专题03 实数九类题型（专项训练）数学鲁教版五四制2024七年级上册

专题03 实数（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、实数的分类（常考点） 1 题型二、实数的性质 3 题型三、实数与数轴 4 题型四、实数的大小比较 5 题型五、实数的混合运算（重点） 7 题型六、程序设计与实数运算 8 题型七、新定义下的实数运算（难点） 10 题型八、实数运算的实际应用 12 题型九、与实数运算相关的规律题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、实数的分类 1．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意； ②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意； ③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意； ④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意； ⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意； 错误选项有：②④⑤， 故选：C． 2．在，，，这四个数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．在实数；；；；；；0.101001000100001……（两个1之间依次多一个零）中，其中无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】解：是有限小数，属于有理数 不是无理数． ，是有限小数，属于有理数 不是无理数． 是整数，属于有理数 不是无理数． 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数 是无理数． 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数 是无理数． 是无限循环小数，属于有理数 不是无理数． 该数是无限不循环小数，属于无理数 它是无理数． 综上，无理数有、、（两个之间依次多一个零），共个． 故选：B ． 4．在，，，，，，2.010010001…中，有理数有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴在，，，，，，2.010010001…中， 有理数有：，，，，，共5个， 故选：B． 5．将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）无理数集合：{ …}． 【答案】 ③④⑥ ①⑤⑨ ②⑦⑧ 【解析】解：， （1）整数为：③，④0，⑥； 故答案为；③④⑥ （2）分数为：①，⑤，⑨3.14． 故答案为；①⑤⑨ （3）无理数为：②，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）， 故答案为：②⑦⑧ 题型二、实数的性质 6．实数的相反数为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：实数的相反数只需在其前面添加负号，即为． 故选B． 7．的绝对值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：的绝对值为． 故选：B． 8．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：的相反数是， 故选：B． 9．实数的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】解：的倒数是 故选：D. 10． ． 【答案】 【解析】解： 故答案为： 题型三、实数与数轴 11．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可知， 根据勾股定理，得， ， 因为点在x轴负半轴， 所以点对应的实数为． 故选：C． 12．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题图可知， ∴． 故选 C． 13．如图，数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴在2和3之间． 故选：B． 14．与数轴上的点一一对应的数是（   ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．实数 【答案】D 【解析】解：与数轴上的点一一对应的数是实数 故选D． 15．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴无滑动滚动1周，点A到达点处，则点表示的数为 ． 【答案】或 【解析】解：圆的直径为1个单位长度， 该圆的周长为． 当圆向左滚动时，点表示的数为； 当圆向右滚动时，点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 故答案为：或 题型四、实数的大小比较 16．在，，，这四个数中，最小的是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是， 故选：D． 17．，，5三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， 故选：C． 18．下列各数中比4大比5小的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， 所给的各数中比4大比5小的实数是． 故选C． 19．比较大小：4 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：． 20．比较大小： (1) 与4； (2)与． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，， ， ∴． 题型五、实数的混合运算 21．计算：． 【答案】 【解析】解：原式． 22．计算：． 【答案】 【解析】解： ． 23．计算：． 【答案】 【解析】解： ． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型六、程序设计与实数运算 26．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 27．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【解析】解：当输入3时，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入9时，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入81时，取算术平方根为9，不是无理数，再输入9，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输出值为时，输入值为3或9或81或， 所以①不正确； 当输入16时，取算术平方根为4，不是无理数，再输入4，取算术平方根为2，不是无理数，再输入2，取算术平方根为，是无理数输出. 所以②正确； 当输入，取算术平方根为，是无理数，输出，但是不是正整数. 所以③不正确； 当输入正整数1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值. 所以④正确. 则不正确的有①③. 故选：D. 28．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 29．如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 【答案】 【解析】解：输入， 第一步：求64的立方根，，是有理数，不输出； 第二步：求4的算术平方根，，2是有理数，不输出； 第三步：求2的立方根，是无理数，输出y． 故答案为：． 30．如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为．    【答案】16 【解析】解：当输出的y的值为时，输入的值为， ， ， 所以当输入的x值为16后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为， 故答案为：16． 题型七、新定义下的实数运算 31．定义运算“@”的运算法则为：，则 ． 【答案】6 【解析】解：∵， ， 故答案为：6． 32．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数、，都有．例如，那么 ． 【答案】22 【解析】解：根据题意，， 故答案为：22． 33．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ． 【答案】 【解析】解：根据题中的新定义得：， 解得：． 故答案为：． 34．在综合与实践课上，小明设计了如下运算： ，例：． (1)化简：_______； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴ ． 35．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）规定一种关于“”的新定义：，例如：． (1)计算：； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：． （2）∵， ∴， 解得． 答：m的值为． 题型八、实数运算的实际应用 36．如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】B 【解析】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 37．五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【答案】25.2 【解析】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 38哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【解析】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 题型九、与实数运算相关的规律题 39．规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 40．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】C 【解析】解：由题意得，，；，，；，，；， 每三个相邻的数为一组， 由于， 2024处在第674组后的第2个数，因此可得， 第2024个数应是． 故选：C． 41．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是 ． 【答案】33 【解析】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 42．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1) (2)a (3)； (4) 【解析】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 43．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【解析】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）在0，，，这四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：C． 2．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【解析】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，顺顺借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】解：观察数轴可知：数轴上一个单位表示， 表示3个单位， 点A表示的数是， 故选：A 4．（2025·河北唐山·三模）如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 【答案】B 【解析】解：A选项：，∴，即在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，∴在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，∴在和之间，故D选项不符合题意． 故选：B． 5．（2025·贵州铜仁·三模）下面实数中，负数是 （    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】A．0既不是正数也不是负数，故A不符合题意； B．，故，是负数，故B符合题意； C．，是正数，故C不符合题意； D．任何实数的平方均为非负数，，故D不符合题意． 故选：B． 6．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 7．（2025·河南郑州·模拟预测）计算： ． 【答案】3 【解析】解： ． 故答案为：3． 8．（2025·江苏无锡·模拟预测）计算： ． 【答案】 【解析】解：原式， 故答案为： 9．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、实数的分类（常考点） 1 题型二、实数的性质 2 题型三、实数与数轴 2 题型四、实数的大小比较 3 题型五、实数的混合运算（重点） 3 题型六、程序设计与实数运算 3 题型七、新定义下的实数运算（难点） 5 题型八、实数运算的实际应用 5 题型九、与实数运算相关的规律题 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、实数的分类 1．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在，，，这四个数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．在实数；；；；；；0.101001000100001……（两个1之间依次多一个零）中，其中无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．在，，，，，，2.010010001…中，有理数有（   ）个 A． B． C． D． 5．将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）无理数集合：{ …}． 题型二、实数的性质 6．实数的相反数为（　　） A．5 B． C． D． 7．的绝对值为（   ） A． B． C． D． 8．的相反数是（   ） A． B． C． D． 9．实数的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 10． ． 题型三、实数与数轴 11．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 12．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 14．与数轴上的点一一对应的数是（   ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．实数 15．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴无滑动滚动1周，点A到达点处，则点表示的数为 ． 题型四、实数的大小比较 16．在，，，这四个数中，最小的是（   ） A． B．2 C． D． 17．，，5三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 18．下列各数中比4大比5小的实数是（   ） A． B． C． D． 19．比较大小：4 ． 20．比较大小： (1) 与4； (2)与． 题型五、实数的混合运算 21．计算：． 22．计算：． 23．计算：． 24．计算： (1)； (2)． 25．计算： (1)； (2)． 题型六、程序设计与实数运算 26．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 27．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 28．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 29．如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 30．如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为．    题型七、新定义下的实数运算 31．定义运算“@”的运算法则为：，则 ． 32．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数、，都有．例如，那么 ． 33．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ． 34．在综合与实践课上，小明设计了如下运算： ，例：． (1)化简：_______； (2)计算：． 35．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）规定一种关于“”的新定义：，例如：． (1)计算：； (2)若，求m的值． 题型八、实数运算的实际应用 36．如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 37．五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 38哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 题型九、与实数运算相关的规律题 39．规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 40．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 41．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是 ． 42．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 43．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）在0，，，这四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 2．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，顺顺借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为（    ） A． B． C． D．3 4．（2025·河北唐山·三模）如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 5．（2025·贵州铜仁·三模）下面实数中，负数是 （    ） A．0 B． C． D． 6．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 7．（2025·河南郑州·模拟预测）计算： ． 8．（2025·江苏无锡·模拟预测）计算： ． 9．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$