精品解析：云南省临沧市部分学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2026届高三开学考试LK 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】①若，则，， 所以”是“”的充分条件； ②若，则或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以或，所以”是“”的不必要条件， 所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2. 已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求出的值，再计算，最后根据向量垂直的判定条件判断与的夹角. 【详解】根据向量在上的投影向量为，已知在上的投影向量为，所以. 先计算，根据向量数量积的坐标运算公式，可得. 再计算，根据向量模长公式：可得，那么. 所以. 所以.  得，所以与的夹角为.  故选：C. 3. 已知，，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分析题意结合对数函数性质得到，进而求出，再对目标式合理转化，代入求值即可. 【详解】因为，所以， 故，因为，所以， 令，定义域为， 而， 而，故， 而，故，得到， 由对数函数性质得在上单调递增， 由一次函数性质得在上单调递增， 故在上单调递增，得到， 代入中得到，即， 故，故B正确. 故选：B 4. 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件求出等差数列基本量，再运用公式法求和即可. 【详解】设首项为，公差为，由已知得， 因为，所以， 化简得，因为成等比数列，所以， 故，解得或(舍去)， 故，且设前项和为， 则，得到，故A正确. 故选：A 5. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，即，将问题转化成直线与圆有交点，从而得到，即可求解. 【详解】令，又，令，整理得到， 由题可得，整理得到，解得， 所以， 故选：B. 6. 当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别作出与的图象，可得，从而可求解. 【详解】由，如图所示，画出在时的图象， 对于，，， 令，得，，得，， 由与的图象有个交点， 由图知，解得，故B正确. 故选：B. 7. 为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到容器的半径. 【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示: 正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有， 俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形， 正方形的中心到球心的距离与正视图中的相等， 设半球半径为R，已知小球半径， 所以，，，. 所以半球面形状的容器的容积是. 故选：B 8. 已知抛物线：，过焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，为平面上一点，为的重心，则的面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程联立曲线可得与纵坐标有关韦达定理，由重心的性质可得，结合点到直线的距离公式与弦长公式可得的范围，即可得的面积的取值范围. 【详解】由：，则焦点坐标为， 设，、， 联立，得，， 则，， 由为的重心，则有， 点到直线的距离为， 则 ， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助为的重心，得到，从而可通过计算的取值范围得到的面积的取值范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共轭复数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则， A选项，，所以A选项正确. B选项，，所以B选项正确. C选项，，， 所以C选项正确. D选项，设，则， 则，所以D选项错误. 故选：ABC 10. 已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 时， C. 时，随着的增大而增大 D. 时，随着的增大而减小 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可. 【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，， 故A正确， 对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布， 则， 所以， ， 所以，故B正确， 对于C,D选项，， 当时，为正项且单调递增的数列， 故随着的增大而增大故选项C正确， 当时，为正负交替的摆动数列， 故选项D不正确. 故选：ABC. 11. 如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ）． A. 曲线上存在到原点的距离超过的点 B. 点在曲线上 C. 曲线与直线有且仅有一个交点 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据几何性质求解动点的轨迹方程，A项，由两点间距离公式及三角函数有界性可得；B项，由点，利用参数方程解方程组可得；C项，联立直线与参数方程，结合三角函数图象可得交点个数；D项，由，利用均值不等式可得. 【详解】设与切于点，则始终关于点对称， 所以当切点绕逆时针转动弧度时，致使点绕圆心也转了弧度，， 如图，连接，，延长与轴交于点， 过作轴于点， 可得，，，， 因此， ， 则， 即曲线的参数方程为，为参数，， 对于A，， 所以上不存在到原点的距离超过的点，故A错误； 对于B，若在上，则， 由①解得或0， 验证知仅当时，代入②符合，所以在曲线上，故B正确； 对于C，由，将曲线的参数方程代入得 ， 即， 所以， 如下图，分别作出与的大致图象， 可知两函数图象共有两个交点，故C错误； 对于D，， ， 所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组统计数据为84，79，80，82，77，83，86，75，则这组数据的75%分位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排列为：，由， 故这组数据的75%分位数为第6个和第7个数的平均数，即， 故答案为： 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】累乘法求数列通项公式； 【详解】因为，所以 ， 而也满足上式，因此数列的通项公式为. 故答案为： 14. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 __种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 __． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 【答案】 ①. 24 ②. 112 【解析】 【分析】利用分步乘法原理结合题意分析求解即可． 【详解】第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法， 第二步，从第二行中选一个与第一个数不同列的数，共有3种选法， 第三步，从第三行中选一个与第一、二个数不同列的数，共有2种选法， 第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，只有1种选法， 由分乘法原理可知共有种不同的选法； 先按列分析，每列必选出一个数，所以所选4个数的十位数字分别为1，2，3，4， 再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5， 所以从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大， 所以选中方格中的4个数之和的最大值为. 