第1章 有理数单元复习（考点归纳+知识梳理+真题训练）（暑假预习讲义）新七年级数学新教材华东师大版

第1章 有理数单元复习 【考点1】正负数 【考点2】相反意义的量表示 【考点3】有理数的概念辨析 【考点4有理数的分类 【考点5】数轴和数轴上的点所表示的数． 【考点6】倒数的概念、相反数的概念和相反数的性质运用 【考点7】绝对值定义、绝对值的性质与化简 【考点8】非负性的性质 【考点9】有理数的加减运算 【考点10】有理数乘除法运算 【考点11】有理数的乘方 【考点12】有理数混合运算 【考点13】科学计数法和近似数的表示 【考点14】有理数实际应用 知识点1 ：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2） 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点2： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点3：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 知识点4：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点5:绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点6 ：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点7：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点8 ：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即a－b=a＋（﹣）b 知识点9：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点10 ：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点11： 倒数 （1）定义： 的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 . 知识点12：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点13：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点14：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点15：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 4. 注：（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点1】正负数 1．（2025·重庆开州·模拟预测）下列四个数中，是负数的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，据此即可解答． 【详解】解：∵ ∴是负数的是． 故选：A． 2．（2025·江西九江·模拟预测）若将气温零上10℃记作℃，则℃表示气温（   ） A．零上8℃ B．零下8℃ C．零上2℃ D．零下2℃ 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案，理解具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：若气温为零上记作，则表示气温为零下， 故选：D． 3．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）中国是历史上最早认识和使用负数的国家，成书于东汉前期的《九章算术》．在粮谷计算中，益实五斗记为斗，那么损实九斗记为（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：益实五斗记为斗，那么损实九斗记为斗， 故选：C． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系． 根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可． 【详解】 解：由题意得：“”所表示的数是， 故选： 【考点2】相反意义的量表示 1．（2025·湖南·模拟预测）2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的意义，掌握正数与负数表示意义相反的两种量是解题的关键． 根据上升记为正，则下降就记为负，据此解答即可． 【详解】解：如果体重上升记作，那么体重下降可以记作． 故选B． 2．（2025年云南省玉溪市玉溪第四中学玉溪六中中考三模数学试题）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前年记作年，那么公元年应记作（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果公元前年记作年，那么公元年应记作年 故选：C． 3．（2025·辽宁铁岭·三模）某中学篮球队的平均身高为，如果高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的表示，解题的关键是理解正负数表示相反意义的量． 根据已知条件中高于平均身高的记法，按照正负数表示相反意义量的规则，推出低于平均身高的记法． 【详解】已知高于平均身高记作，“高于”和“低于”是相反意义的量， 所以低于平均身高应记作． 故选A． 4．（2025·福建泉州·二模）某仓库记账员为方便记账，将进货100件记作，那么出货50件应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：进货100件记作，那么出货50件应记作． 故答案为：． 【考点3】有理数的概念辨析 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解；在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有，，0，，，共5个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·北京·期中）在有理数0，，，中，负分数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，负分数的定义，负分数是小于0的分数，是有理数． 根据小于零的分数是负分数，可得答案． 【详解】解：有理数，不是负数， ，是负整数， 是负分数， 故选：D． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）在实数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义即可得到答案． 【详解】解：是无限不循环小数，为无理数； ，是有理数； 是无限不循环小数，为无理数； ，是有理数； ，是有理数； 故选C． 4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．3.14不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．有理数分为正有理数、0和负有理数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类以及正数和负数，解题的关键是掌握有理数的分类以及0的意义．根据有理数的分类以及正数和负数逐一分析解答即可． 【详解】解：A、3.14是分数，故本选项不符合题意； B、0不带“”号，但不是正数，故本选项不符合题意； C、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意； D、有理数分为正有理数、0和负有理数，说法正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【考点4有理数的分类 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧ ； 负分数集合③，⑤，⑦ ； 正有理数集合②0.2，⑧ ， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，根据有理数的分类逐一填写即可． 【详解】解： 正有理数数集合：｛，……｝ 负分数集合：｛，，……｝ 非负整数集合：｛，……｝ 有理数集合：｛，，，，，，……｝ 3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握有理数的分类方法是关键． 整数包括正整数、0、负整数；负有理数包括：负分数，负整数；正分数就是大于0的分数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解． 【详解】解：，，，，，，，，，， 整数集合： ，，， ； 负有理数集合： ，， ； 正分数集合： ， ； 非负整数集合： ，， ． 4.（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 【答案】(1)，2024，，， (2)，，， (3)，，2024，0 【分析】本题考查了有理数的分类．根据正有理数，负有理数和整数的定义即可． 【详解】（1）解：正有理数集合：{，2024，，，，…}． （2）解：负有理数集合：{，，，，…}． （3）解：整数集合：{，，2024，0，…}． 【考点5】数轴和数轴上的点所表示的数． 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．根据数轴的三要素判断即可． 【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线， 选项A的数轴单位长度不一致，因此选项A不正确，不符合题意； 选项B的数轴无原点，无正方向，因此选项B不正确，不符合题意； 选项C符合数轴的意义，正确，符合题意； 选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数，可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，熟记有理数都可以用数轴上的点表示是解题的关键． 根据数轴可知数轴上蘑菇盖住的点表示的数在与之间，且靠近，所以符合题意． 【详解】解：由数轴可知，数轴上蘑菇盖住的点表示数在与之间，且靠近， 数轴上蘑菇盖住的点表示的数，可能是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数轴上，两点对应的数分别是和，则，两点之间的整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据整数与数轴的知识点进行解题即可． 【详解】解：数轴上，两点对应的数分别是和， 则、之间的整数有、、、、、， 故整数有个． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·云南文山·期中）将下列各数在数轴上表示出来：，，，，，并按从小到大的顺序将它们用“”连接起来． 【答案】在数轴上表示见解析图，． 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数及利用数轴比较有理数的大小，根据在数轴表示有理数的方法表示出有理数，再根据数轴上点的特点即可比较大小，熟练掌握用数轴表示有理数的方法及数轴上点的特点是解题的关键． 【详解】解：在数轴上标出如图， 根据数轴特点：． 【考点6】倒数的概念、相反数的概念和相反数的性质运用 1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握乘积等于1的两个数互为倒数是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：A． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．5与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键； 根据倒数的定义：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，逐项判断即可． 【详解】A．，所以与不互为倒数，故本选项不符合题意； B．，所以与不互为倒数，故本选项不符合题意； C．，所以与不互为倒数，故本选项不符合题意； D． ，所以与互为倒数，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知m，n互为相反数，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据互为相反数的两数之和为0，得到，整体代入求值即可． 【详解】解：∵m，n互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若x与3互为相反数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据相反数的定义可得，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：与3互为相反数， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键． 【考点7】绝对值定义、绝对值的性质与化简 1．（2025·安徽六安·三模）的绝对值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，正确记忆相关知识点是解题关键．根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选：B． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，根据绝对值越小的数是最接近标准质量的，故先化简各个数值的绝对值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：C 3．（2025·安徽黄山·三模）有理数在数轴上对应的点到原点的距离为5，则的相反数是（   ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的几何意义和相反数，属于基础题型，熟知有理数的基本知识是关键； 根据题意可得或，再根据相反数的定义解答即可. 【详解】解：因为有理数在数轴上对应的点到原点的距离为5， 所以或， 所以的相反数是或5； 故选：C. 4．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，理解绝对值的意义是解题关键．根据绝对值最小的最接近标准质量可得答案． 【详解】解：∵， ∴质量为的篮球最接近标准质量， 故选：B． 5．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查利用根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值意义，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴的特点即可判断的正负，再结合绝对值意义，即可判断的正负； （2）根据数轴判断式子，的正负，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 且， 所以， 故答案为：；； （2）解：因为，， 所以． 【考点8】非负性的性质 1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）若与互为相反数，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的定义，求代数式的值等知识，新根据相反数的定义得出，然后根据绝对值的非负性可求出，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）若与互为相反数，则的值是（    ） A． B．5 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．本题考查了相反数的性质，绝对值的非负性：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若，则代数式的值是（  ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方和绝对值的非负性，代数式求值．