3.3探索与表达规律（第2课时）（教学课件）数学北师大版2024七年级上册

第三章 整式及其加减 第二课时 3.3 探索与表达规律 学 习 目 标 1 2 3 经历由特殊到一般和由一般到特殊的思考过程，体会代数推理的特点和作用，发展代数推理能力。 能用代数式表示并借助运算解释、论证某些一般规律或现象。 能设计一些蕴含规律的游戏或问题。 导入新课 解决规律问题的一般思维路径 我们可以用代数式表示规律，并借助运算论证一些数量关系的正确性 观察 分析 归纳 论证 新知探究 探究点1 数字游戏的规律表达 你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘 2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。 玩数字游戏 玩一玩 我的结果是35 你心里想的是20 好神奇啊 分组玩一玩游戏 新知探究 探究点1 数字游戏的规律表达 你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘 2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。 议一议 （1）你发现游戏中有什么规律?你能用语言描述发现的规律吗? 结果减去15就是心里想的两位数。 （2）如果请你解释这个规律，你会借助什么方法?哪种方法更好? 可以用字母表示数，通过计算来寻找规律方法最好。 探究点1 数字游戏的规律表达 你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘 2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。 议一议 新知探究 设心里想的这个两位数的十位数字为a，个位数字为b，这个两位数可表示为10a+b ，根据游戏规则： （3）请用适当的方法完成对上述规律的解释 ∵ 5（2a+3）+b = 10a+b+15 即：结果减去15就是心里想的两位数。 ∴ [5（2a+3）+b]－15 = 10a+b 结果 心里想的两位数 探究点1 数字游戏的规律表达 典例分析 1．小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化为最简代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了． 小明 小刚 小颖 (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断此操作能否使游戏成功； (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式． （1）解：根据题意得： ∵的常数项为8，而小颖卡片上代数式中的常数项为 -4， ∴小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式不等于小颖卡片上的代数式． ∴游戏不成功． 探究点1 数字游戏的规律表达 典例分析 1．小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化为最简代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了． 小明 小刚 小颖 (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断此操作能否使游戏成功； (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式． （2）解：根据题意得，小颖卡片上的代数式为： ∴小颖卡片上的代数式为 8 探究点2 设计数字游戏 新知探究 做一做 设计一个类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流。 ①请你设计一个含有一定规律的数字游戏。 ②设计好后，与同伴做游戏。 ③请同伴说出你设计的游戏中的规律，并解释其中的道理。 ④跟同伴说一说你是怎样设计的。 ⑤与同伴互换角色，继续进行活动。 小组活动 你在心里任意想一个数，将这个数减去1后乘 2，再减去 5，然后加上7，将最后的结果告诉我，我就能猜出你心里想的那个数。 用x表示心里想的数 根据流程，得到结果 2(x-1)-5+7=2x 所以得到的结果除以2，就能得到你心里想的那个数。 探究点2 设计数字游戏 新知探究 做一做 小组活动 举个例子 x －1 x－1 ×2 2x-2 －5 2x-7 ＋7 2x 例2．将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝上为“+”，背面朝上为“-”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整除的硬币翻一次……第n 次把所有编号能被n 整除的硬币翻一次，游戏结束． (1)将下列表格补充完整： 典例分析 探究点2 设计数字游戏 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 翻次 1 2 2 3 2 4   4   4 结果 + - - + - -   -   - (2)若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为__________； (3)按照上述规则，若共有n 枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为_________枚（用含有n 的式子表示）． （1）解： 编号⑦能被1和7整数，所以翻次为2，结果为“－ ”， 编号⑨能被1，3和9整除，所以翻次为3，结果为“＋ ”， 2 － 3 ＋ 例2．将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝上为“+”，背面朝上为“-”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整除的硬币翻一次……第n 次把所有编号能被n 整除的硬币翻一次，游戏结束． (1)将下列表格补充完整： 典例分析 探究点2 设计数字游戏 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 翻次 1 2 2 3 2 4   4   4 结果 + - - + - -   -   - (2)若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为__________； 2 － 3 ＋ 编号 ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ ⑰ ⑱ ⑲ ⑳ 翻次 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6 结果 所有正面朝上的硬币的编号为①④⑨⑯． ①④⑨⑯ 例2．将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝上为“+”，背面朝上为“-”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整除的硬币翻一次……第n 次把所有编号能被n 整除的硬币翻一次，游戏结束． 典例分析 探究点2 设计数字游戏 (3)按照上述规则，若共有n 枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为_________枚（用含有n 的式子表示）． （3）解：当有1枚硬币正面朝上，最多可以有1+2 枚硬币； 当有2枚硬币正面朝上，最多可以有 枚硬币； 当有3枚硬币正面朝上，最多可以有 枚硬币； 当有4枚硬币正面朝上，最多可以有 枚硬币， ……， 当有n枚硬币正面朝上，最多可以有枚硬币． 探究点3 数字整除规律表达 新知探究 议一议 （1）一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗? 设三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c 这个三位数可表示为： ∵ 能被3整除， ∴当 能被3整除时， 能被3整除。 即：此时这个三位数能被3整除 探究点3 数字整除规律表达 新知探究 议一议 （2）一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律?