故答案为：24；112． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设 . （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简可得，令，即可得单调递增区间； （2）利用和角的范围求得角，结合正弦定理和化简整理得，再根据锐角三角形得到，代入求得的取值范围，即为周长的取值范围. 【小问1详解】 ， 由， 得， 的单调增区间为， 【小问2详解】 因为， 可得， 由题意知A为锐角，则， 由正弦定理可得， 则，， 所以 ， 因为，解得， 则，所以，则， 所以， 即周长的取值范围为 . 16. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 【答案】（1）（i）；（ⅱ），7.5 （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 【解析】 【分析】（1）（i）由题意可得，求解即可；（ⅱ）利用最小二乘法求得回归方程，可求得预测值； （2）利用，求得，利用独立事件同时发生的概率公式与互斥事件的概率加法公式求得的分布列与数学期望，比较可得结论. 【小问1详解】 （i）根据表格中的数据，可得，解得. （ⅱ），， 所以. 故所求经验回归方程为， 当时，， 所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线过点，求实数a的值； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：，设，则， 因为，所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 时，，即， ，， 所以当时，. ，， 所以存在唯一的，使得，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值， 所以， 因为，所以，故， 则，得证． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值. （2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，，所以， 又， 所以在处的切线方程为， 将点代入得，解得． 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中， 为矩形，且，，. （1）求证： 平面； （2）若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且. ①求点 到平面的距离； ②求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）在中，，，， 所以，解得：， 所以，所以， 又，为平面内两条相交直线， 所以 平面； （2）； 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，进而得到即可求证； （2）建系，通过点到面的距离公式及面面角的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）由（1）知， 平面，， 所以平面，又 在平面 内，所以平面平面， 在平面内，所以， 在三角形中，，，， 所以，又， 所以， 又， 又， 所以，又， 所以， 取 的中点 ， ，可知：， 因为平面平面，交线为 ， 又在平面内， 所以平面 ，如图建立空间直角坐标系 易得：, 所以， 设平面的法向量为， 则， 所以， 令 ，得，即， 又， 所以求点 到平面的距离， ②， 设平面的法向量， 则，所以， 令，则，可得：， 设平面与平面所成夹角为 ， 所以， 所以， 即平面与平面所成夹角的正弦值为. 19. 双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） 【答案】（1） （2）（i）； （ii）设． 直线和方程分别为和． 联立得点．又点在直线上，代入整理得： ．① 在直线方程中，令，则，得点． ，故直线方程为：． 设直线与直线交点为，联立两直线方程：．解得：． 设直线与直线交点为，同理可得：． 由①式，作差的分子有 ， 作差的分母有 . 则可得和表达式的分子分母分别相等．故，两点重合， 所以直线与的交点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）求出，再根据离心率得到，则得到其双曲线方程； （2）（i）首先排除切线斜率不存在的情况，再采用设线法，并联立双曲线方程，根据判别式得到的范围； （ii）设，根据切线结论得到直线和方程，再联立求出的坐标，再求出的坐标，得到直线方程，再分别设直线与直线交点为，直线与直线交点为，证明两点重合即可. 【小问1详解】 直线方程中，令，则， 则直线与轴交于，所以．离心率， 所以，故． 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 （i）经检验，当一条切线斜率不存在时， 若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为， 联立双曲线方程得， 则， 解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意， 当时，此时只有一条切线，显然不合题意， 则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为， 与双曲线方程联立得：， 令． 整理得：，由于，所以且． 上式整理得：． 由题意，有两个相异实根，所以， 且． 整理得：，解得：． 综上所述，的取值范围是． （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是采用证明两交点重合的方程得到定直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三开学考试LK 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4. 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线：，过焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，为平面上一点，为的重心，则的面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 时， C. 时，随着的增大而增大 D. 时，随着的增大而减小 11. 如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ）． A. 曲线上存在到原点的距离超过的点 B. 点在曲线上 C. 曲线与直线有且仅有一个交点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组统计数据为84，79，80，82，77，83，86，75，则这组数据的75%分位数为______. 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______． 14. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 __种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 __． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设 . （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 16. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线过点，求实数a的值； （2）当时，证明：． 18. 如图，在四棱锥中， 为矩形，且，，. （1）求证： 平面； （2）若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且. ①求点 到平面的距离； ②求平面与平面所成夹角的正弦值. 19. 双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $