第一章 有理数 绝对值专项练习 2025-2026学年 华东师大版 七年级数学上册

专题 1 绝对值重难点专练七大题型 目录 题 型 一 | 利 用 绝 对 值 求 参 数 范 围 1 题 型 二 | 单 个 绝 对 值 最 值 问 题 2 题 型 三 | 绝 对 值 0 ＋ 0 模 型 3 题 型 四 | 利 用 绝 对 值 判 断 符 号 4 题 型 五 | 含 绝 对 值 的 方 程 求 值 5 题 型 六 | 分 类 讨 论 求 值 6 题 型 七 | 利 用 数 轴 化 简 绝 对 值 7 题 型 一 | 利 用 绝 对 值 求 参 数 范 围 1 ．若 | a — 3 |= 3 — a ，则 a 的取值范围是 ( ) A ． a≤3 B ． a≥3 C． a < 3 D ． a > 3 2 ．若|m — 9 |= 9 — m ，则 m 的取值范围是 ( ) A ． m≤9 B ． m≥9 C． m > 9 D ． m < 9 3 ．如果 | 6 — x |= x — 6 ，那么x 的取值范围是 ( ) A ． x≥6 B ． x > 6 C． x≤6 D ． x < 6 4 ．如果， m > 0 ， n < 0 ， | m |<| n | ，那么m ， n ， —m ， —n 的大小关系是 ( ) A ． n < —m < —n < m B ． —m < n < m < —n C． —m < n < —n < m D ． n < —m < m < —n 5 ．若| a — 2 |= 2 — a ，则 a 的范围为 ( ) A ． a≤2 B ． a > 2 C． a < 2 D ． a≥2 6．数轴上表示数 a ，b 的点如图所示．把 a ，| a | ，b ，—b 按照从小到大的顺序排列，则正确的结论是 ( ) A ． —b <| a |< a < b B ． a < —b <| a |< b C． —b < a <| a |< b D ． a < —b < b <| a | 7 ．当| a — 3 |=| a | + | —3 | ，则 a 的值是 ( ) A ．任意有理数 B ．任意一个非负数 C ．任意一个非正数 D ．任意一个负数 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型二 )| 单 个 绝 对 值 最 值 问 题 1. 若 a 是有理数，则 | a -1|+2 的最小值是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 2. 如果 a 是有理数，则 | a | -2023 的最小值为 ( ) A ． -2021 B ． -2022 C． -2023 D ．不存在 3. 代数式| 3x - 2 |+2 的最小值是 ( ) A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 如果 x 为有理数，式子 2023- | x - 2023 | 存在最大值，这个最大值是 ( ) A ．2023 B ．4046 C．20 D ．0 5. 如果 x 为有理数，式子 2025- | x + 4 | 存在最大值，这个最大值是 ( ) A ．2025 B ．2024 C．2023 D ．2022 6. 若 m 为任意实数，则 |m + 2019 | 的最小值是 . 7. 如果 x 为有理数，式子 2019- | x - 2 | 存在最大值，这个最大值是 ，此时 x 的值为 . 8. 字母 a 表示一个有理数，则 | a |一定是非负数，也就是它的值为正数或 0，所以 | a | 的最小值为 0，而 - | a | 一定是非正数，即它的值为负数或 0 ，所以 - | a | 有最大值 0 ，根据这个结论完成下列问题： （1） | a | +1 有最 值 ； （2） 5- | a | 有最 值 ； （3）当 a 的值为 时， | a -1|+2 有最 值 . 9. 用字母 a 表示一个有理数，| a |一定是非负数，也就是它的值为正数或者 0，所以 | a | 的最小值为 0 ，而 - | a |一定是非正数，即它的值为负数或者 0 ，所以 - | a | 有最大值为 0 ，根据这个结论完成以下问题： （1） | a | +1 有最 值为 ； 5- | a | 有最 值为 ； （2）当 a = 时， | a -1| +2 有最 值 ； （3）当 a = 时， 9- | a - 3 | 有最 值 ； 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型三 )| 绝 对 值 0＋ 0 模 型 1. 若| x -1| + | y + 2 |= 0 ，则 5x - 2y 的值为 ( ) A ． -9 B ．3 C．9 D ． -1 2. 若| x - 2 | + | y +1|= 0 ，则 x - y 的值为 ( ) A ． -3 B ．3 C． -2 D ．2 3. 若| a -1| 与 | b- 2 | 互为相反数，则 a +b 的值为 ( ) A ．3 B ． -3 C．0 D ．3 或 -3 4. 若| a -1| 与| b- 2 | 互为相反数，则 (a -b)3 的值为 ( ) A ．1 B ． -1 C．27 D ． -27 5. 若| a + 3 | 与| b- 2 | 互为相反数，则 (a +b)2024 的值为 ( ) A ．1 B ．2024 C． -1 D ． -2024 6. 若| a + 2 | +(3 -b)2 = 0 ，则 a + 2b = . 7. 若 (a + 2)2 与| b- 1 | 互为相反数，则 的值为 . 8. 若|1 - m | + | n - 2 |= 0 ，则 m + n 的值为 . 9. 已知 | x -1| + | y + 2 |= 0 ， z 是最大的负整数，则 x + 2y + 3z 的值为 . 10. 若| m - 3 | + | n + 2 |= 0 ，则 mn 的值是 ( ) A ．6 B ． -6 C． D ． - 11. 若 (1 - m)2 + | n - 2 |= 0 ，则 m + n 的值为 ( ) A ． -1 B ．3 C． -3 D ．2 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型四 )| 利 用 绝 对 值 判 断 符 号 1. 下列结论中，正确的是 ( ) A ． | a |一定是正数 B ． - | a | 一定是负数 C ． - | -a |一定是非正数 D ． - | -a |一定是负数 2. 如果 a 表示有理数，那么下列说法中，正确的是 ( ) A ． | a |一定是正数 B ． -(-a) 一定是正数 C ． - | a | 一定是负数 D ． | a |一定不小于 a 3. 下列结论正确的是 ( ) A ． -a 一定是负数 B ． -a 是非负数 C ． - | a |一定是负数 D ． - | a |一定不是正数 4. 有理数 a ， b 满足 a > 0 ， b < 0 ， | a |<| b | ，则下列结论正确的是 ( ) A ． -a < b < -b < a B ． b < -a < a < -b C． -a < -b < b < a D ． b < -a < -b < a 5. 下列结论正确的是 ( ) A ． -a 一定是负数 B ． - | a |一定是非正数 C ． | a |一定是正数 D ． | a |一定是负数 6. 设 m 、 n 是实数，如果 |m + n |=| m - n | ，则下列结论正确的是 ( ) A ． m 一定不是负数 B ． n 可能是负数 C ． n = 0 D ． m 是正数 7. 若两个有理数 a 、 b 满足式子 | a -b |=| a | + | b | ，则下列结论一定成立的是 ( ) A ． a 、 b 的积是非正数 B ． a 、 b 都是正有理数 C ． a 、 b 的差是正有理数 D ． a 、 b 异号 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型五 )| 含 绝 对 值 的 方 程 求 值 1. 若| -x |= 3 ，则 x == . 2. 如果 | a -1|= 5 ，那么 a 的值为 . 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 3. 若 a - 2023 | +(-3) = 10 ，则 a = . 4. 如果 ( | x - 1| )x |= 8 ，则 x = ；如果 = 1 ，则 x = . 5. 如果 ( | y - 3 | )x |= 2.5 ，那么 x = ；如果 = 0 ，那么y = . 6. 若| a |= 5 ，则 a 的值为 ；若 | x |= -x ，则 x 是 数. 7. 若| a |= -a ，则 a 的取值范围是 ；若 | x |> x ，则 x 的取值范围是 . ( 题型六 )| 分 类 讨 论 求 值 1. 已知 | a |= 5 ， | b |= 3 ，且 a < b ，则 a = ， b = . 2. 已知： | a |= 5 ， | b |= 12 ，且 a > b ，则 a -b 的值是 . 3. 已知 | m |= 3 ， | n + 5 |= 0 ，则 m + n = . 4. 已知 | a -b |= b- a ，且 | a |= 3 ， | b |= 2 ，则 a + b 的值是 . 5. 若| a |= 5 ， | b |= 2 ，且 a < b ， a 和b 同号．那么 a + b 的值等于 . 6. 若| a |= 3 ， | b |= 4 ，且 a ， b 异号，则 | a + b |= . 7. 若| m | + | n |= 13 ， | m + n |= 1 ，则 m 的值为 . 8. 已知 | a |= 5 ， | b-1|= 2 ，且 a > b ，则 a + b = . 9. （1） 已知| a |= 5 ， | b |= 3 ，且 a > 0 ， b > 0 ，求 a + b 与 ab 的值； （2） 已知| a |= 5 ， | b |= 3 ，且 a < b ，则 a ， b 的值各是多少？ 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型七 )| 利 用 数 轴 化 简 绝 对 值 1. 已知有理数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，则 | a +b | — | a — b | 化简后得 . 2. 有理数 a ， b 在数轴上的对应点如图所示，化简： | a +b | — | b — 4 | —3 | a — 2 |= . 3. 在数轴上表示 a 、 b 两个实数的点的位置如图所示，则化简 | a — b | — | a +b | 的结果是 . 4. 若 a ， b ， c 在数轴上的对应点如图所示，则 | c — a | + | b+ a | — | b+ c | 化简结果为 . 5. 若有理数 a 、 b 、 c 在数轴上对应的点如图，化简： | a — c | + | b + c | — | a — b |= . 6. 有理数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“ > ”或“ < ”填空： b — c 0 ， a + b 0 ， c — a 0 . （2）化简： | b — c | + | a + b | — | c — a | . 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 7. 有理数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图所示，且 | a |=| c | . （1）填空： a + c 0； a + b 0； c — b 0 . （2）化简： | a + c | + | a + b | + | c — b | . 8. 有理数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示，化简下列各式. （1） | a +1| ； （2） | a + b | ； （3） | a — b | — |1 — b | + |1 — a | . 第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 专题 2 绝对值压轴五大题型 目录 题 型 一 | 绝 对 值 新 定 义 问 题 1 题 型 二 | 绝 对 值 ±1 模 型 3 题 型 三 | 绝 对 值 零 点 分 段 法 5 题 型 四 | 绝 对 值 的 几 何 意 义 求 最 值 13 题 型 五 | 绝 对 值 定 值 问 题 18 题 型 一 | 绝 对 值 新 定 义 问 题 1 ．定义一个运算 ，已知| a - 2 |= 1 ， b = 2 ，那么 f . 2 ．定义{a, b} = {l[b (a) + ((a (a)bb)) ，当| a |= 1 ， | b |= 3 时， {a ， b} 的最小值为 . 3 ．对于有理数 a ，b ，定义一种新运算“θ ”, 规定 a Θb =| a -b | - | a +b | ，当 a ，b 在数轴上的位置如图 所示时，则 a Θb = . 4．定义：如果两个有理数 m ，n 满足 2m = 3n ，则称 m ，n 为一对“相随数 ”．已知有理数 a ，b 为一对“相 随数 ”，若 p =| 2a | + | 3b- 4 | ，则 p 的值可以为 ( ) A ．1.5 B ．2.5 C．3.5 D ．4.5 5 ．定义：对于任意一个三位自然数 m ，若 m 满足十位数字比百位数字大 1 ，个位数字比十位数字大 1 ，那 么称这个三位数为“ 向上数 ”；对于任意一个三位自然数 n ，若 n 满足十位数字比百位数字小 1 ，个位数字 比十位数字小 1 ，那么称这个三位数为“ 向下数 ”．将“ 向上数 ” m 的 7 倍记为 F (m) ，“向下数 ” n 的 8 倍记为 G(n) ，若 是整数，则称每对 m ， n 为“七上八下数对 ”．在所有“七上八下数对 ”中， | m - n | 的最大值是 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 6 ．已知点 A 在数轴上对应的数是 a ，点 B 在数轴上对应的数是b ，且 | a + 4 | +(b-1)2 = 0 ．现将 A 、 B 之 间的距离记作 | AB | ，定义| AB |=| a -b | . （1） 2018b + a 的值； （2） | AB | 的值； （3）设点P 在数轴上对应的数是 x ，当 | PA | - | PB |= 2 时，求 x 的值. 7 ．阅读理解： 目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数. 小明学习后总结如下：因为 x2≥0 ，所以 x2 + m 的最小值为 m ，所以 -x2 + m 的最大值为 m . 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整. （1）对 | x | -3 和 - | x | -3 进行讨论，发现可以求得 | x | -3 的最 值，可以求得 - | x | -3 的最 值： （2）多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论： （3）请用迁移发现中的结论讨论 -50- |m - n | 是否有最小值或最大值，最值是什么？ 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 题 型 二 | 绝 对 值 ± 1 模 型 1. 如果 a ， b 是非零有理数，那么 的值不可能是 ( ) A ． 一2 B ．0 C．1 D ．2 2. 若 ab ≠ 0 ，则 的取值不可能是 ( ) A ．0 B ．1 C．2 D ． 一2 3. 如果 ab ≠ 0 ，那么 的值是 ( ) A . ±1 或 3 B ． 一1 或 3 C．1 或 3 D . ±1 或 一3 4. 已知非零有理数 m ， n 满足 = 一2 ．计算 = . 5. 如果 ab > 0 ，那么 + + = . 6. 如果 a.b < 0 ，那么 + + = . 7. 若 abc ≠ 0 ，则 的值为 ( ) A . ±3 或 ±1 B . ±3 或 0 或 ±1 C. ±3 或 0 D ．0 或 ±1 8. 已知 a ， b ， c 都不等于 的最大值是 m ，最小值是 n ，求 + 3n 的值. 9. 设 abc ≠ 0 ，且 a + b + c = 0 ，则 + + + 的值可能是 ( ) A ．