专题02 直角三角形的判定六类题型（专项训练）数学鲁教版五四制2024七年级上册

专题02 一定是直角三角形吗（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1 题型二、在网格中判断直角三角形 2 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 3 题型四、勾股定理逆定理的实际应用（重点） 4 题型五、勾股树(数)问题（常考点） 5 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A．1，， B．1，， C．4，5，6 D．3，4，6 2．将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若的三条边，，满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（    ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．是钝角 5．判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪一个角是直角． (1)，，; (2)，，． 题型二、在网格中判断直角三角形 6．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 7．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)求四边形的面积； (2)是直角吗？ 8．如图，正方形网格中的每个小方格边长均为1，的顶点都在格点上．求的度数． 9．如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的关系，并说明理由． 10．如图，点，，在边长为的正方形组成的网格格点上，解答下列问题： (1)线段的长为______，线段 的长为______； (2)连接，判断的形状，并证明你的结论． 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 11．已知中，，，上的中线，则为 三角形． 12．如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 13．如图，在四边形中，，，，，．求长和四边形的面积． 14．已知，，，，，求四边形的面积． 15．计算图中四边形的面积． 题型四、勾股定理逆定理的实际应用 16．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 17．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 18．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积． 19．如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的和是否分别垂直于底边，但他随身只带了有刻度的卷尺．      (1)你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得长厘米，长厘米，长厘米，则边垂直于边吗？ 20．2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积． 题型五、勾股树(数)问题 21．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（   ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25 22．下列不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25 23．下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，，其中是勾股数的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 24．有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是 ． 25．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 26．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 27．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 1．（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 2．（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C．7，8，9 D． 3．（2025·江苏南京·二模）下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（   ） A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18 4．（2025·山东淄博·二模）下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 5．（2025·河南周口·二模）如图：在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为均在格点（小正方形的顶点）上，且点在弧上，为弧的中点，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 6．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 7．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 8．（2025·陕西渭南·二模）《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 9．（2025·广西南宁·三模）如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰． (1)在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求等腰的面积． 10．（2024·浙江嘉兴·一模）已知的三边． (1)求证：是直角三角形； (2)利用（1）中的结论，写出两个直角三角形的边长，要求他们的边长均为正整数且至少有两个数是相邻的整数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一定是直角三角形吗（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1 题型二、在网格中判断直角三角形 2 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 5 题型四、勾股定理逆定理的实际应用（重点） 8 题型五、勾股树(数)问题（常考点） 12 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A．1，， B．1，， C．4，5，6 D．3，4，6 【答案】A 【解析】解：A、，能作为直角三角形三边长，符合题意； B、边长不能为负数，不符合题意； C、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； 故选A． 2．将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，，故选项A不符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C符合题意； D、，，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．若的三条边，，满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】解：由得， 当时，，此时的形状是等腰三角形； 当时，，此时的形状是直角三角形； ∴的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 4．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（    ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．是钝角 【答案】C 【解析】由可得，， 是直角三角形，且是直角． 故选：C． 5．判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪一个角是直角． (1)，，; (2)，，． 【答案】(1)是，边c所对的角是直角 (2)不是 【解析】（1）解：， 所以该三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角． （2）解：， 所以该三角形不是直角三角形． 题型二、在网格中判断直角三角形 6．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 【答案】 8 32 40 直角 【解析】解：由图可得，，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：8，32，40，直角． 7．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)求四边形的面积； (2)是直角吗？ 【答案】(1) (2)是直角 【解析】（1）解：连接， ，，， ． ． ，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ； （2）解：，，， ∴， ∴， ∴是直角． 8．如图，正方形网格中的每个小方格边长均为1，的顶点都在格点上．求的度数． 【答案】 【解析】解：由图，得 ，，， ∵， ∴， 由勾股定理的逆定理，得 是直角三角形，且． 答：的度数为． 9．如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的关系，并说明理由． 【答案】和相等且垂直．理由见解析 【解析】解：和相等且垂直．理由如下： 如图，连接，由勾股定理可得 ，，， ∴，且， ∴是以为直角的等腰直角三角形， 即，且， ∴和的关系是相等且垂直． 10．如图，点，，在边长为的正方形组成的网格格点上，解答下列问题： (1)线段的长为______，线段 的长为______； (2)连接，判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)，； (2)是直角三角形，证明见解析 【解析】（1）解：由图可知，，， 故答案为：，； （2）解：是直角三角形， 证明：由知，，， ， ， 是直角三角形． 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 11．已知中，，，上的中线，则为 三角形． 【答案】等腰 【解析】解：如图所示，是中线， 是中线， ， 在中，， 是直角三角形， ， 是的中垂线， ， 是等腰三角形， ， 不是直角三角形． 故答案为：等腰． 12．如图，在中，D是边上一点，连接，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为， 所以， 所以是直角三角形，． （2）解：因为，所以． 在中，， 所以， 所以． 13．如图，在四边形中，，，，，．求长和四边形的面积． 【答案】12，150 【解析】解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为． ∴四边形的面积为150． 14．已知，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】解：如图，连接， ，，， 是直角三角形， ∴，， ∵，，，，即， 是直角三角形，， ∴， ， ， 四边形的面积为． 15．计算图中四边形的面积． 【答案】四边形的面积为． 【解析】解：如图，连接， 由图可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型四、勾股定理逆定理的实际应用 16．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【解析】解：∵长方形桌面的长为，宽为，对角线长为，， ∴，， ， ∴ ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的， 故答案为：合格． 17．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车不符合安全标准，见解析 【解析】解：该车不符合安全标准； 在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴，即和不垂直， ∴该车不符合安全标准． 18．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积． 【答案】空地的面积 【解析】解：如图，连接， 在中，， 在中，，而，即， 为直角三角形， ， ， 答：空地的面积． 19．如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的和是否分别垂直于底边，但他随身只带了有刻度的卷尺．      (1)你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得长厘米，长厘米，长厘米，则边垂直于边吗？ 【答案】(1)能 (2)垂直 【解析】（1）解：可以，    .具体的方法是：用卷尺量出、和的长度，计算、和的值，若，则说明是直角三角形，因此，有；同理，也可类似地检测边是否垂直底边． （2），理由如下： ∵， ∴是直角三角形且， 即. 20．2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积． 【答案】 【解析】解：如图，连接． ∵，， ∴在中，． ∵，， ∴． ∴是直角三角形，． ∴ 题型五、勾股树(数)问题 21．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（   ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25 【答案】A 【解析】解：A、，故不是勾股数，符合题意； B、，故是勾股数，不符合题意； C、，故是勾股数，不符合题意； D、，故是勾股数，不符合题意； 故选：A． 22．下列不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25 【答案】C 【解析】解：A、，则3，4，5是勾股数，不符合题意； B、，则5，12，13是勾股数，不符合题意； C、，则2，3，4不是勾股数，符合题意； D、，则7，24，25是勾股数，不符合题意； 故选：C． 23．下列各组数：①，，；②，，；③，，；④，，，其中是勾股数的有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【解析】解：，符合勾股数的定义； ，不符合勾股数的定义； 、不是正整数，不符合勾股数的定义； ，符合勾股数的定义． 综上，是勾股数的有①④． 故选：． 24．有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是 ． 【答案】25 【解析】解：设第三个数为x， 分两种情况：当x为直角边时， 有， 解得， 不是正整数，需舍去； 当x为斜边时， 有， 解得． 综上所述，第三个数为25． 故答案为：25． 25．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 【答案】13 【解析】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 26．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【解析】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 27．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【解析】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 1．（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【答案】D 【解析】解：A、，能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项错误； C、，能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项正确； 故选：D． 2．（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C．7，8，9 D． 【答案】D 【解析】解：A. ∵，，又∵，∴不是勾股数，不符合题意； B.∵ 不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意； C. ∵，，又∵，∴7，8，9不是勾股数，不符合题意； D. ∵，∴是勾股数，符合题意． 故选：D． 3．（2025·江苏南京·二模）下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（   ） A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18 【答案】B 【解析】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 4．（2025·山东淄博·二模）下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 【答案】C 【解析】解：， 可构成直角三角形，且斜边为5，故选项B不符合题意； ∵，且， ∴可构成钝角三角形，故选项C符合题意； ∵，故选项D不能构成三角形，不符合题意； ∵，故选项A不符合题意； 故选：C． 5．（2025·河南周口·二模）如图：在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为均在格点（小正方形的顶点）上，且点在弧上，为弧的中点，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，取格点O，连接，过点D作于F， 由网格的特点和勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴点O即为弧所在圆的圆心， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 6．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【解析】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 8．（2025·陕西渭南·二模）《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【解析】解：，，， ， ，即， 是直角三角形， 故答案为：直角． 9．（2025·广西南宁·三模）如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰． (1)在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求等腰的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，，， ， ， 设，则有， ， ， 的面积． 10．（2024·浙江嘉兴·一模）已知的三边． (1)求证：是直角三角形； (2)利用（1）中的结论，写出两个直角三角形的边长，要求他们的边长均为正整数且至少有两个数是相邻的整数． 【答案】(1)见解析 (2)的三边a，b，c的长分别为3，4，5或5，12，13 【解析】（1）证明：∵的三边， ， ， ∴是直角三角形． （2）的三边a，b，c的长分别为3，4，5或5，12，13， 理由：当时，则； 当时，则． 注：答案不唯一，如当时，则，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$