3.3探索与表达规律（第1课时）（教学课件）数学北师大版2024七年级上册

第三章 整式及其加减 第一课时 3.3 探索与表达规律 学 习 目 标 1 2 3 经历由特殊到一般和由一般到特殊的问题解决过程，体会代数推理的特点和作用，发展代数推理能力。 能用代数式表示规律，并借助运算解释一些现象、论证一些规律或关系的正确性。 能利用代数式设计一些蕴含规律的问题。 导入新课 日历是我们日常生活中常用的工具，按星期日到星期六排序，你知道日历中的数字蕴含了什么规律吗？ 新知探究 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 （1）日历图中的数有什么规律? 横向相邻两数相差1 横向相邻的三个数可分别表示为a-1，a，a+1 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 新知探究 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 （1）日历图中的数有什么规律? 纵向相邻两数相差7 纵向相邻的三个数可分别表示为a-7，a，a+7。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 新知探究 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 （1）日历图中的数有什么规律? 对角线上相邻两数之间相差8或6 对角线上相邻两数可表示为： a，a+8 a，a+6 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 新知探究 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系? 9个数之和: 2+3+4+9+10+11+16+17+18=90， 10×9=90 9个数之和是该方框正中间的数的9倍 再选一组试一试 新知探究 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系? 9个数之和: 6+7+8+13+14+15+20+21+22=126， 14×9=126 9个数之和是该方框正中间的数的9倍 再选一组试一试 9个数之和： (3a-21)+3a+(3a+21) =9a 。 （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? 新知探究 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 a–6 a+8 a–1 a+7 a+1 a–7 a a–8 a+6 设正中间的数为a，则月历中数的排列规律： ∴这9个数的和为正中间的数的9倍。 (a-8)+(a-7)+(a-6) =3a-21 (a-1)+ a +(a+1)=3a (a+6)+(a+7)+(a+8)=3a+21 9 (4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?请用代数式表示。 新知探究 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 a–6 a+8 a–1 a+7 a+1 a–7 a a–8 a+6 设正中间的数为a， 对角线上3个数之和相等 (a-8)+a+(a+8) =3a (a-6)+a+(a+6) =3a （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?请用代数式表示。 新知探究 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 a–6 a+8 a–1 a+7 a+1 a–7 a a–8 a+6 设正中间的数为a， (a-8)+(a-7)+(a-6) =3a-21 (a-1)+ a +(a+1)=3a (a+6)+(a+7)+(a+8)=3a+21 第一行3个数加第三行3个数的和是第二行3个数之和的2倍等。 (3a-21)+(3a+21) =6a 11 （1）图中所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144?180呢?为什么? 尝试•思考 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 a–6 a+8 a–1 a+7 a+1 a–7 a a–8 a+6 设正中间的数为a， 通过哪些能方法说明？ ∵9个数的和为正中间的数的9倍。 ∴9个数的和一定能被9整除 ∵144÷9=16 ∴9个数的和可以为144 （1）图中所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144?180呢?为什么? 尝试•思考 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 a–6 a+8 a–1 a+7 a+1 a–7 a a–8 a+6 设正中间的数为a， 通过哪些能方法说明？ 180÷9=20 ∴9个数的和不会180 但在图3-7的日历中，20不能作为方框正中间的数。 尝试•思考 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 （2）在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号? （3）设这5个数正中间的数是b，那么这5个数的和怎样表示？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 b ∴这5个数之和： （b-14）＋（b-7）＋b＋（b+7）＋（b+14） ＝5b。 b-14 b-7 b+7 b+14 这5个数可以表示： b-14，b-7，b，b+7，b+14 尝试•思考 探究点1 日历问题（方形框） 议一议 （2）在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号? （4）这个月的第一个星期日是几号?为什么？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 b b-14 b-7 b+7 b+14 ∵5b=80 ∴b=16 5b 16 9 2 答：这个月的第一个星期日是2号 例1　图1是某年某月的日历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d ． 典例分析 探究点1 日历问题（方形框） (1)直接填空：a+d ________b+c ；（填“>”、“<”或“=”） (2) b= ________，c= ________，d= ________（用含a的代数式分别表示）； ？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．(3)当图2在图1的不同位置时，代数式a-2b+4c-3d 的值是否为定值 （1）解：设a=n(n为正整数)，则b=n+4,c=n+2,d=n+16, a+d=n+(n+16)=2n+16 b+c=(n+14)+(n+2)=2n+16 ∴a+d=b+c = 例1　图1是某年某月的日历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d ． 典例分析 探究点1 日历问题（方形框） (1)直接填空：a+d ________b+c ；（填“>”、“<”或“=”） (2) b= ________，c= ________，d= ________（用含a的代数式分别表示）； ？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．(3)当图2在图1的不同位置时，代数式a-2b+4c-3d 的值是否为定值 （2）解：由（1）得： b=a+14，c=a+2, ∴d=b+2=a+14+2=a+16, = a+14 a+2 a+16 （3）解：代数式 a-2b+4c-3d的值为定值， 思考•交流 探究点2 日历问题（＋、H、M、W形框等） （1）如图，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律? 议一议 设正中间的数为a， 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 a a-7 a+7 a-1 a+1 这五个数的和: (a-1)+a+(a+1)+(a-7)+(a+7) =5a 思考•交流 探究点2 日历问题（＋、H、M、W形框等） 议一议 （2）如果改为H形框呢?它们有什么共同规律? 设正中间的数为a， 这七个数的和: （3a+3）+a+（3a-3）=7a 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 a a-6 a+8 a-1 a+1 a-8 a+6 (a-1)+(a-8)+(a+6)=3a+3 (a-6)+(a+1)+(a+8)=3a-3 思考•交流 探究点2 日历问题（＋、H、M、W形框等） 议一议 （3）你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗?与同伴进行交流。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 W形 思考•交流 探究点2 日历问题（＋、H、M、W形框等） 议一议 （3）你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗?与同伴进行交流。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 M形 思考•交流 探究点2 日历问题（＋、H、M、W形框等） 议一议 （3）你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗?与同伴进行交流。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 X形 T形 典例分析 探究点2 日历问题（＋、H、M、W形框等） 例2．图1是2024年10月的月历． (1)如图1，如果本周三对应的日期用（ ） ，且为正整数）表示，那么本周二对应的日期可以表示为_______，下周三可以表示为______（用含 的代数式表示）； (2)如图2，若用m表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与m之间的关系式． （2）解：由图可得， 典例分析 例3．将正整数 1，2，3，4，5，6，7，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第_____ 行第_____ 列； (3)如图，“ T”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为S1,S2 ． ①猜想 S1,S2之间的关系 ． ②任意平移“T ”字型的位置，S1与 S2之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． （1）解：由题中数表，每一行有7个数， 第n 行的最后一个数为7n ， ∵ 100=7×14+2， ∴数100位于第15行第2列， 15 2 （2）解：由题中数表可知第（n-1） 行最后一个数为 7（n-1）， 第n 行第1列的数是7（n-1）+1=7n-6 ， 7n-6 (2)数表中n第 行第1列的数是_____ 典例分析 例3．将正整数 1，2，3，4，5，6，7，…，排成如图所示的数表． (3)如图，“ T”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为S1,S2 ． ①猜想 S1,S2之间的关系 ． ②任意平移“T ”字型的位置，S1与 S2之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． （3）解：①如图所示， ②成立，理由如下： 设竖列第1个数为， 则数列其余两个数分别为 横行的三个数分别为 例4．综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． 典例分析 (3)应用数学： 若图形中含有2025个三角形，并且每根火柴棍的长度为 acm，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ (1)实践操作： 如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究： 如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． （2）解：图形中含有1个三角形，需要3根火柴棒， 图形中含有2个三角形，需要3+2=5 根火柴棒， 图形中含有3个三角形，需要 3+2×2=7根火柴棒， 图形中含有4个三角形，需要3+2×3=9 根火柴棒， ……， 以此类推，可知，图形中含有n个三角形，需要 3+2（n-1）=（2n+1）根火柴棒， 9 （2n+1） 例4．综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． 典例分析 (3)应用数学： 若图形中含有2025个三角形，并且每根火柴棍的长度为 acm，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ (1)实践操作： 如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究： 如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． 9 （2n+1） （3）解：当图形中含有2025个三角形时，火柴棍的根数为2×2025+1=4051 （根）， ∴图形中所有火柴棍的长度和：4051a cm 拓展提升 1.下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b a=________，b= ________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． （1）第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为 5+4=9个，即 a=9， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为 5+4×3=17个，即 b=17 9 17 （2）由（1）得： 第n个图形涂有阴影的小正方形的个数为 5+4（n-1）=（4n+1）个 （3）解：将n=400 代入4n+1 中得：4×400+1=1601 即第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数为1601 根． 解： （4n+1） 巩固练习 教材P97 随堂练习 1.下面是用棋子摆成的“小房子”。摆第 10 个这样的“小房子”需要多少枚棋子？摆第 n 个这样的“小房子”呢？你是如何得到的？ 4×1+1=5 +2×2-1 4×2 =11 4×3+2×3-1 =6×3-1=17 4×4+2×4-1 =6×4-1=23 第 1 个 第 2 个 第 3 个 第 4 个 第 10 个 4×10+2×10-1=59 4n+(2n-1)=6n-1 第 n 个 真题感知 1．（2025.六安金安期末考试）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，第 9个图形中圆的个数是 ________． 解：由图可得， 第1 个图形中一共有1×（1+1）+2=4 个圆， 第2 个图形中一共有 2×（2+1）+2=8 个圆， 第 3个图形中一共有 3×（3+1）+12=4 个圆， 第4 个图形中一共有 4×（4+1）+2=2个圆， ……， ∴第n 个图形中一共有 n×（n+1）+2 个个圆， ∴第 9个图形中圆的个数为9×（9+1）+2=92个 92 2．（2025.湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 真题感知 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 　　　　 ，b是 　　　　 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 　　　　 ，d是 　　　　 ； （注：用含n的代数式表示c和d．） （1）根据题意得： a＝4+1＝5， b＝4+7＝11． 5 11 （2）根据题意得： c＝n+1， d＝n+7． n+1 n+7 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 　　 ，f是 　　 ； （4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 　　 （用含n的代数式表示g）． 2．（2025.湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． （3）根据题意得： 17+2+e＝2+10+18， 17+10+f＝2+10+18， 解得：e＝11，f＝3． （4）根据题意得： 9g=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16， 解得：g＝n+8． n+8 11 3 真题感知 课堂小结 基本策略：观察横行、竖列、斜列上各数之间的数量关系 通性通法 观察 基本策略：用代数式表示数，按算法规律得到结果 通性通法 发现规律 表示规律 揭示规律 探索与表达规律 日历图中数的规律 数学游戏中的规律解释 猜想 归纳 验证 课后练习 1.某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式。 （1）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ 解：4张桌子可以坐12人，5张桌子可以坐14人，n张桌子可以坐（2n+4）人. 教材P98 习题3.3 （2）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ 解：4张桌子可以坐18人，5张桌子可以坐22人，n张桌子可以坐（4n+2）人. 课后练习 教材P99 习题3.3 2.将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． （1）十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ （2）设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ （3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ （4）十字形框中的五数之和能等于2012吗？能等于2015吗？ 解：（1）5个数之和为75，是15的倍数. （2）5a. （3）有. （4）因为2012不能被5整除，2015能被5整除，所以十字形框中的五数之和不能等于2012，能等于2015. 课后作业 探究性作业 1．数学实践课中：一张纸片，第一次将其撕成四小片,以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去,撕到第2次手中共有7张纸片，问撕到第4次时，手中共有 张，撕到第n次时，手中共有 （用含有n的代数式表示）张． 解：从图中可以看出，当撕了1次时， 手中有4张纸=3×1+1； 当撕了2次时，手中有7张纸=3×2+1； 当撕了3次时，手中有10张纸=3×3+1； … 可以发现：撕了几次后，手中纸的张数等于3与几的乘积加1． 所以，当撕了4次时，手中有3×4+1=13张纸． 设撕的次数为n，纸的张数为s，按照规律可得：s=3n+1． 13 3n+1 感谢聆听! $$