0 B . ±1 C. ±2 D ．0 或 ±2 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 10. 已知实数 a ， b ， c 满足 a + b + c < 0 ，且 abc ≠ 0 ，则 . 11. 已知实数 a ， b ， c ，则化简 结果是 . 12. 如果 < 0 ，那么 的值是 . 13. 已知：m = ，且 abc > 0 ，a + b + c = 0 ，则 m 共有 x 个不同的值，若在这些 不同的 m 值中，最小的值为 y ，则 x — y = . 若 ab > 0 ，求 的值； 若 = —1 ，求 的值. 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型三 )| 绝 对 值 零 点 分 段 法 1. 阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道 现在我们可以利用这一结论来化简含 绝对值的代数式．例如：化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 和x = 2 （称 -1 ，2 分别为 | x + 1 | 与 | x - 2 | 的零点值）．在有理数范围内，零点值 x = -1 和 x =2 可将全体有理数分 成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： x < -1 ， -1≤x < 2 ， x≥2 ．从而在化简 | x +1| + | x - 2 | 时，可分以下 三种情况：①当 x < -1 时，原式= -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1 ；②当 -1≤x < 2 时，原式 = (x + 1) - (x - 2) = 3 ； ③当 x≥2 时，原式 = (x + 1) + (x - 2) = 2x -1 ．通过以上阅读，请你解决问题： （1） | x - 3 | + | x + 4 | 的零点值是 ；方程 | x - 3 | + | x + 4 |= 9 的解为 ； （2）化简代数式 | x + 2 | + | x - 5 | . 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 2. 阅读下列材料并解决相关问题. 化简代数式 | x + 5 | + | 2x - 3 | 的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易， 如| x + 5 | ，只要考虑x + 5 的正负，可以分为 x < -5 与x≥ - 5 两种情况来讨论，这里的x = -5 是使 x + 5 = 0 的 x 值，我们称它为 x + 5 的一个零点．同理，对于 2x - 3 ，也有一个零点 为了同时去掉两个绝对值 符号我们可以将 x 的取值范围分成三段，即x < -5 ，-5≤x < ，x≥进行讨论，这种令各个绝对值内的代 数式为 0 ，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法 ”. （1）填空： | x + 5 | + | 2x - 3 |= （2）代数式 || x -1| -2 | + | x +1| 的零点值有哪些？ （3）化简|| x -1| -2 | + | x +1| . 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 3. 阅读下列材料并解决有关问题. 我们知道 | x |= 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式 ．例如： 化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 和x = 2 （称 -1 ，2 分别为| x + 1 | 与| x - 2 | 的 零点值）．在有理数范围内，零点值 x = -1 和 x =2 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： ① x < -1 ；② -1≤x < 2 ；③ x≥2 . 从而在化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可分以下三种情况： ①当 x < -1 时，原式 = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + l ； ②当 -1≤x < 2 时，原式 = (x + 1) - (x - 2) = 3 ； ③ x≥2 时，原式 = (x + 1) + (x - 2) = 2x -1 . 通过以上阅读，请你解决问题： （1） | x + 2 | 和| x - 4 | 的零点值是 ； （2）化简： | x + 2 | + | x - 4 | ； （3）解方程： | x + 2 | + | x - 4 |= 10 . 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 4. 阅读下列材料并解决有关问题： 我 们 知 道 | x |= 现 在 我 们 可 以 用 这 一 结 论 来 化 简 含 有 绝 对 值 的 代 数 式 ， 如 化 简 代 数 式 | x +1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 和x = 2 （称 -1 ，2 分别为| x + 1 | 与| x - 2 | 的 零点值）．在有理数范围内，零点值 x = -1 和 x =2 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： （1） x < -1 ；（2） -1≤x < 2 ；（3） x≥2 ．从而化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 可分以下 3 种情况： （1）当 x < -1 时，原式 = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1 ； （2）当 -1≤x < 2 时，原式 = x + 1- (x - 2) = 3 ； （3）当 x≥2 时，原式 = x + 1 + x - 2 = 2x -1 . 综上讨论，原式 = 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出| x + 2 | 和| x - 4 | 的零点值； （2）化简代数式 | x + 2 | + | x - 4 | ； （3）解方程 | x + 2 | + | x - 4 |= 8 . 第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 5. 阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道 ， | m |= 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式 ，如化简代数式 | m +1| + | m - 2 | 时，可令m + 1 = 0 和 m - 2 = 0 ，分别求得 m = -1 ，m = 2（称 -1 ，2 分别为 | m + 1| 与|m - 2 | 的零点值）．在实数范围内，零点值 m = -1和 m = 2 可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： ① m < -1 ；② -1≤m < 2 ；③ m≥2 ．从而化简代数式 |m +1| + | m - 2 | 可分以下 3 种情况： （1）当 m < -1 时，原式 = -(m + 1) - (m - 2) = -2m + 1 ； （2）当 -1≤m < 2 时，原式 = m + 1 - (m - 2) = 3 ； （3）当 m≥2 时，原式 = m + 1 + m - 2 = 2m -1 . 综上讨论，原式 = 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出| x - 5 | 和| x - 4 | 的零点值； （2）化简代数式 | x - 5 | + | x - 4 | ； （3）求代数式| x - 5 | + | x - 4 | 的最小值. 第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 6. 阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道： | x |= 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式 ，如化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 ， x = 2 （称 -1 ，2 分别为| x + 1 | 与| x - 2 | 的 零点值）．在实数范围内，零点值x = -1 和， x = 2 可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： ① x < -1 ；② -1≤x < 2 ；③ x≥2 . 从而化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 可分以下 3 种情况： ①当 x < -1 时，原式 = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1 ； ②当 -1≤x < 2 时，原式= x + 1- (x - 2) = 3 ； ③当 x≥2 时，原式 = x + 1 + x - 2 = 2x -1 ．综上讨论，原式 = . 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）化简代数式 | x + 2 | + | x - 4 | . （2）求 | x -1| -4 | x +1| 的最大值. 第 10 页 学科网（北京）股份有限公司 7. 阅读下列材料. 我们知道 | x |= 现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 和x = 2 （称 -1 ，2 分别为| x + 1 | 与| x - 2 | 的 零点值）．在有理数范围内，零点值 x = -1 和 x =2 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： x < -1 ； -1≤x < 2 ； x≥2 ．从而在化简 | x +1| + | x - 2 | 时 ，可分以下三种情况： ①当 x < -1 时 ， 原式 = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1 ； ② 当 -1≤x < 2 时 ， 原 式 = (x + 1) - (x - 2) = 3 ； ③ 当 x≥2 时 ， 原 式 = (x + 1) + (x - 2) = 2x -1 . :| x + 1| + | x - 2 |= 通过以上阅读，解决问题： （1） | x - 3 | 的零点值是 x = （直接填空）； （2）化简| x - 3 | + | x + 4 | ； （3）关于x ， y 的方程| x - 3 | + | x + 4 | + | y - 2 | + | y +1|= 10 ，直接写出x + y 的最小值为 . 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 8. 阅读下列有关材料并解决有关问题. 我们知道 | x |= 现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 和x = 2 （称 -1 ，2 分别为| x + 1 | 与| x - 2 | 的 零点值）．在有理数范围内，零点值 x = -1 和 x =2 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： x < -1 ； -1≤x < 2 ； x≥2 ．从而在化简 | x +1| + | x - 2 | 时 ，可分以下三种情况： ①当 x < -1 时 ， 原式 = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1 ； ② 当 -1≤x < 2 时 ， 原 式 = (x + 1) - (x - 2) = 3 ； ③ 当 x≥2 时 ， 原 式 = (x + 1) + (x - 2) = 2x -1 ．通过以上阅读，请你解决问题： （1） | x - 3 | + | x + 4 | 的零点值是 ； （2）化简代数式 | x - 3 | + | x + 4 | ； （3）解方程 | x - 3 | + | x + 4 |= 9 ； （4） | x - 3 | + | x + 4 | + | x - 2 | + | x - 2000 | 的最小值为 ，此时 x 的取值范围为 . 第 12 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型四 )| 绝 对 值 的 几 何 意 义 求 最 值 1. 同学们都知道：| 5 - (-2) | 表示 5 与 -2 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 -2 两数在数轴上所对应 的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示 5 与 -2 两点之间的距离是 ， （2）数轴上表示 x 与 2 的两点之间的距离可以表示为 . （3）如果| x - 2 |= 5 ，则 x = . （4）同理 | x + 3 | + | x -1| 表示数轴上有理数 x 所对应的点到 -3 和 1 所对应的点的距离之和，请你找出所有 符合条件的整数 x ，使得 | x + 3 | + | x -1|= 4 ，这样的整数是 . （5） 由以上探索猜想对于任何有理数 x ， | x - 3 | + | x - 6 | 是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果 没有，说明理由. 2. 已知 | 2 - (-1) | 表示 2 与 -1 的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数 2 对应的点与负数 -1 对应的 点之间的距离，则 | x -1| + | x +1| + | x - 3 | 的最小值为 . 第 13 页 学科网（北京）股份有限公司 3. 大家知道 | 5 |=| 5 - 0 | ，它在数轴上表示 5 的点与原点（即表示 0 的点）之间的距离．又如式子 | 6 - 3 | ， 它在数轴上的意义是表示 6 的点与表示 3 的点之间的距离．即点 A 、B 在数轴上分别表示数 a 、b ，则 A 、 B 两点的距离可表示为： | AB |=| a -b | ．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 -2 和 -5 的两点之间的距离是 ； （2）点 A 、 B 在数轴上分别表示实数 x 和-1 . ①用代数式表示 A 、 B 两点之间的距离； ②如果 | AB |= 2 ，求 x 的值. （3）直接写出代数式 | x +1| + | x - 4 | 的最小值及相应的 x 的取值范围. 4. 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示 3 和 2 的两点之间的距离是 ；表示 -2 和 1 两点之间的距离是 ；一般地，数轴 上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于 |m - n | . （2）如果| x + 1|= 2 ，那么 x = ； （3）若| a - 3 |= 4 ， | b+ 2 |= 3 ，且数 a 、 b 在数轴上表示的数分别是点 A 、点B ，则 A 、 B 两点间的最大 距离是 ，最小距离是 . （4）若数轴上表示数 a 的点位于 -3 与 5 之间，则 | a + 3 | + | a - 5 |= . （5）当 a = 时， | a -1| + | a + 5 | + | a - 4 | 的值最小，最小值是 . 第 14 页 学科网（北京）股份有限公司 5. 