第五章 投影与视图 全章复习（知识回顾+4重难点题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版）

第五章 投影与视图 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 投影 题型二 常见几何体的三视图 题型三 由三视图还原几何体及相关计算 题型四 结合几何体的三视图进行计算 知识清单 知识点1.投影与中心投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影. 若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 知识点2平行投影 1.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 知识点3.中心投影和平行投影的异同点 1. 联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 知识点4.正投影 正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 知识点5.视图和三种视图的有关概念 （1）视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. （3）位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （4）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 知识点6.三种视图的画法的基本规则 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 知识点7.由三种视图确定几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 题型方法 【题型一】投影 【例1】（21-22九年级下·全国·单元测试）球在平面上的正投影是( ) A．圆面 B．椭圆面 C．点 D．线段 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列投影中，不是中心投影的是（   ） A．路灯下行人的影子 B．舞台上演员的影子 C．台灯下书本的影子 D．太阳光下旗杆的影子 【变式2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是 投影（填“中心”或“平行”） 【变式3】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高的小明（）落在地面上的影长为． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子； (2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长，请求出旗杆的高度． 【题型二】常见几何体的三视图 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图是一个机械零部件，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）如图所示的几何体图形中，俯视图是圆的是 （填序号）．        【变式3】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在网格图中分别画出左边几何体的左视图和俯视图． 【题型三】由三视图还原几何体及相关计算 【例3】（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）一个立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是（   ） A．圆锥 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有 碗． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期末）用若干个小正方体摆出的几何体，从三个方向看到的图形分别如图：这个几何体由 块小正方体搭成． 【题型四】结合几何体的三视图进行计算 【例4】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（   ） A．20π B．18π C．16π D．14π 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，（主视图标注的数字为4、左视图标注的数字为6、俯视图标注的数字为2）铸灌这个几何体需要的铁铸的体积为 ． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． (1)这个几何体的名称是______； (2)由图中数据计算此几何体的侧面积（结果保留）． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（   ） A．先变短后变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．逐渐变长 3．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是一方寓意“规矩方圆”砚台，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）台灯下数学书的影子是 投影．（填“平行”或“中心”） 7．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，小明在四楼A处窗户旁，亮亮在楼下处，楼前有一堵高墙．小明 看见亮亮．（填“能”或“不能”） 8．（24-25九年级上·江西鹰潭·阶段练习）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为 ． 9．（21-22九年级下·全国·单元测试）如图是由一些相同的小立方体搭成的几何体，在其三种视图中，面积较小的是 视图．    10．（20-21七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图是由相同大小的小正方体搭成的几何体从不同方向看到的形状图，搭这个几何体共用了 个小正方体． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是 ． 三、解答题 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）分别画出如图1、图2所示几何体的三视图． 13．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）某一时刻，一棵树在阳光下的影子如图所示，同一时刻，小丽站在A处，树和小丽均垂直于地面．请画出图中此时表示小丽影长的线段． 14．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） (2)已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 15．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图，回答下列问题： (1)这个几何体是由圆柱和________________组成； (2)求这个几何体的体积（，结果保留，单位：cm） 16．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图1是一个几何体，图是该几何体的不完整的三视图． (1)请将三视图补画完整； (2)根据该几何体三视图中标注的数据，计算该几何体的体积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 投影与视图 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 投影 题型二 常见几何体的三视图 题型三 由三视图还原几何体及相关计算 题型四 结合几何体的三视图进行计算 知识清单 知识点1.投影与中心投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影. 若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 知识点2平行投影 1.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 知识点3.中心投影和平行投影的异同点 1. 联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 知识点4.正投影 正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 知识点5.视图和三种视图的有关概念 （1）视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. （3）位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （4）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 知识点6.三种视图的画法的基本规则 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 知识点7.由三种视图确定几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 题型方法 【题型一】投影 【例1】（21-22九年级下·全国·单元测试）球在平面上的正投影是( ) A．圆面 B．椭圆面 C．点 D．线段 【答案】A 【分析】根据正投影的定义即可求解，正投影是指平行投射线垂直于投影面． 【详解】解：球在平面上的正投影是圆面， 故选：A． 【点睛】本题考查了正投影的定义，熟练掌握正投影的定义是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列投影中，不是中心投影的是（   ） A．路灯下行人的影子 B．舞台上演员的影子 C．台灯下书本的影子 D．太阳光下旗杆的影子 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光．根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A. 路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意；     B. 舞台上演员的影子为中心投影，故此选项不合题意； C. 台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意； D. 太阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是 投影（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律， 熟记中心投影的特点和规律是解题的关键． 平行投影的影子只能在同侧，中心投影的影子可以在两侧，根据中心投影的特点解答即可． 【详解】解：∵两根木杆的影子方向不同， ∴这是中心投影． 故答案为：中心． 【变式3】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高的小明（）落在地面上的影长为． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子； (2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长，请求出旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行投影的原理，连接小明头顶和影子顶端并延长，与过旗杆顶端的水平线相交，确定旗杆影子位置． （2）通过证明两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例来计算旗杆高度． 【详解】（1）解：影子如图所示. （2）解： 又 即 解得 ∴旗杆DE的高度为. 【题型二】常见几何体的三视图 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图是一个机械零部件，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的三视图．根据俯视图是从几何体上面看得到的图形进行解答即可． 【详解】 解：从机械零部件上面看可知为机械零部件的俯视图， 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可． 此题主要考查了简单几何体的三视图，三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．注意所看到的线都要用实线表示出来． 【详解】解：从几何体的上面看是一个环形， 故该几何体的俯视图是环形. 故选B． 【变式2】（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）如图所示的几何体图形中，俯视图是圆的是 （填序号）．        【答案】①②④ 【分析】本题考查三视图，俯视图是从上面看到的图形，据此即可作出解答． 【详解】解：俯视图是圆的是①②④． 故答案为：①②④． 【变式3】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在网格图中分别画出左边几何体的左视图和俯视图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据几何体画出三视图即可． 【详解】解：如图， ． 【题型三】由三视图还原几何体及相关计算 【例3】（24-25九年级下·辽宁大连·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 根据三视图判断即可． 【详解】解：根据主视图和左视图可判断是锥体，再结合俯视图可得到这个几何体是圆锥． 故选：B ． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）一个立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是（   ） A．圆锥 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是几何体的三视图，掌握简单几何体的特征是解此题的关键． 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此对各选项逐一进行分析即可． 【详解】解：A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，圆，错误； B、正方体主视图、左视图、俯视图分别为正方形，正方形，正方形，错误； C、圆柱的主视图、左视图、俯视图分别为长方形，长方形，圆，正确； D、三棱柱三视图分别为长方形，长方形，三角形，错误； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有 碗． 【答案】 【分析】本题考查由三视图还原立体图形，由空间想象能力，按照“俯视图打地基、主视图疯狂盖、左视图拆违建”的顺口溜辅助就能更容易得到答案，熟记物体三视图是解决问题的关键． 【详解】解：由三视图可知，第一层必须是碗；第二层最少是碗；第三次最少是碗； 货架上的红烧牛肉方便面至少有碗， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期末）用若干个小正方体摆出的几何体，从三个方向看到的图形分别如图：这个几何体由 块小正方体搭成． 【答案】/三 【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，根据从三个方向看到的图形得出这个几何体有2列，第1列1个小正方体，第2列2个小正方体，即可求解． 【详解】解：该几何体中小方块的分布情况如下图所示： 所以这个几何体由3块小正方体搭成， 故答案为：3． 【题型四】结合几何体的三视图进行计算 【例4】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（   ） A．20π B．18π C．16π D．14π 【答案】C 【分析】本题考查利用三视图还原几何体，求圆柱体的表面积，根据三视图可知，几何体为底面半径为2，高为2的圆柱体，根据圆柱体的表面积公式进行计算即可． 【详解】解：由图可知：几何体为底面半径为2，高为2的圆柱体， ∴几何体的表面积为：； 故选C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱的体积，利用三视图还原几何体是解题关键．由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为，再根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为， 则它的体积是， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，（主视图标注的数字为4、左视图标注的数字为6、俯视图标注的数字为2）铸灌这个几何体需要的铁铸的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆柱的三视图，圆柱的体积计算，关键是得到该几何体的形状．易得此几何体为空心圆柱，用大圆柱的体积减去小圆柱的体积即可． 【详解】解∶根据题意，得， 故答案为∶ ． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． (1)这个几何体的名称是______； (2)由图中数据计算此几何体的侧面积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，以及几何体的侧面积，理解圆柱的特征是解答本题的关键． （1）根据从不同方向看到的图形判断即可； （2）根据圆柱的侧面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由从不同方向观察一个几何体得到的形状图可知该几何体是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解：由图可知，圆柱体的底面直径为2，高为3， ∴侧面积． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，它的投影属于中心投影． 故选B． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（   ） A．先变短后变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据题意作图分析是解题的关键． 根据中心投影的性质“物体的影子长度与物体和光源的距离有关，当物体与光源的距离变小时，影子会变短；方物体与光源的距离变大时，影子会变长”，由此作图分析即可． 【详解】解：根据题意，作图如下， 表示小颖在点的位置，表示小颖在点的位置，点表示路灯， 当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，，， 小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐减小，影子逐渐变短； 小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐增大，影子逐渐变长； ∴小颖在地上的影子先变短后变长， 故选：A ． 3．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． 4．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是一方寓意“规矩方圆”砚台，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据左视图是从物体的左面看的图形即可解答，解题的关键是注意能看到的线用实线，看不到的线用虚线． 【详解】解：它的左视图是， ， 故选：． 5．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积． 【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是， 圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高， 且底面周长为：， ∴这个圆柱的侧面积是． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）台灯下数学书的影子是 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 根据光线发出的形式，由一点发出的光线，形成的投影是中心投影． 【详解】解：由于光源是由一点发出的，因此台灯下数学书的影子是中心投影， 故答案为：中心． 7．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，小明在四楼A处窗户旁，亮亮在楼下处，楼前有一堵高墙．小明 看见亮亮．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查了视线．熟练掌握射线，俯角的概念，是解题的关键． 连接点A与墙上顶点，看亮亮是否在观察范围内即可． 【详解】∵B处不在四楼A处的小明视线范围内， ∴当小明站在A处时，不能看到楼下处的亮亮． 8．（24-25九年级上·江西鹰潭·阶段练习）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何体的三视图，长方体的表面积．先根据三视图得到该几何体是长方体，再根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得几何体是长方体，长方体的长、宽、高分别为，、， 长方体的表面积为． 故答案为：104． 9．（21-22九年级下·全国·单元测试）如图是由一些相同的小立方体搭成的几何体，在其三种视图中，面积较小的是 视图．    【答案】主 【分析】分别画出几何体的三视图，然后比较，哪个的面最少则面积最小． 【详解】解：如图一、二、三，分别是几何体的主视图、左视图和俯视图， 主视图有3个正方形组成，左视图、俯视图都有4个正方形组成； 因为几何体是由一些相同的小立方体搭成的， 所以面积最小的是主视图． 故答案为：主．    【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，几何体的主视图、左视图和俯视图，是分别从几何体的正面、左面和上面看物体而得到的图形，考查了学生的空间想象能力． 10．（20-21七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图是由相同大小的小正方体搭成的几何体从不同方向看到的形状图，搭这个几何体共用了 个小正方体． 【答案】4 【分析】根据俯视图得出最底层小正方形的个数，根据主视图和左视图得出第二层的小正方形个数，然后相加即可得出答案． 【详解】解：由俯视图易得最底层有3个小正方体，由主视图和左视图知第二层有1个小正方体，那么搭这个几何体共用了3+1＝4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的三视图及空间想象能力，根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”得到各层小正方体的个数是解决问题的关键． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据三视图得到几何体是圆柱，以及圆柱的底面半径和高，进而利用圆柱的体积等于底面积乘以高求解即可． 【详解】解：由三视图可得，该包装盒是一个底面直径为，高为的圆柱， ∴该包装盒的体积为， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）分别画出如图1、图2所示几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握三视图中看得见的用实线，看不见的用虚线是解题的关键．根据看得见的用实线，看不见的用虚线画图即可． 【详解】解：题图1、题图2中几何体的三视图分别如图1、图2所示：      13．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）某一时刻，一棵树在阳光下的影子如图所示，同一时刻，小丽站在A处，树和小丽均垂直于地面．请画出图中此时表示小丽影长的线段． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行投影，掌握相关知识是解题关键．根据树顶端与树影顶端确定光线方向，利用太阳光线都是平行的性质画出过小丽头部顶端的光线，则其影子即可得． 【详解】解：连接树顶端与树影顶端，过小丽头部顶端E作交直线于点B，则线段即为所求． 14．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） (2)已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2)路灯的高度为米 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影； （2）解：，， ， ， ， ∵树高为，树影为，树与路灯的水平距离为， ∴， 解得：， 路灯的高度为米． 15．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图，回答下列问题： (1)这个几何体是由圆柱和________________组成； (2)求这个几何体的体积（，结果保留，单位：cm） 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，求圆柱的体积， 对于（1），观察三视图可知组合体上面是一个圆柱，下面是一个长方体； 对于（2），根据体积公式求解即可． 【详解】（1）解：观察组合体上面是一个圆柱，下面是一个长方体. 故答案为：长方体； （2）解：该几何体上部分是一个圆柱，底面直径是、高是；下部分是一个长方体，长、宽、高分别是. ∴， ∴该几何体的体积为． 16．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图1是一个几何体，图是该几何体的不完整的三视图． (1)请将三视图补画完整； (2)根据该几何体三视图中标注的数据，计算该几何体的体积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据几何体补画三视图即可； （）结合三视图求出几何体的体积即可； 本题考查了几何体的三视图，几何体的体积，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：补画三视图如下： （2）解：该几何体的体积为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$