精品解析：江苏省南京市金陵中学河西分校2025年中考四模数学试卷

金陵河西学校2024-2025年中考数学模拟卷四 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1. 的值等于（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 2. 已知一种流感病毒的细胞直径约为120纳米（1纳米=10－9米）， 那么用科学记数法表示该病毒的直径约为（ ） A. 120×10－9米 B. 1.2×10－8米 C. 12×10－8米 D. 1.2×10－7米 3. 如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝40°，那么∠2的度数是（　　） A. 35° B. 45° C. 50° D. 65° 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 用尺规作图，作边上的高正确的是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，若P为AB上一动点，旋转后点P的对应点为点P'，则线段PP'长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 2 二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7. 8的平方根是__________，8的立方根是__________． 8. 函数中，自变量的取值范围是______． 9. 计算______． 10. 若关于x的方程x2－mx＋8＝0的一个根为4，则m＝_______． 11. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 12. 设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0两个根，且x1+x2＝4，则x1x2＝___． 13. 依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 ________． 14. 把一副三角板如图摆放，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝45°，∠F＝30°，则∠1＋∠2＝____°． 15. 如图，点是函数图像上的任意一点，点、在反比例函数的图像上．若轴，轴，阴影部分的面积为，则______． 16. 如图，是正方形的外接圆，点是劣弧上的任意一点，连接，作于点，连接则当点从点出发按顺时针方向运动到点时，长的取值范围为________________． 三、解答题（共11小题，满分88分） 17. 解关于x的不等式组，并把解集表示在所给数轴上． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点E、F分别在的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O． （1）求证：AC、EF互相平分； （2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明． 20. 某校对高一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班、2班、3班、4班，甲、乙两人是该校的高一新生． （1）甲恰好被分在1班的概率为______； （2）求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率． 21. 我国实施科教兴国战略以来，科技企业在社会生产生活中的地位越来越重要．调查某科技企业五年以来的研发成本和年度利润率，将相关数据绘制成如下统计图和统计表： 年~年利润率 年份 利润率 年 年 年 年 年 （1）年度该企业总成本是________亿元； （2）求该企业五年以来的年平均研发成本； （3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，写出两个不同类型的结论． 22. 为改善电力供求，某地自2021年10月1日起将高耗能企业用电单价调整为原来的1.5倍．某高耗能企业2021年9、10月的电费总额分别为8000元、7200元，10月份的用电量比9月份下降了4000度．求调整后的高耗能企业用电单价． 23. 如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东方向上，继续航行小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东方向，避风港M在北偏东方向上．求此时渔船离避风港的距离．（参考数据：，，，） 24. 如图，D是△ABC边BC上的点，连接AD，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD． 用两种不同方法证明AB＝AC． 25. 已知二次函数（m是常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点； （2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？ 26. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AE＝1，∠F＝30°，则⊙O半径长为 ． 27. 【概念认识】 若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点． 【数学理解】 （1）如图①，AB是⊙O的直径，点P为⊙O外一点，连接AP交⊙O于点C，PC＝AC． 求证：点P为⊙O的径等点． （2）已知AB是⊙O的直径，点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，若PC＝2AC．求的值． 【问题解决】 （3）如图②，已知AB是⊙O的直径．若点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，PC＝3AC．利用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵河西学校2024-2025年中考数学模拟卷四 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1. 的值等于（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵=3， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的算术平方根是0． 2. 已知一种流感病毒的细胞直径约为120纳米（1纳米=10－9米）， 那么用科学记数法表示该病毒的直径约为（ ） A. 120×10－9米 B. 1.2×10－8米 C. 12×10－8米 D. 1.2×10－7米 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：120纳米=米=米， 故选D. 3. 如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝40°，那么∠2的度数是（　　） A. 35° B. 45° C. 50° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线平行，同位角相等得∠1的同位角是40°，再根据平角的定义和垂直定义即可求得∠2． 