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是 ；表示 -3 和 2 两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表 示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于 |m - n | ．如果表示数 a 和-1 的两点之间的距离是 3 ，那么 a = . （2）若数轴上表示数 a 的点位于 -4 与 2 之间，则 | a + 4 | + | a - 2 | 的值为 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x ，使得 | x + 2 | + | x - 5 |= 7 ，这些点表示的数的和是 . （4）当 a = 时， | a + 3 | + | a -1| + | a - 4 | 的值最小，最小值是 . 6. 结合数轴与绝对值的知识解答下列问题： （1）数轴上表示 3 和 2 两点间的距离是 ； 表示 -3 和 2 两点间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数 m 和 n 两点间的距离 = ； （2）如果在数轴上表示数 a 的点与-2 的距离是 3 ，那么 a = ； （3）如果数轴上表示数 a 的点位于 -4 和 2 之间，求| a + 4 | + | a - 2 | 的值； （4）当 a 取何值时， | a + 5 | + | a -1| + | a - 4 | 的值最小，最小值为多少？请说明理由； （5）直接回答：当式子| a + 9 | + | a +1| + | a - 5 | + | a - 7 | 取最小值时，相应的 a 取值范围是什么？最小值是 多少？ 第 15 页 学科网（北京）股份有限公司 7. 综合应用题： | m - n | 的几何意义是数轴上表示m 的点与表示 n 的点之间的距离. （1） | x | 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； | x | | x - 0 | (> ， = ， <) ； （2） | 2 - 1 | 的几何意义是数轴上表示 2 的点与表示 1 的点之间的距离；则 | 2 -1|= ； （3） | x - 3 | 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 | x - 3 |= 1 ，则 x = . （4） | x + 2 | 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 | x + 2 |= 2 ，则 x = . （5）找出所有符合条件的整数 x ，使得| x + 5 | + | x - 2 |= 7 这样的整数是 . 8. 如图，点 A ，B 在数轴上分别表示有理数 a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为 AB ，在数轴上 A ，B 两点之间的距离 AB =| a -b | （1）数轴上表示 2 和7 两点之间的距离是 . （2）数轴上表示 3 和 -5 两点之间的距离是 . （3）数轴上表示 x 和-5 的两点之间的距离表示为 ，数轴上表示 x 和 3 的两点之间的距离表示为 . （4）若 | x - 3 | + | x + 5 |= 8 ，则 x 的取值范围是 . （5）若 x 表示一个有理数，则式子 8 - 2 | x - 3 | -2 | x - 5 | 有最大值吗？若有，请求出最大值．若没有，说 出理由. 第 16 页 学科网（北京）股份有限公司 9. 同学们都知道，| 5 - (-2) | 表示 5 与 -2 的差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 -2 两数在数轴上所对应 的两点之间的距离，试探索： （1） | 5 - (-2) |= ； （2） x 是所有符合 | x + 5 | + | x - 2 |= 7 成立条件的整数，则 x = ； （3） 由以上探索猜想，对于任何有理数 x ， | x - 3 | + | x - 6 | 的最小值为 ； （4）当 x 为整数时， | x -1| + | x - 2 | + | x - 3 | 的最小值为 ； （5）求 | x -1| + | x - 2 | + | x - 3 | + …+ | x -1997 | 的最小值. 第 17 页 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型五 )| 绝 对 值 定 值 问 题 1. 阅读下面材料： 在数轴上 5 与 -2 所对的两点之间的距离： | 5 - (-2) |= 7 ； 在数轴上 -2 与 3 所对的两点之间的距离： | -2 - 3 |= 5 ； 在数轴上 -8 与 -5 所对的两点之间的距离： | (-8) - (-5) |= 3 在数轴上点 A 、 B 分别表示数 a 、 b ，则 A 、 B 两点之间的距离 AB =| a -b |=| b- a | 回答下列问题： （1）数轴上表示 -2 和-5 的两点之间的距离是 ； 数轴上表示数 x 和 3 的两点之间的距离表示为 ； 数轴上表示数 和 的两点之间的距离表示为 | x + 2 |； （2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子| x + 2 | + | x - 3 | 进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x 的点在 -2 与 3 之间移动时， | x - 3 | + | x + 2 | 的值总是一个固定的 值为： . ②请你在草稿纸上画出数轴，要使 | x - 3 | + | x + 2 |= 7 ，数轴上表示点的数x = . 2. 请借助数轴求使| x + 2 | + | x - 8 |等于定值的x 的取值范围 . 第 18 页 学科网（北京）股份有限公司 3. （1）化简： 2 | x - 2 | - | x + 4 | ； （2）若 2a+ | 4 - 5a | + |1 - 3a | 的值是一个定值，求 a 的取值范围，并且求出定值. 4. 当x 在什么范围时， | x - 3 | + | 3 - 5x |+6x 为定值，并写出这个定值. 5. 若 2x+ | 4 - 5x | + |1 - 3x | +4 恒为常数，求 x 的取值范围. 6. 如果对于某一特定范围内 x 的任意允许值，P =|1 - 8x | + |1 -10x | + |1 -12x | + |1 -14x | + |1 -16x | 的值恒 为一个常数，试求 x 的取值范围和这个常数. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 7. 如果对某一特定范围内 x 的任意允许值， p =|1 - 2x | + |1 - 3x | + … |1 - 9x | + |1 -10x | 的值恒为一常数， 则该值为多少？ 8. 如果对于某一特定范围内的任意允许值， P =|1 - 4x | + |1 - 5x | + |1 - 6x | + |1 - 7x | + |1 - 8x | 的值恒为一 常数，则此值为 ( ) A ． -1 B ．0 C．1 D ．1 或 -1 第 20 页 学科网（北京）股份有限公司 专题 1 绝对值重难点专练七大题型 目录 题 型 一 | 利 用 绝 对 值 求 参 数 范 围 1 题 型 二 | 单 个 绝 对 值 最 值 问 题 3 题 型 三 | 绝 对 值 0＋ 0 模 型 5 题 型 四 | 利 用 绝 对 值 判 断 符 号 8 题 型 五 | 含 绝 对 值 的 方 程 求 值 10 题 型 六 | 分 类 讨 论 求 值 11 题 型 七 | 利 用 数 轴 化 简 绝 对 值 14 题 型 一 | 利 用 绝 对 值 求 参 数 范 围 1 ．若 | a — 3 |= 3 — a ，则 a 的取值范围是 ( ) A ． a≤3 B ． a≥3 C． a < 3 D ． a > 3 【解答】解： :| a — 3 |= 3 — a ， :a — 3≤0 ， 解得： a≤3 . 故选： A . 2 ．若|m — 9 |= 9 — m ，则 m 的取值范围是 ( ) A ． m≤9 B ． m≥9 C． m > 9 D ． m < 9 【解答】解： :| m — 9 |= 9 — m ， :m — 9≤0 ， :m≤9 ， 故选： A . 3 ．如果 | 6 — x |= x — 6 ，那么x 的取值范围是 ( ) A ． x≥6 B ． x > 6 C． x≤6 D ． x < 6 【解答】解： :| 6 — x | ≥0 ， :x — 6≥0 . :x≥6 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 故选： A . 4 ．如果， m > 0 ， n < 0 ， | m |<| n | ，那么m ， n ， 一m ， 一n 的大小关系是 ( ) A ． n < 一m < 一n < m B ． 一m < n < m < 一n C． 一m < n < 一n < m D ． n < 一m < m < 一n 【解答】解：如图所示： , 则 n < 一m < m < 一n ， 故选： D . 5 ．若| a 一 2 |= 2 一 a ，则 a 的范围为 ( ) A ． a≤2 B ． a > 2 C． a < 2 D ． a≥2 【解答】解： :| a 一 2 |= 2 一 a ， :a 一 2≤0 ， :a≤2 . 故选： A . 6．数轴上表示数 a ，b 的点如图所示．把 a ，| a | ，b ，一b 按照从小到大的顺序排列，则正确的结论是 ( ) A ． 一b <| a |< a < b B ． a < 一b <| a |< b C． 一b < a <| a |< b D ． a < 一b < b <| a | 【解答】解： : 从数轴可知： 一4 < a < 一3 ， 1 < b < 2 ， :a < 一b < b <| a | ， 故选： D . 7 ．当| a 一 3 |=| a | + | 一3 | ，则 a 的值是 ( ) A ．任意有理数 B ．任意一个非负数 C ．任意一个非正数 D ．任意一个负数 【解答】解： :| a + (一3) |=| a | + | 一3 | ， :a 与 一3 同号或 a = 0 ， :a 为一个非正数. 故选： C . 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 题 型 二 | 单 个 绝 对 值 最 值 问 题 1. 若 a 是有理数，则 | a -1|+2 的最小值是 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 【解答】解： :| a -1| ≥0 ， :| a -1| +2≥2 ， :| a -1|+2 的最小值是 2， 故选： C . 2. 如果 a 是有理数，则 | a | -2023 的最小值为 ( ) A ． -2021 B ． -2022 C． -2023 D ．不存在 【解答】解： : 当| a | 最小时， | a | -2023 的值最小， :a = 0 时， | a | -2023 最小值为 -2023 . 故选： C . 3. 代数式| 3x - 2 |+2 的最小值是 ( ) A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 【解答】解： :| 3x - 2 | ≥0 ， : 当3x - 2 = 0 ，代数式 | 3x - 2 |+2 取得最小值， 即 | 3x - 2 |+2 取最小值 2 . 故选： B . 4. 如果 x 为有理数，式子 2023- | x - 2023 | 存在最大值，这个最大值是 ( ) A ．2023 B ．4046 C．20 D ．0 【解答】解： : 绝对值具有非负性， :| x - 2023 | ≥0 ， : 2023- | x - 2023 | 有最大值， : 当| x - 2023 |= 0 时，式子有最大值，此时的值是 2023 ，故 A 正确. 故选： A . 5. 如果 x 为有理数，式子 2025- | x + 4 | 存在最大值，这个最大值是 ( ) A ．2025 B ．2024 C．2023 D ．2022 【解答】解： :| x + 4 | ≥0 ， :| x + 4 | 的最小值是 0， 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 :2025- | x + 4 | 的最大值是 2025 - 0 = 2025 ， 故选： A . 6. 若 m 为任意实数，则 |m + 2019 | 的最小值是 0 . 【解答】解： | m + 2019 | 的最小值是 0， 故答案为：0 . 7. 如果 x 为有理数，式子 2019- | x - 2 | 存在最大值，这个最大值是 2019 ，此时 x 的值为 . 【解答】解： : x 为有理数，式子 2019- | x - 2 | 存在最大值， :| x - 2 |= 0 时， 2019- | x - 2 | 最大为 2019， :| x - 2 |= 0 ， : x - 2 = 0 ， : x = 2 ， 故答案为：2019 ，2 . 8. 字母 a 表示一个有理数，则| a |一定是非负数，也就是它的值为正数或 0，所以 | a | 的最小值为 0，而 - | a | 一定是非正数，即它的值为负数或 0 ，所以 - | a | 有最大值 0 ，根据这个结论完成下列问题： （1） | a | +1 有最 小 值 ； （2） 5- | a | 有最 值 ； （3）当 a 的值为 时， | a -1|+2 有最 值 . 【解答】解：（1） :| a | ≥0 ， :| a | +1≥1 ， :| a |+1 有最小值 1； 故答案为：小，1 ； （2） : - | a | ≤0 ， :5- | a | ≤5 ， :5- | a | 有最大值 5； 故答案为：大，5； （3） :| a -1| +2≥2 ， : 当 a =1时，有最小值 2 . 故答案为：1 ，小，2 . 9. 用字母 a 表示一个有理数，| a |一定是非负数，也就是它的值为正数或者 0，所以 | a | 的最小值为 0 ，而 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 — | a |一定是非正数，即它的值为负数或者 0 ，所以 — | a | 有最大值为 0 ，根据这个结论完成以下问题： （1） | a | +1 有最 小 值为 ； 5— | a | 有最 值为 ； （2）当 a = 时， | a —1 | +2 有最 值 ； （3）当 a = 时， 9— | a — 3 | 有最 值 ； （4）当 | a + 3 | + | b — 2 |= 0 ，求 a + b 的值. 【解答】解：（1） :| a | ≥0 ， :| a | +1≥1 ， :| a |+1 有最小值 1， : — | a | ≤0 :5— | a | ≤5 :5— | a | 有最大值 5 故答案为：小；1 ；大；5 . （2） :| a —1 | ≥0 ， :| a —1 | +2≥2 ， : 当 a = 1 时， | a —1 |+2 有最小值 2， 故答案为：1 ；小；2 . （3） : — | a — 3 | ≤0 ， :9— | a — 3 | ≤9 ， : 当 a = 3 时， 9— | a — 3 | 有最大值 9， 故答案为：3 ；大；9 . 题 型 三 | 绝 对 值 0＋ 0 模 型 1. 若| x —1 | + | y + 2 |= 0 ，则 5x — 2y 的值为 ( ) A ． —9 B ．3 C．9 D ． —1 【解答】解： :| x —1 | + | y + 2 |= 0 ， : x —1 = 0 ， y + 2 = 0 ， : x = 1 ， y = —2 ， :5x — 2y = 5 × 1 — 2× (—2) = 9 . 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 故选： C . 2. 若| x - 2 | + | y +1|= 0 ，则 x - y 的值为 ( ) A ． -3 B ．3 C． -2 D ．2 【解答】解： :| x - 2 | + | y +1|= 0 ， 又:| x - 2 | ≥0 ， | y +1| ≥0 ， : x - 2 = 0 ， y + 1 = 0 ， : x = 2 ， y = -1 ， : x - y = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 ， 故选： B . 3. 若| a -1| 与| b- 2 | 互为相反数，则 a +b 的值为 ( ) A ．3 B ． -3 C．0 D ．3 或 -3 【解答】解： :| a -1| 与| b- 2 | 互为相反数， :| a -1| + | b- 2 |= 0 ， 又:| a -1| ≥0 ， | b- 2 | ≥0 ， : a -1 = 0 ， b- 2 = 0 ， 解得 a = 1 ， b = 2 ， a + b = 1 + 2 = 3 . 故选： A . 4. 若 | a -1| 与 | b- 2 | 互为相反数，则 (a -b)3 的值为 ( ) A ．1 B ． -1 C．27 D ． -27 【解答】解： :| a -1| 与| b- 2 | 互为相反数， :| a -1| + | b- 2 |= 0 ， : a -1 = 0 ， b- 2 = 0 ， : a = 1 ， b = 2 ， :(a -b)3 = (1 - 2)3 = -1 . 故选： B . 5. 若| a + 3 | 与 | b- 2 | 互为相反数，则 (a +b)2024 的值为 ( ) A ．1 B ．2024 C． -1 D ． -2024 【解答】解： :| a + 3 | 和| b- 2 | 互为相反数， 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 :| a + 3 | + | b- 2 |= 0 ， : a + 3 = 0 ， b- 2 = 0 ， : a = -3 ， b = 2 ， :(a + b)2024 = (-3 + 2)2024 = 1 . 故选： A . 6. 若| a + 2 | +(3 -b)2 = 0 ，则 a + 2b = 4 . 【解答】解：根据题意得： a + 2 = 0 ， 3 -b = 0 ， 解得： a = -2 ， b = 3 ， : a + 2b = -2 + 2× 3 = 4 ， 故答案为：4 . 7. 若 (a + 2)2 与| b-1 | 互为相反数，则 - 的值为 . 【解答】解： : (a + 2)2 与 | b-1 | 互为相反数， :(a + 2)2 = 0 ， a = -2 ； | b-1 |= 0 ， b = 1 ； 则 故答案为 . 8. 若| 1 - m | + | n - 2 |= 0 ，则 m + n 的值为 3 . 【解答】解： :| 1 - m | + | n - 2 |= 0 ， :1 - m = 0 ， n - 2 = 0 ， : m = 1 ， n = 2 ， : m + n = 1 + 2 = 3 ， 故答案为：3 . 9. 已知 | x -1 | + | y + 2 |= 0 ， z 是最大的负整数，则 x + 2y + 3z 的值为 -6 . 【解答】解： : (x -1)2 + | y + 2 |= 0 ， (x -1)2 ≥0 ， | y + 2 | ≥0 ， : x - 1 = 0 ， y + 2 = 0 ， 解得 x = 1 ， y = -2 ， : z 是最大的负整数， 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 : z = -1 ， : x + 2y + 3z = 1+ 2× (-2) + 3× (-1) = 1- 4 - 3 = -6 ， 故答案为： -6 . 10. 若| m - 3 | + | n + 2 |= 0 ，则 mn 的值是 ( ) A ．6 B ． -6 C． D ． - 【解答】解： :| m - 3 | + | n + 2 |= 0 ， : m - 3 = 0 ， n + 2 = 0 ， : m = 3 ， n = -2 ， : mn = -6 . 故选： B . 11. 若 (1 - m)2 + | n - 2 |= 0 ，则 m + n 的值为 ( ) A ． -1 B ．3 C． -3 D ．2 【解答】解： 由题意的， 1 - m = 0 ， n - 2 = 0 ， 解得， m = 1 ， n = 2 ， 则 m + n 的值为 3， 故选： B . 题 型 四 | 利 用 绝 对 值 判 断 符 号 1. 下列结论中，正确的是 ( ) A ． | a |一定是正数 B ． - | a | 一定是负数 C ． - | -a |一定是非正数 D ． - | -a |一定是负数 【解答】解： 由非负数的性质 | a |=| -a | ≥0 ， - | a |= - | -a | ≤0 ， :- | -a |一定是非正数. 故选： C . 2. 如果 a 表示有理数，那么下列说法中，正确的是 ( ) A ． | a |一定是正数 B ． -(-a) 一定是正数 C ． - | a | 一定是负数 D ． | a |一定不小于 a 【解答】解： A 、当 a = 0 时， | a |= 0 ，错误； 第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 B 、当 a = 0 时， -(-a) = 0 ，错误； C 、当 a = 0 时， - | a |= 0 ，错误； D 、 | a | ≥a ，正确，故选D . 3. 下列结论正确的是 ( ) A ． -a 一定是负数 B ． -a 是非负数 C ． - | a |一定是负数 D ． - | a |一定不是正数 【解答】解； A 、 a = 0 时， -a = 0 ，故 A 错误； B 、 a 大于 0 时， -a 是负数，故 B 错误； C 、 a = 0 时， - | a |= 0 ，故 C 错误； D 、 - | a | 是非正数，故D 正确. 故选： D . 4. 有理数 a ， b 满足 a > 0 ， b < 0 ， | a |<| b | ，则下列结论正确的是 ( ) A ． -a < b < -b < a B ． b < -a < a < -b C． -a < -b < b < a D ． b < -a < -b < a 【解答】解：不妨设 a = 1 ， b = -2 ， 则 -a = -1 ， -b = 2 ， : -2 < -1< 1 < 2 ， :b < -a < a < -b ， 故选： B . 5. 下列结论正确的是 ( ) A ． -a 一定是负数 B ． - | a |一定是非正数 C ． | a |一定是正数 D ． | a |一定是负数 【解答】解： A 、 -a 可以是负数，正数和 0 ，故本选项错误； B 、 - | a |一定是非正数，故本选项正确； C 、 | a | 可能是正数，可能为 0 ，故本选项错误； D 、 | a | 可能是正数，可能为 0 ，故本选项错误； 故选： B . 6. 设 m 、 n 是实数，如果 |m + n |=| m - n | ，则下列结论正确的是 ( ) A ． m 一定不是负数 B ． n 可能是负数 C ． n = 0 D ． m 是正数 【解答】解：分两种情况讨论： 第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）当 m + n = m n 时， n = n ， n = 0 ； （2）当 m + n = m + n 时， m = m ， m = 0 . 综上所述， n = 0 或 m = 0 ，所以 n 可能为负数，也可能为正数， m 也可能为负数，也可能为正数. 故选： B . 7. 若两个有理数 a 、 b 满足式子 | a b |=| a | + | b | ，则下列结论一定成立的是 ( ) A ． a 、 b 的积是非正数 B ． a 、 b 都是正有理数 C ． a 、 b 的差是正有理数 D ． a 、 b 异号 【解答】解： :| a b |=| a | + | b | ， :a 和b 异号或 a = 0 或b = 0 ， 故选： A . 题 型 五 | 含 绝 对 值 的 方 程 求 值 1. 若| x |= 3 ，则 x == ±3 . 【解答】解： :| x |= 3 . : x = ±3 ， 故答案为： ±3 . 2. 如果 | a 1|= 5 ，那么 a 的值为 6 或4 . 【解答】解： :| a 1|= 5 ， : a 1 = ±5 ， : a = 1 ± 5 ， 即 a = 6 或 4 . 故答案为：6 或 4 . 3. 若| a 2023 | +(3) = 10 ，则 a = 2010 或 2036 . 【解答】解： :| a 2023 | +(3) = 10 ， :| a 2023 |= 13 ， : a 2023 = ±13 ， 解得 a = 2036 或 a = 2010 ， 故答案为：2010 或 2036 . 第 10 页 学科网（北京）股份有限公司 4. 如果 | x |= 8 ，则 x = ±8 ；如果 | x 一1|= 1 ，则 x = . 【解答】解： :| x |= 8 ， : x = ±8 ， :| x 一1|= 1， : x 一1 = 1 或 x 一1 = 一1 ， : x = 2 或 x = 0 ， 故答案为： ±8 ，2 或 0 . 5. 如果 | x |= 2.5 ，那么 x = ±2.5 ；如果| y 一 3 |= 0 ，那么y = . 【解答】解： :| x |= 2.5 ， : x = ±2.5 ； :| y 一 3 |= 0 ， : y 一 3 = 0 ， :y = 3 ， 故答案为： ±2.5 ，3 . 6. 若| a |= 5 ，则 a 的值为 ±5 ；若| x |= 一x ，则 x 是 数. 【解答】解：若 | a |= 5 ，则 a 的值为 ±5 ，若 | x |= 一x ，则 x 是非正数， 故答案为： ±5 ，非正. 7. 若| a |= 一a ，则 a 的取值范围是 a≤0 ；若| x |> x ，则 x 的取值范围是 . 【解答】解：根据题意可知， 一a≥0 ， 即： a≤0 ； :| x | ≥0 ，且 | x |> x ， : x < 0 . 故答案为： a≤0 ； x < 0 . 题 型 六 | 分 类 讨 论 求 值 1. 已知 | a |= 5 ， | b |= 3 ，且 a < b ，则 a = 一5 ， b = . 【解答】解： :| a |= 5 ， | b |= 3 ， : a = ±5 ， b = ±3 ， : a < b ， 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 :a = 一5 时， b = 3 ， a = 一5 时， b = 一3 ， 故答案为： 一5 或 ±3 . 2. 已知： | a |= 5 ， | b |= 12 ，且 a > b ，则 a 一 b 的值是 7 或 17 . 【解答】解： :| a |= 5 ， | b |= 12 ， : a = ±5 ， b = ±12 ， : a > b ， : a = ±5 ， b = 一12 ， 则 a 一 b = 17 或 7 . 故答案为：7 或 17 . 3. 已知 | m |= 3 ， | n + 5 |= 0 ，则 m + n = 一2 或 一8 . 【解答】解： :| m |= 3 ， | n + 5 |= 0 ， : m = ±3 ， n + 5 = 0 ， 解得： m = ±3 ， n = 一5 ， 当 m = 3 ， n = 一5 时， m + n = 3 + (一5) = 一2 ， 当 m = 一3 ， n = 一5 时， m + n = 一3 + (一5) = 一8 . 故答案为： 一2 或 一8 . 4. 已知 | a 一 b |= b 一 a ，且 | a |= 3 ， | b |= 2 ，则 a + b 的值是 一1或 一5 . 【解答】解： :| a |= 3 ， | b |= 2 ， : a = ±3 ， b = ±2 :| a 一 b |= b 一 a ， :b 一 a > 0 ， :b = 2 ， a = 一3 或b = 一2 ， a = 一3 ， 当b = 2 ， a = 一3 时， a + b = 2 + (一3) = 一1 当b = 一2 ， a = 一3 时， a + b = 一2 + (一3) = 一5 . 故答案为： 一1 或 一5 . 5. 若| a |= 5 ， | b |= 2 ，且 a < b ， a 和b 同号．那么 a + b 的值等于 一7 . 【解答】解：根据题意可知， a = ±5 ， b = ±2 ， : a < b ， a 和b 同号， : a = 一5 ， b = 一2 ， 第 12 页 学科网（北京）股份有限公司 :a + b = 一5 + (一2) = 一5 一 2 = 一7 . 故答案为： 一7 . 6. 若| a |= 3 ， | b |= 4 ，且 a ， b 异号，则| a + b |= 1 . 【解答】解： :| a |= 3 ， | b |= 4 ， : a = ±3 ， b = ±4 ， : a ， b 异号， : 当 a = 3 ， b = 一4 时， | a + b |=| 3 + (一4) |= 1 ； 当 a = 一3 ， b = 4 时， | a + b |=| 一3 + 4 |= 1 ； 故答案为：1 . 7. 若| m | + | n |= 13 ， | m + n |= 1 ，则 m 的值为 ±6 或 ±7 . 【解答】解： :| m + n |= 1 ， :m + n = 1或m + n = 一1 ， ①当 m + n = 1 时，即 n = 1 一 m ， :| m | + | n |= 13 ，即| m | + |1 一 m |= 13 ， 当 m < 0 时， 一m + 1 一 m = 13 ， 解得 m = 一6 ； 当 m > 1时， m + m 一1 = 13 ， 解得 m = 7 ； ②当m + n = 一1 时，即 n = 一1 一 m ， :| m | + | n |= 13 ，即| m | + | 一1 一 m |= 13 ， 当 m≤ 一1 时， 一m 一 1 一 m = 13 ， 解得 m = 一7 ； 当 m > 0 时， m + m + 1 = 13 ， 解得 m = 6 ； 综上所述， m = ±6 或 m = ±7 . 故答案为： ±6 或 ±7 . 8. 已知 | a |= 5 ， | b 一1|= 2 ，且 a > b ，则 a + b = 8 或 4 . 【解答】解： :| a |= 5 ， | b 一1|= 2 ， : a = ±5 ， b 一1 = ±2 ， : a = ±5 ， b = 3 或 一1 ， 第 13 页 学科网（北京）股份有限公司 : a > b ， : a = 5 ， b = 3 或 一1 . 当 a = 5 ， b = 3 时 ， a + b = 5 + 3 = 8 ， 当 a = 5 ， b = 一1 时， a + b = 5 一1 = 4 ， : a + b 的值为 8 或 4 . 故答案为：8 或 4 . 9. （1） 已知| a |= 5 ， | b |= 3 ，且 a > 0 ， b > 0 ，求 a + b 与 ab 的值； （2） 已知| a |= 5 ， | b |= 3 ，且 a < b ，则 a ， b 的值各是多少？ 【解答】解：（1） :| a |= 5 ， | b |= 3 ， : a = ±5 ， b = ±3 ， : a > 0 ， b > 0 ， : a = 5 ， b = 3 ， : a + b = 5 + 3 = 8 ， ab = 5 × 3 = 15 ； （2） :| a |= 5 ， | b |= 3 ， : a = ±5 ， b = ±3 ， : a < b ， : a = 一5 ， b = ±3 . 题 型 七 | 利 用 数 轴 化 简 绝 对 值 第 14 页 学科网（北京）股份有限公司 1. 已知有理数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，则 | a + b | 一 | a 一 b | 化简后得 一2b . 【解答】解： 由数轴可知： a 一 b < 0 ， a + b < 0 ， : 原式= 一(a + b) + (a 一 b) = 一a 一 b + a 一 b = 一2b ， 故答案为： 一2b . 2. 有理数 a ， b 在数轴上的对应点如图所示，化简： | a +b | 一 | b 一 4 | 一3 | a 一 2 |= 4a 一 2 . 【解答】解： 由数轴得， a < 0 ， b > 4 ， | a |<| b | ， : a + b > 0 ， b 一 4 > 0 ， a 一 2 < 0 ， :| a + b | 一 | b 一 4 | 一3 | a 一 2 | = a + b 一 (b 一 4) 一 3(2 一 a) = a + b 一 b + 4 一 6 + 3a = 4a 一 2 ， 故答案为： 4a 一 2 . 