根据平方和绝对值的非负性求出m，n的值，代入即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D 4．（24-25七年级上·四川南充·期末）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】该题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握一个数的绝对值是非负数． 根据得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 5．（24-25七年级上·山东聊城·期中）已知a，b满足，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查非负数的性质，求代数式的值，解题的关键是当两个非负数之和为0时，这两数分别为0．根据绝对值及平方的非负性可得，求出，代入到即可求解． 【详解】解：∵， ， 解得，， ∴， 故答案为：9． 6．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）若x，y为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】依题意： ， 解得： 则， 故答案为：1 【考点9】有理数的加减运算 1.（23-24七年级上·湖北武汉·期中）将写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变正负号．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号和括号省略，即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某地气温开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降，这时气温是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，理解题意，掌握有理数的加减运算是关键． 根据题意，运用有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降， ∴， ∴这时气温是， 故答案为：． 3.（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算，注意利用加法运算律． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)8 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律求解即可； （2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （3）利用加法交换律和结合律求解即可； （4）先把减法统一成加法，再利用加法交换律和结合律求解即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．（2025六年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点10】有理数乘除法运算 1．（2025·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，根据除法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 2．（2025·湖南·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律，简便计算是关键． （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)12 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，掌握其运算法则是关键． （1）先将除法变乘法，再根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变乘法，再根据有理数乘法，加减运算法则计算即可； （3）先将除法变乘法，再根据有理数乘法分配律的逆运算计算即可； （4）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点11】有理数的乘方 1．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 根据有理数的乘方的定义和运算法则计算，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）在，，，中，是正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的化简，乘方运算，掌握乘方运算，绝对值化简，有理数的分类是解题的关键． 先根据绝对值的性质化简，有理数的乘方运算化简，再根据有理数的分类即可求解． 【详解】解：，，，， ∴正数是， 故选：D ． 3．（2025·广东广州·二模）计算： ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运用，根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有尺；第2次截取后，剩余的木棒有，以此类推即可解答，熟知期中规律是解题的关键． 【详解】解：第1次截取后，剩余的木棒有尺； 第2次截取后，剩余的木棒有尺； 第3次截取后，剩余的木棒有尺， ， 第2025次截取后，剩余的木棒有尺， 故答案为：． 【考点12】有理数混合运算 1．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数加减法从左到右依次计算即可． （2）把除法转化成乘法，然后约分计算即可． （3）先计算乘方运算，再计算乘除法，最后再计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）从左向右依次计算即可； （2）首先计算乘方和小括号里面的减法；然后计算小括号外面的除法、乘法；最后从左向右依次计算即可． 【详解】（1）解： （2） 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用加法的交换律与结合律计算即可； （3）先算乘方，绝对值及括号里面的，再算除法，最后算加法即可； （4）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 4．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），根据有理数的加减法法则计算； 对于（2），根据有理数的乘除混合运算法则计算； 对于（3），根据乘法分配律计算即可； 对于（4），先计算括号内的，同时计算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式， ． 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘除，再算加法即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【考点13】科学计数法和近似数的表示 1．（2025年湖南省长沙市长郡教育集团九年级毕业数学会考模拟练习卷（五））DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025年云南省玉溪市玉溪第四中学玉溪六中中考三模数学试题）4月24日是中国航天日，1970年的这一天我国自行设计制造的第一颗人造地球卫星“东方红”一号发射升空，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距离地球最近点439000米，将439000用科学记数法应表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将439000用科学记数法应表示为， 故选：A． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 【答案】C 【分析】本题考查近似数．根据精确度的要求和四舍五入法，即可解答本题． 【详解】解：， ∴用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为2.80， 故选：C． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）将5.807用四舍五入法精确到百分位为 ． 【答案】5.81 【分析】本题考查了近似数，根据将5.807用四舍五入法精确到百分位，就观察千分位的数是否大于，大于等于就进一，否则舍去，即可作答． 【详解】解：依题意，5.807的千分位的数为， 则5.807用四舍五入法精确到百分位为5.81， 故答案为：5.81 5．（24-25七年级上·北京·期中）数用四舍五入精确到0.1得到 ，近似数精确到 位． 【答案】 十 【分析】此题考查了科学记数法与近似数，不是用科学记数法表示的数需要确定精确到哪一位，主要看最后一位是什么位，就是精确到哪一位，如果是用科学记数法表示的数先把原数还原，再看它所在位的位置即可． 根据四舍五入法即可得出答案． 【详解】解：数用四舍五入精确到得到，近似数精确到十位． 故答案为：，十． 【考点14】有理数实际应用 1．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【答案】(1)球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米 (2)在最远处离出发点 (3)球员在一组练习过程中，跑了米． 【分析】本题考查的是有理数加减法的应用． （1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果； （2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果； （3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可． 【详解】（1）解： (米)； 答：球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米； （2）每段路程跑完距离出发点为： 第一段，， 第二段，， 第三段，， 第四段，， 第五段，， 第六段，， 第七段，， 第八段，， 第九段，， 第十段，， ∴在最远处离出发点； （3） (米)， 答：球员在一组练习过程中，跑了米． 2．（23-24七年级上·广西河池·期中）某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 【答案】(1)经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； (2)这天要付元搬运费． 【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，解决本题的关键是根据有理数的加法法则进行计算． 把这天进出仓库的商品件数相加，所得结果为，所以经过天之后，该仓库内的商品增加了件，此时仓库的商品还有件； 【详解】（1）解：（件）， 经过天之后，该仓库内的商品件数为：（件）， 答：经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； （2）解：（件）， 这天要付给工人的搬运费为：（元）， 答：这天要付元搬运费． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：辆） (1)该厂星期三生产电动车________辆； (2)请求出该厂在本周实际生产自行车的数量； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1410辆 (3)84750元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（辆， 即该厂星期三生产电动车195辆， 故答案为：195； （2）解： （辆， 即该厂在本周实际生产自行车的数量为1410辆； （3）解： （元， 即该厂工人这一周的工资总额是84750元． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)升 (3)下降 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求得三个数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置； （2）求得三个数的绝对值的和，乘以2即可求解； （3）计算，根据计算结果即可确定上升或下降，以及上升与下降的距离． 【详解】（1）解：； 答：此时这架飞机比起飞点高了1km； （2）解： （升） 答：一共消耗了升燃油； （3）解： ∵要使飞机最终比起飞点高出1千米， ∴第四个动作是下降，下降的距离为 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）． （单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)本周内最高价是每股元，最低价是每股元 (2)赚了元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义求得每天的实际股价，从而得出答案； （2）结合（1）中所求及已知条件列式计算即可． 【详解】（1）解：星期一的股价：元， 星期二的股价：元， 星期三的股价：元， 星期四的股价：元， 星期五的股价：元， 则本周内最高价是每股元，最低价是每股元； （2） 元， 即他的收益情况为赚了元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数 【考点1】正负数 【考点2】相反意义的量表示 【考点3】有理数的概念辨析 【考点4有理数的分类 【考点5】数轴和数轴上的点所表示的数． 【考点6】倒数的概念、相反数的概念和相反数的性质运用 【考点7】绝对值定义、绝对值的性质与化简 【考点8】非负性的性质 【考点9】有理数的加减运算 【考点10】有理数乘除法运算 【考点11】有理数的乘方 【考点12】有理数混合运算 【考点13】科学计数法和近似数的表示 【考点14】有理数实际应用 知识点1 ：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2） 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点2： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点3：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 知识点4：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点5:绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点6 ：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点7：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点8 ：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即a－b=a＋（﹣）b 知识点9：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点10 ：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点11： 倒数 （1）定义： 的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 . 知识点12：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点13：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点14：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点15：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 4. 注：（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点1】正负数 1．