请说明理由 具有这样的规律 能被3整除 当(𝒂+𝒃+𝒄+d) 能被3整除时 四位数能被3整除 探究点3 数字整除规律表达 典例分析 例3．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数 、 ， 与 的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数 ______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数 ______；请说明理由． （1）解：∵a、b（a、b均为1～9的正整数）组成的两位数 、 ， ∵ ∴ 与 的和一定能被11整除 探究点3 数字整除规律表达 典例分析 例3．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数 、 ， 与 的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数 ______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数 ______；请说明理由． （1）解： ∵一个四位数，若它是“完美数” 这个数为 ，其中a，b为正整数 ∴ 一定能被11整除 探究点4 回顾反思 新知探究 议一议 回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验? (3)回顾本章章首页中的两个可持续思考的问题，你能用自己的语言表达你对这两个问题的思考吗? 用字母表示数 (1)本节课我们理解、表达、解释的规律有怎样的共同特点? (2)本节课是如何推理论证一些结论的?请举例说明。 列代数式进行计算和验证 拓展提升 1．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为 ，易知 ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 ． (1)①若x=3，则 ； ②若 x=5，则 . 解：（1）①∵ (2)交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 一定是9的倍数吗？试着利用整式的运算说明你的结论； ∴一定是9的倍数 解： 拓展提升 1．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为 ，易知 ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 ． (3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ； ②设任选的三位数为 （不妨设a＞b＞c ），试说明其均可产生该黑洞数． ①若选的数为325，则用532-325=297 ，以下按照上述规则继续计算， 972-297=693 ， 963-369=594， 954-459=495 ， 495 拓展提升 (3) ②设任选的三位数为 （不妨设a＞b＞c ），试说明其均可产生该黑洞数． 1．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为 ，易知 ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 ． 解：②当任选的三位数为 时，第一次运算后得： ， 结果为99的倍数，由于a＞b＞c ，故a≥b+1＞c+2 ， ∴a-c≥2 ，又9≥a＞c ≥0 ， ∴ a-c ≤9， ∴ a-c =2，3，4，5，6，7，8，9， ∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： 981-189=792 ，972-279=693 ，954-459=495 ，963-369=594 ， 故都可以得到该黑洞数495． 巩固练习 教材P98 随堂练习 有三堆棋子，数目相等，每堆至少有 4 枚。从左堆中取出 3 枚放入中堆，从右堆中取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少？请做一做，并解释其中的道理。 解：中间棋子数为10。 理由：假设三堆棋子的数目都为x (x≥4，且x为整数)。 第一次取出棋子后， 左堆的数量为(x-3) ，中堆的为(x+7) ，右堆的为(x-4)； 第二次取出棋子后， 左堆的数量为2(x-3)，中堆的为( x+7 ) -(x-3)=10，右堆的为(x-4) 。 真题感知 1．（2025.六安金安期中）课堂上，老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有代数式（已化简）的卡片，若两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）． (1)计算甲的代数式减乙的代数式的结果，并判断该运算能否使游戏成功； (2)小明发现丙的代数式减甲的代数式可以使游戏成功，请求出丙的代数式． -（） 甲 乙 丙 （1）解： ∵甲的代数式减去乙的代数式的结果的常数项为-6 ，而丙的代数式的常数项的结果数为12， ∴甲的代数式减去乙的代数式的结果不等于丙的代数式， ∴该运算不能使游戏成功； 真题感知 1．（2025.六安金安期中）课堂上，老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有代数式（已化简）的卡片，若两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）． (1)计算甲的代数式减乙的代数式的结果，并判断该运算能否使游戏成功； (2)小明发现丙的代数式减甲的代数式可以使游戏成功，请求出丙的代数式． （） 甲 乙 丙 （2）解：由题意得丙的代数式等于甲的代数式加上乙的代数式 ∴丙的代数式： 真题感知 2.（2025.安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为　　　　　 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　　　　　 ． 解：（1）∵15÷3＝5...0， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵5÷3＝1…2， ∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6； ∵6÷3＝2…0， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 2 真题感知 2.（2025.安徽） （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　　　　　 ． （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时， 则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时， 则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11， 11 课堂小结 按照由特殊到一般和由一般到特殊的思考过程，通过“观察—分析—归纳—论证”的一般思维路径，用代数式表达数量关系及规律，并通过代数运算进行推理判断结论的合理性。 数字中的规律 探索规律问题,要从给出的几个有限的数据着手,认真观察其中的变化规律,尝试猜想、归纳其规律,并取特殊值代入验证 在探索规律的过程中,要善于变换思维方式,这样才能收到事半功倍的效果 课后练习 解：假设心里想的数为a， 则由题意得： [（4a+8）×5+7]×5=100a+235. ∴只要将计算的结果减去235，再除以100，就是心里所想的数了. 3.小强：“你在心里想好一个数，按照下列步骤进行计算：把这个数乘4，然后加8，再把所得新数乘5，然后再加7，最后再把得到的数乘5.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的数了．”同学们试了几次，小强都猜对了，你知道这是为什么吗？ 教材P99 课后练习 教材P99 解：末两位是00,25,50,75的任何数可以表示为100a+b , 其中b表示00,25,50,75. 显然100a+b 能被25整除. 5.末两位是00，25，50，75的任何数均能被25整除，这是为什么?请解释其中的道理。 感谢聆听! $$