【详解】解：∵a∥b， ∴BC与b所夹锐角等于∠1=40°， 又AB⊥BC， ∴∠ABC=90° ∴∠2=180°-90°-40°=50° 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的概念，熟练应用两直线平行同位角相等是解题关键． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂的乘方、同底数幂除法进行计算，即可求出答案． 【详解】解：； 故选：C 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂除法，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 5. 用尺规作图，作边上的高正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的高线的作法进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是过点作的垂线，故A选项不符合题意； B．是边上的高正确作法，故B选项符合题意； C．是过点作的垂线，故C选项不符合题意； D．是过点A作的垂线，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图基本作图，三角形的角平分线、中线和高，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，若P为AB上一动点，旋转后点P的对应点为点P'，则线段PP'长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过C点作CP⊥AB于P点，CP'⊥A'B'于P'点，CO⊥PP'于O点，此时线段PP'为最小值，根据旋转的性质与特殊角的三角函数可得PP'，然后在Rt△BCP中求得CP的长即可. 【详解】如图，过C点作CP⊥AB于P点，CP'⊥A'B'于P'点，CO⊥PP'于O点，此时线段PP'为最小值， 由题意可设CP=CP'， ∵∠PCP'=120°， ∴∠CPP'=∠CP'P=30°， ∴PO=CPcos30°=，即PP'， 当CP⊥AB时，CP为最小值，则此时PP'为最小值， 在Rt△BCP中，∠B=60°，BC=2， ∴CP=BCsin60°， ∴PP'. 故选C. 【点睛】本题主要考查解直角三角形，解此题的关键在于熟练掌握旋转的性质，特殊角的三角函数等，根据题意构造适当辅助线帮助解题. 二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7. 8的平方根是__________，8的立方根是__________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据平方根以及立方根的定义即可直接求解． 【详解】解：8的平方根是 ；8的立方根是2. 故答案为：；2． 【点睛】本题主要考查了立方根的概念的运用．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数． 8. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由函数可得自变量的取值范围是， ∴， 故答案为：． 9. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，根据二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质即可求解，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 若关于x的方程x2－mx＋8＝0的一个根为4，则m＝_______． 【答案】6 【解析】 【分析】由方程的解的定义，把x=4代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值． 【详解】解：依题意，得 424m+8=0， 解得，m=6． 故答案是：6． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 11. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 12. 设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0两个根，且x1+x2＝4，则x1x2＝___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据根于系数的关系得到 ，即可求出m的值，再把m的值代入方程，根据即可求出答案 【详解】根据题意得，x1+x2＝4 解得m=4, 4-1=3 故答案为：3 【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键在于求出m的值 13. 依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 ________． 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，平行线性质等知识点的运用，主要考查学生能否正确运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中．连接、交于，根据三角形的中位线定理推出，，得出四边形是平行四边形，根据菱形性质推出，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、交于， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ，， ， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：矩形． 14. 把一副三角板如图摆放，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝45°，∠F＝30°，则∠1＋∠2＝____°． 【答案】225 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质分别求出∠1=∠D+∠3，∠2=∠F+∠4，计算即可得到答案. 【详解】∵∠1=∠D+∠3，∠2=∠F+∠4， ∴∠1+∠2=∠D+∠F+∠3+∠4， ∵∠3=∠5，∠4=∠6，∠5+∠6+∠A=180°， ∴∠3+∠4=∠5+∠6=180°-∠A=180°-45°=135°， ∵∠D+∠F+∠E=180°，∠E=90°， ∴∠D+∠F=90°， ∴∠1+∠2=90°+135°=225°， 故答案为：225. 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键. 15. 如图，点是函数图像上的任意一点，点、在反比例函数的图像上．