意三角形． （1）如图所示，点、、分别是边、、的中点，求证：． （2）如图所示，点、分别在边、上，且，，点、是边的三等分点，你认为是否正确？请说明你的理由． （3）如图所示，点、分别在边、上，且，，点、、、是边的等分点，则______．请直接将该小问的答案写在横线上 【答案】（1）证明见解析 （2）正确，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得到四边形是平行四边形，故有． （2）由平行线分线段成比例，可得到四边形是平行四边形， ，，，可得； （3）类似的，可得到. 【小问1详解】 证明：如图中， ，，， ，，， 四边形是平行四边形，． 【小问2详解】 解：结论正确，理由：连接． ，， 同理：，， ，， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， ，， ． 【小问3详解】 ． 理由：连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵点、、、是边的等分点， ∴与平行且相等，与平行且相等，…，与平行且相等， ∴四边形、、…、都是平行四边形， ∴，，…，， ∴，，…，， ∴． 25. 如图，抛物线是常数，且与轴交于，两点，与轴交于点并且，两点的坐标分别是，，抛物线顶点为． （1）求出抛物线的解析式； 顶点的坐标为______； 直线的解析式为______； （2）若为线段上的一个动点，其横坐标为，过点作轴于点，求当为何值时，四边形的面积最大？ （3）若点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）代入两点坐标求出抛物线的解析式；由函数解析式求顶点的坐标；待定系数法求直线的解析式； （2）根据四边形的形状，把面积表示为的函数，由函数性质求面积最大时的值； （3）分点在轴上方和下方两种情况，由为等腰直角三角形，结合点在抛物线上，求点的坐标. 【小问1详解】 ①把，代入， 得，解得 ；   ②， 的坐标为； ③设直线的解析式为， 将点、的坐标代入得： ，解得， 直线的表达式为， 【小问2详解】 如图所示： 点的横坐标为，则点的纵坐标为， 当时，得， 由题意可知：，，， 四边形的面积， 所以四边形面积的最大值为，此时； 【小问3详解】 抛物线的对称轴为， ①当点在轴上方时，如图， 过点作直线交于点， ， ，， ， ，且均为直角三角形， ， ，， 设且，则， ， 点的横坐标为：，纵坐标为：，即， 将其代入抛物线解析式，化简可得：， ，解得：，舍去，； ②当点在轴下方时，如图， ，，为等腰直角三角形， ，， ； 综上所述：点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一（上）入学考试数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知、为两个连续的整数，且，则（ ） A B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 对于下列说法，正确的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 不相交的两条直线叫做平行线 C. 相等的角是对顶角 D. 将一根木条固定在墙上，只需打两个钉子就可以，这种做法的依据是“两点确定一条直线” 6. 随机调查了某校七年级名同学近个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示，则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） 人数 课外书数量本 A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 8. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知多项式，当时，它的值是；当时，它的值是则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 某天，某同学早上点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离千米与所用时间分之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（ ） A. 汽车在途中加油用了分钟 B. 若，则加满油以后的速度为千米小时 C. 若汽车加油后速度是千米小时，则 D. 该同学到达宁波大学 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 若四边形的四个内角的比是：：：，则最小的内角是______ 12. 约分：______． 13. 小明的书包里只放了大小的试卷共张，其中语文张，数学张．若随机地从书包中抽出张，抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是______． 14. 如图，圣诞帽主视图是正三角形，把帽子压平整，成双层扇形摆放在桌子上不考虑帽子的厚度则这个扇形的圆心角度数为______ 15. 已知为的直径，，延长至点，使得，为圆的切线，为切点，则的面积是______． 16. 小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，你们能补出这个常数吗它应是_______________． 三、计算题：本大题共2小题，共12分. 17. 求不等式组：的解． 18. 解方程组：． 四、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长里，南边城墙长里，东门点，南门点分别是，的中点，，里，经过点，则等于多少里？请你根据上述题意，求出的长度． 20. 如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若平分，，：：，写出求长的思路． 21. 为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如图所示的统计图. （1）小明一共调查了多少户家庭？ （2）求所调查家庭5月份用水量的平均数； （3）若该小区有400户居民，请根据（2）所得结果，估计这个小区5月份居民的总用水量. 22. 如图，中，，平分交于点点在边上，且求证：． 23. 今年月日日在江北嘴举行了第二届花博会，吸引了众多游客．王某看准了商机，在销售区租了一个摊位，主要卖干花和鲜花植物．干花和鲜花的成本价分别是每束元，每盆元． （1）已知一盆鲜花售价是一束干花价格的倍．第一天就卖了束干花，盆鲜花，共获利元．求一束干花的售价是多少元． （2）若在（2）的条件下，花博会最后一天，王某发现还有束干花和盆鲜花，决定干花的售价提高销售，很快全部售完．鲜花降价卖了盆，剩下的每盆元全部卖出，当天的利润为元，且鲜花价格尽可能降低．求的值是多少？ 24. 已知：是任意三角形． （1）如图所示，点、、分别是边、、中点，求证：． （2）如图所示，点、分别在边、上，且，，点、是边的三等分点，你认为是否正确？请说明你的理由． （3）如图所示，点、分别在边、上，且，，点、、、是边的等分点，则______．请直接将该小问的答案写在横线上 25. 如图，抛物线是常数，且与轴交于，两点，与轴交于点并且，两点的坐标分别是，，抛物线顶点为． （1）求出抛物线的解析式； 顶点的坐标为______； 直线的解析式为______； （2）若为线段上的一个动点，其横坐标为，过点作轴于点，求当为何值时，四边形的面积最大？ （3）若点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$