（2025·重庆开州·模拟预测）下列四个数中，是负数的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2025·江西九江·模拟预测）若将气温零上10℃记作℃，则℃表示气温（   ） A．零上8℃ B．零下8℃ C．零上2℃ D．零下2℃ 3．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）中国是历史上最早认识和使用负数的国家，成书于东汉前期的《九章算术》．在粮谷计算中，益实五斗记为斗，那么损实九斗记为（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【考点2】相反意义的量表示 1．（2025·湖南·模拟预测）2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（    ） A． B． C． D． 2．（2025年云南省玉溪市玉溪第四中学玉溪六中中考三模数学试题）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前年记作年，那么公元年应记作（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 3．（2025·辽宁铁岭·三模）某中学篮球队的平均身高为，如果高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建泉州·二模）某仓库记账员为方便记账，将进货100件记作，那么出货50件应记作 ． 【考点3】有理数的概念辨析 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·北京·期中）在有理数0，，，中，负分数是（   ） A．0 B． C． D． ·辽宁丹东·期中）在实数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．3.14不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．有理数分为正有理数、0和负有理数 【考点4有理数的分类 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 4.（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 【考点5】数轴和数轴上的点所表示的数． 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数，可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数轴上，两点对应的数分别是和，则，两点之间的整数有 个． 4．（24-25七年级上·云南文山·期中）将下列各数在数轴上表示出来：，，，，，并按从小到大的顺序将它们用“”连接起来． 【考点6】倒数的概念、相反数的概念和相反数的性质运用 1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．5与 B．与 C．与 D．与 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若x与3互为相反数，则的值为 ． 【考点7】绝对值定义、绝对值的性质与化简 1．（2025·安徽六安·三模）的绝对值为（   ） A．5 B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽黄山·三模）有理数在数轴上对应的点到原点的距离为5，则的相反数是（   ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 4．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．其中最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【考点8】非负性的性质 1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）若与互为相反数，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）若与互为相反数，则的值是（    ） A． B．5 C．2 D．-2 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若，则代数式的值是（  ） A． B．8 C． D． 4．（24-25七年级上·四川南充·期末）已知，则的值为 ． 5．（24-25七年级上·山东聊城·期中）已知a，b满足，则 ． 6．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）若x，y为实数，且，则的值为 ． 【考点9】有理数的加减运算 1.（23-24七年级上·湖北武汉·期中）将写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某地气温开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降，这时气温是 ． 3.（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 5．（2025六年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【考点10】有理数乘除法运算 1．（2025·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 2．（2025·湖南·模拟预测）计算： ． 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1)； (2)． 4．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点11】有理数的乘方 1．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）在，，，中，是正数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·二模）计算： ． 4．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【考点12】有理数混合运算 1．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 4．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： (1) (2)； (3) (4) 【考点13】科学计数法和近似数的表示 1．（2025年湖南省长沙市长郡教育集团九年级毕业数学会考模拟练习卷（五））DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025年云南省玉溪市玉溪第四中学玉溪六中中考三模数学试题）4月24日是中国航天日，1970年的这一天我国自行设计制造的第一颗人造地球卫星“东方红”一号发射升空，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距离地球最近点439000米，将439000用科学记数法应表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）将5.807用四舍五入法精确到百分位为 ． 5．（24-25七年级上·北京·期中）数用四舍五入精确到0.1得到 ，近似数精确到 位． 【考点14】有理数实际应用 1．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 2．（23-24七年级上·广西河池·期中）某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：辆） (1)该厂星期三生产电动车________辆； (2)请求出该厂在本周实际生产自行车的数量； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）． （单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 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