若轴，轴，阴影部分的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得到四边形、、都是矩形，点是函数图像上的任意一点，可得，根据点、在反比例函数的图像上，从而得到，，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设 ∵轴，轴， 又∵在平面直角坐标系中，轴和轴互相垂直， ∴轴，轴，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵点是函数图像上的任意一点， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，过图像上一点作坐标轴的垂线构建矩形是常用的解题方法．由几何图形的性质将阴影部分的面积进行转化是解题的关键． 16. 如图，是正方形的外接圆，点是劣弧上的任意一点，连接，作于点，连接则当点从点出发按顺时针方向运动到点时，长的取值范围为________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意可知，当点与点重合时最长，的最大值为；再证明点的运动轨迹为以为直径的，通过添加辅助线连接交于点，连接，由线段公理可知，当点与点重合时最短，的最小值为．即可得解． 【详解】解：∵由题意可知，当点与点重合时最长 ∴此时，即的最大值为 ∵ ∴ ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接交于点，连接，如图： ∵ ∴ ∴在中， ∴ ∴由两点之间，线段最短可知，当点与点重合时最短 ∴的最小值为 ∴． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的动点问题、的圆周角所对的弦为直径、勾股定理、线段公理等知识点，解题的关键是确定取最大值和最小值时点的位置，属于中考常考题型，难度中等． 三、解答题（共11小题，满分88分） 17. 解关于x的不等式组，并把解集表示在所给数轴上． 【答案】， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 先求出两个不等式的解集，再求其解集的公共部分，并把解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 则不等式组的解集为 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，先算括号内的分式加减运算，然后算分式除法化成最简，最后把代入求解即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 如图，点E、F分别在的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O． （1）求证：AC、EF互相平分； （2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明． 【答案】（1）证明：  在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，， ∵BE=DF， ∴AE=CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AC、EF互相平分． （2）四边形AECF是菱形，理由如下：  EF平分∠AEC，  是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AB∥CD，AB=CD，再根据证明 即可得出结论． （2）证明结合（1）问的结论可得答案． 【详解】（1） 略 （2）略 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 20. 某校对高一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班、2班、3班、4班，甲、乙两人是该校的高一新生． （1）甲恰好被分在1班的概率为______； （2）求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）所有等可能的情况数有4种，甲恰好被分在1班的情况有1种，求出甲恰好被分在1班的概率即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙被分在班号连续的两个班级的情况数，求出甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率即可． 【小问1详解】 ∵所有等可能的情况数有4种，甲恰好被分在1班的情况有1种， ∴甲恰好被分在1班的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 所有等可能的情况有16种，其中甲、乙被分在班号连续的两个班级的情况数有6种，分别为，，，，，， 则P（甲、乙被分在班号连续的两个班级）． 21. 我国实施科教兴国战略以来，科技企业在社会生产生活中的地位越来越重要．调查某科技企业五年以来的研发成本和年度利润率，将相关数据绘制成如下统计图和统计表： 年~年利润率 年份 利润率 年 年 年 年 年 （1）年度该企业总成本是________亿元； （2）求该企业五年以来的年平均研发成本； （3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，写出两个不同类型的结论． 【答案】（1）年度该企业总成本是亿； （2）该企业五年以来的年平均研发成本亿； （3） ①该企业年的总成本为亿元，年的利润率是， 所以年的利润是亿元； ②该企业近五年的研发成本分别是亿元、亿元、2亿元、亿元、亿元，年利润率分别是、、、、， 可以看出增加研发成本短期会使得年利润率下降，但是长期能使得年利润率大幅上升． 【解析】 【分析】（1）用年研发成本除以研发成本占总成本的百分比可得； （2）根据算术平均数的定义求解可得； （3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：年研发成本是亿，占总成本的， ∴年度该企业总成本是亿； 【小问2详解】 解：由题意得：该企业五年以来的年平均研发成本亿； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、算术平均数，解题的关键是学握根据扇形统计图和条形统计图得出解题所需数据及算术平均数的求法． 22. 为改善电力供求，某地自2021年10月1日起将高耗能企业用电单价调整为原来的1.5倍．某高耗能企业2021年9、10月的电费总额分别为8000元、7200元，10月份的用电量比9月份下降了4000度．求调整后的高耗能企业用电单价． 【答案】1.2元 【解析】 【分析】设调整前的用电单价是x元，从而可得调整后的用电单价是1.5x元，再根据“某高耗能企业2021年9、10月的电费总额分别为8000元、7200元，10月份的用电量比9月份下降了4000度”建 立方程，解分式方程即可得． 【详解】解：设调整前的用电单价是x元，从而可得调整后的用电单价是1.5x元， 由题意得：， 解得， 经检验，x= 0.8是原方程的解，且符合题意， 当x=0.8时，． 答：调整后调整后的用电单价是1.2元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键．需注意的是，解分式方程需要进行检验． 23. 如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东方向上，继续航行小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东方向，避风港M在北偏东方向上．