3. 在数轴上表示 a 、 b 两个实数的点的位置如图所示，则化简 | a 一 b | 一 | a +b | 的结果是 2b . 【解答】解： : 由 a 、 b 在数轴上的位置可知， a < 0 ， b > 0 ， | a |>| b | ， : 原式 = b 一 a + a + b = 2b . 故答案为： 2b . 4. 若 a ， b ， c 在数轴上的对应点如图所示，则 | c 一 a | + | b+ a | 一 | b+ c | 化简结果为 2a + 2b . 【解答】解： 由图知， c < b < 0 < a ， | b |<| a | ， :| c 一 a | + | b + a | 一 | b + c | = a 一 c + a + b + b + c = 2a + 2b . 故答案为： 2a + 2b . 5. 若有理数 a 、 b 、 c 在数轴上对应的点如图，化简： | a 一 c | + | b + c | 一 | a 一 b |= 2c . 【解答】解： 由数轴可得： a < c < 0 < b ， | c |<| b |<| a | ， : a 一 c < 0 ， b + c > 0 ， a 一 b < 0 ， :| a 一 c | + | b + c | 一 | a 一 b |= c 一 a + b + c + a 一 b = 2c . 故答案为： 2c . 6. 有理数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“ > ”或“ < ”填空： b 一 c < 0 ， a + b 0 ， c 一 a 0 . （2）化简： | b 一 c | + | a + b | 一 | c 一 a | . 第 15 页 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1） 由图可知， a < 0 ， b > 0 ， c > 0 且 | b |<| a |<| c | ， 所以， b 一 c < 0 ， a + b < 0 ， c 一 a > 0 ； 故答案为： < ， < ， > ； （2） | b 一 c | + | a + b | 一 | c 一 a | = (c 一 b) + (一a 一 b) 一 (c 一 a) = c 一 b 一 a 一 b 一 c + a = 一2b . 7. 有理数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图所示，且 | a |=| c | . （1）填空： a + c = 0； a + b 0； c 一 b 0 . （2）化简： | a + c | + | a + b | + | c 一 b | . 【解答】解：（1） : a 、 c 两点在原点的异侧， | a |=| c | ， :a 、 c 互为相反数， : a + c = 0 ； : a < b < 0 ， : a + b < 0 ； : c > 0 ， b < 0 ， : c 一 b > 0 . 故答案为： = ， < ， > ； （2） : a + c = 0 ， a + b < 0 ， c 一 b > 0 ， : 原式 = 0 一 a 一 b + c 一 b = 一a 一 2b + c . 8. 有理数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示，化简下列各式. （1） | a +1| ； （2） | a + b | ； （3） | a 一 b | 一 |1 一 b | + |1 一 a | . 【解答】解： : 一2 < a < 一1 ， 0 < b < 1 ， 第 16 页 学科网（北京）股份有限公司 : a + 1 < 0 ， a + b < 0 ， a 一 b < 0 ， 1 一 b > 0 ， 1 一 a > 0 ， （1） | a +1|= 一a 一1 ； （2） | a + b |= 一a 一 b ； （3） | a 一 b | 一 |1 一 b | + |1 一 a | = 一a + b 一1 + b + 1 一 a = 一2a + 2b . 第 17 页 学科网（北京）股份有限公司 专题 2 绝对值压轴五大题型 目录 题 型 一 | 绝 对 值 新 定 义 问 题 1 题 型 二 | 绝 对 值 ±1 模 型 4 题 型 三 | 绝 对 值 零 点 分 段 法 10 题 型 四 | 绝 对 值 的 几 何 意 义 求 最 值 18 题 型 五 | 绝 对 值 定 值 问 题 24 题 型 一 | 绝 对 值 新 定 义 问 题 1 ．定义一个运算 ，已知| a — 2 |= 1 ， b = 2 ，那么 f . 【解答】解： :| a — 2 |= 1， : a — 2 = 1 或 a — 2 = —1 ， : a = 3 或 1， : b = 2 ， : ①当 a = 3 ， b = 2 时， f(a, b) = a — b = 3 — 2 = 1； ②当 a = 1 ， b = 2 时， f(a, b) = a + b = 1 + 2 = 3 ； 综上所述： f(a, b) = 1 或 3， 故答案为：1 或 3 . 2 ．定义{a, b} = {l[b (a) —+ ((a (a)bb)) ，当| a |= 1 ， | b |= 3 时， {a ， b} 的最小值为 —4 . 【解答】解： :| a |= 1 ， | b |= 3 ， 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 : a = ±1 ， b = ±3 ， 当 a = 1 ， b = 3 时， {a ， b} = 2 ， 当 a = 1 ， b = —3 时， {a ， b} = —2 ， 当 a = —1 ， b = 3 时， {a ， b} = 4 ， 当 a = —1 ， b = —3 时， {a ， b} = —4 ， : {a ， b} 的最小值为 —4 ， 故答案为 —4 . 3 ．对于有理数 a ，b ，定义一种新运算“θ ”, 规定 a Θb =| a — b | — | a +b | ，当 a ，b 在数轴上的位置如图 所示时，则 a Θb = 2a . 【解答】解： b < 0 < a ， | b |>| a | ， : a — b > 0 ， a + b < 0 ， :a Θ b =| a — b | — | a + b | ， = a — b — [—(a + b)] ， = a — b + a + b ， = 2a ， 故答案为： 2a . 4．定义：如果两个有理数 m ，n 满足 2m = 3n ，则称 m ，n 为一对“相随数 ”．已知有理数 a ，b 为一对“相 随数 ”，若 p =| 2a | + | 3b — 4 | ，则 p 的值可以为 ( ) A ．1.5 B ．2.5 C．3.5 D ．4.5 【解答】解： 有理数 a ， b 为一对“相随数 ”， : 2a = 3b ， : p =| 2a | + | 3b — 4 |=| 3b | + | 3b — 4 | ， 当b≥ 时， p = 3b + 3b — 4 = 6b — 4≥4 ； 当 0 < b < 时， p = 3b + 4 — 3b = 4 ； 当b≤0 时， p = —3b + 4 — 3b = 4 — 6b ≥4 ； 综上所述， p 的最小值是 4 ，故 p 的值可以为 4.5， 故选： D . 5 ．定义：对于任意一个三位自然数 m ，若 m 满足十位数字比百位数字大 1 ，个位数字比十位数字大 1 ，那 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 么称这个三位数为“ 向上数 ”；对于任意一个三位自然数 n ，若 n 满足十位数字比百位数字小 1 ，个位数字 比十位数字小 1 ，那么称这个三位数为“ 向下数 ”．将“ 向上数 ” m 的 7 倍记为 F (m) ，“向下数 ” n 的 8 倍记为 ，若 是整数，则称每对 m ， n 为“七上八下数对 ”．在所有“七上八下数对 ”中， | m - n | 的最大值是 531 . 【解答】解：设 m 的百位数字为 a ， n 的百位数字为 b ， 则 F (m) = 7[100a +10(a +1) + a + 2] = 777a + 84 ， G(m) = 8[100b +10(b -1) + b - 2] = 888b - 96 ， : = = = 43a + 49b + 为整数， : 为整数， 1≤a≤7 ， 3≤b≤9 ， 要是 |m - n | 的值最大，则需要 | a -b | 的值最大， : 当 a = 4 时 ， b = 9 ， :| m - n |=| 456 - 987 |= 531 . 故答案为：531 . 6 ．已知点 A 在数轴上对应的数是 a ，点 B 在数轴上对应的数是b ，且 | a + 4 | +(b-1)2 = 0 ．现将 A 、 B 之 间的距离记作| AB | ，定义 | AB |=| a -b | . （1） 2018b + a 的值； （2） | AB | 的值； （3）设点P 在数轴上对应的数是 x ，当 | PA | - | PB |= 2 时，求 x 的值. 【解答】解：（1） | a + 4 | +(b-1)2 = 0 ， : a = -4 ， b = 1 ， : 2018b + a = 2014 ； （2） ) | a + 4 | +(b-1)2 = 0 ， : a = -4 ， b = 1 ， :| AB |=| a -b |= 5 ； （3）当 P 在点 A 左侧时， | PA | - | PB |= -(| PB | - | PA |) = - | AB |= -5 ≠ 2 . 当 P 在点 B 右侧时， 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 | PA | 一 | PB |=| AB |= 5 ≠ 2 . : 上述两种情况的点 P 不存在. 当 P 在 A 、 B 之间时， | PA |=| x 一 (一4) |= x + 4 ， | PB |=| x 一1 |= 1 一 x ， | PA | 一 | PB |= 2 ， : x + 4 一 (1 一 x) = 2 . : x = 一 ，即 x 的值为 一 . 7 ．阅读理解： 目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数. 小明学习后总结如下：因为 x2≥0 ，所以 x2 + m 的最小值为 m ，所以 一x2 + m 的最大值为 m . 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整. （1）对 | x | 一3 和 一 | x | 一3 进行讨论，发现可以求得 | x | 一3 的最 小 值，可以求得 一 | x | 一3 的最 值： （2）多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论： （3）请用迁移发现中的结论讨论 一50一 |m 一 n | 是否有最小值或最大值，最值是什么？ 【解答】解：（1）因为| x | ≥0 ，所以 | x | 一3 有最小值为 一3 ， 因为| x | ≥0 ，则 一 | x | ≤0 ， 所以 一 | x | 一3≤ 一 3 . 故 一 | x | 一3 有最大值为 一3 . 故答案为：小，大； （2）例如： | x | +5 有最小值 5 ； | x | 一2 有最小值 一2 ； 一 | x |+5 有最大值 5 ； 一 | x | 一2 有最大值 一2 . 一般的结论：因为| x | ≥0 ，所以 | x | +m 的最小值为m ，所以 一 | x | +m 的最大值为 m . （3）因为 | m 一 n | ≥0 ， 所以 一 | m 一 n | ≤0 ， 则 一50一 | m 一 n | ≤ 一 50 . 所以 一50一 |m 一 n | 有最大值，最大值为 一50 . 题 型 二 | 绝 对 值 ± 1 模 型 1. 如果 a ， b 是非零有理数，那么 + 的值不可能是 ( ) A ． 一2 B ．0 C．1 D ．2 【解答】解：当 a > 0 ， b > 0 时，原式 = 1 + 1 = 2 ； 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 当 a < 0 ， b < 0 时，原式 = 一1 一1 = 一2 ； 当 a > 0 ， b < 0 时，原式 = 1 一1 = 0 ； 当 a < 0 ， b > 0 时，原式 = 一1 + 1 = 0 ； 故选： C . 2. 若 ab ≠ 0 ，则 的取值不可能是 ( ) A ．0 B ．1 C．2 D ． 一2 【解答】解： ab ≠ 0 ， : a ≠ 0 ， b ≠ 0 . 当 a 与b 同号时，① a > 0 ， b > 0 ，则 + = + = 1+ 1 = 2 ； ② a < 0 ， b < 0 ，则 = 一1+ = 一2 . 当 a 与b 异号时，① a > 0 ， b < 0 ，则 + = + 一 = 1+ (一1) = 0 ； ② a < 0 ， b > 0 ，则 = 一1+ 1 = 0 . 综上： + = 2 或 一2 或 0 . 的取值不可能是 1 . 故选： B . 3. 如果 ab ≠ 0 ，那么 + + 的值是 ( ) A . ±1 或 3 B ． 一1 或 3 C．1 或 3 D . ±1 或 一3 【解答】解： ab ≠ 0 ， : 设 a > 0 ， b > 0 时， : a > 0 ， b < 0 或 a < 0 ， b > 0 时， : a < 0 ， b < 0 时， : + + = 一1一 1+ 1 = 一1 ， 综上可得 = 一1 或 3 . 故选： B . 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 4. 已知非零有理数 m ， n 满足 + = 一2 ．计算 = 1 . 【解答】解： 由题意可知 = 一2 ， : m < 0 ， n < 0 ， : mn > 0 ， : 原式 = = 1 ， 故答案为：1； 5. 如果 ab > 0 ，那么 + + = 3 或 一1 . 【解答】解： ab > 0 ， :a 、 b 同号， ( 当 a < 0 ， b < 0 时， + + = 一 1 一 1 + 1 = 一 1 ； )当 a > 0 ， b > 0 时， + + = 1+ 1+ 1 = 3 ； 故答案为：3 或 一1 . 6. 如果 a.b < 0 ，那么 + + = 一1 . 【解答】解： a.b < 0 ， :| a | 和 | b | 必有一个是它本身，一个是它的相反数， | ab | 是它的相反数， ( a b ab a | b | ab . ): | a | + | b | + | ab | = 1一 1一 1 = 一1 ；或 | a | + b + | ab | = 一1+ 1一 1 = 一1 故答案为： 一1 . 7. 若 abc ≠ 0 ，则 的值为 ( ) A . ±3 或 ±1 B . ±3 或 0 或 ±1 C. ±3 或 0 D ．0 或 ±1 【解答】解：若 a ， b ， c 都是正数，那么原式 = 1 + 1 + 1 = 3 ； 若 a ， b ， c 中有 1 个负数，不妨设 a 是负数，那么原式 = 一1 + 1 + 1 = 1 ； 若 a ， b ， c 中有 2 个负数，不妨设 a ， b 是负数，那么原式 = 一1 + (一1)+ 1 = 一1 ； 若 a ， b ， c 都是负数，那么原式= 一1 + (一1) + (一1) = 一3 ； 故选： A . 8. 已知 a ， b ， c 都不等于 的最大值是 m ，最小值是 n ，求 + 3n 的值. 【解答】解： + + + 的最大值是m ，最小值是 n ， 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 : m = 4 ， n = 一4 ， : + 3n = 2 一12 = 一10 . 9. 设 abc ≠ 0 ，且 a + b + c = 0 ，则 的值可能是 ( ) A ．0 B . ±1 C. ±2 D ．0 或 ±2 【解答】解： abc ≠ 0 ，且 a + b + c = 0 ， :a 、 b 与 c 中可能有 1 个字母小于 0 ，也可能有 2 个字母小于 0 . 当 a 、 b 与 c 中有 1 个字母小于 0 ，如 a < 0 ，则b > 0 ， c > 0 ， 当 a 、 b 与 c 中有 2 个字母小于 0 ，如 a < 0 ， b < 0 ，则 c > 0 ， ( | a | + | b | + | c | + | abc | = 一 一 + + = . ): a b c abc 1 1 1 1 0 ( a + b + c + abc = . 故选： A . )综上： | a | | b | | c | | abc | 0 10. 已知实数 a ， b ， c 满足 a + b + c < 0 ，且 abc ≠ 0 ，则 一4 【解答】解：当 a ， b ， c 中有一个负数时，不妨设 c < 0 ， 原式 = 1 + 1 一1 一1 = 0 ； 当 a ， b ， c 中有两个负数时，不妨设b < 0 ， c < 0 ， 原式 = 1 一1 一1 + 1 = 0 ； 当 a ， b ， c 都是负数时，即 a < 0 ， b < 0 ， c < 0 ， 原式 = 一1 一 1 一 1 一 1 = 一4 . 故答案为：0 或 一4 . 11. 已知实数 a ， b ， c ，则化简 结果是 6 或 2 或 一2 或 一6 . 【解答】解：① a ， b ， c 均大于 0 时， 原式 = 1 + 1 + 1 + 3 = 6 ； ② a ， b ， c 中只有一个大于 0 ，不妨设 a > 0 ，则b < 0 ， c < 0 ， 原式 = 1 一1 一1 + 3 = 2 ； ③ a ， b ， c 中有两个大于 0 ，不妨设 a > 0 ， b > 0 ，则 c < 0 原式 = 1 + 1 一1 一 3 = 一2 ； 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 ④ a ， b ， c 均小于 0 时， 原式 = 一1 一1 一1 一 3 = 一6 . 故答案为：6 或 2 或 一2 或 一6 . 12. 如果 + + < 0 ，那么 + + + 的值是 0 或 2 . 【解答】解：因为 由 + + < 0 ， ① a 、 b 、 c 两负一正， 令 a > 0 ，则 b < 0 ， c < 0 ， : ab < 0 ， ac < 0 ， bc > 0 ， abc > 0 ， 所以 + + + = 一1+ 1一 1+ 1 = 0 . ② a < 0 ， b < 0 ， c < 0 ， : ab > 0 ， ac > 0 ， bc > 0 ， abc < 0 ， 所以 + + + = 1 + 1 + 1 一1 = 2 . 故答案为：0 或 2 . 13. 已知：m = + + ，且 abc > 0 ，a + b + c = 0 ，则 m 共有 x 个不同的值，若在这些 不同的 m 值中，最小的值为 y ，则 x 一 y = 7 . 【解答】解： abc > 0 ， a + b + c = 0 ， :a 、 b 、 c 中有两个负数，一个正数， 因此有三种情况，即① a 、 b 为负， c 为正，② a 、 c 为负， b 为正，③ b 、 c 为负， a 为正， a + b + c = 0 ， : a + b = 一c ， a + c = 一b ， b + c = 一a ， ①当 a 、 b 为负， c 为正时， m = 1 一 2 一 3 = 一4 ， 第 8 页 学科网（北京）股份有限公司 ②当 a 、 c 为负， b 为正时， m = 一1 一 2 + 3 = 0 ， ③当b 、 c 为负， a 为正时， m = 一1 + 2 一 3 = 一2 ， 又 m 共有 x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为 y ， : x = 3 ， y = 一4 ， : x 一 y = 3 一 (一4) = 7 ， 故答案为：7 . 若 ab > 0 ，求 的值； 若 = 一1 ，求 的值. 【解答】解：（1） ab > 0 ， :a 、 b 同号， :a 、 b 同为正数时 a 、 b 同为负数时 = 一1 ， : 原式的值为：3 或 一1； （2） = 一1 ， :a 、 b 、 c 、 d 中有 1 个或 3 个是负数， : 当有 1 个负数时， = 一1 + 3 = 2 ， 当有 3 个是负数时， = 一1一 1一 1+ 1 = 一2 ， : 原式的值为 2 或 一2 . 第 9 页 学科网（北京）股份有限公司 题 型 三 | 绝 对 值 零 点 分 段 法 1. 阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道 现在我们可以利用这一结论来化简含 绝对值的代数式．例如：化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 和x = 2 （称 -1 ，2 分别为 | x + 1 | 与 | x - 2 | 的零点值）．在有理数范围内，零点值 x = -1 和 x =2 可将全体有理数分 成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： x < -1 ， -1≤x < 2 ， x≥2 ．从而在化简 | x +1| + | x - 2 | 时，可分以下 三种情况：①当 x < -1 时，原式= -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1 ；②当 -1≤x < 2 时，原式 = (x + 1) - (x - 2) = 3 ； ③当 x≥2 时，原式 = (x + 1) + (x - 2) = 2x -1 ．通过以上阅读，请你解决问题： （1） | x - 3 | + | x + 4 | 的零点值是 3 ， -4 ；方程| x - 3 | + | x + 4 |= 9 的解为 ； （2）化简代数式 | x + 2 | + | x - 5 | . 【解答】解：（1）令 x - 3 = 0 和 x + 4 = 0 ， 解得 x = 3 ， x = -4 :| x - 3 | + | x + 4 | 的零点值是 3 ， -4 ， 当 x < -4 时， | x - 3 | + | x + 4 |= -(x - 3) - (x + 4) = -2x -1 ， : -2x -1 = 9 ， 解得 x = -5 ； 当 -4≤x < 3 时， | x - 3 | + | x + 4 |= 3 - x + x + 4 = 7 ≠ 9 ； 当 x≥3 时， | x - 3 | + | x + 4 |= x - 3 + x + 4 = 2x +1 = 9 ， 解得 x = 4 ； : 方程 | x - 3 | + | x + 4 |= 9 的解为 x = -5 或x = 4 ； （2） 由 | x + 2 | + | x - 5 | 可得： 令 x + 2 = 0 和x - 5 = 0 ， 解得 x = -2 和x = 5 ； 当 x < -2 时， | x + 2 | + | x - 5 |= -x - 2 - x + 5 = -2x + 3 ； 当 -2≤x < 5 时， 第 10 页 学科网（北京）股份有限公司 | x + 2 | + | x - 5 |= x + 2 - x + 5 = 7 ； 当 x≥5 时， | x + 2 | + | x - 5 |= x + 2 + x - 5 = 2x - 3 ； 综上， x + 2i+ x - 5i = . 2. 阅读下列材料并解决相关问题. 化简代数式 | x + 5 | + | 2x - 3 | 的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易， 如| x + 5 | ，只要考虑x + 5 的正负，可以分为 x < -5 与x≥ - 5 两种情况来讨论，这里的x = -5 是使 x + 5 = 0 的 x 值，我们称它为 x + 5 的一个零点．同理，对于 2x - 3 ，也有一个零点 x = ．为了同时去掉两个绝对值 符号我们可以将 x 的取值范围分成三段，即x < -5 ，-5≤x < ，x≥进行讨论，这种令各个绝对值内的代 数式为 0 ，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法 ”. （1）填空： | x + 5 | + | 2x - 3 |= （2）代数式 || x -1 | -2 | + | x +1 | 的零点值有哪些？ （3）化简|| x -1 | -2 | + | x +1 | . [ 解： | x + 5 | + | 2x - 3 |= （2）代数式 || x -1 | -2 | + | x +1 | 的零点值有： x -1 = 0 ， x = 1 ， x + 1 = 0 ， x = -1 ， | x -1 | -2 = 0 ， x = 3 或 -1 ， 综上所述，代数式 || x -1 | -2 | + | x +1 | 的零点值有： x = ±1 或 3 . 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 （3） || x -1| -2 | + | x +1|= 3. 阅读下列材料并解决有关问题. 我们知道 | x |= 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式 ．例如： 化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 和x = 2 （称 -1 ，2 分别为| x + 1 | 与| x - 2 | 的 零点值）．在有理数范围内，零点值 x = -1 和 x =2 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： ① x < -1 ；② -1≤x < 2 ；③ x≥2 . 从而在化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可分以下三种情况： ①当 x < -1 时，原式 = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + l ； ②当 -1≤x < 2 时，原式 = (x + 1) - (x - 2) = 3 ； ③ x≥2 时，原式 = (x + 1) + (x - 2) = 2x -1 . 通过以上阅读，请你解决问题： （1） | x + 2 | 和| x - 4 | 的零点值是 -2 和 4 ； （2）化简： | x + 2 | + | x - 4 | ； （3）解方程： | x + 2 | + | x - 4 |= 10 . 【解答】解：（1）令 x + 2 = 0 和x - 4 = 0 ， 解得： x = -2 和 x = 4 ， 故答案为： -2 和 4； （2） 由 x + 2 = 0 得 x = -2 ，由 x - 4 = 0 得 x = 4 ， ①当 x < -2 时，原式= -(x + 2) - (x - 4) = -2x + 2 ； ②当 -2≤x < 4 时，原式 = (x + 2) - (x - 4) = 6 ； ③当 x≥4 时，原式 = (x + 2) + (x - 4) = 2x - 2 ； （3）①当x < -2 时，方程可化为： -2x + 2 = 10 ，解得： x = -4 ； ②当 -2≤x < 4 时，方程可化为： 6 = 10 ，无解； ③当 x≥4 时，方程可化为： 2x - 2 = 10 ，解得： x = 6 . 4. 阅读下列材料并解决有关问题： 第 12 页 学科网（北京）股份有限公司 我 们 知 道 | x |= 现 在 我 们 可 以 用 这 一 结 论 来 化 简 含 有 绝 对 值 的 代 数 式 ， 如 化 简 代 数 式 | x + 1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 和x = 2 （称 -1 ，2 分别为| x + 1 | 与| x - 2 | 的 零点值）．在有理数范围内，零点值 x = -1 和 x =2 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： （1） x < -1 ；（2） -1≤x < 2 ；（3） x≥2 ．从而化简代数式 | x + 1| + | x - 2 | 可分以下 3 种情况： （1）当 x < -1 时，原式 = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1 ； （2）当 -1≤x < 2 时，原式 = x + 1- (x - 2) = 3 ； （3）当 x≥2 时，原式 = x + 1 + x - 2 = 2x - 1 . 综上讨论，原式 = 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出| x + 2 | 和| x - 4 | 的零点值； （2）化简代数式 | x + 2 | + | x - 4 | ； （3）解方程 | x + 2 | + | x - 4 |= 8 . 【解答】解：（1）分别令 x + 2 = 0 ， x - 4 = 0 ，解得： x = -2 和 x = 4 所以 | x + 2 | 和| x - 4 | 的零点值分别为 x = -2 和 x = 4 ； （2）当 x < -2 时，原式 = -(x + 2) - (x - 4) = -2x + 2 ； 当 -2≤x < 4 时，原式= x + 2 - (x - 4) = 6 ； 当 x≥4 时，原式= x + 2 + x - 4 = 2x - 2 . 综上讨论，原式 = （3）当 x < -2 时， -2x + 2 = 8 ，解得 x = -3 ； 当 x≥4 时， 2x - 2 = 8 ，解得： x = 5 . 所以原方程的解为 x = -3 或 x = 5 . 5. 阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道 ， | m |= 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式 ，如化简代数式 第 13 页 学科网（北京）股份有限公司 | m +1 | + | m - 2 | 时，可令m + 1 = 0 和 m - 2 = 0 ，分别求得 m = -1 ，m = 2（称 -1 ，2 分别为 | m + 1 | 与|m - 2 | 的零点值）．在实数范围内，零点值 m = -1 和 m = 2 可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： ① m < -1 ；② -1≤m < 2 ；③ m≥2 ．从而化简代数式 |m +1 | + | m - 2 | 可分以下 3 种情况： （1）当 m < -1 时，原式 = -(m + 1) - (m - 2) = -2m + 1 ； （2）当 -1≤m < 2 时，原式 = m + 1 - (m - 2) = 3 ； （3）当 m≥2 时，原式 = m + 1 + m - 2 = 2m -1 . 综上讨论，原式 = 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出| x - 5 | 和| x - 4 | 的零点值； （2）化简代数式 | x - 5 | + | x - 4 | ； （3）求代数式| x - 5 | + | x - 4 | 的最小值. 【解答】（1）令 x - 5 = 0 ， x - 4 = 0 ， 解得： x = 5 和 x = 4 ， 故| x - 5 | 和 | x - 4 | 的零点值分别为 5 和 4； （2）当 x < 4 时，原式 = 5 - x + 4 - x = 9 - 2x ； 当 4≤x≤5 时，原式 = 5 - x + x - 4 = 1； 当 x > 5 时，原式 = x - 5 + x - 4 = 2x - 9 . 综上讨论，原式 = . （3）当 x < 4 时，原式 = 9 - 2x > 1 ； 当 4≤x < 5 时，原式 = 1； 当 x≥5 时，原式 = 2x - 9≥1 . 故代数式的最小值是 1 . 6. 阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道： | x |= 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式 ，如化简代数式 | x +1 | + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 ， x = 2 （称 -1 ，2 分别为| x + 1 | 与| x - 2 | 的 第 14 页 学科网（北京）股份有限公司 零点值）．在实数范围内，零点值x = -1 和， x = 2 可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： ① x < -1 ；② -1≤x < 2 ；③ x≥2 . 从而化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 可分以下 3 种情况： ①当 x < -1 时，原式 = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1 ； ②当 -1≤x < 2 时，原式= x + 1- (x - 2) = 3 ； ( [- 2 x + 1( x < - 1) )③当 x≥2 时，原式 = x + 1 + x - 2 = 2x - 1 ．综上讨论，原式 = { 3(- 1≤x < 2) . l2x -1(x≥2) 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）化简代数式 | x + 2 | + | x - 4 | . （2）求 | x -1| -4 | x +1| 的最大值. 【解答】解：（1）当 x < -2 时， | x + 2 | + | x - 4 |= -x - 2 + 4 - x = -2x + 2 ； 当 -2≤x < 4 时， | x + 2 | + | x - 4 |= x + 2 + 4 - x = 6 ； 当 x≥4 时， | x + 2 | + | x - 4 |= x + 2 + x - 4 = 2x - 2 ； （2）当 x < -1 时，原式 = 3x + 5 < 2 ， 当 -1≤x≤1 时，原式 = -5x - 3 ， -8≤ - 5x - 3≤2 ， 当 x > 1 时，原式 = -3x - 5 < -8 ， 则 | x -1| -4 | x +1| 的最大值为 2 . 7. 阅读下列材料. 我们知道 | x |= 现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 和x = 2 （称 -1 ，2 分别为| x + 1 | 与| x - 2 | 的 零点值）．在有理数范围内，零点值 x = -1 和 x =2 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： x < -1 ； -1≤x < 2 ； x≥2 ．从而在化简 | x +1| + | x - 2 | 时 ，可分以下三种情况： ①当 x < -1 时 ， 原式 = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1 ； ② 当 -1≤x < 2 时 ， 原 式 = (x + 1) - (x - 2) = 3 ； ③ 当 x≥2 时 ， 原 式 = (x + 1) + (x - 2) = 2x -1 . ( [- 2 x + 1( x < - 1) ):| x + 1| + | x - 2 |= {3(- 1≤x < 2) ，通过以上阅读，解决问题： l2x -1(x≥2) （1） | x - 3 | 的零点值是 x = 3 （直接填空）； 第 15 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）化简| x - 3 | + | x + 4 | ； （3）关于x ， y 的方程| x - 3 | + | x + 4 | + | y - 2 | + | y +1|= 10 ，直接写出x + y 的最小值为 . 【解答】解：（1）令 x - 3 = 0 ，解得： x = 3 ， :| x - 3 | 的零点值是x = 3 ， 故答案为：3； （2）令 x - 3 = 0 ， x + 4 = 0 ， 解得： x = 3 ， x = -4 ， ①当 x < -4 时， 原式 = 3 - x - 4 - x = -2x -1， ②当 -4≤x < 3 时， 原式 = 3 - x + x + 4 = 7 ， ③当 x≥3 时， 原式 = x - 3 + x + 4 = 2x + 1 ， 第 16 页 学科网（北京）股份有限公司 ( [- 2 x - 1 )综上， | x - 3 | + | x + 4 |= { 7 l2x + 1 (x < -4) (4≤x < 3) ； (x≥3) （3）令 x - 3 = 0 ， x + 4 = 0 ， y - 2 = 0 ， y + 1 = 0 ， 解得： x = 3 ， x = -4 ， y = 2 ， y = -1 ， 由（2）可得， 当 x < -4 时， | x - 3 | + | x + 4 |= -2x -1 ， 又 x < -4 ， : -2x > 8 ，则 -2x -1 > 7 ， 当 x > 3 时， | x - 3 | + | x + 4 |= 2x +1 ， 又 x > 3 ， : 2x > 6 ，则 2x + 1 > 7 ， : 当 -4≤x≤3 时， | x - 3 | + | x + 4 | 取得最小值为 7， 同理，可得当 -1≤y≤2 时， | y - 2 | + | y +1| 取得最小值为 3， : 当| x - 3 | + | x + 4 | + | y - 2 | + | y +1|= 10 时， -4≤x < 3 ， -1≤y < 2 ， : 此时 x + y 的最小值为 -4 + (-1) = -5 ， 故答案为： -5 . 8. 阅读下列有关材料并解决有关问题. 我们知道 | x |= 现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 | x +1| + | x - 2 | 时，可令 x + 1 = 0 和x - 2 = 0 ，分别求得 x = -1 和x = 2 （称 -1 ，2 分别为| x + 1 | 与| x - 2 | 的 零点值）．在有理数范围内，零点值 x = -1 和 x =2 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： x < -1 ； -1≤x < 2 ； x≥2 ．从而在化简 | x +1| + | x - 2 | 时 ，可分以下三种情况： ①当 x < -1 时 ， 原式 = -(x + 1) - (x - 2) = -2x + 1 ； ② 当 -1≤x < 2 时 ， 原 式 = (x + 1) - (x - 2) = 3 ； ③ 当 x≥2 时 ， 原 式 = (x + 1) + (x - 2) = 2x -1 ．通过以上阅读，请你解决问题： （1） | x - 3 | + | x + 4 | 的零点值是 x = 3 和 x = -4 ； （2）化简代数式 | x - 3 | + | x + 4 | ； （3）解方程 | x - 3 | + | x + 4 |= 9 ； （4） | x - 3 | + | x + 4 | + | x - 2 | + | x - 2000 | 的最小值为 ，此时 x 的取值范围为 . 【解答】解：（1）令 x - 3 = 0 和x + 4 = 0 ， 求得： x = 3 和 x = -4 ， 故答案为： -4 和 3； （2）①当x < -4 时，原式 = -(x - 3) - (x + 4) = -2x -1 ； ②当 -4≤x < 3 时，原式 = -(x - 3) + (x + 4) = 7 ； ③当 x≥3 时，原式 = (x - 3) + (x + 4) = 2x + 1 ； 综上所述：原式 = ， （3）分三种情况： ①当 x < -4 时， -2x -1 = 9 ， 解得： x = -5 ； ②当 -4≤x < 3 时， 7 = 9 ，不成立； ③当 x≥3 时， 2x + 1 = 9 ， 解得： x = 4 . 综上所述， x = -5 或 x = 4 . 第 17 页 学科网（北京）股份有限公司 （4）代数式| x - 3 | + | x + 4 | + | x - 2 | + | x - 2000 | 表示的意义为数轴上表示数 x 的点到表示数 -4 ，2，3，2000 的距离之和， 由数轴表示数的意义可知，当 2≤x≤3 时，该代数式的值最小，最小值为 (2 + 4) + (3 - 2) + (2000 - 2) = 2005 ， 故答案为：2005 ， 2≤x≤3 . 题 型 四 | 绝 对 值 的 几 何 意 义 求 最 值 1. 同学们都知道：| 5 - (-2) | 表示 5 与 -2 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 -2 两数在数轴上所对应 的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示 5 与 -2 两点之间的距离是 7 ， （2）数轴上表示 x 与 2 的两点之间的距离可以表示为 . （3）如果| x - 2 |= 5 ，则 x = . （4）同理 | x + 3 | + | x -1| 表示数轴上有理数 x 所对应的点到 -3 和 1 所对应的点的距离之和，请你找出所有 符合条件的整数 x ，使得 | x + 3 | + | x -1|= 4 ，这样的整数是 . （5） 由以上探索猜想对于任何有理数 x ， | x - 3 | + | x - 6 | 是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果 没有，说明理由. 【解答】解：（1）数轴上表示 5 与 -2 两点之间的距离是 | 5 - (-2) |=| 5 + 2 |= 7 ，故答案为：7； （2）数轴上表示 x 与 2 的两点之间的距离可以表示为| x - 2 | ，故答案为： | x - 2 |； （3） | x - 2 |= 5 ， : x - 2 = 5 或 x - 2 = -5 ， 解得： x = 7 或 x = -3 ， 故答案为：7 或 -3； （4） | x + 3 | + | x -1| 表示数轴上有理数 x 所对应的点到 -3 和 1 所对应的点的距离之和，| x + 3 | + | x -1|= 4 ， : 这样的整数有 -3 、 -2 、 -1 、0 、1， 故答案为： -3 、 -2 、 -1 、0 、1； （5）根据绝对值的几何意义可知当 3≤x≤6 时，有最小值是 3 . 2. 已知 | 2 - (-1) | 表示 2 与 -1 的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数 2 对应的点与负数 -1 对应的 点之间的距离，则 | x -1| + | x +1| + | x - 3 | 的最小值为 4 . 【解答】解： | x -1| + | x +1| + | x - 3 | 表示到数 -1 ，1 ，3 的距离和， 第 18 页 学科网（北京）股份有限公司 只有当 x =1 时， | x -1| + | x +1| + | x - 3 | = 0 + 2 + 2 = 4 ，有最小值 4 . 故答案为：4 . 3. 大家知道 | 5 |=| 5 - 0 | ，它在数轴上表示 5 的点与原点（即表示 0 的点）之间的距离．又如式子 | 6 - 3 | ， 它在数轴上的意义是表示 6 的点与表示 3 的点之间的距离．即点 A 、B 在数轴上分别表示数 a 、b ，则 A 、 B 两点的距离可表示为： | AB |=| a -b | ．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 3 ；数轴上表示 -2 和 -5 的两点之间的距离是 ； （2）点 A 、 B 在数轴上分别表示实数 x 和-1 . ①用代数式表示 A 、 B 两点之间的距离； ②如果 | AB |= 2 ，求 x 的值. （3）直接写出代数式 | x +1| + | x - 4 | 的最小值及相应的 x 的取值范围. 【解答】解：根据分析，可得 （1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是： | 5 - 2 |= 3 ； 数轴上表示 -2 和-5 的两点之间的距离是： | (-2) - (-5) |=| -2 + 5 |=| 3 |= 3 . （2）① | AB |=| x - (-1) |=| x +1| . ②如果 | AB |= 2 ， 则| x + 1|= 2 ， x + 1 = 2 或 x + 1 = -2 ， 解得 x = 1 或 x = -3 . （3） 代数式 | x +1| + | x - 4 | 表示数轴上有理数 x 所对应的点到 4 和 -1 所对应的两点距离之和， : 当 -1≤x≤4 时，代数式 | x +1| + | x - 4 | 的最小值是： | 4 - (-1) |= 5 ， 即代数式 | x +1| + | x - 4 | 的最小值是 5 ， x 的取值范围是 -1≤x≤4 . 故答案为：5 ， -1≤x≤4 . 4. 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示 3 和 2 的两点之间的距离是 1 ；表示 -2 和 1 两点之间的距离是 ；一般地，数 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于 |m — n | . （2）如果| x + 1 |= 2 ，那么 x = ； （3）若| a — 3 |= 4 ， | b+ 2 |= 3 ，且数 a 、 b 在数轴上表示的数分别是点 A 、点B ，则 A 、 B 两点间的最大 距离是 ，最小距离是 . （4）若数轴上表示数 a 的点位于 —3 与 5 之间，则 | a + 3 | + | a — 5 |= . （5）当 a = 时， | a —1 | + | a + 5 | + | a — 4 | 的值最小，最小值是 . 【解答】解：（1）数轴上表示 3 和 2 的两点之间的距离是： 3 — 2 = 1 ；表示 —2 和 1 两点之间的距离是： 1 — (—2) = 3 ； （2） | x + 1 |= 2 ， x + 1 = 2 或 x + 1 = —2 ， x = 1 或 x = —3 . （3） | a — 3 |= 4 ， | b + 2 |= 3 ， :a = 7 或 —1 ， b = 1 或b = —5 ， 当 a = 7 ， b = —5 时，则 A 、 B 两点间的最大距离是 12， 当 a = 1 ， b = —1 时，则 A 、 B 两点间的最小距离是 2 ， 则 A 、 B 两点间的最大距离是 12 ，最小距离是2； （4）若数轴上表示数 a 的点位于 —3 与 5 之间， | a + 3 | + | a — 5 |= (a + 3) + (5 — a) = 8 . （5）当 a≥4 时，原式 = a + 5 + a — 1+ a — 4 = 3a ，这时的最小值为 3× 4 = 12 当1≤a < 4 时，原式 = a + 5 + a —1 — a + 4 = a + 8 ，这时的最小值为1 + 8 = 9 当 —5≤a < 1时，原式 = a + 5 — a + 1 — a + 4 = —a + 10 ，这时的最小值接近为1 + 8 = 9 当 a≤ — 5 时，原式 = —a — 5 — a + 1 — a + 4 = —3a ，这时的最小值为 —3× (—5) = 15 综上可得当 a =1 时，式子的最小值为 9 故答案为： （1）1 ；3 ；（2）1 或 —3 ；（3）12；2；（4）8 ；（5）1 ；9 . 5. 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是 3 ；表示 —3 和2 两点之间的距离是 ；一般地，数轴上 第 20 页 学科网（北京）股份有限公司 表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于 |m 一 n | ．如果表示数 a 和 一1 的两点之间的距离是 3，那么 a = . （2）若数轴上表示数 a 的点位于 一4 与 2 之间，则 | a + 4 | + | a 一 2 | 的值为 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x ，使得 | x + 2 | + | x 一 5 |= 7 ，这些点表示的数的和是 . （4）当 a = 时， | a + 3 | + | a 一1 | + | a 一 4 | 的值最小，最小值是 . 【解答】解：（1） | 1 一 4 |= 3 ， | 一3 一 2 |= 5 ， | a 一 (一1) |= 3 ， 所以， a + 1 = 3 或 a + 1 = 一3 ， 解得 a = 一4 或 a = 2 ； （2） 表示数 a 的点位于 一4 与 2 之间， : a + 4 > 0 ， a 一 2 < 0 ， :| a + 4 | + | a 一 2 |= (a + 4) + [一(a 一 2)] = a + 4 一 a + 2 = 6 ； （3）使得| x + 2 | + | x 一 5 |= 7 的整数点有 一2 ， 一1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5， 一2 一1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 12 . 故这些点表示的数的和是 12； （4） a = 1 有最小值，最小值 =| 1 + 3 | + | 1 一1 | + | 1 一 4 |= 4 + 0 + 3 = 7 . 故答案为：3 ，5 ， 一4 或 2；6；12；1 ；7 . 6. 结合数轴与绝对值的知识解答下列问题： （1）数轴上表示 3 和 2 两点间的距离是 1 ； 表示 一3 和 2 两点间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数 m 和 n 两点间的距离 = ； （2）如果在数轴上表示数 a 的点与一2 的距离是 3 ，那么 a = ； （3）如果数轴上表示数 a 的点位于 一4 和 2 之间，求| a + 4 | + | a 一 2 | 的值； （4）当 a 取何值时， | a + 5 | + | a 一1 | + | a 一 4 | 的值最小，最小值为多少？请说明理由； （5）直接回答：当式子| a + 9 | + | a +1 | + | a 一 5 | + | a 一 7 | 取最小值时，相应的 a 取值范围是什么？最小值是 多少？ 【解答】解：（1）数轴上表示 3 和 2 两点间的距离是 3 一 2 = 1； 第 21 页 学科网（北京）股份有限公司 表示 一3 和 2 两点间的距离是 2 一 (一3) = 5 ； 一般地，数轴上表示数 m 和 n 两点间的距离 =| m 一 n | ； （2）依题意有 | a + 2 |= 3 ， 解得 a = 一5 或 1； （3） 数轴上表示数 a 的点位于 一4 和2 之间， :| a + 4 | + | a 一 2 | = a + 4 一 a + 2 = 6 ； （4）因为| a + 5 | + | a 一 4 | 最小值为 4 一 (一5) = 9 ， | a 一1| 是非负数 所以当 a =1时， | a + 5 | + | a 一1| + | a 一 4 | = 6 + 0 + 3 = 9 ； （5） | a + 9 | + | a +1| + | a 一 5 | + | a 一 7 | 取最小值时，相应的 a 取值范围是 一1≤x≤5 ， 最小值是 a + 9 + a + 1 一 a + 5 一 a + 7 = 22 . 故答案为：1 ，5 ， | m 一 n | ； 一5 或 1 . 7. 综合应用题： | m 一 n | 的几何意义是数轴上表示m 的点与表示 n 的点之间的距离. （1） | x | 的几何意义是数轴上表示 x 的点与 之间的距离； | x | | x 一 0 | (> ， = ， <) ； （2） | 2 一 1 | 的几何意义是数轴上表示 2 的点与表示 1 的点之间的距离；则 | 2 一1|= ； （3） | x 一 3 | 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 | x 一 3 |= 1 ，则 x = . （4） | x + 2 | 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若 | x + 2 |= 2 ，则 x = . （5）找出所有符合条件的整数 x ，使得| x + 5 | + | x 一 2 |= 7 这样的整数是 . 【解答】解：（1） | x | 的几何意义是数轴上表示 x 的点与原点之间的距离； | x |= x 一 0 | ，故答案为： x ，原 点， = ； （2） | 2 一 1 | 的几何意义是数轴上表示 2 的点与表示 1 的点之间的距离；则 | 2 一1|= 1 ，故答案为：1； （3）| x 一 3 | 的几何意义是数轴上表示 x 的点与表示 3 的点之间的距离，若| x 一 3 |= 1 ，则 x =4 或 2 ，故答案 为： x ，3 ，4 或 2 . （4） | x + 2 | 的几何意义是数轴上表示 x 的点与表示 一2 的点之间的距离，若 | x + 2 |= 2 ，则 x =0 或 一4 . 第 22 页 学科网（北京）股份有限公司 （5）使得 | x + 5 | + | x 一 2 |= 7 这样的整数是 一5 ，一4 ，一3 ，一2 ，一1 ，0 ，1 ，2；故答案为：一5 ，一4 ，一3 ， 一2 ， 一1 ，0 ，1 ，2 . 8. 如图，点 A ，B 在数轴上分别表示有理数 a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为 AB ，在数轴上 A ，B 两点之间的距离 AB =| a 一 b | （1）数轴上表示 2 和7 两点之间的距离是 5 . （2）数轴上表示 3 和 一5 两点之间的距离是 . （3）数轴上表示 x 和一5 的两点之间的距离表示为 ，数轴上表示 x 和 3 的两点之间的距离表示为 . （4）若 | x 一 3 | + | x + 5 |= 8 ，则 x 的取值范围是 . （5）若 x 表示一个有理数，则式子 8 一 2 | x 一 3 | 一2 | x 一 5 | 有最大值吗？若有，请求出最大值．若没有，说 出理由. 【解答】解：（1）数轴上表示 2 和 7 两点之间的距离是： | 2 一 7 |= 5 ，故答案为：5； （2）数轴上表示 3 和 一5 两点之间的距离是： | 3 一 (一5) |= 8 ，故答案为：8； （3）数轴上表示x 和一5 的两点之间的距离表示为： | x 一 (一5) |=| x + 5 | ，数轴上表示 x 和 3 的两点之间的距 离表示为： | x 一 3 | ， 故答案为： | x + 5 | ， | x 一 3 | ； （4）若 | x 一 3 | + | x + 5 |= 8 ，则 x 的取值范围是： 一5≤x≤3 ，故答案为： 一5≤x≤3 ； （5）根据绝对值的定义有： | x 一 3 | + | x 一 5 | 可表示为点 x 到 3 与 5 两点距离之和， 根据几何意义分析可知：当 x 在 3 与 5 之间时， | x 一 3 | + | x 一 5 | 有最小值 2 . 所以 8 一 2 | x 一 3 | 一2 | x 一 5 |= 8 一 2(| x 一 3 | + | x 一 5 |) = 8 一 4 = 4 . 所以代数式子 8 一 2 | x 一 3 | 一2 | x 一 5 | 有最大值 4 . 9. 同学们都知道，| 5 一 (一2) | 表示 5 与 一2 的差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 一2 两数在数轴上所对应 的两点之间的距离，试探索： （1） | 5 一 (一2) |= 7 ； （2） x 是所有符合 | x + 5 | + | x 一 2 |= 7 成立条件的整数，则 x = ； （3） 由以上探索猜想，对于任何有理数 x ， | x 一 3 | + | x 一 6 | 的最小值为 ； （4）当 x 为整数时， | x 一1| + | x 一 2 | + | x 一 3 | 的最小值为 ； （5）求 | x 一1| + | x 一 2 | + | x 一 3 | + … + | x 一1997 | 的最小值. 第 23 页 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1） | 5 一 (一2) |=| 5 + 2 |= 7 . 故答案为：7； （2） | x + 5 | + | x 一 2 |= 7 表示的是在数轴上 x 所对应的点到 一5 ，2 两点之间的距离之和等于 7， 又 x 为整数， : x = 一5 ， 一4 ， 一3 ， 一2 ， 一1 ，0 ，1 ，2 . 故答案为： 一5 ， 一4 ， 一3 ， 一2 ， 一1 ，0 ，1 ，2； （3） | x 一 3 | + | x 一 6 | 表示的是在数轴上 x 所对应的点到 3 ，6 两点之间的距离之和， 当 3≤x≤6 时， | x 一 3 | + | x 一 6 | 取得最小值， :| x 一 3 | + | x 一 6 | 的最小值为 3 . 故答案为：3； （4） | x 一1| + | x 一 2 | + | x 一 3 | 表示的是在数轴上 x 所对应的点到 1 ，2 ，3 三点之间的距离之和， x 为整数， | x 一1| + | x 一 2 | + | x 一 3 | 取得最小值， : x = 2 时， | x 一1| + | x 一 2 | + | x 一 3 | 的最小值为 2 . 故答案为：2； （5） 由（4）的结论可知：当 x = 999 时， | x 一1| + | x 一 2 | + | x 一 3 | + … + | x 一1997 | 取得最小值， 最小值为 2× (1 + 2 + ... + 998) = 997002 . 题 型 五 | 绝 对 值 定 值 问 题 1. 阅读下面材料： 在数轴上 5 与 一2 所对的两点之间的距离： | 5 一 (一2) |= 7 ； 在数轴上 一2 与 3 所对的两点之间的距离： | 一2 一 3 |= 5 ； 在数轴上 一8 与 一5 所对的两点之间的距离： | (一8) 一 (一5) |= 3 在数轴上点 A 、 B 分别表示数 a 、 b ，则 A 、 B 两点之间的距离 AB =| a 一 b |=| b 一 a | 回答下列问题： （1）数轴上表示 一2 和一5 的两点之间的距离是 3 ； 数轴上表示数 x 和 3 的两点之间的距离表示为 ； 数轴上表示数 和 的两点之间的距离表示为 | x + 2 |； （2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子| x + 2 | + | x 一 3 | 进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x 的点在 一2 与 3 之间移动时， | x 一 3 | + | x + 2 | 的值总是一个固定的 第 24 页 学科网（北京）股份有限公司 值为： . ②请你在草稿纸上画出数轴，要使 | x 一 3 | + | x + 2 |= 7 ，数轴上表示点的数x = . 【解答】解：（1）数轴上表示 一2 和 一5 的两点之间的距离 =| 一2 一 (一5) |= 3 ； 数轴上表示数 x 和 3 的两点之间的距离 =| x 一 3 | ； 数轴上表示数 x 和 一2 的两点之间的距离表示为| x + 2 |； （2）①当 一2≤x≤3 时， | x + 2 | + | x 一 3 |= x + 2 + 3 一 x = 5 ； ②当 x > 3 时， x 一 3 + x + 2 = 7 ， 解得： x = 4 ， 当 x < 一2 时， 3 一 x 一 x 一 2 = 7 . 解得 x = 一3 . : x = 一3 或 x = 4 . 故答案为：（1）3 ； | x 一 3 | ； x ； 一2 ；（2）5 ； 一3 或 4 . 2. 请借助数轴求使| x + 2 | + | x 一 8 | 等于定值的x 的取值范围 . 【解答】解： 当x < 一2 时，y = 一2 一 x + 8 一 x = 6 一 2x ， :y > 10 当一2≤x < 8 时，y = x + 2 + 8 一 x = 10 ， x≥8 时，y = x + 2 + x 一 8 = 2x 一 6 ， : y≥10 ， 所以当一2≤x < 8 时式子| x + 2 | + | x 一 8 | 取最定值， 值为 10 . 3. （1）化简： 2 | x 一 2 | 一 | x + 4 | ； （2）若 2a+ | 4 一 5a | + | 1 一 3a | 的值是一个定值，求 a 的取值范围，并且求出定值. 【解答】解：令 x 一 2 = 0 ， x + 4 = 0 ，得 x = 2 ， x = 一4 ， : 零点值为 x = 一4 和 x = 2 ， ①当 x < 一4 时， 2 | x 一 2 | 一 | x + 4 |= 2(2 一 x) + x + 4 = 4 一 2x + x + 4 = 8 一 x ， ②当 一4≤x < 2 时， 2 | x 一 2 | 一 | x + 4 |= 2(2 一 x) 一 x 一 4 = 4 一 2x 一 x 一 4 = 一3x ， 第 25 页 学科网（北京）股份有限公司 ③当 x≥2 时， 2 | x - 2 | - | x + 4 |= 2(x - 2) - x - 4 = 2x - 4 - x - 4 = x - 8 ， 综上， 2 | x - 2 | - | x + 4 |= （2）要想使 2a+ | 4 - 5a | + |1 - 3a | 的值是一个定值，就必须使得 4 - 5a≥0 ，且1 - 3a≤0 ， 原式 = 2a + 4 - 5a - (1 - 3a) = 3 ， 即 ≤a≤ 时，原式的值定值 3 . 4. 当x 在什么范围时， | x - 3 | + | 3 - 5x |+6x 为定值，并写出这个定值. 【解答】解：当 x - 3 > 0 ， 3 - 5x > 0 时，此种情况不存在， 当 x - 3 > 0 ， 3 - 5x < 0 时，即： x > 3 ， :| x - 3 | + | 3 - 5x | +6x = x - 3 + 5x - 3 + 6x = 12x - 6 ， 当 x - 3 < 0 ， 3 - 5x > 0 ，即： x < ， :| x - 3 | + | 3 - 5x | +6x = 3 - x + 3 - 5x + 6x = 6 ， 当 x - 3 < 0 ， 3 - 5x≤0 ，即： ≤x < 3 ， :| x - 3 | + | 3 - 5x | +6x = 3 - x + 5x - 3 + 6x = 10x ， 即： x≤ 时， | x - 3 | + | 3 - 5x | +6x 为定值，这个定值为 6 . 5. 若 2x+ | 4 - 5x | + |1 - 3x | +4 恒为常数，求 x 的取值范围. 【解答】解： x 应满足的条件是： {l3 ([4)x--51 (x)0 (0) ， ( 1 4 )解得 ≤ x ≤ . 3 5 : 原式 = 2x + (4 - 5x) + (3x -1) + 4 = 7 . 6. 如果对于某一特定范围内 x 的任意允许值，P =|1 - 8x | + |1 -10x | + |1 -12x | + |1 -14x | + |1 -16x | 的值恒 为一个常数，试求 x 的取值范围和这个常数. 【解答】解：根据题意得： {l1 ([1) -- 14x (12x) 0 (0) ， 解得： ， :P =|1 - 8x | + |1 -10x | + |1 -12x | + |1 -14x | + |1 -16x |= 1 - 8x +1 -10x +1 -12x +14x -1 +16x -1 = 1 . 第 26 页 学科网（北京）股份有限公司 即当 时， P = 1 . 7. 如果对某一特定范围内 x 的任意允许值， p =|1 一 2x | + |1 一 3x | + … |1 一 9x | + |1 一10x | 的值恒为一常数， 则该值为多少？ 【解答】解： P 为定值， :P 的表达式化简后x 的系数为0； 由于 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 8 + 9 + 10 ； :x 的取值范围是： 1一 7x≥0 且1 一 8x≤0 ， 即 ≤x≤ ; 所以 P = (1 一 2x) + (1 一 3x) + … + (1 一 7x) 一 (1 一 8x) 一 (1 一 9x) 一 (1 一10x) = 6 一 3 = 3 . 8. 如果对于某一特定范围内的任意允许值， P =|1 一 4x | + |1 一 5x | + |1 一 6x | + |1 一 7x | + |1 一 8x | 的值恒为一 常数，则此值为 ( ) A ． 一1 B ．0 C．1 D ．1 或 一1 【解答】解： P 为定值， :P 的表达式化简后x 的系数为 0， 由于 4 + 5 + 6 = 7 + 8 ， :x 的取值范围是： 1一 6x≥0 且1一 7x≤0 ，即 ， :P = (1一 4x) + (1一 5x) + (1一 6x) 一 (1一 7x) 一 (1一 8x) = 3 一 2 = 1 . 故选： C . 第 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$