求此时渔船离避风港的距离．（参考数据：，，，） 【答案】250（海里） 【解析】 【分析】过点P、M分别作于C，于D，交的延长线于点C、D．于是得到海里，根据矩形的性质得到，设海里，解直角三角形即可得到结论． 【详解】过点P、M分别作于C，于D，交的延长线于点C、D， 由题意可知：海里， 则四边形为矩形， ∴， 设海里， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，（海里）， 答：渔船离避风港的距离为海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题；合理构建直角三角形是解决此题的关键． 24. 如图，D是△ABC边BC上的点，连接AD，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD． 用两种不同方法证明AB＝AC． 【答案】 证法1：如图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F， ∵ ∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE＝DF，∠BED＝90°，∠DFC＝90°， ∵ BD＝CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴ ∠B＝∠C， ∴ AB＝AC． 证法2：如图，延长AD到E，使DE＝AD．    ∵   DE＝AD，BD＝CD， ∴   四边形ABEC是平行四边形． ∴   AC＝BE，AC∥BE． ∴   ∠BED＝∠CAD． 又   ∠BAD＝∠CAD， ∴   ∠BED＝∠BAD． ∴   AB＝BE． ∴   AB＝AC． 【解析】 【分析】（1）过D作DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线的性质得DE＝DF，然后根据HL定理证Rt△BDE≌Rt△CDF，得∠B=∠C，根据“等角对等边”即可证明AB=AC； （2）延长AD到E，使DE＝AD得四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的性质得AC＝BE，AC∥BE，得∠BED＝∠CAD进而有∠BED＝∠BAD，所以 AB＝BE，等量代换得到A B=AC ． 【详解】略 【点睛】方法1中主要应用了角平分线的性质、HL定理、等腰三角形的判定证明线段相等，作垂线创造角平分线性质条件是解答的关键； 方法2中主要利用平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定证明线段相等，构造平行四边形是解答的关键． 25. 已知二次函数（m是常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点； （2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？ 【答案】（1）证明：∵， ∴方程没有实数解． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点． （2）3． 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案． （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴把函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后， 得到函数的图象，它的顶点坐标是（m，0）． ∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点． ∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度。 26. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AE＝1，∠F＝30°，则⊙O半径长为 ． 【答案】 （1）如图所示，连接OD， ∵，∠BOD为的圆心角，∠FAE为的圆周角， ∴∠BOD=∠FAE， 又∵同位角相等，两直线平行，∴ODAE， ∵EFAE，∴∠AEF=90°，故∠ODF=90°， ∴直线EF为⊙O的切线． （2）⊙O的半径为， 【解析】 【分析】（1）添辅助线，连接OD，∠BOD为的圆心角，∠FAE为的圆周角，且，可知∠BOD=∠FAE，根据同位角相等，两直线平行的公理，得ODAE，所以∠ODF=90°，即直线EF为⊙O的切线； （2）设半径OD=r，在ODF和AEF中，∠F=30°，30°所对直角边为斜边一半，所以OF=2r，AF=3r=2，则半径可求得． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可知：∠AEF=∠ODF=90°，且∠F=30°， 在ODF中，设半径OD=r，30°所对直角边为斜边一半，则OF=2r， ∵AF=AO+OF=r+2r=3r，且AE=1， ∴AF=2AE=2，∴r=， 故⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的证明、圆周角定理以及含30°的直角三角形边长的计算，并运用到了同位角相等，两直线平行的公理，掌握以上定理就能解决类似的问题． 27. 【概念认识】 若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点． 【数学理解】 （1）如图①，AB是⊙O的直径，点P为⊙O外一点，连接AP交⊙O于点C，PC＝AC． 求证：点P为⊙O的径等点． （2）已知AB是⊙O的直径，点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，若PC＝2AC．求的值． 【问题解决】 （3）如图②，已知AB是⊙O的直径．若点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，PC＝3AC．利用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）证明：如图①，连接BC，     ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝PC， ∴BC垂直平分AP， ∴AB＝PB，即△APB为等腰三角形， ∴点P为⊙O的径等点． （2）； （3）如图③④，满足条件的点P共有4个．     【解析】 【分析】（1）连接BC，根据直径的性质及垂直平分线的性质即可得到AB＝PB，故可求解； （2）分AB＝AP时和PA＝PB时分别作图，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分AP=AB和AP=BP分别作图即可求解． 【详解】（1）略 （2）①如图②-1， 当AB＝AP时，若PC＝2AC，则， ∴； ②如图②-2， 当PA＝PB时，∵O点是AB中点， ∴OP⊥AB， ∴∠ACB=∠AOP， 又∠A=∠A ∴△ABC∽△APO， ∴， ∵2AC＝PC，设AC＝k，则PC＝2k， ∴， AB＝k， ∴= （3）略 【点睛】本题考查作图−复杂作图，圆的基本性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $